462018 bài giảng xác suất thống kê 2015 nguyễn văn tiến biến cố ngẫu nhiên

Ví dụ 23.. Mỗi câu có 4 phần để lựa chọn trả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng. Giả sử sinh viên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phần của câu hỏi. Tính xác suất trong các trường hợp[r]

(1)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến

CHƯƠNG BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT • Yêu cầu:

• Biểu diễn biến cố

• Cơng thức cộng, điều kiện, nhân

• Cơng thức xác suất đầy đủ, Bayes

• Công thức Bernoulli

4/6/2018

1.1 Phép thử biến cố

• Định nghĩa.Thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay khơng gọi mộtphép thử.Hiện tượng xảy gọi làbiến cố

• Phép thử:là cácthí nghiệm, quan sátmàkết

của nókhơng thể dự báo trướcđược • Kí hiệu: T

• Khơng gian mẫu:là tập hợp tất cảcác kết quảcó thể có phép thử

• Ký hiệu:Ω; Ω𝑇

4/6/2018

Biến cố ngẫu nhiên

• Biến cố sơ cấp: kết phép thử Ký hiệu: wi

• Biến cố (ngẫu nhiên): tập khơng gian mẫu

• Ký hiệu: A, B, C, A1, A2…

• Biến cố ngẫu nhiên chứa vài biến cố sơ cấp

(2)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Biểu diễn

• Khơng gian mẫu:chứa tất kết phép thử

• Biến cố:tập khơng gian mẫu, chứa vài kết phép thử



B A

 A B biến cố không gian mẫuΩ  B chứa nhiều kết A  Các kết nằm A

đều nằm B 4/6/2018

Ví dụ 1

• T: Tung hai đồng xu phân biệt (Ví dụ: 2k 5k) Quan sát mặt ngửa

Ω2={SS; SN; NS; NN} hay Ω2={w1; w2; w3; w4}

1

w



4

w

2

w

3

w

A

Phát biểu biến cố A? Biến cố A xảy nào?

4/6/2018

Phân loại biến cố

• Bc khơng thể: bc khơng xảy Kí hiệu:∅

• Bc chắn: bc ln ln xảy Kí hiệu:Ω

• Biến cố rỗng không chứa bcsc

(3)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 1.2 Xác suất biến cố

• Định nghĩa Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả xuất hiệncủa biến cố phép thử

• Kí hiệu xác suất bc A:P(A) • Xác suất khơng có đơn vị • Tính chất:

 

   

)

) 0,

i P A

ii P P

 

   

4/6/2018

1.3 Định nghĩa cổ điển

• Định nghĩa.Xác suất xuất biến cố A phép thử làtỷ số số biến cố thuận lợi cho A tổng số biến cốđồng khả năngcó thể xảy rakhi thực phép thử

𝑃(𝐴) =n(A) n(Ω)=

Số biến cố thuận lợi cho A Số biến cố xảy

4/6/2018

Ưu nhược điểm

• Ưu điểm:

• Khơng cần tiến hành phép thử

• Tính xác giá trị xác suất

• Nhược điểm:

• Số biến cố đồng khả vơ hạn

• Các biến cố phép thử chưa đồng khả

(4)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 2

• Một khách hàng chọn mua hộp gồm 12 sản phẩm Ông ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm hộp để kiểm tra, khơng có phế phẩm mua hộp sản phẩm

• Tính xác suất người mua hộp sản phẩm biết hộp có phế phẩm

4/6/2018

Ví dụ 3

Cơ quan có 50 người, có 25 người học đại học kinh tế, 20 người học kỹ thuật, 10 người học hai, cịn lại khơng học đại học Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên người người đó:

a) Chỉ học ĐH ngành b) Học ĐH ngành

c) Học ngành người có học đại học

4/6/2018

Ví dụ 4,5

Ví dụ 4.Có khách hàng vào ngân hàng có quầy phục vụ Tính xác suất để:

a) Cả khách đến quầy b) Mỗi người đến quầy khác c) Hai người đến quầy d) Chỉ có khách đến quầy số

(5)

1.3b Định nghĩa hình học xác suất • Nếu phép thử có khơng gian mẫuđược biểu

diễn miền hình học và biến cố A biểu diễn miền hình học A:

  Do mien A s A   P A

Do mien s

 

 

