CHƯƠNG IIL
VECTO TRONG KHONG GIAN
QUAN HE VUONG GOC
§ 1 VECTO TRONG KHONG GIAN
> 2 ? z
SU DONG PHANG CUA CAC VECTO I KIEN THUC CAN NHO
1, VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Vectơ, s¿: phĩp toân vectơ trong không gian được định nghĩa hoăn toăn
giống như trc '+g mặt phẳng, chúng có câc tính chất đê biết
Quy tắc hình hộp: € Cho hình hộp ¿ ABCD.A.B,C,D,, ta luôn có:
AC, = AB + AD + AA,
Trọng tđm của tứ điện: Điểm G lă trọng tổ tam của tứ diện ABCD khi vă chỉ khi:
GA + GB + GC + GD =
2 SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÂC VECTƠ ĐIỀU xiít ĐỂ BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG
Định nghĩa: Ba vectơ dược gọi lă đồng phẳng nếu giâ của chủng song song với
một mặt phẳng
Dinh li 1 (Điển kiện để bạ vectơ đồng phẩng): Cho ba vecto không cùng phương vecto a va b Khi đó ba veclơ a, b, ¢ đồng phẳng khi vă chỉ khi có
câc số m n sao cho e =ma +nb Hơn nữa, câc số m, n lă duy nhđt
Dinh li 2: Nĩu ba vecto a,bvac không đồng phẳng thì với vecto d bat ki, ta
đều tìm được câc số m, n, p sao cho d=ma+nb+ pe Hơn nữa, câc số m, n,
p]ă duy nhất
1 BĂI TẬP TRÂC NGHIỆM VĂ TỰ LUẬN
Bail: Ba vectơ a, b, c có đồng phảng không nếu một trong hai điều sau đđy xđy ra? ra?
Trang 2b BD-DD-BD =kBB
A k= = 0 B k=1 C k e AC+BA' +k(DB+€'D D) =
A k=0 B k=l C k=2 D k=4
Bai 3: Cho hình tứ diện ABCD Gọi M vă N lần lượt lă trung điểm của AB vă
CD Tim n gid trị của k thích hợp điển văo đâng thức vectơ; =2 D k=4 a MN =k(AD+BC), : A kal B k=2 C k=3 D.k=1, 2—— 3 b MN =k(AC+ BD) A 1 5ˆ B k=2 C k=3 D ¬
Băi 4: Cho hình tứ điện ABCD Gọi G lă trọng tí tđm của tam giâc AI ABC Tìm giâ
trị của k thích hợp điền văo đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = kDG
1
1 B k=2 C k=3 p.k=!
A k= —
2° 3
Băi 5: Gọi M vă N lần lượt lă trung điểm của câc cạnh AC vă BD của tứ diện
ABCD Goi I 1a trung điểm của đoạn MN vă P lă một điểm bất kì trong không
gian Tìm m giâ trị của k thích \ hợp di điển văo đăng thức vecto: 1A +(2k - DIB + kIC + ID = 0 a A k=0 B k=l C k=2 D k=4 b Pl=k(PA +PB+PC+PD) A kal B k=2 C k=4, p kal 2 4
Băi 6: Cho hinh chĩp S.ABCD
Chứng minh rằng nếu ABCD lă hình bình hănh thì SB+ SŨ = SA + 5C
a
Điều ngược lại có đúng khong ?
