1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ 29 VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Định nghĩa phép tốn • Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A′B′C′D′, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: 2OI IA + IB = ; OA + OB = + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: GA + GB + = GC 0; OA + OB + = OC 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: GA + GB + GC + = GD 0; OA + OB + OC + = OD 4OG + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ≠ 0) ⇔ ∃!k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: OA − kOB = MA k= MB; OM 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b khơng phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: = c ma + nb • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ • Góc hai vectơ khơng gian: AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (0 ≤ BAC ≤ 1800 ) • Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian: + Cho u , v ≠ Khi đó: u v = u v cos(u , v ) + Với u 0= = hoaëc v Qui ước: u v = + u ⊥ v ⇔ u v = Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector khơng gian Các dạng tốn thường gặp: a) Chứng minh đẳng thức vec tơ b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng bốn điểm đồng phẳng, phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng + Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: - Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng - Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: = c ma + nb a, b , c đồng phẳng + Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b , c khơng đồng phẳng, ta tìm số m, n, p cho: x = ma + nb + pc c) Tính tích vơ hướng cuả hai véc tơ khơng gian d) Tính độ dài đoạn thẳng, véctơ 2 + Để tính độ dài đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng sở a = a ⇒ a = 2 a Vì để tính độ dài đoạn MN ta thực theo bước sau: - Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a , b , c so cho độ dài chúng tính góc chúng tính - Phân tích MN = ma + nb + pc - Khi MN= MN= = MN = ( ma + nb + pc ) 2 2 2 m2 a + n2 b + p c + mn cos a , b + 2np cos b , c + mp cos c , a ( ) ( ) ( ) e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng bốn điểm để giải tốn hình khơng gian Sử dụng kết • A , B, C , D bốn điểm đồng phẳng ⇔ DA = mDB + nDC • A , B, C , D bốn điểm đồng phẳng với điểm O ta có OD = xOA + yOB + zOC x + y + z = B – BÀI TẬP Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ , M trung điểm BB′ Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c Khẳng định sau đúng? A AM = b + c − a B AM = a − c + b C AM = a + c − b D 2 AM = b − a + c Hướng dẫn giải: A' B' Chọn D Ta phân tích sau: M AM = AB + BM = CB − CA + BB′ A C B C' Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector khơng gian = b − a + AA′ = b − a + c 2 Câu 2: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành A OA + OB + OC + OD = B OA + OC = OB + OD 1 1 C OA + OB = OC + OD D OA + OC = OB + OD 2 2 O Hướng dẫn giải: Chọn B A Trước hết, điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành là: BD = BA + BC Với điểm O khác A , B , C , D , ta có: BD = BA + BC ⇔ OD − OB = OA − OB + OC − OB ⇔ OA + OC = OB + OD B D C Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD = d Khẳng định sau đúng? A a + c = d + b B a + b = c + d C a + d = b + c D a + b + c + d = Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta phân tích sau: SA + SC = SO (do tính chất đường trung tuyến) SO SB + SD = ⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b S b a c d A D O B C Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , AC = c , AD = d Khẳng định sau đúng? A MP= B MP= c + d −b d +b −c 2 C MP= D MP= c +b −d c +d +b 2 Hướng dẫn giải: A Chọn A Ta phân tích: b M d = MP MC + MD (tính chất đường trung tuyến) c B = AC − AM + AD − AM = c + d − AM P 2 C = c + d − AB = c + d −b 2 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) D ) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector khơng