hai đường thẳng vuông góc

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 30 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT    Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: • a′//a, b′//b ⇒ ( a , b ) = ( a ', b ')     • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) = α Khi đó: ( a, b ) = α 180 − α • Nếu a//b a ≡ b ( a , b ) = 00 Chú ý: 00 ≤ ( a , b ) ≤ 900 neáu 00 ≤ α ≤ 1800 neáu 900 < α ≤ 1800 Hai đường thẳng vng góc: • a ⊥ b ⇔ ( a , b ) = 900    • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u v = • Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c Khẳng định sau đúng? A Nếu a b vng góc với c a // b B Nếu a // b c ⊥ a c ⊥ b C Nếu góc a c góc b c a // b D Nếu a b nằm mp (α ) // c góc a c góc b c Hướng dẫn giải: Chọn B Nếu a b vng góc với c a b song song chéo C sai do: Giả sử hai đường thẳng a b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c đường vng góc chung a b Khi góc a c với góc b c 90° , hiển nhiên hai đường thẳng a b không song song D sai do: giả sử a vng góc với c , b song song với c , góc a c 90° , góc b c 0° Do B Câu 2: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c ) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 3: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Tứ diện có mặt tam giác nhọn B Tứ diện có hai mặt tam giác nhọn Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vuông góc C Tứ diện có ba mặt tam giác nhọn D Tứ diện có bốn mặt tam giác nhọn Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 4: Trong mệnh đề mệnh đề là? A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai B Trong khơng gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với Hướng dẫn giải: Chọn A Theo lý thuyết Câu 5: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c D Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng ( a, b ) Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 6: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi không nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi d1 , d , d3 đường thẳng cắt đôi Giả sử d1 , d cắt A , d3 không nằm mặt phẳng với d1 , d mà d3 cắt d1 , d nên d3 phải qua A Thật giả sử d3 không qua A phải cắt d1 , d hai điểm B , C điều vơ lí, đường thẳng khơng thể cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Câu 7: Trong khẳng định sau, khẳng định ? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c C Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a , b , c không đồng phẳng D Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 8: Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 9: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 10: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a, b  B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c Hướng dẫn giải: Chọn D Theo định lý-sgk Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc DẠNG 1: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng d1 , d2 khơng gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 , d2 cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) d1 d'1 O d'2 d2 Từ O dựng đường thẳng d1' , d2' song song ( tròng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1' , d2' góc hai đường thẳng d1 , d2 Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác b2 + c − a2 cos A = 2bc   Cách Tìm hai vec tơ phương u1 , u2 hai đường thẳng d1 , d2   u1 u2 Khi góc hai đường thẳng d1 , d2 xác định cos ( d1 , d2 ) =   u1 u2        Lưu ý 2: Để tính u1 u2 , u1 , u2 ta chọn ba vec tơ a , b , c khơng đồng phẳng mà tính độ dài      góc chúng,sau biểu thị vec tơ u1 , u2 qua vec tơ a , b , c thực tính tốn Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a , IJ = a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30° B 45° C 60° D 90° Hướng dẫn giải: A Chọn C Gọi M , N trung điểm AC , BC Ta có: J 1 a  M = NI = AB = CD =  MI 2 ⇒ MINJ hình thoi  O  MI // AB // CD // NI B D N I Gọi O giao điểm MN IJ  = MIO  C Ta có: MIN a IO = ⇒ MIO = = 30° ⇒ MIN = 60° = Xét ∆MIO vuông O , ta có: cos MIO a MI 2 = 60° Mà: ( AB, CD= ) ( IM , IN =) MIN Câu 2: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Giả sử tam giác AB′C A′DC ′ có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A′D góc sau đây? Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 ′ AB′C A BDB B   ′C ′ D DA Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: AC // A′C ′ (tính chất hình hộp)  ′C ′ (do giả thiết ⇒ ( AC , A′D ) = ( A′C ′, A′D ) = DA cho ∆DA′C ′ nhọn) C Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc  ′B DB A' D' B' C' A D B C Câu 3: Cho tứ diện ABCD (Tứ diện có tất cạnh nhau) Số đo góc hai đường thẳng AB CD B 45° C 60° D 90° A 30° Hướng dẫn giải: A Chọn D Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) Gọi E trung điểm CD ⇒ BE ⊥ CD (do ∆BCD đều) Do AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ CD B D H CD ⊥ BE E ⇒ CD ⊥ ( ABE ) ⇒ CD ⊥ AB ⇒ ( AB, CD ) =90° Ta có:  CD AH ⊥  C Câu 17 [1H3-2] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) 3 A B C D 2 Hướng dẫn giải: A Chọn A Khơng tính tổng qt, giả sử tứ diện ABCD có cạnh a E Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ AH ⊥ ( BCD ) B D Gọi E trung điểm AC ⇒ ME // AB ⇒ ( AB, DM ) = ( ME , MD ) H M    = = = ME , MD cos EMD Ta có: cos ( AB, DM ) cos ( ME , MD ) cos C ( ) Do mặt tứ diện tam giác đều, từ ta dễ dàng tính độ dài cạnh ∆MED : a ME = a , ED = MD = 2 2 a a 3 a 3  −    + ME + MD − ED        Xét ∆MED= , ta có: cos EMD = = ME.MD a a 2 3 Từ đó: cos ( AB, DM = ) = 6 Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) A 30° B 45° C 60° Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học D 90° S N A B Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Ta có: SA = SB = SC = SD ⇒ S nằm trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) Từ (1) (2) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN đường trung bình ∆SAD ) ⇒ ( MN , SC ) = ( SA, SC )  SA2 + SC = a + a = 2a ⇒ ∆SAC vuông S ⇒ SA ⊥ SC Xét ∆SAC , ta có:  = 2= AD 2a  AC 90° ⇒ ( SA, SC ) = ( MN , SC ) = Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc ( IJ , CD ) A 30° B 45° C 60° Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA = SB = SC = SD ⇒ S nằm trục đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) Từ (1) (2) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) D 90° S I A B Từ giả thiết ta có: IJ // SB (do IJ đường trung bình ∆SAB O J D ) ⇒ ( IJ , CD ) = ( SB, AB ) C  Mặt khác, ta lại có ∆SAB đều, SBA= 60° ⇒ ( SB, AB )= 60° ⇒ ( IJ , CD )= 60° Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD , AD Góc ( IE , JF ) A 30° Hướng dẫn giải: Chọn D B 45° C 60° D 90° A  IJ // EF // AB Từ giả thiết ta có:  (tính chất đường trung bình  JE // IF // CD tam giác) Từ suy tứ giác IJEF hình bình hành B 1 Mặt khác: AB = CD ⇒ IJ = AB = JE = CD ⇒ ABCD hình thoi J 2 ⇒ IE ⊥ JF (tính chất hai đường chéo hình thoi) ⇒ ( IE , JF ) = 90° F I E D C   Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB DH ? A 45° B 90° C 120° D 60° Hướng dẫn giải: Chọn B AB ⊥ AE    ⇒ AB ⊥ DH ⇒ ( AB, DH ) =90° AE // DH  Câu 8: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai   mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Hãy xác định góc cặp vectơ AB OO ' ? A 60° B 45° C 120° D 90° Hướng dẫn giải: Chọn D Vì ABCD ABC ' D ' hình vuông nên AD // BC '; AD = BC ' ⇒ ADBC ' hình bình hành Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Mà O; O ' tâm hình vng nên O; O ' trung điểm BD AC ' ⇒ OO ' đường trung bình ADBC ' ⇒ OO ' // AD OO ', AB = 90o Mặt khác, AD ⊥ AB nên OO ' ⊥ AB ⊥⇒  ( )    = BAD = 600 , CAD = 900 Gọi I J Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC   trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD ? A 45° B 90° C 60° D 120° Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI = DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB ) nên CID tam giác cân I Do IJ ⊥ CD   Hãy xác định góc cặp Câu 10: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC  ASB = BSC = CSA   vectơ SB AC ? A 60° B 120° C 45° D  90° Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: ∆SAB =∆SBC =∆SCA ( c − g − c ) ⇒ AB = BC = CA Do đótam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SA = SB = SC nên hình chiếu S trùng với G Hay SG ⊥ ( ABC )  AC ⊥ BG ⇒ AC ⊥ ( SBG ) Ta có:   AC ⊥ SG Suy AC ⊥ SB   Vậy góc cặp vectơ SB AC 900    = BAD = 600 , CAD = 900 Gọi I J Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC   trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ ? B 90° C 60° A 120° Hướng dẫn giải: Chọn B Xét tam giác ICD có J trung điểm đoạn CD    Ta có:= IJ IC + ID = 60° Vì tam giác ABC có AB = AC BAC Nên tam giác ABC Suy ra: CI ⊥ AB Tương tự ta có tam giác ABD nên DI ⊥ AB           Xét IJ AB = IC + ID AB = IC AB + ID AB = 2 2    Suy I J ⊥ AB Hay góc cặp vectơ AB IJ 900 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn khẳng định đúng? A AB + AC + AD + BC + BD + CD = ( GA2 + GB + GC + GD ) ( ) ( ) D 45° B AB + AC + AD + BC + BD + CD 2= ( GA2 + GB + GC + GD ) C AB + AC + AD + BC + BD + CD 2= ( GA2 + GB + GC + GD ) D AB + AC + AD + BC + BD + CD 2= ( GA2 + GB + GC + GD ) Hướng dẫn giải: Chọn B Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc AB + AC + AD + BC + BD + CD             = AG + GB + AG + GC + AG + GD + BG + GC + BG + GD + CG + GD             = AG + 3BG + 3CG + 3DG + AG.GB + AG.GC + AG.GD + BG.GD + BG.GD + CG.GD (1) ( ) ( Lại có: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )      GA + GB + GC + GD = ) ⇔ GA2 + GB + GC + GD             = AG.GB + AG.GC + AG.GD + BG.GD + BG.GD + CG.GD ( ) ( ) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 13: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác Góc AB CD là? B 60° A 120° C 90° D 30° Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi I trung điểm AB Vì ABC ABD tam giác CI ⊥ AB Nên   DI ⊥ AB Suy AB ⊥ ( CID ) ⇒ AB ⊥ CD Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh  a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc ( IJ , CD ) bằng: A 90° B 45° C 30° D 60° Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình thoi ABCD Ta có: OJ //CD Nên góc IJ CD góc I J OJ Xét tam giác IOJ có a a a = IJ = SB ,= OJ = CD ,= IO = SA 2 2 2 Nên tam giác IOJ Vậy góc IJ CD góc I J OJ  góc IJ O = 600 Câu 15: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Giả sử tam giác AB′C A′DC ′ có góc nhọn Góc hai đường thẳng AC A′D góc sau đây?  ′  ′D ′C ′ A  B DA C BB D BDB AB′C Hướng dẫn giải: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Chọn B Ta có: AC //A′C ′ nên góc hai đường thẳng AC A′D góc hai đường thẳng A′C ′ A′D  ′C ′ (Vì tam giác A′DC ′ có góc nhọn góc nhọn DA Câu 16: Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng: A 60° B 30° C 90° D 45° Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì tứ diện ABCD nên AG ⊥ ( BCD ) CD ⊥ AG ⇒ CD ⊥ ( ABG ) ⇒ CD ⊥ AB Ta có:  CD ⊥ BG Vậy số đo góc hai đường thẳng AB CD 900 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Cắt tứ diện mặt phẳng song song với cặp cạnh đối diện tứ diện Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Thiết diện hình chữ nhật B Thiết diện hình vng C Thiết diện hình bình hành D Thiết diện hình thang Hướng dẫn giải: A Chọn A Gỉa sử thiết diện tứ giác MNPQ Ta có: MN //PQ MN = PQ nên MNPQ hình bình hành M Lại có AC ⊥ BD ⇒ MQ ⊥ PQ Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Q B D P N C       Câu 18: Cho tứ diện ABCD Chứng minh = AB AC AC = AD AD AB AB ⊥ CD , AC ⊥ BD , AD ⊥ BC Điều ngược lại không? Sau lời giải:          Bước 1: AB AC = AC AD ⇔ AC.( AB − AD) = ⇔ AC.DB = ⇔ AC ⊥ BD     Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD = AD AB ta AD ⊥ BC     AB AC = AD AB ta AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Sai bước B Đúng C Sai bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chọn B Bài giải Câu 19: Cho hình chóp S ABC   vectơ SC AB ? A 120° B Hướng dẫn giải: Chọn D      Ta có: SC AB= SC SB − SA = ( ) Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc  Hãy xác định góc cặp  có SA = SB = SC  = BSC = CSA ASB C 60° 45° S     SC.SB − SC.SA  − SC.SA.cos  =SA.SB cos BSC ASC =0   Vì SA = SB = SC BSC = ASC   Do đó: SC , AB = 900 ( D 90° ) C A B Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc ( MN , SC ) bằng: B 30° C 90° D 60° A 45° Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: AC = a ⇒ AC =2a =SA2 + SC ⇒ ∆SAC vuông S       Khi đó: NM SC = SA.SC = ⇔ NM , SC = 90° ⇒ ( MN , SC ) = 90° ( ) Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định sai? A Góc AC B1 D1 90° C Góc AD B1C 45° Hướng dẫn giải: Chọn B        = BB = BB1 BA + BC Ta có: AA B1 D1 BD     = BB1.BA + BB1.BC =     (vì BB1 , BA = 900 BB1 , BC = 900 )   900 ⇒ ( AA1 , B1 D1 ) = 900 Do đó: AA1 , B1 D1 = ( ( ( ) ( ) B Góc B1 D1 AA1 60° D Góc BD A1C1 90° A1 ) B1 ) D1 C1 A B D C   Câu 22: Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 có cạnh a Gọi M trung điểm AD Giá trị B1M BD1 là: a Hướng dẫn giải: Chọn A   Ta có: B1M BD1 = B a A 10 a C D a       ( B B + BA + AM )( BA + AD + DD ) 1 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Hướng dẫn giải: Ta có          AB.CD= AB AD − AC = AB AD − AB AC ( ) = AB AD.cos 600 − AB AC.cos 600 =   ⇒ AB, CD = 900 ( ) Câu 30: Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Góc AC DA1 A 450 B 900 Hướng dẫn giải:  Vì A ' C ' //AC nên góc AC DA1 DA 1C1  Vì tam giác DA C nên DA C = 600 1 C 600 D 1200 1 Vậy góc AC DA1 600   Câu 31: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC  = BSC = CSA ASB   Hãy xác định góc cặp vectơ SA BC ? A 1200 B 900 Hướng dẫn giải: Ta có          SA.BC= SA SC − SB = SA.SC − SA.SB ( C 600 D 450 ) = SA.SC.cos  ASC − SA.SB.cos  ASB =   90 ⇒ SA, BC = ( ) Câu 32: Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi cos ( AB, DM ) B Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh tứ diện a       AB.DM AB.DM = AB, DM Ta có cos =    a AB DM a Mặt khác A ( C D )          AB.DM= AB AM − AD= AB AM − AB AD = AB AM cos 300 − AB AD.cos 600 ( ) Do có 3a a a a 3 = a − a.a = − = 2 4   3 Suy cos ( AB, DM ) = cos AB, DM = 6 Câu 33: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB = CD = M điểm thuộc cạnh BC MC x.BC ( < x < 1) mp ( P ) song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC cho = ( ) M , N , P, Q Diện tích lớn tứ giác ? Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 13 Tổng ơn Tốn 11 A Hướng dẫn giải: Chủ đề 30 Hai đường thẳng vuông góc B 11 C 10 D  MQ //NP //AB Xét tứ giác MNPQ có   MN //PQ //CD ⇒ MNPQ hình bình hành Mặt khác, AB ⊥ CD ⇒ MQ ⊥ MN Do đó, MNPQ hình chữ nhật MQ CM Vì MQ //AB nên = =⇒ x MQ = x AB = 6x AB CB x.BC ⇒ BM =− Theo giả thiết MC = (1 x ) BC Vì MN //CD nên MN BM = =1 − x ⇒ MN =(1 − x ) CD = (1 − x ) CD BC Diên tích hình chữ nhật MNPQ  x +1− x  S MNPQ = MN MQ = (1 − x ) x = 36.x (1 − x ) ≤ 36   =   Ta có S MNPQ = x =1 − x ⇔ x = Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn M trung điểm BC Câu 34: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD ? A 00 B 300 C 900 D 600 Hướng dẫn giải:      = CO − CA CD Ta có AO.CD     = CO.CD − CA.CD = CO.CD.cos 300 − CA.CD.cos 600 ( ) a 3 a2 a2 − a.a = − = .a 2 2 Suy AO ⊥ CD = Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD, AD Góc ( IE , JF ) A 300 B 450 Hướng dẫn giải: Tứ giác IJEF hình bình hành   IJ = AB Mặt khác  mà AB = CD nên IJ = JE  JE = CD  Do IJEF hình thoi Suy ( IE , JF ) = 900 Câu 36: Cho tứ diện ABCD với = AC CD Chọn khẳng định ? 14 C 600 D 900   AD, CAB = DAB = 600 ,= CD AD Gọi ϕ góc AB Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Hướng dẫn giải:   Ta có cos = AB, CD A cosϕ   = ( ) B ϕ = 600 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc C ϕ = 300 D cos ϕ =     AB.CD AB.CD =    AB CD AB.CD Mặt khác          AB.CD= AB AD − AC = AB AD − AB AC ( ) AB AD.cos 600 − AB AC.cos 600 1 = AB AD − AB AD = − AB AD = − AB.CD 2 4 − AB.CD   1 Do có cos= AB, CD = − Suy cos ϕ = AB.CD 4 ( ) Câu 37: Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Tứ giác CDD ' C ' hình gì? A Hình bình hành B Hình vng C Hình thang D Hình chữ nhật Hướng dẫn giải: Tứ giác CDD ' C ' hình bình hành Lại có: DC ⊥ ( ADD ') ⇒ DC ⊥ DD ' Vậy tứ giác CDD ' C ' hình chữ nhật Câu 38: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ= a ( I , J trung điểm BC AD ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD : A 300 B 450 C 600 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AC Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ IM + MJ − IJ Tính được: cosIMJ   = = − MI MJ Từ suy số đo góc hai đường thẳng AB CD là: 600 D 900 Câu 38: Cho tứ diện ABCD với AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc PQ AB là? A 900 B 600 C 300 D 450 Hướng dẫn giải:   AB.PQ ⇒ AB ⊥ PQ         Câu 39: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a = 4; b = 3; a − b = Gọi α góc hai vectơ a, b Chọn khẳng định đúng? A cos α = B α = 300 Hướng dẫn giải:   2 2   (a − b) = a + b − 2a.b ⇒ a.b = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C cos α = D α = 600 15 Tổng ôn Tốn 11  a.b Do đó: cos  α = =  a.b Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc       Câu 40: Cho tứ diện ABCD Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: AB.CD + AC.DB + AD.BC = k A k = B k = C k = Hướng dẫn giải:              AB.CD + AC.DB + AD.BC =AC + CB CD + AC.DB − AD.CB           = AC CD + DB + CB CD − AD = AC.CB + CB AC= ( ) ( ( ) D k = ) Chọn đáp án C Câu 41: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? A AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) B AB + AC + BC = GA2 + GB + GC C AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) D AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) Hướng dẫn giải: Cách Ta có    GA + GB + GC = ( )       ⇔ GA2 + GB + GC + 2GA.GB + 2GA.GC + 2GB.GC = ⇔ GA2 + GB + GC + ( GA2 + GB − AB ) + ( GA2 + GC − AC ) + ( GB + GC − BC ) = ⇔ AB + AC + BC 2= ( GA2 + GB + GC ) Cách 2: Ta có:  AB  AC BC MA   2   GA2   AB  AC  BC     9  GA  MA  Tương tự ta suy  AB  AC BC BA2  BC AC CA2  CB AB   GA2  GB  GC         4  AB  BC  CA2    3GA2  GB  GC   AB  BC  CA2  Chọn đáp án D Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC có cạnh Khi  AB  BC  CA2    3GA2  GB  GC   AB  BC  CA2 2 GA  GB  GC   Chọn đáp án D Câu 42: Trong không gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức P = MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ A M trọng tâm tam giác ABC B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M trực tâm tam giác ABC D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 16 2 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vuông góc Hướng dẫn giải:     Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G cố định GA  GB  GC        P  MG  GA  MG  GB  MG  GC      3MG  MG GA  GB  GC  GA2  GB  GC          3MG  GA2  GB  GC  GA2  GB  GC Dấu xảy  M  G Vậy Pmin  GA2  GB  GC với M  G trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án A         Câu 43: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: a= 26; b= 28; a + b= 48 Độ dài vectơ a − b bằng? A 25 B 616 C Hướng dẫn giải:  2    2   2   a − b = a − b = a + b − 2a.b = a + b − a + b ( ( ) ) ( D 618 ) 2 2  2 616 =  a + b  − a + b= 262 + 282 − 48 =     ⇒ a − b =616 ( )  60  120 Trong , , BDC ADC 90 = = Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA BDA = DB = DC = mặt tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn Hướng dẫn giải: Đặt DA = DB = DC = a 0 B Tam giác BCD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn a2 a2 Tam giác ACD D nên diện tích S ACD = DA.DC = 2 a2 Diện tích tam giác BCD S BCD = = DB.DC sin120 Tam giác ABC có= AB a= = BC a nên tam giác ABC , AC a 2, Tam giác ABD cạnh a nên diện tích S ABD = vng A Diện tích tam giác ABC= S ABC a2 = AB AC 2 Vậy diện tích tam giác ABC lớn            a 4;= b 3;= a.b 10 Xét hai vectơ y= a − b x= a − 2b, Gọi α Câu 45: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn:=   góc hai vectơ x, y Chọn khẳng định −2 A cos α = B cos α = C cos α = D cos α = 15 15 15 15 Hướng dẫn giải:          Ta có x y = a − 2b a − b = a + b − 3a.b = (  x =  y =  x ()  ( y) = = )( ) () ()      a − b = a + b − a ( ) ( ) ( ) b =2      ( a − b ) = ( a ) + (b ) − 2a.b = 2 2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 17 Tổng ơn Tốn 11   x y = = cos α =  x y 15 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Câu 46: Cho tam giác ABC có diện tích S Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn:     S AB AC − 2k AB AC 1 B k = C k = D k = A k = Hướng dẫn giải: 1 S = AB AC.sin C AB = AC sin C AB AC (1 − cos C ) 2     AB AC − AB AC Chọn C Câu 47: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau A AB CD chéo B AB CD vng góc với C AB CD đồng phẳng D AB CD cắt b) Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , BC , BD, DA Khẳng định sau nhất? Chứng minh MNPQ hình chữ nhật A MNPQ hình vng B MNPQ hình bình hành C MNPQ hình chữ nhật D MNPQ hình thoi Hướng dẫn giải: a) Đặt AB = AD = AC = a      AB AD − AC AB Ta có CD.=     1 AB AD cos 600 − AB AC cos 600 = a.a − a.a = C 2 Vậy AB ⊥ CD AB a N b) Ta có MN  PQ  AB MN nên tứ giác = PQ = = 2 M MNPQ hình bình hành P  MN  AB B  Lại có  NP  CD ⇒ MN ⊥ NP , MNPQ hình chữ nhật D Q  AB ⊥ CD A  ( ) ( ( ) ) Câu 48: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a BC = a Tính góc hai đường thẳng AB SC AB, SC ) = 600 A ( AB, SC ) = 450 B ( AB, SC ) = 300 C ( AB, SC ) = 900 D ( 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, AC , MN  AB nên  AB, SC =  MN , SC ( ) ( Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc S )  , tam giác MNP có Đặt ϕ = NMP MN + MP − NP cos ϕ = (1) MN MP a , AB + AC Ta có MN = BC ⇒ ∆ABC vuông A , = MP = 5a 3a PB = AP + AC = , PS = Trong tam giác PBS 4 theo cơng thứ tính đường trung tuyến ta có 5a 3a + 2 PB + PS SB a 3a 2 4 = −= = − PN 4 Thay MN , MP, NP vào (1) ta cos ϕ = 1200 − ⇒ϕ =   AB, SC = MN , SC 60 Vậy = ( ) ( M N φ A B P C ) Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, SA = AB SA ⊥ BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC BC , SD = 450 BC , SD = 300 A  B  ( ) ( ) BC , SD ) = 600 C ( BC , SD ) = 500 D ( b) Gọi I , J điểm thuộc SB SD cho IJ  BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J IJ , AC ) = 900 IJ , AC ) = 300 IJ , AC ) = 450 IJ , AC ) = 600 A ( B ( C ( D ( Hướng dẫn giải: IJ , AC ) = 900 BC , SD ) = 450 b) ( a) ( Câu 50: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Khẳng định sau nhất? A AD ⊥ BC B AD cắt BC C AD BC chéo D Cả A, B, C     b) Gọi M , N điểm thuộc đường thẳng AB DB sao= cho MA k= MB, ND k NB Tính góc hai đường thẳng MN BC MN , BC = 900 MN , BC = 800 A  B  ) ( MN , BC ) = 600 C ( ) ( MN , BC ) = 450 D ( Hướng dẫn giải: Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 19 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc a) Gọi P trung điểm BC , tam giác  AP ⊥ BC ABC DBC cân nên   DP ⊥ BC      = BC PD − PA = Ta có BC AD ( A ) Vậy BC ⊥ AD     ND MA b) Ta có MA = k MB ⇒ = k = k , ND = k NB ⇒ NB MB MA ND ⇒ = MB NB MN , BC =  AD, BC =900 ( Theo câu a) suy MN  AD ⇒  ) ( ( M N B D ) P C Câu 51: Cho hình hộp thoi ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh a    ' BA B ' BC 600 Tính góc hai đường thẳng AC B’D’ = ABC B = = AC, B 'D') = 600 AC, B 'D') = 450 AC, B 'D') = 900 A ( B ( C ( AC, B 'D') = 300 D ( Hướng dẫn giải: HS tự giải Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC AD Cho biết = CD = 2a MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD AB AB, CD ) = 300 AB, CD ) = 450 A ( B ( AB, CD ) = 600 C ( AB, CD ) = 900 D ( Hướng dẫn giải: Gọi O trung điểm AC , ta có OM = ON = a OM  AB  ⇒ ( AB, CD ) = OM , ON ) (  ON  CD Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OMN ta có OM + ON − MN = 2OM ON AB, CD ) = 600 Vậy ( = cos MON 2 ( a2 + a2 − a 2.a.a ) A = − N O B D M C Câu 53: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a)Khẳng định sau A đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh B đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh C đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc khơng vng góc với hai cạnh D A, B, C sai 20 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 b) Tính góc hai đường thẳng AC BD a2 − c2 ) (  A ( AC , BD ) = arccos b2 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vuông góc A ( a2 + c2 )  B ( AC , BD ) = arccos b2 M ( a2 − c2 )  C ( AC , BD ) = arccos 3b D ( AC , BD ) = arccos P B D ( a2 − c2 ) b N C Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, CD, AD AC BD a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung = = , AD BC nên chúng nhau, suy MC = MD Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MN ⊥ CD Tương tự MN ⊥ AB Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối lại  PM  BD   ⇒ ( BD, AC ) = b) Ta có  ( PM , PN )  PN  AC Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có 2 CA2 + CB AB 2 b + c − a CM = −= 4 2 2 (b + c ) − a Tương tự DM = , nên 2 MC + MD CD 2 b + c − a a b + c − a 2 = MN = − = − 4 Áp dụng định lí sin cho tam giác PMN ta có 2 2 b b b +c −a + − ( a2 − c2 ) PM + PN − MN      = cos MPN = = 2.PM PN b2  b  b        ( ) ( ) ( a2 − c2 )  Vậy ( AC , BD ) = arccos b2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 21 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Phương pháp: Để chứng minh d1 ⊥ d2 ta có phần ta thực theo cách sau:    • Chứng minh d1 ⊥ d2 ta chứng minh u1 u2 = u1 , u2 vec tơ phương d1 d2 b  c ⇒ a ⊥b • Sử dụng tính chất  a c ⊥  • Sử dụng định lí Pitago xác định góc d1 , d2 tính trực tiếp góc • Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác • Tính tích vơ hướng… Câu 1: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A A′C ′ ⊥ BD B BB′ ⊥ BD C A′B ⊥ DC ′ D BC ′ ⊥ A′D Hướng dẫn giải: Chọn B A' D' Chú ý: Hình hộp có tất cạnh gọi hình hộp thoi A vì: B' C' ′ ′ ′ ′ A C ⊥ B D ⇒ A′C ′ ⊥ BD   B′D′ // BD A B sai vì: D  A′B ⊥ AB′ ⇒ A′B ⊥ DC ′ C vì:   AB′ // DC ′ B C  BC ′ ⊥ B′C ⇒ BC ′ ⊥ A′D D vì:   B′C // A′D       Câu 2: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB = AC AC = AD AD AB AB ⊥ CD , AC ⊥ BD , AD ⊥ BC Điều ngược lại không? Sau lời giải:        ⇔ AC.DB = ⇔ AC ⊥ BD Bước 1: AB AC = AC AD ⇔ AC AB − AD = ( ) Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC AD = AD AB ta AD ⊥ BC AB AC = AD AB ta AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng ( P ) song song với AB CD cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang Hướng dẫn giải: Chọn C 22 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 ( MNPQ ) //AB Ta có:  ⇒ MQ //AB MQ ( MNPQ ) ∩ ( ABC ) = Tương tự ta có: MN //CD, NP //AB, QP //CD Do tứ giác MNPQ hình bình hành Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc lại có MN ⊥ MQ ( AB ⊥ CD ) Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R trung điểm AB, CD, AD, BC AC a) Khẳng định sau nhất? A MN ⊥ RP, MN ⊥ RQ C MN chéo RP; MN chéo RQ b) Tính góc hai đường thẳng AB CD? AB, CD = 600 A  ( ) AB, CD ) = 450 C ( B MN ⊥ RP, MN cắt RQ D Cả A, B, C sai AB, CD ) = 300 B ( AB, CD ) = 900 D ( Hướng dẫn giải: a nên tam giác MCD cân M , MN ⊥ CD Lại có RP  CD ⇒ MN ⊥ RQ b) Tương tự ta có QP ⊥ AD Trong tam giác vng PDQ ta có a) Ta có MC = MD = A  a   a 2 a Ta có : QP = QD − DP =   −   = 2     2 2 M a a RQ + RP = QP   +   =a = 2     Do tam giác RPQ vng R , hay RP ⊥ RQ  AB  RQ  Vì CD  RP ⇒ AB ⊥ CD  RP ⊥ RQ  P R B D Q N C Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC ′ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , CB, BC ′ C ′A Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thang Hướng dẫn giải: Chọn B Vì M , N , P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ hình bhình hành Gọi H trung điểm AB CH ⊥ AB Vì hai tam giác ABC ABC ′ nên  C ′H ⊥ AB Suy AB ⊥ ( CHC ′ ) Do AB ⊥ CC ′ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 23 Tổng ơn Tốn 11  PQ //AB  Ta có:  PN //CC ′ ⇒ PQ ⊥ PN  AB ⊥ CC ′  Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với= AB a= , AD 2a Tam giác SAB vuông can A , M điểm cạnh AD ( M khác A D ) Mặt phẳng (α ) qua M song sog với ( SAB ) cắt BC , SC , SD N , P, Q a) MNPQ hình gi? A MNPQ hình thang vng C MNPQ hình chữ nhật b)Tính diện tích MNPQ theo a B MNPQ hình vng D MNPQ hình bình hành a2 3a 3a B S MNPQ = C S MNPQ = 8 Hướng dẫn giải: (α )  ( SAB )  AB ⇒ MN  AB a) Ta có ( SAB ) ∩ ( ABCD ) =  MN (α ) ∩ ( ABCD ) = (α )  ( SAB )  SB ⇒ NP  SB Tương tự ( SBC ) ∩ ( SAB ) =  NP (α ) ∩ ( SBC ) = (α )  ( SAB )  SA ⇒ MQ  SA ( SAD ) ∩ ( SAB ) =  MQ (α ) ∩ ( SAD ) = Dễ thấy MN  PQ  