Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 95-0391-0460

Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at ÜBER DIE GRUNDLAGEN DER STATISTISCHEN MECHANIK VON ARTHUR SZARVASSI MIT VORGELEGT Es leidet TEXTFIGUREN DER SITZUNG AM IN MÄRZ 1918 daß gegenwärtig molekulartheoretische Untersuchungen einer sicheren keinen Zweifel, Grundlage entbehren Der Satz von der gleichen Verteilung der Energie auf die Freiheitsgrade den die statistische Mechanik gefordert partition of energy), scheint hat, gesetzt Stelle Forscher Wurzel seine wird, enthält, bestrickend so dem Umstände in hat, großen ihre Grundannahme Überdies allzukühne beseitigt Erfolge ihn verwerfen, nicht ohne mögen, doch eine Grundlagen der Wäre das erstere der muß; denn hat die mir, daß ein Schon den sie Fehler, ist gelangt, welche man die dem Abzählen im aus als ist: dem Aber zu die stetigen Man und Dinge als mißlungen gelten, hat, als logisch greifen bedient mathematisches ihr statistische die Veränderungen dta setzt the Bedeutung — dxdydz 65, integriert, die Zahl average 713 Denkschriften der mathem.-naturw, Klasse, einer stetig über ist Band, kinetische Lage der gegenwärtige schwierige die prinzipieller On Boltzmann's Theorem on p gleichartiger erst in er Grundlegung der Disziplin ansehen kann Yolumelemente ansieht Dies aber heißt: II, so dürften Fall, Hilfs- Mechanik mehr und durch eine gewisse Supposition das Problem auf ein Gebiet hinüber- f(x,y,z)doi dargestellt wird und daß man vol den Grund- wenn er Aussicht auf Erfolg haben soll, tief Methode, deren sich die statistische Mechanik MaxweH's und Boltzmann's die klassischen Schriften daß der liegt in sich mit welches ihm wesensfremd herausgewachsen darin, Klärungsversuch ganzen Zahlen Auf diese einfache Wahrheit hat methodischen muß Systeme, welche zu seinen Voraussetzungen gehört Wurzel des Übels mehr vergessen Vielmehr hat geleitet, welches ist Die Statistik befaßt mittel sind die viele für welche auch jene der Mechanik, statistischen Quantentheorie sind, zugleich aufzugeben Der bisherige Beweis des Satzes Es scheint Anwendungen diesen Fällen an dessen daß wir nicht wissen, ob der Aquipartitionssatz aus die seitdem die Existenz ergodischer unmöglich erwiesen in das logische Unbehagen nicht, sie lagen der statistischen Mechanik denknotwendig folgt oder nicht wir sein wichtigen in auf Widerspruch mit der Erfahrung zu stoßen Die Quantenhypothese, die (equi- enthaltene indem man Gastheorie statistischen der großen Arbeit Er besteht ausgedehnten Menge rein Zahl von Molekülen stetige in of energy in a der Funktion von der Moleküle weder endlich noch distribution MaxweH's formal gesprochen /" als enthalten Mechanik 9ystem of matorial points; Form x, v : abzählbar Soient, papers, Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at N zat begangenen Vernachlässigung ,1er Berechnungen den in kinetischen der unehmen, unendlt unendh unschuldig als - müßige nicht eine \rt Subtilität »rliegende dahei versưhnen und auch weil sich nicht, D wenn man bedenkt, daß eine Bedenken ein es ein Irrtum an die Existenz ergodischer Gassysteme bescheidenen Versuch einen als zu miteinander es ist jedem Volumelement in zugleich ich ansehen, kann will, Mechanik