GIẢI CHI TIẾT quan hệ vuông góc trong không gian

Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:A. AD DC ⊥   . B. AC BD ⊥   . C. AD BC ⊥   . D. AB BC AC + =    .Hướng dẫn giảiTứ diện ABCD là đều nên AD không thể vuông góc với DC .Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABCD A B C D . . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?A. AC AB AD AC ,,,     . B. A D AA A D DD , , ,     .C. AC AB AD AA ,,,     . D. AB AB AD AA , , ,     .Hướng dẫn giảiTừ hình vẽ ta thấy các vectơ A D AA A D DD Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:A. AD DC ⊥   . B. AC BD ⊥   . C. AD BC ⊥   . D. AB BC AC + =    .Hướng dẫn giảiTứ diện ABCD là đều nên AD không thể vuông góc với DC .Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABCD A B C D . . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?A. AC AB AD AC ,,,     . B. A D AA A D DD , , ,     .C. AC AB AD AA ,,,     . D. AB AB AD AA , , ,     .Hướng dẫn giảiTừ hình vẽ ta thấy các vectơ A D AA A D DD

Trang 1

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

CHỦ ĐỀ 23 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1 Trong không gian cho tứ diện đều ABCD Khẳng định nào sau đây là sai:

A  AD⊥DC

B  AC ⊥BD

C  AD⊥BC

D   AB+BC= AC

Hướng dẫn giải

Tứ diện ABCD là đều nên AD

không thể vuông góc với DC

Câu 2 Trong không gian cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?

A    AC AB AD AC, , , '

B    A D AA' , ', A D' ', DD'

C    AC AB AD AA, , , '

D    AB', AB AD AA, , '

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ    A D AA' , ', A D' ', DD'

cùng thuộc mặt phẳng (AA D D ' ' )

Câu 3 Cho tứ diện ABCD M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD Ch ọn mệnh đề đúng:

2

MN = AD+BC

  

B MN=2( AB CD+ )

2

MN = AC+CD

  

D .MN=2( AC+BD)







   

Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có:

2MN=(MB +MA) (+ BD +AC) (+ DN +CN)

1

2

MN BD AC MN AC BD

⇔ =  + ⇔=  +

Câu 4 Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u v ,

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng a và b Khẳng định nào sau đây là đúng:

A α = ( , ) u v 

B cosα = cos( , )u v 

C Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v =sinα

VIP

C D

C′

D′

A

B

C

D

N

M

Trang 2

D Nếu a và b vuông góc với nhau thì u v =0

Ta có: ⇔4IG =IC'+(2IC '+IC) (+ CB C B  + ' ')+C A' '

(Theo tính chất tích vô hướng của hai vectơ)

Câu 5 Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

A Nếu     AB+BC+CD+DA=0

thì bốn điểm A B C D, , , đồng phẳng

B Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2AI AB AC  = +

C Vì BA BC  + =0

nên suy ra B là trung điểm của AC

D Vì AB= −2AC+3AD

nên 4 điểm A B C D, , , đồng phẳng

Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng     AB+BC+CD+DA=0

đúng với mọi điểm A B C D, , ,

nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng

Câu 6 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn mệnh đề đúng:

4

AG= AB+AC+CD

   

3

AG= BA+BC+BD

   

4

AG= AB+AC+AD

   

4

AG= BA+BC+BD

   

Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên suy ra:

0

GA GB GC    + + +GD=

⇔   = + +

( ) ( ) ( )

⇔=  + +  + +  +

⇔    = + +

1 4

⇔=   + +

Câu 7 Cho tứ diện đều ABCD Mệnh đề nào sau đây là sai?

