Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 8: Quy hoạch tuyến tính

Chính vì vậy mà bài toán đặt ra là làm sao thiết kế được một kết cấu mà mômen kháng dẻo của nó đủ để giữ vững kết cấu không cho bị biến dạng dẻo, nhưng khối lượng của nó lại nhỏ nhất [r]

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Cơng nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 08:

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (Linear Programming)

Đặt vấn đề

1 Quy hoạch tuyến tính (QHTT, 1930) tốn tối ưu hóa mà ở hàm mục tiêu toàn ràng buộc hàm bậc các biến số

2 Các biểu thức ràng buộc dạng đẳng thức (phương trình) hoặc bất đẳng thức (bất phương trình) tuyến tính

3 Các lĩnh vực ứng dụng Quy hoạch tuyến tính:

- Tối ưu hóa chế độ dinh dưỡng

- Tối ưu hóa danh mục đầu tư

- Bài tốn sản xuất vận chuyển

- Bài toán viễn thơng

- Bài tốn nhân viên bán dịch vụ du lịch

- Trong kỹ thuật ngành khí, QHTT giúp giải tốn thiết

Vấn đề dẫn đến toán QHTT

Trong kết cấu khung thép, cần tính tốn để tránh xuất “khớp dẻo”, điểm mà kết cấu độ cứng bị bẻ gãy dẻo khớp xoay.

Khi mà số lượng khớp dẻo tăng kết cấu có nguy trở

thành cấu bị sụp gãy (a collapse mechanism) Để khắc phục vấn

đề này, người ta cần phải làm tăng MÔMEN KHÁNG DẺO Mômen kháng dẻo mặt cắt:

d d c

cao h, bề rộng b là:

2

4

d c

bh

M   

 

Như để tăng mô men kháng dẻo mặt cắt thay

đổi vật liệu cứng (làm tăng σc ), tăng kích thước mặt cắt

(b h 2) Nhưng điều làm tăng khối lượng

kết cấu, tăng chi phí cho vật liệu Chính mà tốn đặt làm thiết kế kết cấu mà mơmen kháng dẻo đủ để giữ vững kết cấu không cho bị biến dạng dẻo, khối lượng của lại nhỏ

Kết cấu cho an toàn khả hấp thụ lượng (thế năng đàn hồi U) khung lớn Công ngoại lực (E)

Thế biến dạng đàn hồi (U) tính thơng qua mơmen

Vấn đề dẫn đến toán QHTT

Cho khung phẳng cấu tạo từ cột và dầm ngang chịu tải hình Tìm giá trị mômen khớp dẻo

cột (Mc) dầm (Mb) để kết cấu đủ

an toàn với khối lượng nhỏ

P1=3 kN, P2=1 kN, h=8 m, l=10 m

 Có khả khung biến dẻo

1 24

4 c

E P P h

U M

  



     

 Do có khớp vị trí khớp dẻo cột (Column)

1 2

2 10

4 b

E P P l

U M

  



     

 

 

1 2 34

2 c b

E P P Ph P l

U M M

   



       

   

1 24

2 c b

E P P h

U M M

  



     

 

Hàm mục tiêu tốn: Cực tiểu hóa khối lượng khung gồm khối lượng cột dầm ngang:

 c, b 2 b c 

f M M   lM  hM  ρchiều dài mômen kháng dẻo – khối lượng riêng khung theo

Các ràng buộc xuất phát từ điều kiện U ≥ E trường hợp:

6 2.5

2 17

12

c

b

b c

b c

M M

M M

M M

 

 

Gọi Mc=x1, Mb=x2, ta thu mơ hình tốn:

 

1

2

3

4

20 16

2 17

12

2.5

f x x

g x x

g x x

g x

g x

  

    

    

       

x Bài toán QHTT

Bài tốn có lời giải dùng phương pháp điều kiện KKT:

min

0

6 16

; ; 216

6

0

f

   

   

    

   

   

* *

x λ

Vấn đề dẫn đến tốn QHTT

Một xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm theo phương

pháp khác nhau, k{ hiệu PP1, PP2, PP3 Các loại nguyên liệu để sản

xuất k{ hiệu N1, N2, N3 Biết số nguyên liệu có, định

mức tiêu hao loại nguyên liệu số lượng sản phẩm sản xuất trong theo phương pháp cho bảng dưới:

Nguyên liệu

Số lượng hiện có (đv)

Định mức tiêu hao PP1 PP2 PP3

N1 250 4 5 3

N2 350 2 4 1

N3 450 3 6 4

Sản lượng (đv/giờ) 10 12 9

Hãy tìm kế hoạch sản xuất tối ưu:

Vấn đề dẫn đến toán QHTT

Gọi x1, x2, x3 số sản xuất theo PP1, PP2, PP3 tương ứng

Số nguyên liệu sử dụng để sản xuất phương pháp là:

- Nguyên liệu 1:

- Nguyên liệu 2:

- Nguyên liệu 3:

1

4x 5x  3x

1

2x  4x  x

1

3x  6x  4x

Không vượt số lượng có 250 Khơng vượt q số lượng có 350 Khơng vượt q số lượng có 450

Tổng sản lượng phương pháp sản xuất là: 10x1 12x2  9x3

Mơ hình tốn:

 

1

1

2

3

10 12 9 max

4 5 3 250

2 4 350

3 6 4 450

0 1, 2, 3

j

f x x x

g x x x

g x x x

g x x x

x j                  

Bài toán QHTT

Vấn đề dẫn đến tốn QHTT

Một xí nghiệp may mặc cần sản xuất 2000 quần tối thiểu 1000 áo Về mặt l{ thuyết, vải cắt số lượng quần áo theo cách khác nhau, bảng đây:

Cách cắt Quần Áo

1 90 35

2 80 55

3 70 70

4 60 90

5 120

6 100

Hãy tìm kế hoạch sản xuất tối ưu:

Vấn đề dẫn đến toán QHTT

Gọi xj, (j=1 6) lần lượt số vải cắt theo cách thứ j, ta có:

Do tổng số quần cần sản xuất 2000 nên ta có phương trình:

1

90x 80x  70x  60x 120x  2000

Do tổng số áo cần sản xuất tối thiểu 1000 nên ta có điều kiện:

1

35x  55x  70x  90x 100x 1000

Tổng số vải cần sử dụng là:

6

1

j j

x





Mơ hình tốn:

 

 

6

1

1

2

min

90 80 70 60 120 2000

35 55 70 90 100 1000

0, 1 6

j j

j j

f x

g x x x x x

g x x x x x

x x j



 

     

     

  



x

Vấn đề dẫn đến toán QHTT

Một nhà đầu tư có 70 tỉ đồng muốn đầu tư vào loại hình sau:

- Tiết kiệm không kz hạn với lãi suất 6.5%

- Tiết kiệm có kz hạn với lãi suất 8.5%

- Mua trái phiếu phủ với lãi suất 10%

- Cho tư nhân vay với lãi suất 13%

Thời gian đáo hạn cho Các loại hình đầu tư đều có rủi ro người đầu tư muốn làm theo dẫn sau của nhà tư vấn:

1 Không cho tư nhân vay 20% số vốn

2 Số tiền mua trái phiếu không nên vượt tổng số tiền đầu tư vào lĩnh vực

3 Ít 30% số tiền đầu tư phải thuộc tiết kiệm có kz hạn trái phiếu

4 Tỷ lệ tiền tiết kiệm không kz hạn tiền tiết kiệm có kz hạn khơng vượt 1/3

1) Xác định biến số Gọi:

- x1 số tiền gửi tiết kiệm không kz hạn

- x2 số tiền gửi tiết kiệm có kz hạn

- x3 số tiền mua trái phiếu

- x4 số tiền cho tư nhân vay

2) Xác định hàm mục tiêu:

Tổng lợi nhuận người thu được: 0.065x1  0.085x2  0.1x3  0.13x4

3) Xác định ràng buộc:

[1]: [2]: [3]: [4]: [5]: 14

x  tỷ

3

x  x x  x

2 21

x  x  tỷ

1 1 3 x x 

1 70

x  x  x x 

 

1

1

2

3

4

5

0.065 0.085 0.1 0.13 max 14 21 70 0, j j

f x x x x

g x

g x x x x

g x x

g x x

g x x x x

x x j

                      

 N 

Vấn đề dẫn đến toán QHTT

Để nuôi loại gia súc 24 cần có khối lượng tối thiểu chất tương ứng là:

- 90 gr Protit

- 130 gr Gluxit

- 10 gr chất khoáng

Tỷ lệ % theo khối lượng chất có loại thức ăn A,

B, C sau:

Thức ăn Chất dinh dưỡng

Protit Gluxit Khoáng

A 10 30

B 20 40

C 30 20

Giá kg thức ăn A, B, C lần lượt 3000 đ, 4000 đ, 5000 đ

1) Xác định biến số Gọi x1, x2, x3 lần lượt số gram thức ăn A,

B, C cần mua  xj ≥ (j=1 3)

2) Xác định ràng buộc:

Lượng chất dinh dưỡng có tồn phần thức ăn cần mua:

- Proteit: 0.1 x1 + 0.2 x2 + 0.3 x3 tối thiểu 90 gr

- Gluxit: 0.3 x1 + 0.4 x2 + 0.2 x3 tối thiểu 130 gr

- Khoáng: 0.02 x1 + 0.01 x2 + 0.03 x3 tối thiểu 10 gr

3) Xác định hàm mục tiêu: Tổng chi phí cho phần thức ăn ngày là: 3 x1 + 4 x2 + 5 x3 (đồng)

 

 

1

1

2

3

3

0.1 0.2 0.3 90 0.3 0.4 0.2 130 0.02 0.01 0.03 10

j

f x x x

g x x x

g x x x

g x x x

x j

   

   

   

   

 

x

Vấn đề dẫn đến toán QHTT

Tại sân bay Tân Sân Nhất có nhu cầu vận chuyển 1200 hành khách 120 hàng máy bay Giả sử có loại máy bay sử dụng với khả vận chuyển loại sau:

- Máy bay loại A: Mỗi máy bay chở 150 hành khách 20 hàng với chi phí 240 triệu đồng

- Máy bay loại B: Mỗi máy bay chở 180 hành khách 16 hàng với chi phí 220 triệu đồng

1) Xác định biến số Gọi xj, (j=A, B) lần lượt số lượng máy bay

loại j cần sử dụng  xj ≥ (j=A, B), xj ϵ N (j=A, B)

2) Xác định hàm mục tiêu:

Tổng chi phí vận chuyển là: 240 xA+ 220 xB(triệu đồng)

3) Xác định ràng buộc:

- Tổng cộng 1200 hành khách cần phải chở: g1 = 150 xA+ 180 xB= 1200

- Tổng cộng 120 hàng cần phải chở: g2 = 20 xA+ 16 xB= 120

 

 

1

240 220 150 180 1200

20 16 120

0, ,

A B A B

A B j j

f x x

g x x

g x x

x x j A B

  

  

  

  

x

N

Tìm x  x x1, 2, , xn  sao cho:    

1

min max

n

j j j

f c x



  

x

Với điều kiện:

   

     

1

1 2

1

0 ; ;

n

ij j i j

j j

a x b i m

x j n x j n n n n



 

  



 



        

 

(1) hàm mục tiêu

(2) Có m phương trình/bất phương trình ràng buộc

(3) Ràng buộc dấu (đối với ẩn số)

Các dạng tốn QHTT

Tìm x   x x1, 2, , xn  sao cho:    

1

min max

n

j j j

f c x



  

x

Với điều kiện:

   

   

1

1

0

n

ij j i j

j

a x b i m

x j n



  

 

  

 

1 1 n n

ij j n i j

ij j i j

n

a x x b a x b

x                

• Nếu ràng buộc có dạng ≥ thì trừ ẩn phụ khơng âm

 Khi hệ số ẩn phụ xn+1 hàm mục tiêu = 0

• Nếu biến xj ≤ thay

bằng: 0

j j j j x x x x          • Nếu biến xj khơng có ràng

buộc dấu thay bằng hiệu biến không âm

0

j j j

j j

j

x x x x x x               1 1 n

ij j n i j

ij j i j

n

a x x b a x b

x               