gian Câu 5: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ′ = u , CA ' = v , BD′ = x , DB′ = y Khẳng định sau đúng? A 2OI= B 2OI =− ( u + v + x + y ) (u + v + x + y ) 2 C 2OI= D 2OI =− ( u + v + x + y ) (u + v + x + y ) 4 Hướng dẫn giải: A' D' x v Chọn D Ta phân tích: B' C' y u I u + v= AC ′ + CA=′ AC + CC ′ + CA + AA′= AA′ A D x + y= BD′ + DB=′ BD + DD′ + DB + BB′ = BB=′ AA′ O B C ⇒ u + v + x + y =4 AA′ =−4 A′A =−4.2OI ⇒ 2OI =− ( u + v + x + y ) Câu 6: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Gọi I K tâm hình bình hành ABB′A′ ( ( ) ( ) ( ) ) BCC ′B′ Khẳng định sau sai? A.= IK = AC A′C ′ 2 B Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng C BD + IK = BC D Ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ không đồng phẳng Hướng dẫn giải: B Chọn D A tính chất đường trung bình ∆B′AC tính chất hình bình hành ACC ′A′ A' D' B' C' I A K D C B IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng C việc ta phân tích: BD + IK = BC + CD + AC = BC + CD + AD + DC = BC + BC = BC D sai giá ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ song song trùng với mặt phẳng ( ABCD ) Do đó, theo định nghĩa đồng phẳng vectơ, ba vectơ đồng phẳng Câu 7: Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “ G trọng tâm tứ diện ABCD GA + GB + GC + GD = ” Khẳng định sau sai? A G trung điểm đoạn IJ ( I , J trung điểm AB CD ) B G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AC BD C G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm AD BC D Chưa thể xác định Hướng dẫn giải: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chọn D Ta gọi I J trung điểm AB CD Từ giả thiết, ta biến đổi sau: GA + GB + GC + GD =0 ⇔ 2GI + 2GJ =0 ⇔ GI + GJ =0 Chủ đề 29 Vector không gian ⇒ G trung điểm đoạn IJ Bằng việc chứng minh tương tự, ta chứng minh phương án B C phương án đúng, phương án D sai A I G B D J C Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x = AB ; y = AC ; z = AD Khẳng định sau đúng? A AG= ( x + y + z ) C AG= ( x + y + z ) Hướng dẫn giải: Chọn A B AG =− ( x + y + z ) D AG =− ( x + y + z ) Gọi M trung điểm CD Ta phân tích: AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM − AB 3 AB + AC + AD = ( x + y + z ) = AB + AC + AD − AB = 2 ( ( ) A x ) ( ) z y B D G M C Câu 9: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Đặt AB = a ; BC = b M điểm xác định OM = a − b Khẳng định sau đúng? A M tâm hình bình hành ABB′A′ B M tâm hình bình hành BCC ′B′ C M trung điểm BB′ D M trung điểm CC ′ ( ) Hướng dẫn giải: Chọn C Ta phân tích: OM = a − b= AB − BC= AB − AD= DB 2 2 ⇒ M trung điểm BB′ ( ) ( ) ( A' ) B' C' O A a B Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học D' D b C Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Câu 10: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c Chọn khẳng định đúng? A Hai vectơ y; z phương C Hai vectơ x; z phương B Hai vectơ x; y phương D Ba vectơ x; y; z đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B + Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x; y phương Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu ABCD hình bình hành OA + OB + OC + OD = B Nếu ABCD hình thang OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình bình hành C Nếu OA + OB + OC + OD = D Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn B Câu 12: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định đúng? A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng C CD1 , AD, A1C đồng phẳng B CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng D AB, AD, C1 A đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C D + M , N , P, Q trung điểm AB, AA1 , DD1 , CD C A B Ta có CD1 / /( MNPQ); AD / / ( MNPQ ) ; A1C / /( MNPQ) ⇒ CD1 , AD, A1C đồng phẳng D1 A1 C1 B1 Câu 13: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Xét vectơ x =2a + b; y =a − b − c; z =−3b − 2c Chọn khẳng định đúng? A Ba vectơ x; y; z đồng phẳng C Hai vectơ x; b phương B Hai vectơ x; a phương D Ba vectơ x; y; z đôi