A     AD CD =AC DC =0

B   AC BD =0

C   AD BC =0

Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc

Vậy       AC BD =AD BC =AB CD =0

Câu 8 Trong không gian cho 3 vectơ u v  , , w

không đồng phẳng Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Các vectơ u   + v v w, ,

đồng phẳng

B Các vectơ u + − 2 v, u , 2w

đồng phẳng

C Các vectơ u   + v v, , 2w

không đồng phẳng

D Các vectơ 2( )u + , − −v u , v

Vì u v w  , ,

không đồng phẳng nên :

• u   + v v w, ,

không đồng phẳng,

• u   + v v, , 2w

Trang 3

• u + − 2 v, u , 2w

Các vectơ 2( )u + , − −v u , v

hiển nhiên là đồng phẳng

Câu 9 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Đặt  AA'=u

,  AB=v

,  AC =w

Biểu diễn vectơ BC'

qua các vectơ u v w  , ,

Chọn đáp án đúng:

A    BC'= − +u v w

B BC   '= + +u v w

C    BC'= + −u v w

D BC   '= − −u v w

Ta có:

BC =BC+CC =BA+AC+CC = − + + = − +v u u v

           

Câu 10 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A Nếu AB=3AC−4AD

thì 4 điểm , , ,A B C D đồng phẳng

3

AB= AC⇔BC= CA

   

2

AB= − BC

 

thì B là trung điểm của AC

D Cho d ⊂( )α và d'⊂( )β Nếu mặt phẳng ( )α và ( )β vuông góc với nhau thì hai đường thẳng d và d' cũng vuông góc với nhau

AB= AC− AD

  

thỏa mãn biểu thức c ma nb= + 

(với m n, là duy nhất) của định lý về các vectơ đồng phẳng

Câu 11 Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′, M là trung điểm của BB′ Đặt CA a =

,CB =b

,  AA'=c

Khẳng định nào sau đây đúng?

2

AM = − +a c b

2

AM = − +b a c

2

AM = + −a c b

2

AM = + −b c a

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì 1 1

AM = AB+ AB′

  

Khi đó:

AM = AB+ AB′= AB+ AB+ BB′= AB+ AA′= AC+CB+ AA′= − + +a b c

             

Câu 12 Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để

A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:

OA+ OC=OB+ OD

   

B OA OB OC    + + +OD=0

OA+ OB=OC+ OD

   

D OA OC   + =OB OD+

Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB CD =

hoặc AC BD =

Khi đó

• OA OC OB OD   + = + ⇔OA OB   − =OD OC− ⇔ AB=CD

• OA OB OC    + + +OD=0

: O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD (Loại)

Trang 4

• 1 1

OA+ OB =OC+ OD 1 1

⇔ − = −  1

2

⇔= 

(Loại)

OA+ OC =OB+ OD⇔OA OB − = OD− OC⇔BA= CD

(Loại)

Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Đặt SA= a

; SB

= b

; SC

= c

; SD

=

d



Khẳng định nào sau đây đúng?

A a   + = +c d b

C a   + = +d b c

D a c    + + + =d b 0

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, khi đó SA SC   + =SB+SD=2SO

Vậy a c d b   + = +

Câu 14 Cho tứ diện ABCD Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD Đặt AB b =

, AC=c

,

AD=d

 

.Khẳng định nào sau đây đúng?

2

MP= c b d+ −

2

MP= d+ −b c

2

MP= c+ −d b

2

MP= c+ +d b

( )

MP= MC+ MD=MA+ AC+ AD= − AB+ AC+ AD= c+ −d b

Câu 15 Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tâm O Gọi I là tâm hình bình hành ABCD Đặt  AC'=u

, '

CA  =v

, BD '=x

, DB '= y

Chọn khẳng định đúng?

2

4

OI= u   + + +v x y

2

OI = − u+ + +v x y

2

4

OI= − u   + + +v x y

2 2

OI= u   + + +v x y

Do I là tâm hình bình hành ABCD nên

4OI    =OA OB OC+ + +OD

1 4 2

OI C A D B′ ′ A C′ B D′

⇔ =    + + +

1 4

2

OI AC′ BD′ CA′ DB′

⇔ = −    + + +

1 2

4

⇔ = −    + + +

Câu 16 Cho chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA⊥(ABCD), SA=a 6 Tính góc α giữa

đường SC và mặt phẳng (SAD ? )

C α ≈69 17 '0 D.α ≈69 30 '0

Trang 5

CD SA

⊥



hình chiếu vuông góc của C lên (SAD )

⇒ Góc giữa SC và (SAD là ) CSD

7

SD= SA +AD =a ;

7

CD

SD

Câu 17 Cho S ABC có (SAC) và (SAB) cùng vuông

góc với đáy, ABC∆ đều cạnh a , SA=2a Tính

góc α giữa SB và ( SAC ? )