statistische der letzteren von das Unsterbliche metho- die Wenn man der Planck'schen Quantentheorie Wesen entliche der Ansatz geübte Ge- nicht abbilden läßt erkennt man, ist, sich Vermeidung dieses Fehlers erblicke prinzipiellen Arbeit er Menge Maxwell und Boltzmann mlicher Art war, welcher Bedeutung und aber dargestellt: Zahl von Einzeldingen auf eine stetige jedem bei sichtbaren Schaden auch noch Moleküle nicht nur im ganzen, sondern pflogen* uru ohne einer komi- nicht Offenbar hatte abschätzt Gastheorie und naheliegend wenn man gefährlich wird die Unterschiebung, schen So Punktmenge jene diskreten einer endlichen Dichte man de- Continuums Mächtigkeit die ihr gibt unc r a sterb- ihrer lichen Hülle Im und len handelt üblich Systemen deelle Dingen -inen Bewegung immer I Luftben gelingt es, ohne ahlungs unter Zugn an sich Annahme zu der einfachen der allgemeinen st Planck i wichtigste in Mechanik nehmen, wenn ich Mechanik Frucht ich einordnet daß mir dies Ergebnissen: Voraussetzung wird so abgeleitet; ein Wärme den von dem fester Körper von einem nachfolgenden Überlegungen der einem neuen glaube dem Ich um nicht bloß interessanteste und, in auf Weise gelungen der Energie spezifischen die vielleicht lantentheorie jetzt indem hoffe, Einstein'schen der Anwendung schaffen: gewonnenen einigen aber keinen Widerder zufriedenstellender in Temperaturabhängigkeit ndpunkt aus betrachtet, philosopl sonst Integrale auf- besteht, quantenhafter Emission mit der Krfahrung stimmt Aber als d wo zum Zwecke der statistischen die ing für die zu linden, es nötig, resamtheiten handelt, zeigt Sl - schlichtem Abzählen mit die statistischen Gesetze der Gesamtheit idenhypothese d Planck war Natürlich I » bei der hier versuchten mehr in im besonderen physikalischen rleichverteilungssatz der Energien wirklich thermische > von hat es also dies als besonderen Fällen durch Integrale approximiert werden; durch ihre mehr mit der Krfahrung aulv ich man Dementsprechend erscheinen, tun.'-' nur illustriert Nunmet] durch zu welche eil I der Verteilung Statistik die ihrem Phasenraume; in Summen, bloß d und um sich Meng> endlichen einer Mechanik anders aufzubauen, der Versuch gemacht, die statistische seinem Wirkungselement Lichte erscheint, glücklichen Funde eine ganz andere tut Untersuchungen • im zweiten Teil In die im eisten ist rem formal und ohne physikalischen ssen; vlieser Teil bei dritte gibt einige stellt Inhalt; a Anwendungen lue nden, ein energetisch abgeschlotu en bei konsl • • Wesentliche mgen an diesem der Mechanik Jei Physi sieh eigentlich auf die Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at statistischen Mechanik Grundlagen der 393 Teil I i Es ein Kollektivgegenstand sei von N Punkten gegeben, welche Fläche begrenzten Teil des Raumes irgendwie angeordnet sind man nur ein Koordinatensystem zu anzugeben Man wünscht dies aber nicht zu brauchte zum tun, die Man nimmt sich also den Anordnung zu beschreiben, Koordinaten weil Beispiel durch bloòes Abzọhlen die ằDichteô, mit der die Punkte an verteilt sind, rinden diese drei Methode jede Übersicht verloren ginge; sondern man dieser bei und legen einem von einer geschlossenen in Um die Zahl groß so daß ist, vorgehen, d