1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 31 ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT Định nghĩa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b ⊂ ( P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ (P ) , d a d b ⊥ ⊥ Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng • a ⁄⁄b ⇒ (P ) ⊥ b ( P ) ⊥ a • a ≠ b ⇒ a ⁄⁄b a ⊥ ( P ), b ⊥ ( P ) • ( P ) ⁄⁄ (Q) ⇒ a ⊥ (Q) a ⊥ (P ) • ( P ) ≠ (Q) ⇒ ( P ) ⁄⁄(Q) ( P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a • a ⁄⁄ (P ) ⇒ b ⊥ a b ⊥ (P ) • a ⊄ (P ) ⇒ a ⁄⁄( P ) a ⊥ b,( P ) ⊥ b Định lí ba đường vng góc Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng ( ) • Nếu d ⊥ (P) d ,( P ) = 900 ( ) ,( P ) ) ≤ 900 Chú ý: 00 ≤ ( d • Nếu d ⊥ ( P ) d ,( P ) = ( d , d ' ) với d′ hình chiếu d (P) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b mặt phẳng P , a P Mệnh đề sau sai? A Nếu b P b // a B Nếu b // P b a C Nếu b // a b P D Nếu b a b // P Hướng dẫn giải: Chọn D Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng ∆ điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với ∆ cho trước? A B C D Vô số Hướng dẫn giải: Chọn D Qua điểm O dựng vơ số đường thẳng vng góc với ∆ , đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với ∆ Câu 3: Mệnh đề sau sai? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song D Một đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song Hướng dẫn giải: Chọn C Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng thứ ba song song ba đường thẳng đồng phẳng Câu 4: Khẳng định sau sai? A Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) d vng góc với hai đường thẳng (α ) B Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm (α ) d ⊥ (α ) C Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α ) d vng góc với đường thẳng nằm (α ) D Nếu d ⊥ (α ) đường thẳng a // (α ) d ⊥ a Hướng dẫn giải: Chọn B Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm (α ) d ⊥ (α ) hai đường thẳng cắt Câu 5: Trong không gian tập hợp điểm M cách hai điểm cố định A B A Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB C Mặt phẳng vng góc với AB A D Đường thẳng qua A vng góc với AB Hướng dẫn giải: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chọn A Theo định nghĩa mặt phẳng trung trực Câu 6: Trong không gian cho đường thẳng điểmO Qua O có đường thẳng vng góc với cho trước? A Vô số B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 7: Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước? A B Vô số C D Hướng dẫn giải: Theo tiên đề qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ Chọn đáp án A Câu 8: Trong không gian cho đường thẳng ∆ không nằm mp ( P ) , đường thẳng ∆ gọi vng góc với mp ( P ) nếu: A vng góc với hai đường thẳng phân biệt nằm mp ( P ) B vng góc với đường thẳng a mà a song song với mp ( P ) C vng góc với đường thẳng a nằm mp ( P ) D vng góc với đường thẳng nằm mp ( P ) Hướng dẫn giải: Đường thẳng ∆ gọi vng góc với mặt phẳng ( P ) ∆ vng góc với đường thẳng mặt phẳng ( P ) (ĐN đường thẳng vng góc với mặt phẳng) Vậy đáp án D Câu 9: Cho a, b, c đường thẳng không gian Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Nếu a ⊥ b b ⊥ c a / / c B Nếu a vng góc với mặt phẳng (α ) b / / (α ) a ⊥ b C Nếu a / / b b ⊥ c c ⊥ a D Nếu a ⊥ b , b ⊥ c a cắt c b vng góc với mặt phẳng ( a, c ) Hướng dẫn giải: a ⊥ b Nếu a c trùng nên đáp án A sai b ⊥ c Câu 10: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước B Có mặt phẳng qua đường thẳng cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước C Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước D Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Qua điểm cho trước kẻ vơ số mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Vậy chọn đáp án D Câu 11: Chọn mệnh đề mệnh đề sau? A Nếu a ⊥ ( P ) b ⊥ a b ( P ) B Nếu a ( P ) a b b ( P ) C Nếu a ( P ) b ⊥ a b ⊥ ( P ) D Nếu a ( P ) b ⊥ ( P ) b ⊥ a Câu 12: Cho hai đường thẳng a, b mp ( P ) Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Nếu a // ( P ) b ⊥ a b // ( P ) B Nếu a // ( P ) b ⊥ ( P ) a ⊥ b C Nếu a // ( P ) b ⊥ a b ⊥ ( P ) D Nếu a ⊥ ( P ) b ⊥ a b // ( P ) Hướng dẫn giải: Câu A sai b vng góc với a Câu B a // ( P ) ⇒ ∃a′ ⊂ ( P ) cho a //a′ , b ⊥ ( P ) ⇒ b ⊥ a′ Khi ⇒ a ⊥ b Câu C sai b nằm ( P ) Câu D sai b nằm ( P ) Vậy chọn B Câu 13: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Hai đường thẳng chéo vng góc với Khi có mp chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng B Qua điểm O cho trước có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước C Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước D Qua điểm O cho trước có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước Câu 14: Tập hợp điểm cách đỉnh tam giác đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa tam giác qua: A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B Trọng tâm tam giác C Tâm đường tròn nội tiếp tam giác D Trực tâm tam giác mệnh đề mặt phẳng sau: A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song C Hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng song song D Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song Câu 15: Hướng dẫn giải:: Đáp án A sai hai đường thẳng chéo Đáp án B sai hai mặt phẳng cắt Đáp án C sai hai đường thẳng trùng Chọn đáp án D Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Câu 16: Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau: A Cho hai đường thẳng vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mp song song với C Cho hai mp song song, đường thẳng vng góc với mặt mp vng góc với mp D Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Vì qua đường thẳng dựng vô số mặt phẳng Câu 17: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vng góc với a b vng góc với mặt phẳng P B Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b b song song với mặt phẳng P a song song nằm mặt phẳng P C Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng P đường thẳng b vng góc với mặt phẳng P a vng góc với b D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Giả sử xét hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' hình vẽ có A ' B '/ / ABCD B ' C '/ / ABCD B ' C ' A ' B ' Chọn đáp án A = SB = SC tam giác ABC vuông B Vẽ SH ⊥ ( ABC ) , Câu 18: Cho hình chóp S ABC có SA H ∈ ( ABC ) Khẳng định sau đúng? A H trùng với trọng tâm tam giác ABC B H trùng với trực tâm tam giác ABC C H trùng với trung điểm AC D H trùng với trung điểm BC Hướng dẫn giải: Chọn C = SB = SC nên HA = HB = HC Suy H tâm đường tròn Do SA ngoại tiếp ∆ABC Mà ∆ABC vuông B nên H trung điểm AC Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 = Câu 19: Cho hình chóp S ABC thỏa mãn SA Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng SB = SC Tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc S lên mp ( ABC ) Chọn khẳng định sai khẳng định sau? SH A ( SBH ) ∩ ( SCH ) = SH B ( SAH ) ∩ ( SBH ) = C AB ⊥ SH SH D ( SAH ) ∩ ( SCH ) = Hướng dẫn giải: ( SBH ) ∩ ( SCH ) = ( SBC ) Chọn A Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên SA = SB = SC = SD Gọi H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Khẳng định sau sai? A HA = HB = HC = HD B Tứ giác ABCD hình bình hành C Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn D Các cạnh SA , SB , SC , SD hợp với đáy ABCD góc Hướng dẫn giải: Chọn B Vì hình chóp S ABCD có cạnh bên SA = SB = SC = SD H hình chiếu S lên mặt đáy ABCD Nên H tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Suy HA = HB = HC = HD Nên đáp án B sai Câu 21: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) tam giác ABC không vuông, gọi H , K trực tâm tam giác ABC SBC Các đường thẳng AH , SK , BC thỏa mãn: A Đồng quy C Đôi chéo khác B Đôi song song D Đáp án Hướng dẫn giải: Gọi AA′ đường cao tam giác ABC ⇒ AA ' ⊥ BC mà BC ⊥ SA nên BC ⊥ SA ' Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Câu 22: Cho hình chóp S ABC có mặt bên tạo với đáy góc Hình chiếu H S ( ABC ) là: A Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C Trọng tâm tam giác ABC D Giao điểm hai đường thẳng AC BD Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P hình chiếu S lên cạnh AB, AC , BC Theo định lý ba đường vng góc ta có M , N , P hình chiếu H lên cạnh AB, AC , BC = SNH = SPH ⇒ ∆SMH = ∆SNH = ∆SPH ⇒ SMH ⇒ HM =HN =NP ⇒ H tâm dường tròn nội tiếp ∆ABC Câu 23: Cho hình chóp đều, chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đa giác đáy B Tất cạnh hình chóp C Đáy hình chóp miền đa giác D Các mặt bên hình chóp tam giác cân Hướng dẫn giải: Hình chóp có cạnh bên cạnh đáy KHÔNG nên đáp án B sai Câu 24: Tính chất sau khơng phải tính chất hình lăng trụ đứng? A Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình bình hành B Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật C Các cạnh bên hình lăng trụ đứng song song với D Hai đáy hình lăng trụ đứng có cạnh đôi song song Hướng dẫn giải: Chọn A Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: * Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ (α ) ta dùng môt hai cách sau Cách Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt (α ) d ⊥ a d ⊥ b ⇒ a ⊥ (α ) a b ⊂ ⊂ , α α ( ) ( ) a ∩ b = I Cách Chứng minh d vng góc với đường thẳng a mà a vng góc với (α ) d a ⇒ d ⊥ (α ) (α ) ⊥ a Cách Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P) * Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d ⊥ a, ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a • Sử dụng định lí ba đường vng góc • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Câu : Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ∆ABC vuông B , AH đường cao ∆SAB Khẳng định sau sai? A SA ⊥ BC B AH ⊥ BC C AH ⊥ AC D AH ⊥ SC Hướng dẫn giải: Chọn C Do SA ⊥ ( ABC ) nên câu A Do BC ⊥ ( SAB ) nên câu B D Vậy câu C sai Câu 1: Cho tứ diện SABC có ABC tam giác vuông B SA ⊥ ( ABC ) a) Khẳng định sau Chứng minh BC ⊥ ( SAB ) A BC ⊥ ( SAB ) ( ) AD, BC = 450 C B BC ⊥ ( SAC ) ( ) AD, BC = 800 D Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng b) Gọi AH đường cao tam giác SAB , khẳng định sau Chứng minh AH ⊥ SC A AH ⊥ AD B AH ⊥ SC C AH ⊥ ( SAC ) D AH ⊥ AC Hướng dẫn giải: a) Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên SA ⊥ BC Do D BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB ) Chọn A BC ⊥ AB b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH H AH ⊥ BC Vậy ⇒ AH ⊥ SC Chọn B AH ⊥ SB C A B Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC DB = DC Khẳng định sau đúng? A AB ⊥ ( ABC ) C CD ⊥ ( ABD ) B AC ⊥ BD D BC ⊥ AD Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi E trung điểm BC Khi ta có AE ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( ADE ) ⇒ BC ⊥ AD DE ⊥ BC Câu 3: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) AB ⊥ BC Số mặt tứ diện S ABC tam giác vuông là: A B C D Hướng dẫn giải: Có AB ⊥ BC ⇒ ∆ABC tam giác vuông B SA ⊥ AB Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ⇒ ∆SAB, ∆SAC tam giác vuông A SA ⊥ AC AB ⊥ BC Mặt khác ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC tam giác vuông B SA ⊥ BC Vậy bốn mặt tứ diện tam giác vuông Nên đáp án D Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết SA = SC SB = SD Khẳng định sau sai? A SO ⊥ ( ABCD ) B CD ⊥ ( SBD ) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C AB ⊥ ( SAC ) D CD ⊥ AC Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B Tam giác SAC cân S có SO trung tuyến ⇒ SO đường cao ⇒ SO ⊥ AC Tam giác SBD cân S có SO trung tuyến ⇒ SO đường cao ⇒ SO ⊥ BD Từ suy SO ⊥ ( ABCD ) Do ABCD hình thoi nên CD khơng vng góc với BD Do CD khơng vng góc với ( SBD ) Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD) Gọi AE ; AF đường cao tam giác SAB tam giác SAD Chọn khẳng định khẳng định sau ? A SC ⊥ ( AFB ) B SC ⊥ ( AEC ) C SC ⊥ ( AED ) D SC ⊥ ( AEF ) Hướng dẫn giải: AB ⊥ BC Ta có: ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AE SA ⊥ BC AE ⊥ SB Vậy: ⇒ AE ⊥ SC (1) AE ⊥ BC Tương tự : AF ⊥ SC ( ) Từ (1) ; ( ) ⇒ SC ⊥ ( AEF ) đáp án D Câu 6: Cho hình chóp S ABC có cạnh SA ⊥ ( ABC ) đáy ABC tam giác cân C Gọi H K trung điểm AB SB Khẳng định sau sai? A CH ⊥ SA B CH ⊥ SB C CH ⊥ AK D AK ⊥ SB Hướng dẫn giải: 10 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng C H trọng tâm ∆ABC D H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC b) ∆ABC tam giác gì? A ∆ABC tam giác nhọn B ∆ABC tam giác tù C ∆ABC tam giác vuông D ∆ABC tam giác cân c) Khẳng định sau nhất? S ∆2ABC = S ∆2OAB + S ∆2OBC + S ∆2OCA A S ∆2ABC = C 1 S ∆OAB + S ∆2OBC + S ∆2OCA 2 B S ∆ABC = S ∆2OAB + S ∆2OBC + S ∆2OCA S ∆ABC = S ∆2OAB + S ∆2OBC + S ∆2OCA D S ∆2ABC = S ∆2OAB + S ∆2OBC + S ∆2OCA 3MO d) Tìm tập hợp điểm M khơng gian cho MA2 + MB + MC = A M thuộc mặt phẳng qua I vuông góc với OG , I điểm cách điểm O, A, B, C G trọng tâm tam giác ABC B M thuộc mặt phẳng qua I song song với OG ,trong I điểm cách điểm O, A, B, C trọng tâm tam giác ABC C M thuộc mặt phẳng qua O vuông góc với OG , G trọng tâm tam giác ABC D M thuộc mặt phẳng qua O song song với OG , G trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải: a) Ta có OA ⊥ OB ⇒ OA ⊥ ( OBC ) ⇒ OA ⊥ BC OA ⊥ OC Lại có OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH ⊥ BC Vậy A BC ⊥ OA ⇒ BC ⊥ ( OAH ) BC ⊥ OH ⇒ BC ⊥ AH (1) AC ⊥ OB Tương tự ⇒ AC ⊥ ( OBH ) ⇒ BH ⊥ AC AC ⊥ OH H ( 2) Từ (1) , ( ) suy H trực tâm tam giác ABC C O I OA a= , OB b= , OC c b) Đặt= B Ta có BC = OB + OC = b + c Tương tự AC =a + c , AB =a + b Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có AB + AC − BC = cos A = AB AC (a + b ) + (a + c ) − ( b + c ) (a + b ) (a + b ) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 39 Tổng ơn Tốn 11 a2 (a nhọn > suy A + b ) (a + b ) 2 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Tương tự góc B, C nhọn 1 =AI BC = c) Ta có S ABC ( OI + OA2 )( OB + OC ) 4 1 = OI BC + OA2OB + OA2OC = S ∆2OAB + S ∆2OBC + S ∆2OCA 4 d) Gọi I điểm cách điểm O, A, B, C G trọng tâm tam giác ABC ta có : MA2 + MB + MC = 3MO ⇔ MI + IA + MI + IB + MI + IC = 3( MI + IO) ⇔ IA + IB + IC IM = 3IO.MI ⇔ 3IG.MI = 3IO.IM ⇔ OGMI =⇔ MI ⊥ OG ( IA + IB + IC = 3IG ) ( ( ) ( ) ) ( ) Vậy M thuộc mặt phẳng qua I vng góc với OG Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Gọi I , K trung điểm cạnh AB SC Tính IK A IK = a 2 B IK = a C IK = a D IK = Hướng dẫn giải: 3a 2 S Ta có IS= ID = IC = AI + AS = 2 a a Tương tự + a= 2 a suy K A IS = ID = IC nên I thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD CD ⊥ AD Mặt khác ⇒ CD ⊥ ( SAD ) CD ⊥ SA B I C D ⇒ CD ⊥ SD ⇒ ∆SCD vuông D , lại có K trung điểm SC nên K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD , KI ⊥ ( SCD ) 1 Ta có IK =ID − DK =ID − SC =ID − ( SA2 + AC ) 4 5a 2 a2 a − ( a + 2a ) = ⇒ IK = 4 2 Câu 13: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vuông góc với ( ABCD ) lấy điểm S Biết góc SA ( ABCD ) có số đo 45° Tính độ dài SO A SO = a 40 B SO = a C SO = a D SO = a Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B = Do SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SA, ( ABCD ) ) = SAO 45° Do ∆SAO vng cân O nên SO = AO = a Câu 14: Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đơi vng góc Gọi α , β , γ góc đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng ( ABC ) Tìm Giá trị nhỏ M = ( + cot α )( + cot β )( + cot γ ) A 64 B D 64 C Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu D ( ABC ) Khi H trực tâm tam giác ABC A = DA, = AH ) DAH = α Và ( DA, ( ABC ) ) ( DA a= , DB b= , DC c Đặt= I AH ∩ BC DI đường cao tam giác DBC nên Gọi= = DI DB.DC = BC H bc b + c2 C D 2 DA a ( b + c ) α = cot = DI b2c 2 ⇒ + cot α = + 2 + cot α ≥ 4a bc I a (b2 + c2 ) 2 bc ≥ 2+ 2a 4a Vậy ≥ bc bc B (1) Tương tự + cot β ≥ 4b ac ( 2) + cot γ ≥ 4c ab ( 3) Nhân theo vế BĐT (1) , ( ) , ( 3) ta ( + cot α )( + cot β )( + cot γ ) ≥ 64 ( đpcm) Câu 15: Trong mặt phẳng (α ) cho đường tròn đường kính cố định BC M điểm di động đường tròn Trên đường thẳng d vng góc với (α ) B lấy điểm A a) Khẳng định sau đúng? A mặt tứ diện ABMC tam giác vuông B mặt tứ diện ABMC tam giác vuông cân C tam giác ACM vuông A D tam giác ACM vuông cân M b) Gọi H , K hình chiếu B AM AC Khẳng định sau sai? Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 41 Tổng ơn Tốn 11 A AC ⊥ ( BHK ) B BH ⊥ AC Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng C A, B D A, B sai c) Tìm tập hợp điểm H M di động A H thuộc đường tròn đường kính BK B H thuộc đường tròn đường kính AC C H thuộc đường tròn đường kính BM D H thuộc đường tròn đường kính AB d) Tìm vị trí M để đoạn AM lớn A M ≡ C B M ≡ B C M ≡ H D M ≡ K e) Tìm vị trí M để diện tích tam giác BHK lớn A M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 + BC B M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC 2 BA2 + BC C M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 + BC D M giao điểm đường tròn đường kính BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 + BC Hướng dẫn giải: AB ⊥ BM a) Ta có AB ⊥ (α ) ⇒ suy tam giác ABM AB ⊥ BC A ABC vuông B K MC ⊥ MB Tiếp theo ta có ⇒ MC ⊥ ( ABM ) MC ⊥ AB H ⇒ MC ⊥ AM hay tam giác ACM vuông M BH ⊥ AM ⇒ BH ⊥ ( ACM ) b) Ta có BH ⊥ MC C B M ⇒ BH ⊥ AC Vậy AC ⊥ BH ⇒ AC ⊥ ( BHK ) AC ⊥ BK = 900 nên điểm H thuộc đường tròn đường kính BK Từ ta có c) Dễ thấy BK cố định BHK tập hợp điểm M đường tròn đường kính BK = AB + BM mà AB không đỏi nên AM lớn MB lớn ⇔ BM = BC ⇔ M ≡ C d) MA 42 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng BH + HK BK = e) Ta có S BHK = BH HK ≤ không đổi nên 4 max S BHK = Ta có BK BK ⇔ BH = HK , lúc ∆HBK vuông cân H nên BH = 1 1 1 = + = + ; 2 2 BH BA BM BK AB BC 1 1 = + ⇔ = + nên + 2 2 BA BM BA BC BA BC BM BA.BC ⇔ MB = BA2 + BC Vậy max S= BHK BA.BC BK ⇔ M giao điểm đường tròn đường kính ⇔ ⇔ MB = BA2 + BC BC với đường tròn tâm B bán kính BA.BC BA2 + BC AB a= , BC a , mặt bên Câu 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với= SBC tam giác vuông B , mặt bên SCD vuông D SD = a a) Tính SA A SA = a B SA = 2a C SA = 3a D SA = 4a b) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt CB, CD I , J Gọi H hình chiếu A SC Gọi K , L giao điểm K , L SB, SD với ( HIJ ) Khẳng định sau nhất? A AK ⊥ ( SBC ) , B AL ⊥ ( SCD ) C AK ⊥ SC D Cả A, B, C Hướng dẫn giải: a) ∆SBC vuông B ⇒ BC ⊥ SB mà BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SA S Tương tự ta có SA ⊥ CD nên SA ⊥ ( ABCD ) Ta có SC = DS + DC = a ⇒ SB= SC − BC 2= a ⇒ SA= SB − AB = a K I L H A D Vậy SA = a J B C IJ ⊥ AC b) Do ⇒ IJ ⊥ ( SAC ) ⇒ IJ ⊥ SC IJ ⊥ SA Lại có AH ⊥ SC ⇒ ( HIJ ) ⊥ SC ⇒ AK ⊥ SC Dế thấy BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AK (1) ( 2) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 43 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Từ (1) , ( ) suy AK ⊥ ( SBC ) Lập luận tương tự ta có AL ⊥ ( SCD ) AB a= , SA a Câu 17: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , = SA ⊥ ( ABC ) Gọi M điểm cạnh AB AM= x ( < x < a ) , mặt phẳng (α ) qua M vng góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S ABC với (α ) tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vng C hình thang D hình bình hành b) Tìm x để diện tích thiết diện MNPQ lớn A x = a B x = a C x = 3a D x = a Hướng dẫn giải: (α ) ⊥ AB ⇒ SA (α ) Ta có SA ⊥ AB M ∈ ( SAB ) ∩ (α ) Do SA ⊂ ( SAB ) ⇒ (α ) ∩ ( SAB ) = MN SA Tương tự SA (α ) S (α ) ⊥ AB ⇒ BC (α ) BC ⊥ AB P N M ∈ (α ) ∩ ( ABC ) BC ⊂ ( ABC ) BC (α ) ABC ) MQ BC , Q ∈ AC ⇒ (α ) ∩ (= C A Q M B N ∈ ( SBC ) ∩ (α ) ⇒ (α ) ∩ ( = SBC ) NP BC , P ∈ SC BC ⊂ ( SBC ) BC (α ) Thiết diện tứ giác MNPQ b) Ta có MN SA, PQ SA ⇒ MN PQ MQ BC , NP BC ⇒ MQ NP nên MNPQ hình bình hành MN SA Mặt khác NP BC ⇒ MN ⊥ NP Vậy MNPQ hình chữ nhật SA ⊥ BC = AM = x, b) Ta có MQ 44 MN MB MB.SA ( a − x ) a = ⇒ MN = = = (a − x) SA AB AB a Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 S MNPQ= MN MQ= max S MNPQ = Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng a2 a a2 3[ − x − ] ≤ 2 x (a − x) = a2 a x = Câu 18: Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh 2a Trên đường thẳng qua O vng góc với ( ABCD ) lấy điểm S Biết góc SA ( ABCD ) có số đo 45° Tính độ dài SO A SO = a B SO = a C SO = a D SO = a Hướng dẫn giải: Chọn B = SAO 45° Do SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SA, ( ABCD ) ) = = AO = a Do ∆SAO vuông cân O nên SO Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AB, BC , CD đơi vng góc và= AB a= , BC b= , CD c Độ dài AD A a + b2 + c2 B a + b2 − c2 C a − b2 + c2 D −a + b + c Hướng dẫn giải:: Ta có: BC ⊥ CD ⇒ BD = BC + CD = b2 + c2 AB ⊥ BC Mặt khác: ⇒ AB ⊥ ( BCD ) ⇒ AB ⊥ BD AB ⊥ CD AD= AB + BD = a + b2 + c2 Vậy chọn đáp án A Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) SA = a Giả sử tồn tiết diện hình chóp với mặt phẳng (α ) qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện a2 A S = a2 B S = a2 C S = 4a 2 D S = Hướng dẫn giải: I SO ∩ AK Gọi K hình chiếu A SC K ∈ (α ) Trong ( SAC ) gọi = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 45 Tổng ôn Tốn 11 Ta có Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ SC , mặt khác (α ) ⊥ SC nên BD (α ) I ∈ (α ) ∩ ( SBD ) Vậy BD ⊂ ( SBD ) BD (α ) S K ⇒ (α ) ∩ (= SBD ) HL BD, H ∈ SD, L ∈ SB O Ta có SA = AC = a ⇒ ∆SAC cân tại., mà AK ⊥ SC nên K trung điểm SC ⇒ AK = B A HL BD b) Do ⇒ HL ⊥ AK ⇒ S AHKL = AH KL BD ⊥ AK HL BD ⇒ I H Thiết diện tứ giác AHKL L C D SC 2a = =a 2 HL SH SI 2 2a = = = ⇒ HL = BD = BD SD SO 3 2a a 2 = S AHKL = a Vậy 3 Câu 21: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , đường cao SO = 2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA ' tam giác ABC Xét mặt phẳng (α ) qua M vng góc với AA ' Đặt AM = x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt (α ) Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn A x = a B x = 3a C x = 3a D x = 3a Hướng dẫn giải: S Vì S ABC hình chóp nên SO ⊥ ( ABC ) ( O tâm tam giác ABC ).Do SO ⊥ AA1 mà K (α ) AA1 ⇒ SO (α ) Tương tự ta có BC (α ) A Trường hợp x = thiết diện điểm A Trường hợp < x ≤ C J a M thuộc đoạn AO ( M ≠ A ) I M O A1 B Ta có : M ∈ ( ABC ) ∩ (α ) ⇒ (α ) ∩ ( ABC = ) IJ BC , I ∈ AB, J ∈ AC BC ⊂ ( ABC ) BC (α ) 46 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 31 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng M ∈ (α ) ∩ ( SAA1 ) Tương tự SO ⊂ ( SAA1 ) ⇒ (α ) ∩ (= SAA1 ) MK SO, K ∈ SA SO (α ) Thiết diện tam giác KIJ Trường hợp a a