Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:A. AD DC ⊥ . B. AC BD ⊥ . C. AD BC ⊥ . D. AB BC AC + = .Hướng dẫn giảiTứ diện ABCD là đều nên AD không thể vuông góc với DC .Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABCD A B C D . . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?A. AC AB AD AC ,,, . B. A D AA A D DD , , , .C. AC AB AD AA ,,, . D. AB AB AD AA , , , .Hướng dẫn giảiTừ hình vẽ ta thấy các vectơ A D AA A D DD Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:A. AD DC ⊥ . B. AC BD ⊥ . C. AD BC ⊥ . D. AB BC AC + = .Hướng dẫn giảiTứ diện ABCD là đều nên AD không thể vuông góc với DC .Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABCD A B C D . . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?A. AC AB AD AC ,,, . B. A D AA A D DD , , , .C. AC AB AD AA ,,, . D. AB AB AD AA , , , .Hướng dẫn giảiTừ hình vẽ ta thấy các vectơ A D AA A D DD
TÁN ĐỔ TỐN PLUS CHỦ ĐỀ 23 QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu Câu VIP HƯỚNG DẪN GIẢI Trong không gian cho tứ diện ABCD Khẳng định sau sai: B AC ⊥ BD C AD ⊥ BC D AB + BC = A AD ⊥ DC AC Hướng dẫn giải Tứ diện ABCD nên AD khơng thể vng góc với DC Trong khơng gian cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Khi vectơ sau đồng phẳng? B A ' D, AA ', A ' D ', DD ' A AC , AB, AD, AC ' C AC , AB, AD, AA ' D AB ', AB, AD, AA ' Hướng dẫn giải Từ hình vẽ ta thấy vectơ A ' D, AA ', A ' D ', DD ' thuộc mặt phẳng ( AA ' D ' D ) A B D C A′ Câu Câu B′ D′ C′ Cho tứ diện ABCD M , N trung điểm AB CD Chọn mệnh đề đúng: MN ( AD + BC ) B = A.= MN 2( AB + CD) A MN ( AC + CD) D .= C.= MN 2( AC + BD) M Hướng dẫn giải MN = MA + AD + DN Ta có: B MN = MB + BC + CN D Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta có: N MN = ( MB + MA) + ( BD + AC ) + ( DN + CN ) C ⇔ MN = ( BD + AC ) ⇔ MN = ( AC + BD) Trong không gian cho hai đường thẳng a b có vectơ phương u , v Gọi α góc hai đường thẳng a b Khẳng định sau đúng: A α = (u , v) B cos α = cos(u , v) C Nếu a b vng góc với u.v = sin α Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ D Nếu a b vng góc với u.v = Hướng dẫn giải Ta có: ⇔ IG = IC ' + IC ' + IC + CB + C ' B ' + C ' A ' (Theo tính chất tích vơ hướng hai Câu ) ) ( ( vectơ) Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A Nếu AB + BC + CD + DA = bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng B Tam giác ABC có I trung điểm cạnh BC ta có đẳng thức: 2AI = AB + AC C Vì BA + BC = nên suy B trung điểm AC D Vì AB = −2 AC + AD nên điểm A, B, C , D đồng phẳng Hướng dẫn giải Câu Bằng quy tắc điểm ta nhận thấy AB + BC + CD + DA = với điểm A, B, C , D nằm không gian riêng điểm đồng phẳng Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn mệnh đề đúng: A AG= ( AB + AC + CD) B AG= ( BA + BC + BD) C AG= ( AB + AC + AD ) Hướng dẫn giải Vì G trọng tâm tứ diện ABCD nên suy ra: GA + GB + GC + GD = ⇔ AG = GB + GC + GD ⇔ AG = GA + AB + GA + AC + GA + AD ⇔ 4AG = AB + AC + AD ⇔ AG= AB + AC + AD Cho tứ diện ABCD Mệnh đề sau sai? A AD B AC.BD = = CD AC = DC C AD.BC = D AB.CD = Hướng dẫn giải Vì tứ diện ABCD tứ diện nên có cặp cạnh đối vng góc Vậy AC = = = BD AD BC AB CD Trong không gian cho vectơ u , v, w không đồng phẳng Mệnh đề sau đúng? A Các vectơ u + v, v, w đồng phẳng B Các vectơ u + v, − 2u , w đồng phẳng C Các vectơ u + v, v, w không đồng phẳng D Các vectơ u + v , − u , − v không đồng phẳng ) ( ( ( Câu Câu D AG= ( BA + BC + BD ) ) ( ) ) ( ) Hướng dẫn giải Vì u , v, w khơng đồng phẳng nên : • u + v, v, w không đồng phẳng, • u + v, v, w khơng đồng phẳng Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ u + v, − 2u , w không đồng phẳng Các vectơ u + v , − u , − v hiển nhiên đồng phẳng Câu Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Đặt AA ' = u , AB = v , AC = w Biểu diễn vectơ BC ' qua vectơ u , v, w Chọn đáp án đúng: A BC ' = u − v + w B BC ' = u + v + w C BC ' = u + v − w D BC ' = u − v − w Hướng dẫn giải Ta có: BC ' =+ BC CC ' =+ BA AC + CC ' = −v + w + u = u −v+ w Câu 10 Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? A Nếu = AB AC − AD điểm A, B, C , D đồng phẳng B AB = AC ⇔ BC = CA C Nếu AB = − BC B trung điểm AC D Cho d ⊂ (α ) d ' ⊂ ( β ) Nếu mặt phẳng (α ) ( β ) vng góc với hai đường • ( ) thẳng d d ' vng góc với Hướng dẫn giải = AB AC − AD thỏa mãn biểu thức = c ma + nb (với m, n nhất) định lý vectơ đồng phẳng Câu 11 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ , M trung điểm BB′ Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c Khẳng định sau đúng? B AM = b − a + c A AM = a − c + b 2 C AM = a + c − b D AM = b + c − a 2 Hướng dẫn giải Cần lưu ý tính chất M trung điểm = AM AB + AB′ 2 Khi đó: 1 AM = AB + AB′ = AB + AB + BB′ = AB + AA′ = AC + CB + AA′ =− a + b + c 2 2 2 2 Câu 12 Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là: OB + OD A OA + OC = B OA + OB + OC + OD = 2 OC + OD C OA + OB = D OA + OC = OB + OD 2 Hướng dẫn giải Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành AB = CD AC = BD Khi • OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ AB = CD • OA + OB + OC + OD = : O trọng tâm tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD (Loại) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ OD − OB ⇔ CA = BD (Loại) 2 OD − OC ⇔ BA = CD (Loại) • 2 Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD = d Khẳng định sau đúng? B a + b = c + d A a + c = d + b C a + d = b + c D a + c + d + b = Hướng dẫn giải Gọi O tâm hình bình hành ABCD , SA + SC = SB + SD = SO Vậy a + c = d + b Câu 14 Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , AC = c , AD = d Khẳng định sau đúng? c+b−d = d +b−c B MP A MP= 2 c + d −b c+d +b C MP= D MP= 2 Hướng dẫn giải − AB + AC + AD = MP = MC + MD = MA + AC + AD = c + d −b 2 2 2 2 • OA + OB =OC + OD ⇔ OA − OC= 2 OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Câu 15 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ' = u , CA ' = v , BD ' = x , DB ' = y Chọn khẳng định đúng? u+v+ x+ y A 2OI= B 2OI =− u + v + x + y u+v+ x+ y C 2OI =− u + v + x + y D 2OI= Hướng dẫn giải Do I tâm hình bình hành ABCD nên 4OI = OA + OB + OC + OD ⇔ 4OI= C ′A + D′B + A′C + B′D ⇔ 4OI = − AC ′ + BD′ + CA′ + DB′ ⇔ 2OI =− u + v + x + y ( ) ( ( ( ) ( ) ) ) ( ( ) ) Câu 16 Cho chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Tính góc α đường SC mặt phẳng ( SAD ) ? A α ≈ 200 42 ' B α ≈ 