h den verschiedenen Stellen des Raumes dieselben ist, N »statistisch« will Grenzfall zum Muster, wenn jedem noch so kleinen Raumteil unendlich groß eines jeden Punktes also die Zahl der überall dicht Punkte in und man liegen wirklich exakt von einer »Verteilungsdichte« an jeder Raumstelle sprechen kann In unserem Falle läßt sich diese Methode nur einer in Weise anwenden: man gegebenen begrenzten Raum den teilt irgendeine Zahl n gleicher »Zellen« und gibt an, wie viele Punkte in jeder Zelle liegen Die dieser Zahlen gibt uns ein Bild von der Verteilung der Punkte mit einer Genauigkeit, der Zahl der Zellen und jener der Punkte abhängt Ein ähnlicher Vorgang man jeder statistischen Zusammenstellung ein So ordnet die Falle »Raum« der ist verteilen sind die und ằElementeô lọòt, man gibt die sind es nun nur auf welches Element gerade die Zahl der besteht + also von Rekruten Wir wollen ist leicht Die Zahl in »Punkte« zu als Zukunft die zu berechnen n— der Zahl Punkte numeriert denken der Elemente, können, jeder Zelle, hingegen nicht darauf in vor- ankommt so kann die betrachtete Verteilung in vielen dieser der Angabe in bis Elemente einer bestimmten Zelle liegt, in Arten hergestellt werden dieselbe Verteilung ergeben, sich in der X die der Verteilung nennen Da verschiedenen jedes Intervall hineinfallen In diesem welchem ằZellenô haben die Grửòe eines Zentimeters den einzelnen Zellen, die wir uns etwa in handen ganz von die ja bei der Herstellung man das Argument etwa nach ganzen in der eindimensionale der Körperlänge, in Die Angabe einer bestimmten Verteilung welche Rekruten an, wieviel Angabe B bei der Herstellung einer Rekrutentafel z Rekruten nach dem Argument der Körperlänge und, indem Zentimetern fortschreiten tritt in Anordnungen von Elementen, welche Nennt man x\ die Zahl der Elemente, alle welche ten Zelle befinden, so beträgt die gesuchte Zahl Nl Es ist klar, daß bei der Untersuchung einer großen häufiger vorfinden wird, welcher eine der Elemente entspricht d h Die Zahl für die Häufigkeit ihres grưßere Zahl z ist also ein z von M Zahl dieser die für von Verteilungen Verteilung günstigen »Wahrscheinlichkeit« Vorkommens Wir wollen den Ausdruck für z in eine solche sich Anordnungen einer Verteilung, bekannter Weise mittels der Stirling'schen Formel lim r! = \J'l%r ' umwandeln, um den S z B e Teil des Ausdrucks, der bei konstanten N, Boltzmunn, Vorlesungen über Gastheorie, I § u die Verteilung bestimmt, zu weiterer Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at •wcndung Zu diesem Zwecke sei nunmehr vorausgesetzt, dẵ jede- \, also für den angestrebten Genauigkeitsgrad art, dau man lälen h< V eine lurchy -~ neben unier die SU v , (fL vernachlässigt werden kann, x, durcl zt £ und i ' durch ' Es wird dann A =A 1-1 'l / st ,: natürlich i Kuh' n \, die Verhältniszahl ; ein, « dẵ und W IV, Ig IV, bildung \._ , zugehörte für jede Verteilung = »-i \ rx E )v =E x=o oder V N X K> ist ein Mittelwert aller muß Ex=E II) = Funktionswerte H, angegeben dieser definiert wird, keiten dieser Definition folgt später (siehe § natürlich n> x welche in der Zelle vorkommen In welcher Weise werden; eine Erörterung über verschiedene Mưglich- 4) Es ist aber klar, d diese