phương Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có:= y x + z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng ( ) Câu 14: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: AB + B1C1 + DD1 = k AC1 A k = B k = C k = Hướng dẫn giải: Chọn B + Ta có: AB + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 D k = D C A B Nên k = D1 C1 A1 B1 Câu 15: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt AC ′ = u , CA′ = v , BD′ = x , DB′ = y Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A 2OI =− (u + v + x + y ) B 2OI =− (u + v + x + y ) C 2OI= D 2OI= (u + v + x + y ) (u + v + x + y ) Hướng dẫn giải: D Chọn A + Gọi J , K trung điểm AB, CD A J K C B O D’ A’ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C’ B’ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector khơng gian +Ta có: 2OI =OJ + OK = OA + OB + OC + OD =− (u + v + x + y ) ( ) AA1 a= , AB b= , AC c= , BC d , đẳng Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt = thức sau, đẳng thức đúng? A a + b + c + d = B a + b + c = d Hướng dẫn giải: Chọn C C b − c + d = D a= b + c A C + Dễ thấy: AB + BC + CA = ⇒ b + d − c = B A1 C1 B1 Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABEF K tâm hình bình hành BCGF Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A BD, AK , GF đồng phẳng B C BD, EK , GF đồng phẳng D BD, IK , GF đồng phẳng BD, IK , GC đồng phẳng Hướng dẫn giải: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Chọn B D IK //( ABCD) + GF //( ABCD) ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng BD ⊂ (ABCD) C A B + Các véctơ câu A, C , D có giá song K song với mặt phẳng I H G E F Câu 18: Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu giá ba vectơ a, b, c cắt đơi ba vectơ đồng phẳng B Nếu ba vectơ a, b, c có vectơ ba vectơ đồng phẳng C Nếu giá ba vectơ a, b, c song song với mặt phẳng ba vectơ đồng phẳng D Nếu ba vectơ a, b, c có hai vectơ phương ba vectơ đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn A + Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng Câu 19: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? AC A AC1 + A1C = AA1 C AC1 + A1C = B AC1 + CA1 + 2C1C = CC1 D CA1 + AC = Hướng dẫn giải: D Chọn A C + Gọi O tâm hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 + Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra A B O D1 A1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C1 B1 Tổng ơn Tốn 11 Câu 20: Hãy chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: Chủ đề 29 Vector không gian A Tứ giác ABCD hình bình hành AB + BC + CD + DA = O B Tứ giác ABCD hình bình hành AB = CD C Cho hình chóp S ABCD Nếu có SB + SD = SA + SC tứ giác ABCD hình bình hành D Tứ giác ABCD hình bình hành AB + AC = AD Hướng dẫn giải: Chọn C SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC ⇔ AB + AD = AC ⇔ ABCD hình bình hành Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Ta có AB.EG bằng? A a 2 B a C a D a2 Hướng dẫn giải: Chọn B AB.EG= AB EF + EH = AB.EF + AB.EH ( ) = AB + AB AD ( EH = AD) = a (Vì AB ⊥ AD ) Câu 22: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là: A OA + OB = OC + OD 2 C OA + OC = OB + OD B OA + OC = OB + OD 2 D OA + OB + OC + OD = Hướng dẫn giải: Chọn C OA + OC = OB + OD ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC ⇔ AC = AB + BC 10 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian C Cho hai véctơ không phương a b Khi ba véctơ a, b, c đồng phẳng có c ma + nb , cặp số m, n cặp số m, n cho= ba số m, n, p khác ba véctơ a, b, c đồng phẳng D Nếu có ma + nb + pc = Hướng dẫn giải: : Chọn A Ba véctơ a, b, c đồng phẳng ba véctơ có giá song song thuộc mặt phẳng Câu A sai Câu 57: Gọi M , N trung điểm cạnh AC BD tứ diện ABCD Gọi I trung điểm đoạn MN P điểm khơng gian Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: IA + (2k − 1) IB + k IC + ID = A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: : Chọn C Ta chứng minh IA + IB + IC + ID = nên k = Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Nếu