200 70 ' C α ≈ 69017 ' D α ≈ 69030 ' Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Hướng dẫn giải CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) Tức D Ta có CD ⊥ SA S hình chiếu vng góc C lên ( SAD ) ⇒ Góc SC ( SAD ) CSD SD = SA2 + AD = a ; =CD = ⇒ CSD ≈ 200 42 ' tan CSD SD D A Câu 17 Cho S ABC có ( SAC ) ( SAB ) vng góc với đáy, ∆ABC cạnh a , SA = 2a Tính B góc α SB ( SAC ) ? C A α ≈ 220 47 ' B α ≈ 220 79 ' C α ≈ 37 45' Hướng dẫn giải D α ≈ 67 012 S Lấy H trung điểm AC Dễ chứng minh BH ⊥ ( SAC ) suy H hình chiếu vng góc B lên ( SAC ) ⇒ Góc SB ( SAC ) góc BSH SH = SA2 + AH = a 17 a ; BH = 2 H A ⇒ α ≈ 220 47 ' 17 Câu 18 Cho ∆SAB hình vng ABCD nằm mặt = ⇒ tan BSH phẳng vuông góc Tính góc SC ( ABCD ) ? A α ≈ 18035' C α ≈ 37 45' Hướng dẫn giải Lấy H trung điểm AB C B B α ≈ 150 62 ' D α ≈ 630 72 ' SH ⊥ ( ABCD ) S ⇒ Góc SC ( ABCD ) SCH a a HB + BC = , CH = 2 = ⇒ tan SCH ⇒ α ≈ 37 45' SH = A D H B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C Câu 19 Cho S ABCD có đáy hình thang vuông A B, AD= 2a, AB= BC= a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Tính góc SD mặt phẳng ( SAC ) ? A α ≈ 2405' B α ≈ 34015' C α ≈ 73012 ' Hướng dẫn giải Dễ chứng minh D α ≈ 6208' DC ⊥ AC DC ⊥ SA nên DC ⊥ ( SAC ) , góc SD ( SAC ) D SC S nên Dễ thấy góc SC tạo mặt phẳng đáy góc SCA = 600 SCA = SA a= 6, SD a = 10, CD a CD ⇒ tan D = ⇒ α ≈ 2405' SC = A SD Câu 20 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = 2a , đáy tam giác vuông A , ABC = 60 , , AB = a Tính góc hai mặt phẳng ( SAC ) ( ABC ) ? D B C B α ≈ 44012 ' A α ≈ 760 24 ' D α ≈ 73053' C α ≈ 63015' Hướng dẫn giải Từ giải thiết có SA = SB = SC = 2a , ta hạ S SH ⊥ ( ABC ) H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ H trung điểm BC AC ( SAC ) ∩ ( ABC ) = ⇒ Góc AC ⊥ ( SHM ) Ta có: ( SAC ) ( ABC ) SMH HM = a , SH a = SH = ⇒ tan SMH = MH M ≈ 73053' ⇒ SMH Câu 21 Cho S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vng góc với đáy Tính góc ( SAB ) ( SCD) ? C H B A A α ≈ 35015' B α ≈ 750 09 ' C α ≈ 67 019 ' Hướng dẫn giải D α ≈ 38055' Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Ta thấy giao tuyến ( SAB ) ( SCD ) đường d qua S song song với AB S Dễ chứng minh d ⊥ ( SAD ) nên góc ( SAB ) ( SCD) d DSA Ta dễ thấy góc SC mặt phẳng đáy = 450 Từ dễ dàng tính góc SCA = SA AC = a 2, AD = a A = ⇒ α ≈ 35015' ⇒ tan DSA Câu 22 Cho chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy D B C ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tính góc ( SBC ) ( SCD ) A α = 74012 ' B α = 42034 ' C α = 300 Hướng dẫn giải D α = 600 Dễ chứng minh góc ( SCD ) S đáy = 450 nên SA = a SDA Lấy M , N trung điểm SB, SD Dễ chứng minh AN ⊥ ( SCD ) , AM ⊥ ( SBC ) suy góc ( SBC ) ( SCD ) góc AN , AM AM = AN = MN = N M DB a = = ⇒ MAN 600 2 D A Câu 23 Cho S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc Biết SA= SB= a, SC= a Hỏi góc ( SBC ) B ( ABC ) ? A α ≈ 500 46 ' B α = 63012 ' C α = 340 73' Hướng dẫn giải D α = 42012 ' C Hạ SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ Góc ( SBC ) ( ABC ) SHA SB.SC a 6 = = ⇒ tan SHA ⇒ α ≈ 500 46 ' BC Câu 24 Cho S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, SA vng góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt SH = phẳng đáy góc 450 hợp với ( SAB ) góc 300 Tính góc ( SBC ) mặt phẳng đáy? A α = 83081' B α = 790 01' C α = 62033' D α ≈ 540 44 ' Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Hướng dẫn giải =450 , B SC =300 Dễ thấy SCA ⇒ SA = S x2 + a2 ∆SBA ⇒ SB = SA2 + AB = x + 2a ∆SBC ⇒ SB.tan 300 = BC ⇔ x + 2a= 3.x ⇔ = x a A BC =⇒ x AC =x + a D ⇒ SA = a C = nên α ≈ 540 44 ' Xét ∆SAB có tan SBA B Câu 25 Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy hình chữ nhật = 4a, AD = 3a Các cạnh bên có độ cạnh AB dài 5a Tính góc ( SBC ) ( ABCD ) ? A α = 750 46 ' B α = 710 21' α = 68031' D α ≈ 65012 ' C Hướng dẫn giải Hạ SH ⊥ ( ABCD) Do cạnh bên S nên H tâm đường tròn ngoại tiếp đáy, tức H tâm đáy Lấy I trung điểm BC nên góc ( SBC ) ( ABCD ) SIH IH = 2a, SH = SC − HC= 5a = ⇒ α ≈ 65012 ' ⇒ tan SIH Câu 26 Khẳng định sau khẳng định sai ? A Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (α ) (α ) d vngB D A I H C góc với đường thẳng nằm (α ) B Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) d vng góc với hai đường thẳng (α ) C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm (α ) d ⊥ (α ) D Nếu d ⊥ (α ) đường thẳng a // (α ) a ⊥ d • Hướng dẫn giải: Đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng song song nằm mặt phẳng (α ) nên • đáp án sai Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α ) lúc vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (α ) nên vng góc với hai đường thẳng hiển nhiên • đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (α) vng góc với mặt phẳng (α ) d vng với đường thẳng nằm (α ) hiển nhiên Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ • Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α ) d song song trùng với giá véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) đường thẳng a // (α ) a ⊥ d Câu 27 Trong không gian cho đường thẳng ∆ điểm O Qua O có đường thẳng vng góc với ∆? A Vơ số B C D Hướng dẫn giải Qua điểm O có vơ số đường thẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước chúng nằm mặt phẳng qua O vng góc với đường thẳng ∆ Câu 28 Qua điểm O cho trước, có mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước? A Vô số B C D Hướng dẫn giải: Qua điểm O cho trước có mặt phẳng qua O vng góc với đường thẳng cho trước Câu 29 Mệnh đề sau mệnh đề sai ? A Một đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng cho) vng góc với đường thẳng song song B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song Hướng dẫn giải: Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song hai đường thẳng đồng phẳng Trong trường hợp không đồng phẳng chúng chéo khơng gian Các đáp án khác hiển nhiên Câu 30 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 4, độ dài đường chéo là: A Hướng dẫn giải: B 50 C Độ dài đường chéo hình hộp 32 + 42 + 52 = D 12 50= Vậy đáp án Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABC ) ABC vuông B AH đường cao SAB Khẳng định sau khẳng định sai ? A SA ⊥ BC B AH ⊥ BC Hướng dẫn giải: C AH ⊥ AC D AH ⊥ SC Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên SA ⊥ BC Mà ABC vuông B: AB ⊥ BC SA ⊥ BC AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ AH ⊂ ( SAB ) ; ⇒ AH ⊥ SC ⊂ ( SBC ) AB ⊥ BC AH ⊥ SB AH ⊥ AC ⇒ AC ⊥ AB ⊂ ( SAB ) ABC vng A (Vơ lý) Nếu SA ⊥ AC Vậy AH ⊥ AC sai Câu 32 Cho điểm A nằm mặt phẳng ( P ) Gọi H hình chiếu A lên ( P ) M, N điểm thay đổi ( P ) Mệnh đề sau mệnh đề sai? Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ A Nếu B Nếu C Nếu D Nếu AM AM AM HM = AN > AN > AN > HN thì thì HM HM HM AM = HN > HN < HN > AN Hướng dẫn giải Theo tính chất mối liên hệ đường xiên ( AM , AN ) hình chiếu ( HM , HN ) Đường xiên dài có hình chiếu dài ngược lại Mệnh đề sai “Nếu AM > AN HM < HN ” Câu 33 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góC Chỉ mệnh đề sai mệnh đề sau đây: A Ba mặt phẳng ( ABC ) ; ( ABD ) ; ( ACD ) đơi vng góC B Tam giác BCD vng C Hình chiếu A lên mặt phẳng ( BCD ) trực tâm tam giác BCD D Hai cạnh đối tứ diện vuông góc Hướng dẫn giải: • Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đơi vng góc nên AB ⊥ ( ACD ) ; AC ⊥ ( ABD ) ; AD ⊥ ( ABC ) ba mặt phẳng ( ABC ) ; ( ABD ) ; ( ACD ) đơi vng góc • Gọi H hình chiếu A ( BCD ) AH ⊥ ( BCD ) AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( ABH ) ⇒ CD ⊥ BH Tương tự AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ BC ⇒ CD ⊥ ( ADH ) ⇒ BC ⊥ DH • Do H trực tâm tam giác BCD Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đơi vng góc nên AB ⊥ ( ACD ) ⇒ AB ⊥ CD AC ⊥ ( ABC ) ⇒ AC ⊥ BD AD ⊥ ( ABC ) ⇒ AD ⊥ BC Vậy hai cạnh đối tứ diện vng góc • Vậy tam giác BCD vuông sai Câu 34 Cho đoạn thẳng AB (P) mặt phẳng trung trực Mệnh đề sau mệnh đề sai? A MA= MB ⇒ M ∈ ( P ) B MN ⊂ ( P ) ⇒ MN ⊥ AB MB D M ∈ ( P ) ⇒ MA = C MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ ( P ) Hướng dẫn giải: Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB tập hợp điểm không gian cách điểm MB A B ⇒ Nếu M ∈ ( P ) ⇒ MA = Mặt phẳng ( P) mặt phẳng trung trực AB ⇒ AB ⊥ ( P ) Nếu MN ⊂ ( P ) ⇒ MN ⊥ AB Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB tập hợp điểm không gian cách điểm A B ⇒ Nếu MA= MB ⇒ M ∈ ( P ) Nếu MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ ( P) sai MN đoạn thẳng qua A vng góc với AB lúc MN // ( P ) VẬN DỤNG THẤP 10 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Câu 35 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Phân tích vectơ AC ' theo vectơ AB, AD, AA ' Chọn đáp án đúng: A AC =' B AC ' =AA ' + AB + AD AA ' + AB + AD C AC ' =2 AA ' + AB + AD D AC ' = AA ' + AB + AD Hướng dẫn giải ( ) ) ( Lưu ý phép cộng vectơ hình vuông ABCD : AB + AD = AC Ta có: AC ' = AC + AA ' = AA ' + AB + AD Câu 36 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tích vơ hướng hai vectơ AB A ' C ' có giá trị bằng: A a C a 2 B a D 2a Hướng dẫn giải = 45° Ta có: A ' C ', AB= AC , AB= BAC ⇒ A ' C ' AB = A ' C ' AB cos A ' C ', AB = a.a.1 = a2 Câu 37 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có: AB + B ' C ' + DD ' = k AC ' Giá trị k là: A B C D Hướng dẫn giải Ta có AC ' = AB + BC + CC ' = AB = B ' C ' + DD ' Vậy k = Câu 38 Cho tứ diện ABCD , gọi M , N trung điểm cạnh AC BD , G trọng tâm tứ ( ) ( ) ( ) diện ABCD O điểm không gian Giá trị k thỏa mãn đẳng thức OG= k OA + OB + OC + OD là: ( ) A B C D