Formulierung zur Voraussetzung hat, daß man wirklich mit demselben Grad von Genauigkeit, welcher der ganzen statistischen Berechnungsweise innewohnt, die verschiedenen Funktionswerte innerhalb einer Zelle durch kann, daß also in einen einzigen Mittelwert der Zelle nicht Punkte mit allzu verschiedenen Funktionswerten K> ersel vorkommen; dies Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at S en, N von mưglichen Verteilungen die unter der Bedingung, d B Massenpunkte :.: ;,)- II W welcher In I nun die unserem in 3t Kreisfläche in der Zelleneinteilung klar m Massenpunkten der gleichen Masse gehenden Achse ;,/,;; Falle die inner- dasselbe Trägheitmoment jede Verteilung T bezüglich einer durch den Mittelpunkt normal zur Ebene linaten eines der Konstruktion in zunächst an einem einfachen Beispiele nme der Freiheit ränkung aentlich« aber bodeutel va sst, / aufweise Sind also Funktion zu Zellen teilen, damit Bedingung die der in lli H körn ,„ Massenpunkte diesem Zelle deren bedeutet, dieser Forderung Trägheitsmomente Die einzig alle sicherlich vom Werte mögliche Zelleneinteilung konzentrischer Kreise, und werden autgestellt zwar deshalb, nicht kleinstist viel- weil sich Vermehrung der Zellen zahl und Zahl der Masseneiner Zelle einer bestimmten Grenze nähern Trägheitsmoment 7", eben kein anderes, momentes der Kreisfläche mit Man ,c " l breitender i punk tc das mittlere 'hlem ist würde bein zu '/.-+- entspräche Kreissektoren in vereinigt waren, die in flichengleiche Kreisringe vermittelst in / / zum grưßtmưglichen autweisen würden glichen bis nur Einteilung inte mehr — eitsmoment eines Punktes der mittlet in jeder Zelle V \ als das bei der gewöhnlichen Berechnung des Trägheits- bestimmten Integrals auftretende, die geeigneten Integrations- H'lfe eines finden allgemein eine Zelleneinteilung, welche die Aufstellung dl ermöglicht, nur erreicht wird durch Konstruktion der Hyperflächenschar erkennt sogleich, •ingung II) dafl ii eile : : f konst wird begrenzt durch zwei benachbarte Flächen Ettdung ; •ührten Beispiel Itrisch die dieser Schar, einlacher Fall liegt vor - b Berandung des Raumes Fläche der Schar selbst eine noch eventuell wenn — wie in durch dem eben ist Wir stellen uns nui iblem, jene Verteilung der einlichst« beiden I F.s ng I) lie wir im wird die besteht Bei Elemente zu linden, welche am häufigsten Lösung dieses Problems müssen wir jedoch hen unterschieden haben, gesondert behandeln \ Verteilung Das vier heifit, gesucht, für man suche \ welch jene Zahlen w, ir, Ig V ii , , Maximum n für ist wenn gleichzeitig welche - Minimum = i folgenden zwei Gleichungen für die Variationen mg: Tbl dji urica! die »r, Ihtor? of «ose» die 1 1 Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at statistischen Mechanik Grundlagen der Diese beiden Gleichungen werden man die zweite mit eine einzige in zusammengezogen, indem einem noch unbestimmten Faktor % multipliziert und zur ersten addiert: x = «— V x Aus bekannter Weise in 397 welche dieser Gleichung, w + (lg + x) x n>\ = =o Werte der hwx bestehen für beliebige lgw x +l+x = = (X oder w — e~ x < 0, 1, soll, mit Notwendigkeit folgt n— 1) 1+x ), also konstant Der Wert der Konstanten aus folgt nämlich I), — wx — • 1)' n