Tài liệu giúp thầy cô giáo giảng dạy trên lớp bằng cách trình chiếu. Nội dung đầy đủ. chi tiết có đầy đủ ví dụ. Tài liệu tham khảo ở nhiều giáo trình hiện tại đang áp dụng cho giảng dạy cho sinh viên cao đẳng.
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC PHẦN I: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT - Chương 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất - Chương 2: Biến ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC PHẦN II: THỐNG KÊ TOÁN - Chương 1: Cơ sở l{ thuyết mẫu - Chương 2: Ước lượng tham số Biến ngẫu nhiên - Chương 3: Kiểm định giả thuyết thống kê 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học CHƯƠNG 2: ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Phương pháp ước lượng điểm Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học Phương pháp ước lượng điểm Đặt vấn đề, Phát biểu tốn • Giả sử cần nghiên cứu dấu hiệu χ tổng thể Mục tiêu việc nghiên cứu xác định tham số đặc trưng tổng thể Kz vọng (trung bình), phương sai, độ lệch chuẩn, xác suất… • Xem dấu hiệu nghiên cứu BNN biết quy luật phân phối xác suất Từ xác định làm số đặc trưng Vậy tốn ước lượng tham số là: Cho BNN X với quy luật phân phối xác suất biết, xong chưa biết tham số θ Phải ước lượng (xác định gần đúng) giá trị θ dựa vào mẫu ngẫu nhiên W = X1 , X2 , … , Xn 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học Phương pháp ước lượng điểm Khái niệm ước lượng điểm Giả sử cần ước lượng tham số θ BNN gốc X, từ tổng thể ta lập mẫu W = X1 , X2 , … , Xn Chọn thống kê đặc trưng tương ứng với θ cần ước lượng, k{ hiệu θ∗ = f X1 , X2 , … , Xn Ví dụ: Ước lượng cho Kỳ vọng toán m BNN X ta chọn thống kê Trung bình mẫu 𝑋 Ước lượng cho Phương sai 𝜎 BNN X ta chọn thống kê Phương sai mẫu 𝑆 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học Phương pháp ước lượng điểm Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng điểm Định nghĩa ước lượng không chệch Thống kê θ∗ gọi ước lượng không chệch tham số θ BNN gốc X E θ∗ = θ Ngược lại E θ∗ ≠ θ tức E θ∗ = θ + C gọi ước lượng chệch với độ chệch C Chú ý: θ∗ ước lượng không chệch θ khơng có nghĩa giá trị θ∗ θ mà có nghĩa trung bình θ∗ tức E θ∗ với θ 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học Phương pháp ước lượng điểm Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng điểm Định nghĩa ước lượng hiệu o Thống kê θ∗ gọi ước lượng hiệu tham số θ BNN gốc X ước lượng khơng chệch (E θ∗ = θ) có phương sai nhỏ so với ước lượng không chệch khác xây dựng mẫu o Giá trị nhỏ Phương sai D θ∗ tìm BĐT Cramer – Rao Cho mẫu W = X1 , X2 , … , Xn xây dựng từ BNN gốc X có hàm mật độ xác suất f x, θ thõa mãn số điều kiện định θ∗ ước lượng khơng chệch bất kz θ ∗ D θ ≥ 𝜕 lnf x, θ n E 𝜕θ 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học Phương pháp ước lượng điểm Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng điểm Định nghĩa ước lượng vững o Thống kê θ∗ gọi ước lượng hiệu tham số θ BNN gốc X θ∗ hội tụ theo xác suất đến θ n → +∞, tức ∀ ε > 0, cho trước lim P θ∗ − θ < ε = n→:∞ 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học Phương pháp ước lượng điểm Một vài kết luận phương pháp ước lượng Trung bình mẫu X ước lượng không chệch, hiệu vững trung bình tổng thể m Tần suất mẫu f ước lượng không chệch, hiệu nhất, vững tần suất tổng thể p Phương sai mẫu S (phương sai mẫu hiệu chỉnh) ước lượng không chệch Phương sai tổng thể σ2 BNN X Phương sai mẫu S (phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh) ước lượng chệch Phương sai tổng thể σ2 BNN X với độ chệch 22/09/2017 D(X) − n Xác suất thống kê toán học Phương pháp ước lượng điểm Ước lượng điểm cho kz vọng BNN Trung bình mẫu X ước lượng không chệch cho kz vọng BNN X có phân phối sau: BNN X có phân phối chuẩn X~N μ, σ2 E X = μ ta có: E X =μ BNN X có phân phối Poisson vì X~P λ E X = λ ta có: E X =λ BNN X có phân phối Mũ E X = E X = 𝜆 … 22/09/2017 𝜆 ta có: Xác suất thống kê tốn học 10 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất α Khi α1 = α2 = cỡ mẫu lớn 100 độ tin cậy − α khoảng tin cậy xác suất f 1−f f 1−f f− uα ; f + uα n n 2 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 65 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Khi α1 = 0; = α2 = α cỡ mẫu lớn 100 độ tin cậy − α khoảng tin cậy xác suất f 1−f f− uα ; +∞ n - Biểu thức ước lượng giá trị thiểu p 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 66 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Khi α1 = α; = α2 = cỡ mẫu lớn 100 độ tin cậy − α khoảng tin cậy xác suất f 1−f −∞; f + uα n - Biểu thức ước lượng giá trị tối đa p 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 67 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Độ dài khoảng tin cậy trường hợp đối xứng f − f I = 2ε = uα n Kích thước mẫu tối thiểu đảm bảo độ tin cậy − α không vượt giá trị I0 f − f f − f I= ≤ I0 ⟺ n ≥ uα I0 n = 22/09/2017 f 1−f uα ε Xác suất thống kê toán học 68 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Ví dụ: Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm nhà máy sản xuất thấy có 20 phế phẩm Với độ tin cậy 95% ước lượng tỷ lệ phế phẩm tối đa nhà máy 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 69 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Giải: Gọi p tỷ lệ phế phẩm nhà máy Khoảng tin cậy p với độ tin cậy 95% f 1−f −∞; f + uα n Theo đầu độ tin cậy 95% nên ta có 20 − α = 95% ⟹ α = 0,05 ⟹ u0,05 = 1,645; f = = 0,05 400 Vậy khoảng tin cậy p 0,05 − 0,05 −∞; 0,05 + 1,645 = −∞; 0,0679 400 Vậy tỷ lệ phế phẩm tối đa nhà máy 6,79% 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 70 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Ví dụ: Khám cho 7534 trẻ từ đến 15 tuổi thấy 19 trẻ bị thấp tim Hãy đánh giá tỷ lệ trẻ bị thấp tim Lấy α = 0,05 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 71 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Giải: Gọi A tượng thấp tim 19 Ước lượng điểm P A ≈ f A = 7534 ≈ 0,0025 Ước lượng khoảng cho P A f 1−f f 1−f f− uα ; f − uα n n 2 0,0025 − 0,0025 − 0,0025 7534 u0,025 ; 0,0025 + 0,0025 − 0,0025 7534 u0,025 Khoảng tin cậy P A là: 0,001372; 0,003628 Như tỷ lệ thấp tim trẻ thấp của trẻ 0,1372% cao 0,3628% 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 72 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Ví dụ: Điều tra năm 1989 địa phương thấy có 48,53% trẻ bị sâu Điều trị súc họng Fluo 0,2% năm, điều tra lại 1250 trẻ ban đầu thấy có 181 trẻ sâu Hãy đánh giá tỷ lệ trẻ bị sâu sau năm điều trị súc họng Lấy α = 0,05 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 73 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng cho xác suất Giải: Gọi A tượng trẻ bị sâu 181 Ước lượng điểm P A ≈ f A = 1250 ≈ 0,1448 Ước lượng khoảng cho P A f 1−f f 1−f f− uα ; f + uα n n 2 0,1448 − 0,1448 − 0,1448 1250 u0,025 ; 0,1448 + 0,1448 − 0,1448 1250 u0,025 Khoảng tin cậy P A là: 0,1253; 0,1643 Như sau năm điều trị súc họng tỷ lệ trẻ bị sâu 12,53% cao 16,43% 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 74 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng số cá thể có đặc tính A đám đơng có N cá thể Giả sử tổng thể kích thước N có M phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu Tiến hành phép thử Gọi X số phần tử mang dấu hiệu X ta có: Trong đó: M p = ta có khoảng ước lượng cho p cỡ mẫu n > 100 N f 1−f f 1−f f− uα ; f − uα n n 2 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 75 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng số cá thể có đặc tính A đám đơng có N cá thể Tức f 1−f M f 1−f f− uα ≤ ≤ f + uα N n n 2 f 1−f f 1−f ⟺ N f − uα ≤ M ≤ N f + uα n n 2 Công thức ước lượng khoảng cho số cá thể có đặc tính A 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 76 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng kích thước tổng thể Giả sử tổng thể kích thước N có M phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu Tiến hành phép thử Gọi X số phần tử mang dấu hiệu X ta có: Trong đó: M p = ta có khoảng ước lượng cho p cỡ mẫu n > 100 N f 1−f f 1−f f− uα ; f − uα n n 2 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 77 Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng kích thước tổng thể Tức f 1−f M f 1−f f− uα ≤ ≤ f − uα N n n 2 ⟺ M f 1−f f+ uα n ≤N≤ M f 1−f f− uα n Công thức ước lượng khoảng cho kích thước tổng thể cần nghiên cứu 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 78 22/09/2017 Xác suất thống kê toán học 79