4/6/2018

Ví dụ 6

• Hai người hẹn gặp địa điểm từ 19h đến 20h Mỗi người đến (chắc chắn đến) điểm hẹn độc lập nhau, chờ khoảng 20 phút; không thấy người đến bỏ Tìm xác suất để người gặp

• Hướng dẫn:

• A: bc hai người gặp

4/6/2018

  59

P A 

1.4 Định nghĩa thống kê xác suất • Định nghĩa.Tần suất xuất biến cố n

phép thử tỷ số số phép thử biến cố xuất tổng số phép thử thực

  n A 

f A n



(6)

1.4 Định nghĩa thống kê xác suất

• Định nghĩa.Xác suất xuất biến cố A phép thử số p không đổi mà tần suất f xuất biến cố n phép thử dao động xung quanh số phép thử tăng lên vơ hạn

• Ví dụ 7.Số liệu 10.000 cơng nhân cho thấy có 1200 người có bệnh phổi Tần suất 0,12 xác suất mắc bệnh phổi xấp xỉ với 0,12

  lim   n

n A P A

n



    

p P A f A

4/6/2018

Ưu nhược điểm

• Ưu điểm:

• Khơng địi hỏi điều kiện ĐN cổ điển

• Dựa quan sát thực tế

• Nhược điểm:

• Chỉ áp dụng với tượng ngẫu nhiên mà tần suất ổn định

• Phải thực số đủ lớn phép thử

• Có thể khắc phục cách mô kết 4/6/2018

1.5 Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm): Nếu biến cố có xác suất gần thực tế xem phép thử biến cố khơng xảy

(7)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 1.5 Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Trong lớp có 50 sinh viên định có bạn có sinh nhật trùng Vì biến cố“có người có sinh nhật” có xác suất lớn P(A)= 0,970374

• Chú ý:

• Việc qui định mức xác suất đủ nhỏ hay đủ lớntùy thuộc vào toán cụ thể

• Thơng thường:0,05 coi đủ nhỏ

• Đủ lớn:≥ 0,95

4/6/2018

1.6 Quan hệ (phép tốn) biến cố • Quan hệ kéo theo

• Quan hệ tương đương

• Tổng (Hợp)

• Tích (Giao)

4/6/2018

Quan hệ kéo theo

Biến cố A gọi làkéo theobiến cố B, ký hiệu AB, A xảy B xảy

Ta nói A biến cố thuận lợi cho B

Biểu diễn:



B A

(8)

• Theo dõi bệnh nhân điều trị

• Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3)

• B: có nhiều bệnh nhân khỏi bệnh

• Xét quan hệ kéo theo cặp biến cố sau:

• A2 B

• A3 B

• A1 B

4/6/2018

Quan hệ tương đương

Biến cố Atương đươngvới biến cố B A xảy B xảy ngược lại

Kí hiệu: A=B

A B

B A

     



4/6/2018

Ví dụ 9

• Mua ngẫu nhiên bóng đèn

• A: bóng hỏng

• B: nhiều bóng tốt

(9)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Tổng (hợp) hai biến cố

• Cho A, B hai bc liên quan đến phép thử T Khi đó, tổng (hợp) A B biến cố, kí hiệu A∪B hay A+B

• Bc xảy khi:

• Ít mộttrong bc A, B xảy • AhoặcB xuất phép thử

A B

B A

4/6/2018

Ví dụ 10

• Mua ngẫu nhiên bóng đèn

• A: biến cố bóng hỏng

• B: biến cố bóng hỏng

• A+B biến cố nào?

4/6/2018

Tổng (hợp) biến cố

• A1, A2,…,Anlà bc phép thử T • Tổng (hợp) bc kí hiệu:

• Bc xảy bc A1,

A2,…,Anxảy • Ta có:

1 n n

A A  A hay A A  A

1 n n

A A  A A A A

     

(10)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Tích (giao) hai biến cố

• Cho A, B hai bc liên quan đến phép thử T Khi đó, tích (giao) A B biến cố, kí hiệu A∩B hay A.B

• Bc xảy hai bc A, B xảy đồng thời phép thử

A B B A

4/6/2018

Ví dụ 11

• Sinh viên thi mơn Tốn Cao cấp Ngun lý

• A: sinh viên đậu Tốn Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý

• A.B biến cố nào?