a, b, c không đồng phẳng từ ma + nb + pc = ta suy m= n= p= B Nếu có ma + nb + pc = , m + n + p > a, b, c đồng phẳng C Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ ta có ma + nb + pc = a, b, c đồng phẳng D Nếu giá a, b, c đồng qui a, b, c đồng phẳng Hướng dẫn giải: : Chọn D Câu D sai Ví dụ phản chứng cạnh hình chóp tam giác đồng qui đỉnh chúng không đồng phẳng Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCA′B′C ′ , M trung điểm BB’ Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c Khẳng định sau đúng? A AM = a + c − b B AM = b + c − a 2 C AM = b − a + c D AM = a − c + b 2 Hướng dẫn giải: : Chọn C Ta có AM = AB + BM = CB − CA + BB′ = b − a + c 2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 23 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA′B′C ′ Đặt = AA′ a= , AB b= , AC c= , BC d Trong biểu thức véctơ sau đây, biểu thức A a= b + c B a + b + c + d = C b − c + d = D a + b + c = d Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = Câu 61: Cho tứ diện ABCD I trọng tâm tam giác ABC Đẳng thức A 6SI = SA + SB + SC C SI= SA − SB + SC ( B SI = SA + SB + SC D SI = SA + SB + SC 3 ) Hướng dẫn giải: Chọn D Vì I trọng tâm tam giác ABC nên SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC 3 Câu 62: Trong mệnh đề sau, mệnh đề A Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ nằm mặt phẳng B Ba véctơ a, b, c đồng phẳng có= c ma + nb với m, n số C Ba véctơ khơng đồng phẳng có d = ma + nb + pc với d véctơ D Ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn D Câu A sai ba véctơ đồng phẳng ba véctơ có giá song song với mặt phẳng Câu B sai thiếu điều kiện véctơ a, b khơng phương Câu C sai d = ma + nb + pc với d véctơ khơng phải điều kiện để véctơ a, b, c đồng phẳng Câu 63: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: AC + BA′ + k DB + C ' D = ( A k = ) B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: Chọn B 24 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Với k = ta có: AC + BA ' + DB + C ' D = AC + BA ' + C 'B = AC + C 'A' = AC + CA = ( ) Câu 64: Cho hình chóp S ABC Lấy điểm A′, B′, C ′ thuộc tia SA, SB, SC cho = SA a= SA′, SB b= SB′, SC c.SC ′ , a, b, c số thay đổi Tìm mối liên hệ a, b, c để mặt phẳng ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Hướng dẫn giải: Chọn A ′, SB SB ′, SC SC ′ nên ( ABC ) ≡ ( A′B′C ′ ) Nếu a= b= c= SA SA = = = đáp án Suy ( A′B′C ′ ) qua trọng tâm tam giác ABC => a + b + c = Câu 65: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Đặt= SA a= , SB b= , SC c= , SD d Khẳng định sau A a + c = d + b B a + c + d + b = Hướng dẫn giải: Chọn A a + c = Gọi O tâm hình bình hành ABCD Ta có: b + d = C a + d = b + c D a + b = c + d SA + SC = SO => a + c = d + b SB + SD = SO Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G Mệnh đề sau sai A AG= AB + AC + AD C OG= OA + OB + OC + OD Hướng dẫn giải: Chọn A ( B AG= AB + AC + AD D GA + GB + GC + GD = ) ( ( ) ) Theo giả thuyết với O điểm ta ln có: OG= OA + OB + OC + OD ( Ta thay điểm O điểm A ta có: AG= AA + AB + AC + AD ⇔ AG= AB + AC + AD 4 Do AG= AB + AC + AD sai ( ) ( ( ) ) ) Câu 67: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 với tâm O Chọn đẳng thức sai A AB + AA1 = AD + DD1 C AB + BC1 + CD + D1 A = B AC1 = AB + AD + AA1 D AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 Hướng dẫn giải: Chọn A = AB1 , AD + DD = AD1 mà AB1 ≠ AD1 nên AB + AA1 = AD + DD1 sai Ta có AB + AA 1 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 25 Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 29 Vector không gian Câu 68: Cho tứ diện ABCD Gọi M P trung điểm AB CD Đặt AB = b , AC = c , AD = d Khẳng định sau A MP= B MP= (c + d + b ) (d + b − c) 2 C MP= D MP= (c + b − d ) (c + d − b ) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có c + d − b= AC + AD − AB= AP − AM = MP ⇔ MP= (c + d − b ) ( ) Câu 69: Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọn khẳng định A BD, BD1 , BC1 đồng phẳng C BA1 , BD1 , BC đồng phẳng B BA1 , BD1 , BD đồng phẳng D BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng chúng có giá nằm mặt phẳng ( BCD1 A1 ) Câu 70: Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác BCD Đặt x = AB; y = AC ; z = AD Khẳng định sau đúng? A AG= ( x + y + z ) B AG =− ( x + y + z ) 3 D AG =− ( x + y + z ) C AG= ( x + y + z) 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: AG = AB + BG; AG = AC + CG; AG = AD + DG ⇒ 3AG = AB + AC + AD + BG + CG + DG = AB + AC + AD = x + y + z Vì G trọng tâm tam giác BCD nên BG + CG + DG = Câu 71: Cho hình chóp S ABCD Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu ABCD hình bình hành SB + SD = SA + SC B Nếu SB + SD = SA + SC ABCD hình bình hành C Nếu ABCD hình thang SB + SD =SA + SC D Nếu SB + SD =SA + SC ABCD hình thang Hướng dẫn giải: Chọn C Đáp án C sai ABCD hình thang có đáy AD BC ta có SD + SB =SC + SA Câu 72: Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AB CD Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:= MN k AD + BC ( 26 ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 A k = B k = C k = Chủ đề 29 Vector không gian D k = Hướng dẫn giải: Chọn B MN = MA + AD + DN Ta có: ⇒ MN = AD + BC + MA + MB + DN + CN MN = MB + BC + CN Mà M N trung điểm AB CD nên MA = BM = NC = − MB; DN = −CN Do MN = AD + BC ⇒ MN = AD + BC Câu 73: Cho tứ diện ABCD Đặt= AB a= , AC b= , AD c, gọi M trung điểm BC Trong ) ( khẳng định sau, khẳng định đúng? B DM = A DM= a + b − 2c −2a + b + c 2 C DM = D DM = a − 2b + c a + 2b − c 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC 2 = AB + AC − AD= a + b − c= a + b − 2c 2 2 Câu 74: Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tìm giá trị k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG ( ) ( ( ) ( ( ( A k = Hướng dẫn giải: Chọn C B k = ) ) ) ) C k = Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA + DB + DC = 3DG D k = Câu 75: Cho tứ diện ABCD Gọi E , F điểm thỏa nãm = EA kEB = , FD kFC P , Q , R điểm xác định = PA lPD = , QE lQF = , RB lRC Chứng minh ba điểm P , Q , R thẳng hàng.Khẳng định sau đúng? A P, Q, R thẳng hàng C P, Q, R không thẳng hàng B P, Q, R không đồng phẳng D Cả A, B, C sai Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có PQ = PA + AE + EQ (1) Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 27 Tổng ơn Tốn 11 PQ = PD + DF + FQ ( ) Từ ( ) ta có l PQ = l PD + l DF + l FQ Chủ đề 29 Vector không gian A ( 3) Lấy (1) − ( 3) theo vế ta có (1− l ) PQ =AE − l DF E p ⇒ PQ = l AE − DF 1− l 1− l l Tương = tự QR EB − FC 1− l 1− l Mặt khác = EA k= EB, FD k FC nên l −k kl −kQR PQ = AE − DF = EB − FC = 1− l 1− l 1− l 1− l Vậy P, Q, R thẳng hàng Q B R D F C Câu 76: Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD , G trung điểm IJ a) Giả sử a.= IJ AC + BD giá trị a là? A C −1 B D b) Cho đẵng thức sau, đẵng thức đúng? 2IJ A GA + GB + GC + GD = B GA + GB + GC + GD = D GA + GB + GC + GD = C GA + GB + GC + GD = −2 JI JI c) Xác định vị trí M để MA + MB + MC + MD nhỏ A Trung điểm AB C Trung điểm AC B Trùng với G Hướng dẫn giải: IJ =IA + AC + CJ a) ⇒ 2= IJ AC + BD IJ =IB + BD + DJ b) GA + GB + GC + GD = GA + GB + GC + GD ( ) ( A ) I = 2GI + 2GJ = GI + GJ = c) Ta có MA + MB + MC + MD = MG nên MA + MB + MC + MD nhỏ M ≡ G ( D Trung điểm CD G ) B R D J C Câu 77: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định vị trí điểm M , N AC DC ' cho MN BD ' Tính tỉ số A MN bằng? BD ' B C D Hướng dẫn giải: 28 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Chọn A BA a= = , BC b= , BB ' c Giả= sử AM x= AC , DN yDC ' Dễ dàng có biểu diễn BM = (1 − x ) a + xb BN = (1 − y ) a + b + yc Từ suy MN = ( x − y ) a + (1 − x ) b + yc (1) Để MN BD ' MN= zBD=' z a + b + c ( ) Từ (1) ( ) ta có: ( x − y ) a + (1 − x ) b + yc =z a + b + c ⇔ ( x − y − z ) a + (1 − x − z ) b + ( y − z ) c =0 ( ) ( D' C' A' D' N ) D C M A x = x − y − z = ⇔ 1 − x − z = ⇔ y = y − z = z = B Vậy điểm M , N xác định= AM = AC , DN DC ' 3 MN Ta có MN = zBD ' = BD ' ⇒ = BD ' 3 Câu 78: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a góc = ' A ' D ' 600 , B = ' A' A D = ' A ' A 1200 B a) Tính góc cặp đường thẳng AB với A ' D ; AC ' với B ' D AB, A ' D ) = 600 ; ( AC ', B ' D ) = 900 A ( AB, A ' D ) = 500 ; ( AC ', B ' D ) = 900 B ( AC ', B ' D ) = 900 AB, A ' D ) = 400 ; ( C ( AB, A ' D ) = 300 ; ( AC ', B ' D ) = 900 D ( b) Tính diện tích tứ giác A ' B ' CD ACC ' A ' A S A ' B 'CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 C S A ' B 'CD = B S A ' B 'CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 2 a ; S AA 'C 'C = 2a 2 D S A ' B 'CD = a ; S AA 'C 'C = a 2 c) Tính góc đường thẳng AC ' với đường thẳng AB, AD, AA ' ( AC ', AD ) ( = AC ', AA ') ) (= arccos ( AC ', AD ) ( = AC ', AA ') ) (= arccos ( AC ', AD ) ( = AC ', AA ') ) (= arccos ( AC ', AD ) ( = AC ', AA ') ) (= arccos A = AC ', AB B = AC ', AB C = AC ', AB D = AC ', AB Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 29 Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Hướng dẫn giải: a) Đặt , A ' B ' b= , A' D ' c = AA ' a= Ta có A ' D= a + c nên cos AB, A ' D = cos AB, A ' D ( ) ( a a AB A ' D = AB A ' D ( ) D' a+c a+c ) A' a2 Để ý a + c = a, a a+c = ( ) ( C' B' D C ) Từ cos 600 AB, A ' D = ⇒ ( AB, A ' D ) = A Ta có AC ' = b + c − a, B ' D = a − b + c , từ tính AC 'B ' D = b + c − a a − b + c = ⇒ ( AC ', B ' D ) = 900 b) A ' C = a + b + c, B ' D = a − b + c ⇒ A ' C.B ' D = a + b + c a − b + c = ( )( B ) ( ⇒ A ' C ⊥ B ' D nên S A ' B ' DC = )( ) A ' C B ' D Dễ dàng tính A ' C = a 2, B ' D = a ⇒ S A ' B 'CD = a 2a = a2 S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC , = , Ac a AA ' a= ( ) Tính sin AA ', AC = − cos AA ', AC = ( ) ( ) Vậy = S AA 'C 'C AA ' AC sin = AA ', AC a= a a2 ( ( ) AC ', AD ) ( = AC ', AA ') ) (= c) ĐS: = AC ', AB arccos Câu 79: Cho tam giác ABC , cơng thức tính diện tích sau A S = AB AC − BC 2 = C S 1 AB AC − AB AC 2 ( ) = B S 1 AB AC + AB AC 2 = D S AB AC − AB AC ( ( ) ) 2 Hướng dẫn giải: Chọn D 1 = ABAC sin A AB= AB sin A AB AC (1 − cos A ) 2 AB AC − AB AC = S ABC ( 30 ) Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Toán 11 Chủ đề 29 Vector không gian Câu Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N , P, Q thuộc AB, BC , CD, DA cho = = AM = AB, BN BC , AQ = AD, DP k DC 3 Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng Hướng dẫn giải: A k = B k = C k = D k = A Chọn A Cách Ta có AM =AB ⇒ BM − BA = − BA 3 ⇒ BM = BA Lại có BN = BC MN AC Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng M Q D B N P C PQ AC ( MNPQ ) ∩ ( ACD ) = PC QA = = hay DP = DC ⇒= k 2 PD QD Cách Đặt= DA a= , DB b= , DC c khơng khó khăn ta có biểu diễn 2 1 1 1 MN = − a + b , MP = − a − b + kc , MN = − a− b 3 3 Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng vec tơ MN , MP, MQ đồng phẳng ⇔ ∃x, y : = MP xMN + yMQ ⇒ 2 1 ⇔ − a − b + kc = x − a + c + y − a − b 3 Do vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều tương đương với x y − − = − − ⇔ x=,y= 1, k = − y = 2 3 x = k Câu 80: Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a, ASB = BSC = CSA = α Gọi ( β ) mặt phẳng qua A trung điểm SB, SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( β ) A.= S a2 cos α − 16 cos α + Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học B = S a2 cos α − cos α + 31 Tổng ôn Toán 11 a2 cos α − cos α + Hướng dẫn giải: D.