Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Hãy lập mô hình bài toán tìm số lượng mỗi loại bánh cần sản xuất sao cho không bị động về nguyên liệu mà lãi đạt được cao nhất.... Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong[r]

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

HAI BIẾN + …

VÍ DỤ 1

Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau:

VÍ DỤ 1

Gọi x1,x2,x3 lần lượt số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất.

Điều kiện: xj ≥ = 1,2,3

Tiền lãi thu (ngàn đồng)

Lượng đường sử dụng điều kiện: Lượng đậu sử dụng điều kiện:

   1, 2,  3 2 2,5

f x  f x x x  x  x  x

1

0,04x  0, 06x  0, 05x  500

1

VÍ DỤ 1

Vậy ta có mơ hình tốn:

Đây tốn quy hoạch tuyến tính biến, tìm giá trị lớn hàm mục tiêu

   

 

1 3

1

1

, , 3 2 2,5 max

0,04 0, 06 0, 05 500

0,07 0,02 300

0 1, 2,3 j

f x f x x x x x x

x x x

x x

x j

    

   



 

 

 

VÍ DỤ 2

Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại cho bảng sau:

VÍ DỤ 3

Một sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm

bàn, ghế tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất giá bán sản phẩm loại ước tính bảng sau:

Hãy lập mơ hình tốn học tốn xác định số sản phẩm loại cần phải sản xuất cho không bị động sản xuất

VÍ DỤ 4

Một trại cưa khúc gỗ thành ván Có hai loại ván: ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng Giả sử, đối với:

Ván thành phẩm cần để cưa để bào 10m ván

Ván xây dựng cần để cưa để bào 10m ván Máy cưa làm việc tối đa ngày máy bào làm việc tối đa 15 ngày Nếu lợi nhuận 10m ván thành phẩm 120 (ngàn đồng) lợi nhuận 10m ván xây dựng 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải

BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT

(1) Hàm f(x) gọi hàm mục tiêu (2) hệ ràng buộc

(3) hệ ràng buộc dấu

(2) Và (3) gọi chung hệ ràng buộc toán

   

   

 

1 2

1 2

1

2 1, 2, ,

0

3 1, 2, ,

min (max)

n n

i i in n i

j

f x c x c x c x

a x a x a x b i m

x j n

DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT

Xét toán QHTT dạng:

  1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

(max) n n n n n n

m m mn n m

j

f x c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b

DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT

Đặt:

Ta có dạng ma trận tốn QHTT:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 n n

m n n

m m mn

a a a b x c

a a a b x c

A b x c

b x c

a a a

                                                        max T

BÀI TỐN DẠNG CHÍNH TẮC:   n j j j n ij j j j

f x c x min (max)

a x b (i 1,m)

x 0 (j 1,n)

i               

Mọi tốn quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài

tốn dạng tắc tương đương theo nghĩa trị tối ưu

của hàm mục tiêu hai toán trùng từ

phương án tối ưu của toán suy phương án tối

ưu của tốn kia

• Các ràng buộc

chính đều là

phương trình

• Các ẩn đều

BÀI TOÁN DẠNG CHUẨN TẮC

1

1 0

0

0

m

e e e

                                         n j j j n ij j j j

f x c x min (max)

a x b (i 1,m) x 0 (j 1,n)

i               

• Các hệ số tự do bi

không âm (bi ≥ 0)

• Trong ma trận hệ số

có đủ m vecto cột

VÍ DỤ 5

Bài tốn sau có dạng tắc:

1

1

1

1

1

260 120 600 max

2 3 500

100 40 250 40000

6

, , 0

x x x

x x x

x x x

x x x x x

  

  

 

  

 

 

 

VÍ DỤ 6

Xét tốn QHTT sau:

Bài tốn có dạng tắc hay chuẩn tắc

 

 

1 4

1

2 4 6 max

12

12 3

6 0 1, 2, , 6

j

f x x x x x

x x x

x x x

x x x x

x j

    

   



   



   



  

VÍ DỤ 6

Ma trận hệ số tự do:

12 3 6 b

          

• Ma trận hệ số A:

1 0 0 1 1 0 12 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0

A

 

 

  

   

 

1

e e2

3

e

• Ẩn cơ bản thứ nhất x5.

• Ẩn cơ bản thứ 2 x6.

CÁC LOẠI PHƯƠNG ÁN

Định nghĩa Vec tơ ∈ thỏa tất ràng buộc tốn quy hoạch tuyến tính gọi phương án chấp nhận

Định nghĩa Phương án chấp nhận làm cho hàm

VÍ DỤ 7

Cho tốn QHTT:

Trong phương án sau phương án phương án chấp nhận

 

1 2

1

120 100 max

2 3 8

5 3 15

0, 0

f x x x

x x

x x

x x

  

 

 

 



  



1

1 2 1 2

2 2 3 1

u     u     u     u    

PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN

Trong tốn tắc Xét phương án

Hệ vectơ liên kết với phương án

Trong Aj vec tơ cột thứ j ma trận hệ số Amn

Định nghĩa Phương án hệ vecto liên kết với phương án độc lập tuyến tính

Ẩn xj gọi >

 1, 2, , n 

x  x x x

 j | j 0

PACB TRONG BÀI TOÁN CHUẨN TẮC

Cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k, ẩn không 0, nghĩa là:

Ta phương án x = (0,6,0,0,12,3)

Phương án khơng suy biến có đủ thành phần dương Đây phương án ban đầu toán

Tổng quát, tốn QHTT dạng chuẩn bất kì, cho ẩn thứ k hệ số tự thứ k ( k = 1,2,…,m ), cịn ẩn khơng 0, ta phương án ban đầu toán Nếu xếp lại ta có dạng sau

1 0; 6; 0; 0; 12; 3

x  x  x  x  x  x 

 

0

1, , ,2 m, 0,0, , 0

ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Bước Kiểm tra ràng buộc chính

1 2

i i in n i

a x  a x   a x  b

• Ràng buộc dạng nhỏ hơn:

•

• Ta cộng thêm ẩn phụ:

• Ràng buộc dạng lớn hơn:

• Ta trừ đi ẩn phụ:

1 2

i i in n n k i

a x  a x   a x  x   b

1 2

i i in n i

a x  a x   a x  b

1 2

i i in n n k i