4/6/2018

Tích (giao) biến cố

• A1, A2,…,Anlà bc phép thử T • Tích (giao) bc kí hiệu:

• Bc xảy tất bc A1, A2,…,Ancùng

xảy

• Ta có:

1 n n

A A A hay A A  A

1 n n

A A A A A A

(11)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Biến cố đối

• Biến cố đối biến cố A, kí hiệu𝐴 biến cố

xảy A khơng xảy

• Ta có:Ω

𝐴 = Ω\Ω𝐴

A A A

4/6/2018

Biến cố đối

• Ví dụ 12

• Khi gieo xúc sắc

• Gọi A: bc số chấm chẵn thì𝐴 bc số chấm lẻ

 

   

1,2,3,4,5,6

2, 4,6 1,3,5 \

A A A

 

      

4/6/2018

Hai biến cố xung khắc

• Hai biến cố A, B gọi xung khắc A B xuất đồng thời phép thử

• Nghĩa là: AB 

B A



A B xung khắc

(12)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Biến cố hiệu

• Biến cố hiệu A B, ký hiệu A\B biến cố xuất A xuất B không xuất

• Ta có:

• Nghĩa là:A B\ A B. B A



A\B

4/6/2018

Ví dụ 13

• Sinh viên thi mơn Tốn Cao cấp Ngun lý

• A: sinh viên đậu Tốn Cao cấp

• B: sinh viên đậu Ngun lý

• Mơ tả biến cố:

• A\B; A+B

• B\A;A + B; A + B ;A B • Nhận xét về:A + B A B 4/6/2018

Tính chất

 

       

)

     

        

   

  

   



   

i A A A A A A

A A A A A A

ii A B B A A B B A iii A B C AB AC iv A B C A B A C v A A

(13)

• Có xạ thủ bắn vào mục tiêu

• A, B, C bc xạ thủ 1,2,3 bắn trúng

Biểu diễn biến cố sau theo A, B, C phép tốn (các quan hệ)

a) Có xạ thủ bắn trúng b) Có nhiều xạ thủ bắn trúng c) Có xạ thủ bắn trúng

4/6/2018

ÔN TẬP QUI TẮC ĐẾM

• Quy tắc cộng

• Quy tắc nhân

• Tổ hợp chập k n phần tử

• Chỉnh hợp chập k n phần tử

• Hốn vị n phần tử

4/6/2018

Ví dụ 15, 16

Ví dụ 15.Một hộp có bi đỏ, bi vàng Có cách lấy từ hộp

a) bi

b) bi có đỏ c) bi có bi đỏ

Ví dụ 16.Cho chữ số: 1,2,3,4 có cách lập số từ số thỏa mãn:

a) Có chữ số khác b) Có chữ số

(14)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức tính xác suất

• Cơng thức cộng

• Cơng thức xác suất điều kiện

• Cơng thức nhân xác suất

• Cơng thức xác suất đầy đủ, Bayes

• Cơng thức Bernoulli

4/6/2018

• Hai biến cố tổng quát:

• Ba biến cố:

Công thức cộng – tổng quát

      P . 

P A B P A P B  A B

 

        ( ) P A( ) P B( ) P

P A B C

P AB P BC P CA A C C

P B

  

  

 



4/6/2018

• Hai biến cố xung khắc:

• Ba biến cố xung khắc đơi:

• Các biến cố xung khắc đôi:

Công thức cộng – xung khắc

     

P A B P A P B

       

P A B C  P A P B P C

(15)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 17, 18

Ví dụ 17.Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 0,1; trúng điểm 0,2; trúng điểm 0,25 điểm 0,45 Tìm xác suất để xạ thủ điểm

Ví dụ 18.Sinh viên A tốt nghiệp Sau tham gia hội chợ việc làm trường, công ty vấn đánh sau:

• Xs cơng ty A chọn 0,8

• Xs cơng ty B chọn 0,6

• Xs cơng ty chọn 0,5

• Tính xác suất chọn công ty?

4/6/2018

Xác suất điều kiện

• Xác suất biến cố A với giả thiết biến cố B xảy gọi xác suất A với điều kiện B

• Kí hiệu: P(A|B)

• Cơng thức tính:

• Nếu P(B)=0 xác suất khơng xác định

  P AB   ( ) P A B neu P B

P B

 

4/6/2018

• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0 Ta có:

Tính chất

   

       

   

) 0,

) 1,

)

i P B A P A A ii P A P A

iii P B C A P B A P C A P BC A iv P B A P B A

 

   

   

 

(16)

• Xác suất chuyến bay khởi hành 0,83

• Xác suất chuyến bay đến 0,82

• Xác suất chuyến bay vừa khởi hành vừa đến 0,78

• a) XS chuyến bay đến biết khởi hành

• b) Khởi hành biết đến khơng

4/6/2018

Hai biến cố độc lập

• Hai biến cố A B gọi độc lập xuất biến cố không ảnh hưởng đến khả xuất biến cố

• Nghĩa là:

• Từ cơng thức xsđk ta có:

       

P B A P B hay P A B P A

     

, doc lap

A B P A B P A P B

4/6/2018

Chú ý

• Cho A B hai biến cố độc lập Khi cặp biến cố sau độc lập (sv tự CM)

• Thơng thường dựa vào chất phép thử ta công nhận biến cố độc lập mà chứng minh

& A B &

(17)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Độc lập đơi

• Hệ biến cố A1, A2,…,Angọi làđộc lập đôi (pairwise independence) cặp hai biến cố n biến cố độc lập với

• Độc lập đơi ↔ Ai, Ajbất kỳ độc lập

 i j  i  j  

P A A P A P A ij

4/6/2018

Độc lập toàn phần

• Hệ biến cố A1, A2,…,An gọi độc lập toàn phần (mutual independece) biến cố hệ độc lập với tổ hợp biến cố cịn lại

• Chú ý:

–Độc lập tồn phầnđộc lập đơi

–Khơng có chiều ngược lại

 n      1 n

P A A A P A P A P A

4/6/2018

Công thức nhân – độc lập

• Hai biến cố A B độc lập:

• Các biến cố độc lậptồn phần:

• Độc lập”xác suất tích tích xác suất”

      P AB P A P B

 .2 n      1 n

P A A A P A P A P A

(18)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Cơng thức nhân tổng qt

• Hai biến cố tùy ý:

• Các biến cố A1, A2,…,An tùy ý:

• Điều kiện:

 .2 n  1  1  n .2 n1

P A A A P A P A A P A A A A

 1 .2 n 1 0

P A A A 

         

P A B P A P B A P B P A B

4/6/2018

Ví dụ 20

• Trong đợt đấu giải tennis, A gặp B sau A gặp C Xác suất A thắng B 0,6 xác suất A thắng C 0,7

• Nếu A thắng B xác suất A thắng C 0,85

• Tính xác suất:

• a) A thắng B lẫn C

• b) A thắng hai người

• c) A thắng người

4/6/2018

Ví dụ 21

• Tại giải vơ địch Taekwondo giới, Việt Nam có hai vận động viên A, B tham gia Khả lọt vào vòng chung kết A, B theo đánh giá 0,9 0,7 Biết A B khơng bảng vịng đấu loại Tính xác suất

• A) Cả hai lọt vào vịng chung kết

• B) Ít người lọt vào vòng chung kết

(19)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 22, 23

Ví dụ 22.Một hộp đựng cầu chì có 20 có bị hỏng

a) Chọn ngẫu nhiên cầu chì khơng hồn lại xác suất hỏng bao nhiêu?

b) Câu hỏi tương tự chọn có hồn lại

Ví dụ 23.Hộp có bóng trắng bóng đen Hộp có 10 trắng đen Lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp bỏ vào hộp (khơng nhìn bóng lúc bỏ) Tính xác suất lấy ngẫu nhiên bóng từ hộp ta bóng màu đen

4/6/2018

Công thức Bernoulli

• Dãy phép thử Bernoulli:

• i) Các phép thử dãyđộc lậpnhau

• ii) Trong phép thử ta quan tâm biến cố A hoặc𝐴 xuất

• iii)Xác suấtxuất A phép thử

bằng

   

P A p P A   p q

4/6/2018

Công thức Bernoulli

• Các tham số n,k,p,q gì?

• Xác suất Pn(k) xác suất biến cố nào?

• Phép thử tương ứng có tính chất nào?

  k k n k

n n

P k C p q 

(20)

Một hộp có 10 viên bi gồm bi vàng bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi, lần bi có

hồn lại

Tính xác suất bi lấy có bi đỏ?

Hướng dẫn

Sử dụng công thức Bernoulli, sao? Nêu tham số n,k,p,q

4/6/2018

Ví dụ 25

• Một sinh viên thi trắc nghiệm mơn Ngoại Ngữ gồm có 10 câu hỏi Mỗi câu có phần để lựa chọn trả lời, có phần Giả sử sinh viên làm cách chọn ngẫu nhiên phần câu hỏi Tính xác suất trường hợp sau: • a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm) • b) Sinh viên chọn câu hỏi Hướng dẫn

Có sử dụng cơng thức Bernoulli khơng? Nêu tham số?

