Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 48-2-0317-0334

: : ;w ww bi olo gie ze ntr um at 317 BEITRAG ylib rar y.o rg/ ZUK ww bi od ive rsi t AUSMITTLUNG DES WERTHES BESTIMMTER INTEGRALE htt p:/ /w VON Lib rar y REINHARD MILDNER, DER SITZUNG AM JANNER 1S84 Folgendem Werthe der nachstehenden Integrale die ermittelt werden e, sollen in J= rid g Es MA ); O rig ina lD ow nlo ad fro m IN Th e VORGELEGT Bio div ers ity He rita ge RKALSCHL'LPROFESSOR arc cotg x^ sin (lg x') dx y( Ca mb I tiv eZ arc cotg I cos (lg x') dx f^ ara = J' oo log und: of Co mp ^ Durch Einführung einer neuen Veränderlichen =z gehen die zwei Integrale über in: Mu se u m lg./; /"4-00 = j J = j e' arc cotg "b e^-sin hzdz ' ibr ary of the J /M-oo e' arc cotg e^~ cos bzdz ^ -oo J lässt sich in eine rd erste Integral Summe von zwei Integralen zerlegen, nämlich the Ha rva Das Un ive rsi ty, Er ns tM ay rL und: ^ wenn man nimmt J^ (f arc cotg e^-sinhzdz-hj — OO die aufeinanderfolgenden Integrale mit J^ die e' arc cotg e^' sin bzdz = J^-hJ^ ' Dig itis ed by J=i und J^ bezeichnet Wird in J, — ? statt z gesetzt, Form an - I e arc cotge~'^-' sin bzdz =— I f— arctge" j "^ ' /OO e~- sin /^oo bzdz -hl e~' arc tge'-" sin bz dz e— ' sin bzdz so : Reinhard Mildner 318 und da: /CO sin izdz ' arccotge im Integrale J^ durcli avctge ' ersetzt, der Ausdruck: —— 2(1+^') e'a,Yetge~-'' siabzdz-{- '- -t- \ J, J„ hier in beiden Integralen arctge -" in eine Reihe entwickelt, so hat e-arctge 'sinfo(70= — e-^^= -h (e— ' I -^ e-^' — man: )smbz(h ww bi od ive rsi t *^ Formel die einzelnen Glieder dieser Reihe nach der bekannten htt p:/ /w Werden B) e-'arctge—-' sinbzdz j ylib rar y.o rg/ Wird /^oo /-CO , J= at wenn man zuvor J, ;w ww bi olo gie ze ntr um so folgt für = ge Lib rar y e~"sinhxdx I rita das obige Integral durch die unendliche Reihe bestimmt: He ist ity berechnet, so div ers = i[3^-A._I_ + l_^^ .] Bio r. arctge-^'sin6^cZ ina ^ MA ); O rig J 3(.7^+/,^j der Werth 5(lP+6^; ~ ^ 7(15^+6'0 ••]• 3«^-i^ 1 5(ll^^-i^j 7(15^-4-«>^) y( Ca T~~2' l^b^ ^ '^' •d[l''^b^) "^ ' ' ' ^^ ara tiv eZ oo log J ^ mb rid g Dies beachtend, folgt für lD = b[^-^- e-^ ^r^iSe-^ 'üubzdz e, r°° j ow nlo ad Resultate: fro m Th e 111 1111 Auf demselben Wege gelangt man zu dem 5(9»+6^) 3(5^-)-6^) (Ib^-i-i^j m of Co mp 1^-t-i^ Mu se u Die Glieder dieser zwei Reihen haben die allgemeine Form: of the tM also in Partialbrüche zerlegt Er ns und können ay rL ibr ary x[{2x±lf'^b^\ werden: a-[(2a;-)-l)^-f-6^J 1+i' r 2^+1 ive L2^ (2a;-Hl)^-t-6"'' Un a;[(2a;-l)^-^6^] 1+^*' rd ßX l_ 2x—\ ^ '^'^ (2x-Hlj^-)-iM r ed by the Ha rva ] rsi ty, Dig itis Dies berücksichtigend geht die Gleichung a) durch Multiplication mit 11 L fl 1 9*-)-i' —-2— über in — : : : : 319 Beitrag zur Ausmittlung des Wertlies bestimmter Integrale oder, wenn man beachtet: ^_1_ "^ J^ 1_ jr "^ 14 10 so ist: l-t-6' _r_l 1 1 r 1 stehende Weise bewerkstelligt werden Es cos X = (^? °) 2x cos 92—12" "^ cos — TTTTä" V-^b'' 22-h6* 3a; S^'h-ö^ ;w ww bi olo gie ze ntr um cos -ix k 4^-1-62 26^ 26 e'^'-i-e"'^ e*'^ e-ô cos cos j: man so hat ersetzt, cos 2a; cos 3a; 4a; 3^-1-62 2^-+-h^ Summe cos 6^+6^ 2x cos Ga; Th e cos 4a; 42-^6^ 4/ b^ , a^+_ cos cos 4a; m cos 2x 2^-4-6^ Bio der geraden Glieder fro ferner die ad ist ', h^ 2^+^ 6a; ' b^ 3^^ ina lD ow nlo Es div ers ity l^-t-i« für die Reihe mit lauter positiven Gliedern: rar y x ;; Lib durch ge a; rita hier He Wird htt p:/ /w ? den eckigen Klammern, und diese kann auf nach- in bekauutermassen ist ylib rar y.o rg/ Auswerthung der Reihen die 11 ww bi od ive rsi t um nun sich [- Es handelt , at J 26 rid g e, MA ); O rig = -^?(— 2^,|-)- 5^h-62 32h-6« log 5a; / c, \ , , Co mp ara 12^_i2 cos 3a; oo cos ^ geben , tiv eZ cosa; y( Ca mb Die zwei letzten Gleichungen durch Subtraction vereinigt _ e - ' — e se u m of ?r I /i ibr Differentiation der letzten Gleichung nach x erhält man alsogleich Er ns tM ay rL und durch ary of the Mu ^ sin sin 5a; 3a; ư^-t-ư^ ' -