sind Man Das wenn finde die häufigste Verteilung, gleichzeitig X wx Wx lg und II) zu erfüllen > V = Minimum = X = »— X Wx = N , = «— WxEx= 'Y X= die 8w>, 1) = n—X \ Für Bedingungen die Wx zu bestimmen aus es sind die heißt, E X = gibt dies die drei Gleichungen X = m— V x X Wx + (lg 1) Wx = = «— 0, =o x und wenn man die zweite und zur ersten addiert, erhält und X=h— V wx = y 0, =o x E>, wx = 0; =o mit den unbestimmten Konstanten dritte respektive %, multipliziert \i man \=n— y x wx (lg + +x+ |x E>.) w = 0, x =o das heißt lg Führt ein, man Wx+ +x+ (xE) = also die Konstante so wird wx — a e~^i Die noch unbekannten Konstanten a, (X = 0, 1, sind aus (jl x I) und n— 1) II), 2) das heißt aus den beiden Gleichungen = II— l V a x e-^y — 3) =o X=M-1 V Na X zu bestimmen Aus diesen Gleichungen die Funktion II (£,, $., $,-) oder, sind E x e-' lK x=E h =n nun was dasselbe freilich ist, F>, a und als \i nicht Funktion explizit des darzustellen, Index \ nicht wenn spe/.iell Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Lösung die allgemeinen im bem< zu noch 2) nicht die Bedingung Min im Sinne der statistischen Natur des Problems len len II nunmehr auf Werte- Nnn anze Zahl substituiert zu denken di Problem näher eingehen, indem wir die Gestalt der Funktion d quadratische Form definite positiv ,-ine der Veränderlichen j lieh len • : ii die Konstanten + + IIa) den betrachteten Raumteil umschließende Fläche har ii un> : »nst : he ! peziell ! - +.; Nun je Wir zu wählen volumgleiche Räume, zwei aufeinander folgenden Hyperellipsoidflächen + +C liegen als Zellen sind nach den Auseinandersetzungen des § hen üb) 2Cn der n lei Fläche £= konst eingeschlossenen IIb) Raum in u schalenförmige Teile, indem wir die u-\ Hyperflächen h +cf en und haben nun dingung die ufeinanderfolgendcn Flächen iale welche I in Schar der 1,2 «-1) > ( berechnen ">) wir zu unterwerfen, daß liegenden Ellipsoidschalen als Differenz der \'olumina alle zwischen dasselbe der irgend Volum habenn beiden Ellipsoide, den Flächen und timmung des Rauminhaltes des ersten Hllipsoids haben wir das Inte ffi zu ' intes Dirichl ' und hat den Wert ! I \ ngeschlossenen Raumes r(n , ; -fache Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Grundlagen der statistischen Mechanik 39Ö Volum Die von den beiden Flächen eingeschlossene hyperellipsoidische Schale hat also das * (9 tcYI = a,_, Y „, 1+ r C Cr)7J(,.!"'»" 2/r = 10) =o >,= Siehe §§ 20, 22, auch für aus den Gleichungen bestimmen: a i nunmehr _j!_ I *x "x t wird Da nämlich im ersten Falle Bund 81 Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at r SUteten Potenzreihe die fünfte durch PunkU So erhalt 72 •• man — v v \ i Daher haben wir ist V **> < , v v -fl erhält + ' I I Demnach v i ") ^ < ,= x man den für Fall • I #!_*• A + - ) ,'+- 36c) Coo erkennt, turen den daü in insümmung ii i i den beiden letzten Fällen %b) und Sc) die mit der Erfahrung mit der Temperatur die nunmehr Temperaturen abgeleitet Untersuchung Zu diesem für wächst Eine Entscheidung zwischen ''bei niedriger großen I v v / ' I Y Y >_ — man hohe Tempera« aulfcr V Temperaturen Werten von i, besser also eignet niedrigen Zweck wollen wir zunächst den Zähler de- Bruches auf V V \ ,-hs d Näherungsausdruck ein umformen • für kann nur durch genaueren Vergleich mit erfahrungsmäßigen Daten gefunden werden, su welchem Zw V Atomwärme — V Y der 1 11 i 1 1 Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at statistischen Mechanik Grundlagen der C so haben wir für Formel die =«— (!