Hướng dẫn giải Vì G trọng tâm tứ diện nên: GA + GB + GC + GD = ⇔ GO + OA + GO + OB + GO + OC + GO + OD = ⇔ 4GO + OA + OB + OC + OD = ⇔ 4OG = OA + OB + OC + OD ⇔ OG= OA + OB + OC + OD Vậy k = Câu 39 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Đặt AA ' = a , AB = b , AC = c , Gọi I điểm thuộc CC ' cho C ' I = C ' C , G trọng tâm tứ diện BA ' B ' C ' Biểu diễn vectơ IG qua vectơ a, b, c Chọn đáp án : A = B IG= a + b + 2c IG a + b − 2c 43 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ ) 11 C IG = D = + − IG a c b + − b c a 4 Hướng dẫn giải Ta có: G trọng tâm tứ diện BA ' B ' C ' nên : IG = IB + IA ' + IB ' + IC ' ⇔ IG = IC + CB + IC ' + C ' A ' + IC ' + C ' B ' + IC ' ⇔ IG = IC ' + IC ' + IC + CB + C ' B ' + C ' A ' ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ⇔ IG = CC ' + + 2CB − AC = AA ' + 2CB − AC 3 ⇔ IG = a + b − c − c 2b a ⇔ IG = + − 3c 43 ( ) Câu 40 Cho chóp S ABC có ∆SAB cạnh a, ∆ABC vng cân B ( SAB) ⊥ ( ABC ) Tính góc SC ( ABC ) ? A α = 39012 ' Hướng dẫn giải B α = 460 73' C α ≈ 350 45' D α = 520 67 ' Lấy H trung điểm AB Dễ thấy SH ⊥ ( ABC ) nên CH hình chiếu vng góc SC lên ( ABC ) Góc SH = SC ( ABC ) SCH a a = , HC = ⇒ tan SCH 2 ⇒ α ≈ 350 45' Câu 41 Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình vng cạnh a, = SA a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc SB AC ? A α ≈ 69017 ' B α ≈ 72084 ' C α ≈ 840 62 ' Hướng dẫn giải Lấy M trung điểm SD Khi góc cần tìm góc OM OC Ta có trung tuyến MC ∆SCD ⇒ = MC D α ≈ 27 038' S SC + DC SD −= 2a 2 M ⇒ MC = a Xét ∆MOC có : MO + OC − MC cosMOC = = − 2.MO.OC 2 ⇒ α ≈ 69017 ' Câu 42 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có A D O AB = 1, = AA ' m ( m > ) Hỏi m để góc C B AB ' BC ' 600 ? A m = Hướng dẫn giải 12 B m = C m = D m = Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Lấy M , N , P trung điểm BB ', B ' C ', AB C A MP //AB ', MN //BC ' P Suy góc cần tìm góc MP, MN MP = MN = ⇒ PN = m2 + Lấy Q trung điểm A ' B ' PQ + QN = m2 + B 2 = PM + MN − PN = ± , từ Suy cosPMN A' 2.PM MN M tính m = Câu 43 Cho chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình vng Q cạnh a , ∆SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc SC AD ? A α ≈ 390 22 ' B α ≈ 730 45 ' C α ≈ 35015' Hướng dẫn giải C' N B' D α ≈ 420 24 ' Dễ Ta có BC //AD nên góc SC AD góc SC BC , góc cần tìm SCB = ⇒ α ≈ 35015' chứng minh ∆SBC vuông B nên tan SCB Câu 44 Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a, ABC = 600 , SA vng góc mặt phẳng đáy SA = a Tính góc ( SBC ) ( ABCD ) ? A α ≈ 33011' Hướng dẫn giải B α ≈ 14055' C α ≈ 62017 ' D α ≈ 26033' Lấy H trung điểm BC Do ABC = 600 nên ∆ABC Dễ chứng minh BC ⊥ ( SAH ) ⇒ Góc cần tìm SHA a = , SA a =⇒ ≈ 26033' ⇒ tan SHA SHA Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hìnhB = AH S A D H C chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) , gọi E , F hình chiếu vng góc A lên SB SD Chọn mệnh đề : A SC ⊥ ( AEF ) B SC ⊥ ( ADE ) C SC ⊥ ( ABF ) D SC ⊥ ( AEC ) Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 13 Hướng dẫn giải SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ BC ⊥ SA ; BC ⊂ ( ABCD ) BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ AE ; BC ⊥ AB AE ⊥ BC ⇒ AE ⊥ SC AE ⊥ SB Tương tự ta có AF ⊥ SC Vậy SC ⊥ ( AEF ) Câu 46 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC Gọi H hình chiếu vng góc S lên ( ABC ) Khi khẳng định đúng? A H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC C H trọng tâm tam giác ABC D H trực tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải Do SA = SB = SC nên hình chiếu vng góc SA, SB, SC lên mặt phẳng ( ABC ) HA, HB, HC thỏa HA = HB = HC Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu 47 Cho hình chóp S ABCD có mặt phẳng đáy hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (α ) qua điểm A vng góc đường thẳng SB cắt đường SB , SC M , N 1 MN = BC 2 SA ⊥ MN A, D, M , N không đồng phẳng (α ) ⊥ ( SBC ) Thiết diện cắt hình chóp S ABCD mặt phẳng (α ) hình bình hành Có nhận định sai? A B 14 C D Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Hướng dẫn giải = SD = BD Do tam giác SBD nên SB ⇔ SA2 + AB = SA2 + AD = ⇔ SA = AB = AD ⇒ ∆SAB vuông cân A AB + AD (α ) ⊥ SB ⇒ M trung điểm SB M (α ) ∩ SB = ∆SBC B vng có MN ⊂ (α ) ⊥ SB ⇒ MN ⊥ SB Vậy MN đường trung bình tam giác ∆SBC MN || BC , MN = BC MN //BC ⇒ MN ⊥ SA SA ⊥ ( ABCD ) ⊃ BC MN //BC //AD ⇒ bốn điểm A, D, M , N đồng phẳng Thiết diện tạo thành hình thang vng ADNM MN có (α ) ⊃ AM ⊥ MN (α ) ≡ ( AMN ) ∩ ( SBC ) = nên (α ) ⊥ ( SBC ) Vậy có nhận định sai Câu 48 Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc hai mặt bên khơng liền kề 1 A B C D 3 Hướng dẫn giải Gọi M , N trung điểm cạnh AD BC , S SM ⊥ AD SN ⊥ BC Giao tuyến hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) đường thẳng d qua S song song AD , BC Vì SM ⊥ AD SN ⊥ BC nên SM ⊥ d SN ⊥ d Vậy góc hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) góc MSN Mặt bên tam giác cạnh a nên SM = SN = B A a , MN = AB = a O M N + SN − MN SM C D Khi : cos MSN = = SM SN Câu 49 Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc hai mặt bên liền kề A − Hướng dẫn giải B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C − D 15 Gọi E trung điểm cạnh SC , AC ⊥ DE S SC ⊥ BE Giao tuyến hai mặt phẳng ( SCD ) ( SBC ) đường thẳng SC Vì AC ⊥ DE SC ⊥ BE nên góc hai mặt phẳng ( SCD ) ( SBC ) góc BED E A Mặt bên tam giác cạnh a nên a AB a = , BD = 2 2 = BE + DE − BD = − Khi : cos MSN BE.DE Câu 50 Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh B DE = BE = C D a Gọi E trung điểm cạnh SC Tính cosin góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( EBD ) A B C − D Hướng dẫn giải Gọi O trung điểm cạnh BD Theo tính chất hình chóp SO ⊥ BD S Mặt bên tam giác cạnh a nên a , BD = = AB a Nên tam giác EBD cân E , EO ⊥ BD DE = BE = Vậy góc hai mặt phẳng ( SBD ) ( EBD ) E góc SOE SO = OE = a , a BE − BO = A SB − OB = = cos SOE SO + OE − SE = SO.OE B O = 2 C D Câu 51 Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a , mặt phẳng đáy BC = 3a , BC ⊂ ( P ) , A ∉ ( P ) Gọi A′ hình chiếu vng góc A lên ( P ) Tam giác A′BC vuông A′ Gọi α góc ( P ) ( ABC ) Chọn khẳng định A α = 300 B α = 600 C α = 450 D cosα = Hướng dẫn giải Tam giác ABC có hình chiếu vng góc lên ( P ) tam giác A′BC = S ABC 3a AB = AC có hình chiếu vng góc lên ( P ) A′B = AH BC 2 A′C nên