4/6/2018

Ví dụ 26

• Một bác sĩ có xác suất chữa khỏi bệnh 0,8 Có người nói 10 người đến chữa bệnh chắn có người khỏi bệnh Điều khẳng định có khơng?

• Hướng dẫn

• Để khẳng định chắn có người khỏi bệnh số người khỏi bệnh bao nhiêu?

(21)

• Ở hệ dịch vụ, khách hàng chọn loại hình dịch vụ A, B, C Theo thống kê số khách hàng hệ dịch vụ này, tỷ lệ khách hàng dùng loại hình dịch vụ A, B, C tương ứng 30%; 50%; 20%

•

• a) Tìm xác suất để số 10 khách hàng vào hệ dịch vụ có người chọn loại hình dịch vụ B Giả thiết cho họ độc lập việc chọn loại hình dịch vụ?

•

• b) Có khách hàng vào hệ dịch vụ họ độc lập việc chọn loại hình dịch vụ Tìm xác suất để người chọn loại hình dịch vụ khác nhau?

4/6/2018

Công thức xác suất đầy đủ

• Ví dụ mở đầu Khi khảo sát sinh viên mức độ yêu thích mơn XSTK Kết có 40% sinh viên nam thích mơn có 35% sinh viên nữ thích mơn

• Vậy có tất 40%+ 35%=75% sinh viên u thích mơn

• Khẳng định hay sai, sao? • Khi đúng, sai?

• Cần phải biết thêm yếu tố nào? 4/6/2018

Hệ biến cố đầy đủ

• Hệ biến cố đầy đủ:một hệ biến cố H1, H2, …, Hn gọi đầy đủ nếu:

• Điều kiện có nghĩa phép thử ln ln có biến cố hệ xuất

• Hỏi:Cho ví dụ hệ biến cố đầy đủ?

1

) ,

)

i j

n

i H H i j

ii H H H

  

   

(22)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Công thức xác suất đầy đủ

• Hệ {Hi} hệ biến cố nào?

• Biến cố A có quan hệ với hệ {Hi}

• P(Hi) P(A|Hi) nghĩa gì?

• Mơ tả ngắn gọn ý nghĩa công thức trên?

     

n

i i

i

P A P H P A H 



4/6/2018

Cơng thức Bayes

• A là? Hi là? Mối quan hệ?

• Phát biểu ý nghĩa công thức?

     

   

1

i i

i n

i i

i

P H P A H P H A

P H P A H 





4/6/2018

Ví dụ 28

• Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để lấy phẩm

4 phế phẩm

15 phẩm phế phẩm

10 phẩm phế phẩm

HỘP 1

HỘP 3

(23)

Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Hướng dẫn

• Biến cố cần tính xác suất?

• Biến cố bị ảnh hưởng bởi?

• Sử dụng cơng thức xác suất đầy đủ

• Hi là? A là?

4/6/2018

Chú ý cơng thức

• Nếu phép thử gồm giai đoạn biến cố A liên quan đến giai đoạn sau kết có giai đoạn đầu hệ biến cố đầy đủ

• Nếu phép thử có quan sát kết quan sát bị ảnh hưởng quan sát kết hệ đầy đủ biến cố quan sát

4/6/2018

Ví dụ 29

• Cơng ty có máy sản xuất sản phẩm Tương ứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% 25% sản phẩm công ty Theo đánh giá có 2%; 3% 1% sản phẩm máy tương ứng chất lượng

• Chọn ngẫu nhiên sản phẩm Xác suất sản phẩm chất lượng bao nhiêu?

• Giả sử sp chọn sp tốt Khả cao sp máy sx ra?

(24)

Ba bước tính xác suất biến cố • B1 Gọi tên biến cố, xác định rõ phép thử dẫn

đến biến cố

• B2 Biểu diễn biến cố thông qua quan hệ để đơn giản hóa

• B3 Xác định cơng thức tính (cần nêu rõ điều kiện tương ứng công thức sử dụng)

4/6/2018

Bài tập chương 1

• 1.1; 1.3; 1.8;1.9; 1.17

• 1.19;1.22;1.23;1.24;1.27;1.29;1.30; 1.33;1.37

• 1.38;.139;1.42; 1.46; 1.48;1.49;1.50

• 1.51;1.52;1.56;1.59;1.61;1.63