=«— x V vh x C=kNx* —x \9 / L= L (ax+«a) ,1=0 = n— = 11— X p —# z= z= X wobei («X+ a (A) jjl wenn wir abkürzungsweise einen der beiden Werte SbJ oder 8: durch %b) i 3, • und da 7Hi a^ = 1-817 usw hier \ / + I < : I h (0-702* i + Im andern + .] + \ » = > \ • • \ \ • > | > Fall + + + ;_+ Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at statistischen Mechanik Grundlagen der Nun 451 ist oti = 1-130, = Oa a3 -351, = a4 -515, = a5 649, = • 764 usw Demnach haben wir — =((0-630^) + (1 • e-°' 630 264 xf e~ r2ei x v - + (0-851 + ] + xfe~ ü ^Ax — (— + 0\b xf e~ rmr > (1 260 xf g- 260 + (1 " (1 • —f(l 702 xf • c-i-ww * + * ] + ( • + x x) 481 — (1 (1 • 149 x)* e~ ru* * + e' ri^ '* 890 xf 645 xf e~ v9U (1 -"w * + e + x -+- 24 Zu einem Vergleich der Formeln 2>§b) und 36 c), also des Bereichs hoher Temperaturen, mit der Erfahrung und zu einer Entscheidung zwischen beiden das vorliegende empirische ist aus Material zwei Gründen nicht geeignet Erstlich erkennt man aus der Ableitung der genannten Formeln, daß Gültigkeitsbereich Zehnteln Nähe reicht beschränkt Hieraus auf einen Wertebereich von ist daß folgt, man verfolgen unmittelbarer in kann Hiefür Die wenigen, welche vorhanden sind, ihr zu einigen wenigen den Verlauf von derselben mit Hilfe der Einheit bis zu wenigen Hunderteln Unterschied experimentellen Daten beinahe vollständig der von Null bis x, mangeln aber die nun noch aus sind einem andern Grunde für den vorliegenden Zweck kaum brauchbar Nach dem Debye'schen Satz Temperaturen Z, und T2 aus deren Verhältnis , bei C ist von der Materialkonstanten turen, bei denen zwei Stoffe denselben besitzen, der beiden Stoffe Wert von Q man Vergleicht C welchen zwei Stoffe denselben Wert von dasjenige für die beiden Stoffe — (M) eine universelle Funktion @ x und so also die erhält man Die Tempera- aufweisen, müssen also in einem konstanten Verhältnisse stehen Dieser Satz gestattet eine scharfe Prüfung der Güte des Beobachtungsmaterials; freilich müssen zu diesem Zwecke die Atomwärmen zweier Stoffe ihre Werte ganz oder nahezu Debye — einigen so d Interpolation mưglich hat für einige Stoffe aus den Beobachtungen Aus diesen Daten lassen gerechnet an sich einige die entsprechend die Werte von 331°, 358° —C t/oo 0-266, 0-308 0-354 Andererseits wurde bei Silber und ') c § ist — —= bei T=:35-0 o bei 7=39-1° -— =0-319 0-266 Punkten gemessen sein, daß 5.955 cal übereinstimmen Werte von Proben der angegebenen beim Diamant zu den Temperaturen 306°, solchen Q Art mit C«, anstellen = So gehưren Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at 266 zufällig exakt gleich bei Tbl,« = 308' und Co Ol Der = Wert zn bei g ' l, e 0319 zu^c peratur den Nachbarweiten man finden: • findet mit /'i„ am nicht genau beim Diamant Annäherung durch =0-319 erhält bei 7bum aus Interpolation = 336-5° Daher ist oo * da» zwar sich oo iperaturen hier i 3-6 1-1 mung Nehmer um: dem mit vorher gefundenen also sehr ist gut = 005° nun ein andere» Beispiel: Die Atomwärmen von Aluminium bei T A j, 589' sind nahezu gleich, nämlich 5-98, resp 5*99 Das Verhältnis dieser TAg er Silber bei = beiden Temperaturen i»t TAL Andrer- Atomwärme von die irme bei Aluminium durch Interpolation aus den der Bildet tindet man wieder 5*61, während sich derselbe Wert Silber Angaben 331° bei A bei r=433" hältnis, so erhält man Tai welcher Wert um 4*i" kleiner ist als der frühere Hier zeigt sich also das Debye'sche ('.esetz imwärm n der N in in» ! tantem daß , ^Übereinstimmung dürfte aber kaum dem Versagen des Gesetzes, vielmehr der nicht erfüli- dem in welchen; — nterschied der beiden darauf deutet nt; In der Tat ist ja derselbe experimentell gefundenen Werte der Atom- hnet, und es steht zu vermuten I diesem Temperaturbereich, chreiben »ein auch die Debye meint — spezitischen Wärmen schon wie auch Tatsache daü hin, - > Co herauskommt, (ierade in diesem Temperaturbei her in unmittell trei Nahe von = ' 1, müüten ''oo heranzuziehen wären int mir nig Sinn zu haben < Iten, unser mit nun Unter diesen n l dem dl rmeln berechnen wir Bereich tiefer rgleichen | dj« Klir\ e Temperaturen, Zum Zwecke der Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at statistischen Mechanik Grundlagen der für eine #= Anzahl von Argumentwerten (Tab I und Wie man Fig 2) 453 sieht, hat die Kurve bei ungefähr 2-0 ein Maximum Wir berechnen hierauf einige Glieder von 37 b), in dem wir für eine Reihe von ^-Werten die Grưßen 0-260x 0-442* etc ermitteln, und zu den so erhaltenen Werten als Argumenten die zugehörigen Funktionswerte (0-260 x) e-°' mx (0-442x) -° iiix , etc aus der Tabelle I aufsuchen Fig 05 0i± 03 \co 02 Ol 00 12 10 Tabelle y X o-o y Ajy.1031 X 3-0 o-ooo Ar 103 y 0-448 0-033 0-4 0-107 0-6 0-108 0-8 0-288 1-0 0-368 -2 0-434 1-4 0-483 T6 0-517 -8 l)-f>3G 2-0 0-541 2-2 0-536 2-4 0-523 2-6 0-502 3-2 0-417 3-4 0-386 3-6 354 3-8 0-323 4-0 0-293 4-2 0-265 4-4 0-238 4-6 0-213 4-8 0-190 5-0 0-168 5-2 0-149 5-4 0-132 5-6 0-116 0-078 0-068 6 0-059 0-052 0-045 0-039 0-033 5-8 ()• 9-6 0-006 9-8 0-005 10-0 0*005 10-2 0-004 10-4 0-003 1-1 0-9 0-8 0-7 0-6 0-6 10-6 • 003 10-8 ii- 002 n-o 0-002 11-2 0«002 11-4 o-ooi 11-6 0-001 11-8 (1-001 0-4 0-025 0-4 0-021 0-018 0-016 0-014 0-3 0'8 0-2 ) 8-8 12-7 0-007 102 9-4 1-4 14-1 25 0-009 ( • i 1 0-2 Ay.103 1-2 0-029 15-7 i 9-2 17-5 13 s i 19-2 o-oio 21 -2 9-0 23-1 18 0-477 25-0 33 V 8 26-9 49 X 10 28-5 65 28 11 29-9 80 2-8 0-089 31-1 90 20 Ar 10» y 31-7 90 X 31-6 74- 6—x 30-7 32- 0-2 r= x2 I 0-2 Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at N Kir Kurse- Kurve m II +(0442 ) 0-587 +(0- 142* III erkennt, daü ickt; die Endlage Maximum Annäherung das wachsender bei Maximums des x ist = 0,y.-3 vom Maximum und icrunn nur die Wert- recht in einiger belle II + (0-587 i V i 140 81-6 824 • 14-8 '.' • 'j 0-131 38 • o-iia 0*010 • 86 • tl i i i : Natürlich sind Entfernung von demselben brauchbar \ immer Jư /«- N der Kurve • i e 41-J Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Grundlagen zur statistischen Mechanik 455 Wir wollen uns mit der durch Kurve III dargestellten Annäherung begnügen und den kommenden Teil derselben auch tabellarisch (siehe Tab llj darstellen uns für in Betracht