AB  CD nên MNPQ hình bình hành A S MNPQ = D S MNPQ = a2 S Q P  MN  AB D  M A Lại có  MQ  SA ⇒ MN ⊥ MQ  AB ⊥ SA  C N B Vậy MNPQ hình thang vng SA a CD a b) Ta có MN , PQ = AB = a , MQ = = = = 2 2 1 a  a 3a Vậy = S MNPQ ( MN + PQ ) MQ =  a +  = 2 22 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Trên cạnh DC BB ' lấy điểm M N cho MD= NB= x ( ≤ x ≤ a ) Khẳng định sau đúng? a) Khẳng định sau đúng? A AC ' ⊥ B ' D ' B AC’ cắt B’D’ C AC’và B’D’ đồng phẳng D Cả A, B, C 24 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc b) khẳng định sau ? A AC ' ⊥ MN B AC’ MN cắt C AC’ MN đồng phẳng D Cả A, B, C Hướng dẫn giải:       Đặt = AA ' a= , AB b= , AD c        a) Ta có AC ' = a + b + c , B ' D '= c − b nên        AC '.B ' D ' = a + b + c c − b    2 2 = a c − b + c − b = a2 − a2 = ( ) ( )( B A M D C N B' A' ) D' C' ⇒ AC ' ⊥ B ' D '          x     x   x   x    b) MN =AN − AM = AB + BN − AD + DM =  b + a  -  c + b  = a + 1-  b - c a   a  a   a        x     x   x   x    Từ ta có AC '.MN = a + b + c [  b + a  -  c + b  = a + 1-  b - c] a   a  a   a x   x  2 2  x = a + 1 −  b − c = x.a + 1 −  a − a = a  a  a Vậy AC ' ⊥ MN Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC = a , BD  3 = a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN 2a a 3a a 10 A MN = B MN = C MN = D MN = 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi E , F trung điểm AB CD A  EN // AC ⇒ ( AC , BD )= ( NE , NF )= 90° ⇒ NE ⊥ NF (1) Ta có:  M  NF // BD E  = FM = AC  NE C Mà:  (2) D F  NF BD = ME = N  B Từ (1), (2) ⇒ MENF hình chữ nhật ( ) ( ( ) ) Từ ta có: MN = NE + NF = 2  AC   BD    +  =     2 a 10  a   3a    +  = 2   Chọn D Câu 10: Trong không gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng?     A AB AC = AB + AC − BC B AB AC = AB + AC − BC     C AB AC = AB + AC − BC D AB AC = AB + AC − BC Hướng dẫn giải: Chọn A   BC = AB + AC − AB AC.cos ( AB, AC ) = AB + AC − AB AC   Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG a2 A a B a C D a 2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 25 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Hướng dẫn giải: Chọn B        Ta có AB.EG = AB AC , mặt khác AC = AB + AD        2   Suy AB.EG = AB AC = AB AB + AD = AB + AB AD = a ( ) Câu 12: Cho tứ diện ABCD có = AB a= , BD 3a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN a 10 a A MN = B MN = C 2a 3a D MN = MN = Hướng dẫn giải: Chọn B Kẻ NP //AC ( P ∈ AB ) , nối MP a AC = 2 3a BD = MP đường trung bình ∆ABD ⇒ PM = 2  Lại có ( AC , BD= ) ( PN , PM =) NPM= 90° suy ⇒ ∆MNP vuông P a 10 Vậy MN = PN + PM = NP đường trung bình ∆ABC ⇒ PN = Câu 13: Cho tứ diện ABCD AB = , CD = , góc AB CD 60° điểm M BC cho BM = MC Mặt phẳng ( P ) qua M song song với AB CD cắt BD , AD , AC M , N , Q Diện tích MNPQ bằng: A 2 B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Thiết diện MNPQ hình bình hành = 60° Ta có ( AB, CD= ) ( QM , MP=) QMP Suy S MPNQ QN QN sin 60° = Lại có CM MO ∆CMQ # ∆CBA ⇒ = =⇒ MQ = AB AB AQ QN ∆AQN # ∆ACD ⇒ = = ⇒ QN = AC CD Do đó= S MPNQ QM QN= sin 60° 2.2.sin = 60° Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD= , AB 4,= CD M điểm thuộc cạnh BC cho MC = BM Mặt phẳng ( P ) qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện ( P) với tứ diện là? A 26 B C 17 D 16 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Hướng dẫn giải: = 90° Ta có ( AB, CD= ) ( MN , MQ=) NMQ Suy thiết diện MNPQ hình chữ nhật Lại có: CM MN ∆CMN  ∆CBA ⇒ = =⇒ MN = CB AB 3 AN NP ∆ANP  ∆ACD ⇒ = = ⇒ MP = AC CD 16 SMNPQ MN.NP = Suy ra= Chủ đề 30 Hai đường thẳng vng góc Tài liệu thuộc Series Tổng ơn Tốn 11 DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS     Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Được nhận tài liệu độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP bit.ly/vipkys Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 27 ... A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc. .. c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song... thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng vng góc với Tài liệu