= S C = S Chủ đề 29 Vector không gian a2 cos α − 16 cos α + Chọn D Gọi B ', C ' trung điểm SB, SC Thiết diện tam giác AB ' C ' AB '2 AC '2 − AB ' AC ' Ta có AB ' = SB ' − SA = SB − SA ⇒ AB '2= SB + SA2 − SASB ( = Theo tập S AB 'C ' = a2 ( − cos α ) Tính tương tự, ta có a AB '= AC ' ( − 3cos α ) Vậy = SAB'C ' ) S B' C' A B C 2 a4 a4 − α − cos − cos α ) ( ( ) 16 16 a2 = cos α − 16 cos α + Câu 81: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng (α ) cắt tia SA, SB, SC , SG ( G trọng tâm tam giác ABC ) điểm A ', B ', C ', G ' Ta có A B SA SB SC SG Hỏi k bao nhiêu? + + = k SA ' SB ' SC ' SG ' C D Hướng dẫn giải: S Chọn A Do G trọng tâm ∆ABC nên GA + GB + GC =0 ⇒ 3SG =SA + SB + SC SG SA SB SG ' = SA ' + SB ' ⇔3 SG ' SA ' SB ' SC SC ' + SC ' Mặt khác A ', B ', C ', G ' đồng phẳng nên A' B' G' C' A B G C SA SB SC SG + + = SA ' SB ' SC ' SG ' Chú ý: Ta có kết quen thuộc hình học phẳng : S a , Sb , Sc lần Nếu M điểm thuộc miền tam giác ABC S a MA + Sb MB + Sc MC = lượt diện tích tam giác MBC , MCA, MAB Vì ta có tốn tổng qt sau: Cho hình chóp S ABC , mặt phẳng (α ) cắt tia SA, SB, SC , SM ( M điểm thuộc miền tam giác ABC ) điểm A ', B ', C ', M ' 32 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chứng minh: Chủ đề 29 Vector không gian S a SA Sb SB Sc SC S SM + + = ( Với S a , Sb , Sc diện tích tam giác SA ' SB ' SC ' SM ' MBC , MCA, MAB S diện tích tam giác ABC ) Câu 82: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (α ) cắt cạnh SA, SB, SC , SD A ', B ', C ', D ' Đẳng thức sau đúng? A SA SC SB SD +2 = +2 SA ' SC ' SB ' SD ' B SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD ' C SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD ' D SA SC SB SD − = − SA ' SC ' SB ' SD ' Hướng dẫn giải: S Gọi O tâm hình bình hành ABCD SA + SC = SB + SD = SO SA SB SB SC ⇔ SA ' + SC ' = SB ' + SC ' Do A ', B ', C ', D ' đồng phẳng SA ' SB ' SB ' SC ' SA SC SB SD nên đẳng thức ⇔ + = + SA ' SC ' SB ' SD ' C' A' D' B' C D O A B Câu 83: Cho hình chóp S ABC có= SA a= , SB b= , SC c Một mặt phẳng (α ) qua trọng tâm tam giác ABC , cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Tìm giá trị nhỏ 1 + + 2 SA ' SB ' SC '2 A a + b2 + c2 B a + b2 + c2 C a + b2 + c2 D a + b2 + c2 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có 3SG = SA + SB + SC SA SB SC = SA ' + SB ' + SC ' SA ' SB ' SC ' Mà G, A ', B ', C ' đồng phẳng nên SA SB SC a b c + + =⇔ + + = SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' Theo BĐT Cauchy schwarz: 1 b c a Ta có + + a + b2 + c2 ) ≥ + + 2 ( SA ' SB ' SC ' SA ' SB ' SC ' 1 + + ≥ 2 2 SA ' SB ' SC ' a + b2 + c2 Đẳng thức xảy ⇔ Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 33 Tổng ôn Toán 11 1 a b c kết hợp với = = + + = ta aSA ' bSB ' cSC ' SA ' SB ' SC ' SA ' Chủ đề 29 Vector không gian a + b2 + c2 a + b2 + c2 a + b2 + c2 = , SB ' = , SC ' 3a 3b 3c Vậy GTNN 1 + + 2 SA ' SB ' SC ' a + b2 + c2 Câu 84: Cho tứ diện ABCD , M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng AM , BM , CM , DM cắt mặt ( BCD ) , ( CDA ) , ( DAB ) , ( ABC ) A ', B ', C ', D ' Mặt phẳng (α ) qua M song song với ( BCD ) cắt A ' B ', A ' C ', A ' D ' điểm B1 , C1 , D1 Khẳng định sau Chứng minh M trọng tâm tam giác B1C1 D1 A M trọng tâm tam giác B1C1 D1 B M trực tâm tam giác B1C1 D1 C M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác B1C1 D1 D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác B1C1 D1 Hướng dẫn giải: Chọn D Vì M nằm tứ diện ABCD nên tồn x, y, z , t > cho xMA + yMB + zMC + tMD = (1) Gọi (α ) mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng ( BCD ) A (α ) ( BCD ) Ta có ( BB ' A ') ∩ (α= ) MB1 ⇒ MB1 BA ' BA ' ( BB ' A ') ∩ ( BCD ) = MB1 MB ' MB ' Do = ⇒ MB1 = BA ' ( ) BA ' BB ' BB ' B' M B1 B Trong (1) , chiếu vec tơ lên đường thẳng BB ' theo phương ( ACD ) ta được: D xMB ' + yMB + zMB ' + tMB ' = ⇒ ( x + y + z ) MB ' + yMB = A' C MB ' y ⇒ ( x + y + z + t ) MB =' yBB ' ⇒ = BB ' x + y + z + t y Từ ( ) suy MB1 = BA ' ( 3) x+ y+ z +t z Tương tự ta có MC1 = CA ' ( ) x+ y+ z+t z MD1 = DA ' ( ) x+ y+ z +t 34 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ôn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector khơng gian Mặt khác chiếu vec tơ (1) lên mặt phẳng ( BCD ) theo phương AA ' tì thu Vậy từ ( 3) , ( ) , ( ) ta có y A ' B + z A 'C + t A ' D = MB1 += MC1 + MD1 yBA ' + zCA = ' + t DA ' , hay M trọng tâm tam giác B1C1 D1 x+ y+ z +t ( ) Câu 85: Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a , CA = DB = b , AB = DC = c Gọi S diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn 1 + 2+ 2 ab bc ca 2 S2 Hướng dẫn giải: A B S C S2 D S Do tứ diện ABCD có BC ∆ADC = ∆DAB = ∆CBA = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c nên ∆BCD = Gọi S ' diện tích R bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt thì= S 4= S' đẳng thức cần chứng minh abc , nên bất R 1 + 2 + 2 ≤ ⇔ a + b2 + c2 ≤ 9R ab bc ca S 2 Theo cơng thức Leibbnitz: Với điểm M G trọng tâm tam giác ABC MA2 + MB + MC 2= GA2 + GB + BC + 3MG 2= a + b + c + MG ) ( Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta R = aa + b + c + 9OG ≥ a + b + c Câu 86: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' điểm M , N , P xác định MA = k MB ' ( k ≠ ) , NB = xNC ', PC = yPD ' Hãy tính x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng 2+k A x = ,y= − k 2−k Hướng dẫn giải: +k 1+ k 1 + 2k B x = C x = D x = ,y= − ,y= − ,y= − 2−k 2k k 1− k − 2k 2k Chọn D Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 35 Tổng ơn Tốn 11 Đặt= , AB b,= AD a= AA ' c Chủ đề 29 Vector khơng gian P Từ giả thiết ta có : k = AM b + c (1) k −1 y x c − b ( 3) AN = b+ a + c ( ) AP = a + b + y −1 x −1 ( ) ( Từ ta có MN = AN − AM = ( ) D' ) C' B' A' D x x k a− b+ − c x −1 k −1 x −1 k −1 C M A B x y + − c x −1 y −1 y k y MP = AP − AM = a−( + )b + − c y −1 k −1 y −1 k −1 N Ba điểm M , N , P thẳng hàng tồn λ cho MN = λ MP ( *) 1+ k Thay vec tơ MN , MP vào (*) lưu ý a, b, c không đồng phẳng ta tính x = ,y= − 1− k k Câu 87: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Một đường thẳng ∆ cắt đường thẳng AA ', BC , C ' D ' lần MA lượt M , N , P cho NM = NP Tính MA ' A MA =1 MA ' B MA = MA ' C MA =2 MA ' D MA = MA ' Hướng dẫn giải: Chọn C Đặt= AD a= , AB b,= AA ' c Vì M ∈ AA ' nên = AM k= AA ' kc N ∈ BC ⇒ BN = l BC = la , P ∈ C ' D ' ⇒ C ' P = mb Ta có NM =NB + BA + AM =−la − b + kc NP =BN + BB ' + B ' C ' + C ' P =(1 − l )a + mb + c Do NM = NP ⇒ −la − b + kc = 2[ (1 − l ) a + mb + c] l (1 − l ) −= MA ⇔ −1 =2m ⇔ k =2, m =− , l =2 Vậy = 2 MA ' k = A D C B N D' A' P B' C' M Câu 88: Giả sử M , N , P ba điểm nằm ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng ( BCM ) , ( CAN ) , ( ABP ) J giao điểm ba mặt phẳng ( ANP ) , ( BPM ) , ( CMN ) 36 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Ta S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức sau đúng? Chủ đề 29 Vector không gian A MS NS PS JS + + + = MA NB PC JI B MS NS PS JS + + + = MA NB PC JI C MS NS PS JS + + + = MA NB PC JI D MS NS PS JS + + +1 = MA NB PC JI Hướng dẫn giải: Chọn D S T AN ∩ BM Goi E = BP ∩ CN , F = CM ∩ AP,= I BF ∩ CT ( ANP ) có Trong ( BCM ) có= M NF ∩ PT = J Đặt= SA a= , SB b= , SC c = SM xMA = , SN y= NB, Sp zPC x y z Ta có SM = = a, SN = b, SP c ( x > 0, y > 0, z > ) x +1 y +1 z +1 P F T N J E I A C = + − ST SM SB α α ( ) ∈ T AN ⇒ T AN ∩ BM nên Do= T ∈ BM ST= β SN + (1 − β ) SA ⇒ α SM + (1 − α ) SB = β SN + (1 − β ) SA ⇔ αx a + (1 − α= )b βy x +1 y +1 B b + (1 − β ) a Vì a, b khơng phương nên ta có x αx α = x + y + x + = − β x y ⇔ ⇒ = ST a+ b βy y x + y +1 x + y +1 β = = 1−α x + y +1 y + Hoàn toàn tương tự ta có : y z z x SE = b + c, SF = c + a y + z +1 y + z +1 z + x +1 z + x +1 J ta : I BF ∩ CT NF ∩ PT = Làm tương tự hai giao điểm= 1 = SI xa + yb= + zc , SJ xa + yb + zc x + y + z +1 x+ y+z+2 x + y + z + Suy SJ = SI ⇒ SJ = ( x + y + z + 1) IJ x+ y+z+2 ( Vậy S , I , J thẳng hàng ) ( ) SI SM SN SP = x + y + z +1 = + + + IJ MA NB PC Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 37 ... VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian = b − a + AA′ = b − a + c 2 Câu 2: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để... Tổng ơn Tốn 11 Chủ đề 29 Vector không gian Ta có : AB + AA′ = AD + DD ′ ⇔ AB = AD (vơ lí) Câu 36: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng Trong khẳng định sau,... = AB + AB AD ( EH = AD) = a (Vì AB ⊥ AD ) Câu 22: Trong không gian cho điểm O bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để A, B, C , D tạo thành hình bình hành