A′B = A′C Vậy tam giác A′BC vuông cân A′ = S A′ ′BC 16 9a = BC 4 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ cos α = S A′BC = S ABC ⇒ α = 30o Câu 52 Cho tam giác ABC cạnh a d B , dC đường thẳng qua B , C vng góc ( ABC ) ( P ) mặt phẳng qua A hợp với ( ABC ) góc 60o ( P ) cắt d B , dC D E AD = a Khẳng định sau khẳng định đúng? , AE = a Đặt β = DAE B sin β = A β = 30o C sin β = Hướng dẫn giải Tam giác ADE có hình chiếu vng góc lên cos = 60o ( ABC ) D β = 60o tam giác ABC nên : S ABC AB a = , S ABC = S ADE 4 Mặt khác S ADE = Vậy = : sin β AD AE sin β AD AE sin DAE = 2 S ADE = AD AE S ABC cos 600 = AD AE 2 Câu 53 Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ( ABC ) ( ABD ) vng góc với mặt phẳng ( BCD ) Gọi BE DF hai đường cao tam giác BCD , DK đường cao tam giác ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng Khẳng định sau khẳng định sai? A ( ABE ) ⊥ ( DFK ) B ( ADC ) ⊥ ( DFK ) C ( ABC ) ⊥ ( DFK ) D ( ABE ) ⊥ ( ADC ) Hướng dẫn giải CD ⊥ BE ⇒ CD ⊥ ( ABE ) ⇒ ( ABE ) ⊥ ( ACD ) CD ⊥ AB DF ⊥ BC ⇒ DF ⊥ ( ABC ) ⇒ ( ABC ) ⊥ ( DFK ) • DF ⊥ AB • DF ⊥ ( ABC ) ⇒ DF ⊥ AC ; DF ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( DFK ) ⇒ ( ACD ) ⊥ ( DFK ) DK ⊥ AC • ( ABE ) ⊥ ( DFK ) ⇒ AB ⊥ ( DFK ) ⇒ AB ⊥ DK ( ABC ) ⊥ ( DFK ) DK ⊥ AB ⇒ DK ⊥ ( ABC ) DK ⊥ AC DK ⊥ ( ABC ) ⇒ DF //DK DF ≡ DK (vô lý) DF ⊥ ( ABC ) Vậy ( ABE ) ⊥ ( DFK ) khẳng định sai Tài liệu KYS Ni dưỡng ước mơ 17 Câu 54 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có O tâm hình vng ABCD , AB = a , SO = 2a Gọi ( P ) mặt phẳng qua AB vng góc với mặt phẳng ( SCD ) Thiết diện ( P ) hình chóp S ABCD hình gì? A Hình thang vng C Hình thang cân Hướng dẫn giải B Tam giác cân D Hình bình hành Gọi I , J trung điểm AB , CD Hiển nhiên ( SIJ ) ⊥ ( SCD ) 17 = >0 17 IO + SO nên góc ∠SIJ góc nhọn Gọi K hình chiếu vng góc = Khi cos SIJ IO = SI IO I lên ( SCD ) K nằm đoạn SJ Do cách xác định K , IK ⊥ ( SCD ) , nên ( AB; IK ) ≡ ( P ) hay ( P ) ( ABK ) MN M , N nằm Gọi ( P ) ∩ ( SCD ) = đoạn SC , SD Khi : AB ⊂ ( P ) , CD ⊂ ( SCD ) , AB //CD ⇒ MN //AB //CD nên thiết diện ( P ) hình chóp S ABCD hình hình thang ABMN Mặt khác IK vng góc AB , MN trung điểm I , K hai đoạn AB , MN nên ABMN hình thang cân Câu 55 Cho tứ diện ABCD có cạnh có độ dài a , M trung điểm đoạn CD Gọi α góc AC BM Chọn khẳng định đúng? A α = 30o B cos α = C cos α = D cos α = Hướng dẫn giải Gọi N trung điểm AD , MN //AC nên góc AC BM góc MN BM, , α = BMN góc BMN a BM + MN − BN a BM = BN = = BMN = ; MN = = cos α cos 2 BM MN 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... hình chi u vng góc A lên ( P ) Tam giác A′BC vuông A′ Gọi α góc ( P ) ( ABC ) Chọn khẳng định A α = 300 B α = 600 C α = 450 D cosα = Hướng dẫn giải Tam giác ABC có hình chi u vng góc lên... giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính góc SC AD ? A α ≈ 390 22 ' B α ≈ 730 45 ' C α ≈ 35015' Hướng dẫn giải C' N B' D α ≈ 420 24 ' Dễ Ta có BC //AD nên góc SC AD góc. .. Hướng dẫn giải: Qua điểm O cho trước có mặt phẳng qua O vng góc với đường thẳng cho trước Câu 29 Mệnh đề sau mệnh đề sai ? A Một đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng cho) vng góc với đường