In derselben zu machen, nur Weise gehen wir mit 37 c) die letzte (dritte) y— zu zeichnen Tabelle III Näherungskurve (0-630^)'^- üe30 gibt begnügen uns vor, v - + um aber, die Figur nicht undeutlich der Figur unbezeichnet) (in (0-851 #)2-o-85i* + (l -015 tf)'^- 015 * ' den zur Berechnung der Atomwärme brauchbaren Teil derselben zahlen- mäßig wieder Die Prüfung der Formeln und 37^ 37 b) zwischen beiden nehmen wir an dem klassischen mit den beobachteten C=5'955) Formel benutzen, 37^ C, indem wir an der Fall des — ; Wir bilden die = (0-630 xf e -° imx + X und Werte von für ' für — (mit y verwenden können III X + (1 -015*) X y y 1-183 7-2 0-338 10-4 0-076 13-6 0-015 4-2 1-112 7-4 0-310 10-6 0-069 13-8 0-014 4-4 1-042 7-6 0-283 10-8 0-063 14-0 0-013 4-6 0-974 7-8 0-257 11-0 0-056 14-2 0-012 4-8 0-910 8-0 0-236 11-2 0-051 14-4 o-oio 5-0 0-847 8-2 0-217 11-4 0-045 14-6 0-009 5-2 0-779 8-4 0-197 11-6 0-041 14-8 0-008 5-4 0-725 8-6 0-178 11-8 0-038 15-0 0-007 5-6 0-667 8-8 0-163 12-0 0-035 15-2 0-006 5-8 0-618 9-0 0-148 12-2 0-031 15-4 0'006 6-0 0-567 9-2 0-134 12-4 0-027 l.VÜ 6-2 0-523 9-4 0-121 12-6 0-025 15-8 0-005 6-4 0-481 9-6 0-110 12-8 0-023 16-0 0-004 6-6 0-441 9-8 0-101 13-0 0-021 16-2 0-004 6-8 0-405 10-0 0-092 13-2 0-019 16-4 0-004 7-0 0-371 10-2 0-084 13-4 0-017 16-6 0-003 Diamant, in der Kolonne dritten die erhält e -ioi5* 4-0 in der ersten Aus x III (0-851 xf ß-o-85i* X y II • 005 jedem Falle durch Multiplikation mit der entsprechenden Temperatur T folgende Tabelle IV enthält Q Werte dabei begnügen wir uns bei beiden Formeln mit der Annäherung Tabelle in vor Entscheidung Debye'schen Arbeit angeführten Zahlen die in der durch die drei ersten Glieder, so daß wir die Tabellen man Diamants die und rechnen zu jedem solchen Werte einmal nach Formel 37 bj, dann nach das zugehörige x =z y und eventuell Erfahrung die Temperaturen, zugehörigen Werte in die Konstante (-> Die der zweiten die empirischen von i, wie sie durch lineare oo Interpolation aus Tabelle II und sechste Kolonne bringt folgen, in der vierten die die aus diesen entsprechenden Werte von Denkschriften der mathem.-naturw Klasse, 05 Band x, folgenden Werte von 8; die fünfte respektive H wie sie nach Formel 37 68 c) Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at Szarvii I ibelle " 'oo nn die betreffende Formel richtig '•• allen und achte Kolonne dieselben Grưßen nach der Bbente III irke di Nun konstant sein ist, Abweichung des Wertes \.>n man sieht zu- H vom Durchschnitt im IV Diamant ab ab II ''oo H nach III H V 1- iiiskin ( 1251 • 1515 1511 1551 i :"j:< 1217 14- 1V 0'30 n t X 025 y^" 020 X/ y *yT 015* //ts' 010 — 005 T 200 für die Formel 37 b) = 3321, für die 220 160 •:>/ Formel 37 c) 0= :>:io ;oo 1515, für die Formel von Die Resultate sind zugleich mit den beobachteten Werten in Fig I dargestellt Einstein ö= Man gewinnt 1187 hier den Digitised by the Harvard University, Download from The BHL http://www.biodiversitylibrary.org/; www.biologiezentrum.at der Formel 37 b) anschmiegen; die Einstein'sche Kurve zu hoc Icn zw ch die Versuchsreihe heranziehen, welche Beobachtungen -ine in P Günther' dem ihrem ganzen Verlauf VI eile en bei C' rr4° = 363° 8=463* 0-15 0-16 Ü• O'SI 0-31 1-21 (>: