tử (lấy một lần n phần tử hoặc lấy n lần không hoàn lại mỗi lần một phần tử). Gọi X là số phần tử có tính chất A có trong n phần tử chọn ra từ tập T.. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 4 quả[r]
(1)Chương 3:
CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog: https://nguyenphuongblog@wordpress.com
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Yahoo: nguyenphuong1504
(2)1 Phân phối nhị thức
2 Phân phối siêu bội
3 Phân phối Poisson
4 Phân phối chuẩn
5 Phân phối chi bình phương
6 Phân phối Student
(3)Phân phối nhị thức
Dãy phép thử Bernoulli
Dãy n phép thử gọi dãy phép thử Bernoulli nếu: - Các phép thử độc lập với
- Xác suất biến cố A xảy phép thử nhau,P(A) =p
Công thức Bernoulli
Xác suất để biến cố A xuất k lần n phép thử, ký hiệuPn(k)
và xác định công thức
(4)Định nghĩa
X có phân phối nhị thức với tham số n,p, kí hiệu X∼B(n,p), tập giá
trị X làX(Ω) ={0,1, ,n}và
P(X=k) =Cknpkqn
−k, k∈X(Ω) (1)
Ví dụ
Một phân xưởng có 10 máy hoạt động độc lập Xác suất để ngày máy bị hỏng 0,1
a) Tính xác suất ngày có máy bị hỏng
(5)Phân phối nhị thức
Tính chất
NếuX∼B(n,p)thì
i) E(X) =np; Var(X) =np(1−p) =npq;
ii) np−q≤Mod(X)≤np+p;
iii) với x,h số nguyên dương
P(x≤X≤x+h) =P(X=x) +P(X=x+1) + .+P(X=x+h)
Ví dụ
Một phân xưởng có 100 máy hoạt động độc lập Xác suất ca sản xuất máy bị hỏng 2% Gọi X số máy bị hư ca sản xuất
a) Tính E(X),Var(X)
(6)Ví dụ
Trong bình có 10 viên bi có viên bi trắng viên bi đen Lấy ngẫu nhiên viên bi, gọi X số viên bi trắng có bi lấy giá trị biến ngẫu nhiên X 0, 1, 2, Xác suất để lấy bi trắng
P(X=1) = C1
6C C3
10
Xác suất lấy k viên bi trắng
P(X=k) = Ck
6C 3−k C3
10
(7)Phân phối siêu bội
Mơ hình tổng qt
Tổng qt, tập T gồm có N phần tử, có NAphần tử có tính chất
A N−NAphần tử khơng có tính chất A Từ tập T ta lấy ngẫu nhiên n phần
tử (lấy lần n phần tử lấy n lần khơng hồn lại lần phần tử) Gọi X số phần tử có tính chất A có n phần tử chọn từ tập T Khi X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị k cho
0≤k≤n
n−(N−NA)≤k≤NA
Nếu kí hiệu k1=max{0,n−(N−NA)}và k2=min(n,NA)thì miền giá trị
X
S={k∈N:k1≤k≤k2}
và
P(X=k) = CkN
AC
n−k N−NA
Cn N
(8)Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nguyên dương k∈S với xác suất tương ứng
P(X=k) = Ck
NAC
n−k N−NA
Cn N
, k∈S (2)
thì ta gọi X có phân phối siêu bội với tham số N,NA,n, kí hiệu
X∼H(N,NA,n)
Ví dụ
Có hộp chứa cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại cầu Gọi X số cầu trắng lấy Tính xác suất
(9)Phân phối siêu bội
Tính chất
Nếu biến ngẫu nhiênX∼H(N,NA,n)thì
i) E(X) =np với p=NA N ; ii) Var(X) =npqN−n
N−1 với q=1−p Ví dụ
Có hộp chứa cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên khơng
hồn lại cầu Gọi X số cầu trắng lấy Tính E(X),Var(X)
Ví dụ
(10)Xấp xỉ phân phối siêu bội phân phối nhị thức
Định lí: NếuX∼H(N,NA,n), n cố định, N→ ∞và NA
N →p(p,0,p,1)thì
X→F B(n,p)
Ý nghĩa thực hành
1 Nếu X∼H(N,NA,n), N lớn; n nhỏ so với N thì
P(X=k)≈Cknpkqn
−k p= NA N
Công thức xấp xỉ tốt khin<0,05N
2 Khi N lớn so với n Việc lấy n phần tử từ tổng thể N phân tử theo phương thức: có hồn lại hay khơng hồn lại, coi Ví dụ