A α ≈22 47 '0 B α ≈22 79 '0

Lấy H là trung điểm AC Dễ chứng minh BH ⊥(SAC)

suy ra H là hình chiếu vuông góc của B lên (SAC)

⇒ Góc giữa SB và (SAC là góc .) BSH

;

SH = SA +AH = BH =

17

Câu 18 Cho ∆SAB đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt

phẳng vuông góc nhau Tính góc giữa SC và (ABCD ? )

15 62 '

Lấy H là trung điểm AB khi đó

SH ⊥ ABCD

⇒ Góc giữa SC và (ABCD là ) SCH



0

,

3

5

SH CH HB BC

SCH α

S

B H

S

B

C

D H

A

B

C S

Trang 6

Câu 19 Cho S ABCD có đáy hình thang vuông tại A và , B AD =2 ,a AB =BC= a SA, vuông góc với

mặt phẳng đáy Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600 Tính góc giữa SD và mặt phẳng (SAC ? )

Dễ chứng minh DC ⊥ AC và DC ⊥SA nên

DC⊥ SAC , vậy góc giữa SD và (SAC là ) D C S

Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy là góc  SCA nên

60

SCA=

SA=a SD=a CD=a

5

CD

D C

Câu 20 Cho hình chóp S ABC có SA=SB=SC=2a, đáy là tam

giác vuông tại A ,  0

60

ABC= , , AB= Tính góc gia ữa hai mặt phẳng (SAC và ) (ABC ? )

Từ giải thiết có SA=SB=SC=2a, nếu ta hạ

SH ⊥ ABC thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp

∆ ⇒ là trung điểm BC

SAC ABC AC

AC SHM

(SAC và ) (ABC là ) SMH.

2

a

SMH

MH

73 53'

SMH

Câu 21 Cho S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SC

tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy Tính góc

giữa (SAB) và (SCD ? )

S

D

C B

A

S

B

A

C H

M

Trang 7

Ta thấy giao tuyến của (SAB và ) (SCD là )

đường d qua S và song song với AB

Dễ chứng minh d ⊥(SAD) nên góc giữa

(SAB và () SCD là ) DSA

Ta dễ thấy góc giữa SC và mặt phẳng đáy là

góc SCA=450.Từ đó dễ dàng tính được

2,

SA= AC=a AD=a

2

Câu 22 Cho chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh ,a SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

(SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 45) 0 Tính góc giữa (SBC và ) (SCD )

A α =74 12 '0 B α =42 34 '0

Dễ chứng minh được góc giữa (SCD) và đáy là

45

SDA= nên SA=a

Lấy ,M N là trung điểm SB SD, Dễ chứng minh

AN ⊥ SCD AM ⊥ SBC suy ra góc giữa (SBC )

và (SCD là góc giữa ) AN AM,

2

DB a

AM = AN=MN= =  0

60

MAN

Câu 23 Cho S ABC có SA SB SC đôi một vuông góc Biết , ,

rằng SA=SB= a SC, =a 2 Hỏi góc giữa (SBC )

và (ABC ? )

A α ≈50 46 '0 B α =63 12 '0

Hạ SH ⊥BC⇒BC⊥(SAH)⇒ Góc giữa (SBC và () ABC là .) SHA

SB SC a

Câu 24 Cho S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=a SA, vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt

phẳng đáy góc 450 và hợp với (SAB góc 30) 0 Tính góc giữa (SBC và mặt phẳng đáy? )

S d

D A

S

M

D A

B

C N

Trang 8

45 , S 30

SCA= B C=

2

0

tan 30

SBC SB BC

BC= ⇒x AC= x +a

2

SA a

Xét ∆SAB có tanSBA= 2 nên 0

54 44 '

Câu 25 Cho chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ nhật

cạnh AB=4a, AD=3a Các cạnh bên đều có độ

dài 5 a Tính góc giữa (SBC và ) (ABCD ? )

A α =75 46 '0 B α =71 21'0 C

0

68 31'

Hạ SH ⊥(ABCD) Do các cạnh bên bằng nhau

nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy,

tức H là tâm đáy Lấy I là trung điểm BC nên

góc giữa (SBC và ) (ABCD là .) SIH

2 ,

2

a

IH = a SH = SC −HC =

4

SIH α

Câu 26 Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong ( )α ( )α thì d vuông

góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong ( )α

B Nếu đường thẳng d ⊥( )α thì d vuông góc với hai đường thẳng trong ( )α

C Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( )α thì d ⊥( )α

D Nếu d⊥( )α và đường thẳng a//( )α thì a⊥d

Hướng dẫn giải:

• Đường thẳng d có thể vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trên mặt phẳng ( )α nên

đáp án này sai

• Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α thì lúc đó nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )α nên nó vuông góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng

• đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì nó sẽ

vuông góc với mặt phẳng ( )α và do đó d vuông với mọi đường thẳng nằm trong ( )α là hiển nhiên đúng

S

B

C

S

A

D I H

Trang 9

• Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α thì d song song hoặc trùng với giá của véc tơ

pháp tuyến của mặt phẳng ( )α do đó nếu đường thẳng a//( )α thì a⊥ là d đúng

Câu 27 Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc

với ∆?

Qua điểm O có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước chúng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với đường thẳng ∆

Câu 28 Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?

Qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với một đường thẳng

cho trước

Câu 29 Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?

A Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau

B Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song

C Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song

D Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song Hướng dẫn giải:

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nếu hai

đường thẳng này đồng phẳng Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau trong không gian

Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên

Câu 30 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là:

Độ dài đường chéo của hình hộp là 2 2 2

3 +4 +5 = 50 =5 2

Vậy đáp án đúng là 5 2

Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có SA⊥(ABC)và ABC vuông ở B AH là đường cao của SAB

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A SA⊥BC B AH ⊥BC C. AH ⊥AC D AH ⊥SC

Ta có SA⊥(ABC) nên SA⊥BC

Mà ABC vuông tại B: AB BC⊥

SA BC

AB BC

⊥



AH SB

⊥



SA AC

⊥



Vậy AH AC⊥ là sai

Câu 32 Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( )P Gọi H là hình chiếu của A lên ( )P M, N là các điểm

thay đổi trong ( )P Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

Trang 10

A Nếu AM = AN thì HM = HN

B Nếu AM > AN thì HM > HN

C Nếu AM > AN thì HM < HN

D Nếu HM HN> thì AM > AN

Theo tính chất mối liên hệ giữa đường xiên (AM AN và hình chiếu , ) (HM HN Đường xiên , )

dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại Mệnh đề sai là “Nếu AM > AN thì HM <HN ” Câu 33 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề

sau đây:

A Ba mặt phẳng (ABC) (; ABD) (; ACD) đôi một vuông góC

B Tam giác BCD vuông

C Hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD là trực tâm tam giác BCD )

D Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc

• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên AB⊥(ACD); AC⊥(ABD);

AD⊥ ABC do đó ba mặt phẳng (ABC ; ) (ABD ; ) (ACD ) đôi một vuông góc

• Gọi H là hình chiếu của A trên (BCD ) AH ⊥(BCD)

AH⊥ BCD ⇒AH⊥CD⇒CD⊥ ABH ⇒CD⊥BH

Tương tự AH⊥(BCD)⇒AH⊥BC⇒CD⊥(ADH)⇒BC⊥DH

Do đó H là trực tâm của tam giác BCD

• Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên

Vậy hai cạnh đối của tứ diện vuông góc

• Vậy tam giác BCD vuông là sai

Câu 34 Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?

A MA= MB⇒M∈( )P B MN⊂( )P ⇒MN ⊥ AB

C MN⊥ AB⇒MN ⊂( )P D M∈( )P ⇒MA=MB

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm

A và B ⇒ Nếu M∈( )P ⇒MA=MB

Mặt phẳng ( )P là mặt phẳng trung trực của AB ⇒ AB⊥( )P do đó Nếu

( )

MN⊂ P ⇒MN ⊥ AB

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm

A và B ⇒ Nếu MA= MB⇒M∈( )P

Nếu MN ⊥AB⇒MN ⊂( )P là sai vì MN có thể là đoạn thẳng đi qua A và vuông góc với AB

lúc đó MN//( )P

VẬN DỤNG THẤP

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	655,8 KB