b Gọi O lă giao điểm của AC vă BD Chứng tỏ rằng ABCD lă hình bình
hănh khi vă chỉ khi SA + SB+§C + §D = 4SO
Băi7: Trong không gian cho AABC,
a Chimg minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x, y,z ma
x+y+z= Ì sao cho OM = xOA+ yOB + zOC với mọi diĩm O
b Ngược lạ, nếu có một điểm O trong không gian sao cho
OM = xOA + yOB +z20C, trong dĩ x + y +2 = | thì điểm M thuộc mặt
phang (ABC)
Băi 8: Cho hình chóp S.ABC Lấy câc điểm A', B, C lần lượt thuộc câc tỉa SA,
SB, $C sao cho SA = aSA', SB = bSB, SC = cSC, trong đó a, b, c lă câc số thay
Trang 3đói, Tìm môi liín hệ giữa a b c để măi phạng CÝHC) đi qua trong tam cua
AABC
ÂA, a+b+c=l, CC, a+btc=ô
B.a+b+c=2 dD a+b+ecc=d,
Bai 9: Cho hình lăng trụ tạm giâc VRC V BC” có AN a, AB b, AC a Hay phan tich (hay bieu thi} vecto BC qua câc vectơ a,b,c
A BC=ad+brc C ĐC =-atbte,
B BC =ath-c D BC s-a-bec
b Hay phan tich (hay bieu thir vector BC qua câc vecta abe
A BC = a+b =e C BC =-a+b-c
B BỂ=a-b+c D BC ca bâc,
Băi 10: T rong cac mệnh đẻ sau đđy, mệnh đẻ năo lă đúng ? A Ti AB = 3AC tị suy ra BA - ẠCA,
B Từ AB - -3AC tâ suy ra CB 2AC,
€ Vì AB = -2AC - SAD nen bốn điểm A B.C D cùng thuộc một mặt phang
D Nĩu AB = - : BC thì Blă trung điểm của đoạn AC Băi II: Tìm mệnh để sai trong câc mệnh để sau đđy :
A Vi NM+NP > 0 nĩn N lă trung điểm của đoạn MP
B Vil la trung diĩm cua doan AB nĩn tir mot diĩm O bat ki ta cĩ :
oi - (0a + 0B)
C Tir hĩ thitc AB =2AC-8AD ta suy ra ba vĩc tơ AB, AC, AD
đồng phẳng
D Vi AB+ BC} CD+ DA 0 nen bon diĩm ¿\ BC, D cùng thuộc
mot mat phang
Bail2: Cho VABC Lấy điểm 5 nam ngoai mat phang (ABC) Trĩn đoạn SA
lấy điểm M sao cho MS 2MA vă trín doan BC lay điểm N sao cho
NB = > NC Ching minh rang ba vĩeto AB MN SC dong phang
ĩ
Trang 4§2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I KIEN THUC CAN NHG |
1 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẮNG BẤT KÌ TRONG KHÔNG GIAN
Định nghĩa !: Góc giữa hai đường thẳng a, b lă góc
giữa hai đường thẳng a", b` cùng di qua mot diĩm va a“ a lần lượt song song với a vă b : ` v
Chú ý: Để xâc định (a, b) ta có thể lấy điểm O nằm aa
ngay trín một trong hai đường thang do R I bì mm b
2 HAI DUONG THANG VUONG GOC b
Dinh nghia 2: Hai đường thẳng gọi lă vuông góc với nhau nếu góc giữa chín bang 90"
Nhận xĩt: Cho hai đường thăng song song Đường thâng năo vuông góc với đường thăng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ hai
Tức lă: we =>celb cla
IL BAI TAP TRAC NGHIEM VĂ TỰ LUẬN
Bai 13: Mỗi khẳng định sau lă đúng hay sai ?
~~ a Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau A Đúng B Sai b Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau A Đúng B Sai
Băi 14: Trong câc mệnh đề sau đđy, mệnh đề năo lă ĐỨNG ?
A., Nếu đường thắng a vuông góc với đường thẳng b vă đường thẳng b
vuông góc với đường thẳng c thì a vuông góc với c
B Nếu đường thắng a vuông góc với đường thẳng b vă đường thẳng b song song với đường thẳng c thì a vuông góc với c
C Cho ba đường thang a b, c vuông góc với nhau từng đôi một, Nếu có một
đường thẳng d vuông góc với a thì đ song song với b hoặc c
D Cho hai đường thang a va b Song song với nhau Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường, thẳng nằm trong mặt
phang (a, b) „
Băi 15: Mệnh đề năo sau đđy lă ĐÙNG ?
A Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thi song song
với nhau
B Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc
với nhau
C Một đường thắng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia
D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông
góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại
Trang 5Bai 16:
a Cho vecto n khde 0 va hai veclo a b không cùng phương Chứng minh rang nĩu vecto n vuông góc với cả hai vectg a vă b thi ba vĩcto
n, a vă b không đông phảng
b Chứng mỉnh rằng ba veclỡ cùng vuông góc với vectơ n khâc 0 thì đồng
phâng Từ đó suy ra cúc đường thăng cùng vuông góc với một đường thăng thì cùng song song với một mặt phăng
Bai I7: Cho hình lập phương XBCT?.EEFGH co canh bang a Tinh AB.EG
A w B a v2 ŒC, a v3 D '
nN
Bai 18: Cho hình tứ điện ;XBCD có AB = AC = AD va BAC = 60", BAD = 60°,
CAD = 90" Goi J va J lần lượt lă trung điềm của AB vă CŨ Hêy xâc định góc giữa câc cặp vecto sau day: a AB vă cb A 45" B 60° Cc 90" D 120° b AB va U A 45" B 60 Cc 90" D 120" € CD vă H - A, 45", B 60" €, 90" D 120"
Bai 19: Cho hinh chop S.ABC c6 SA = SB = SC va ASB = BSC = CSA Hay
xâc định góc giữa câc cặp vectơ sau đđy: a SA va BC A 45" B 60, C 90" D 120" b SB va AC AL 45", B 60" Cc 90" D 120" C, SC vă AB A 45° B 60" C 90" D 120°
Bai 20: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hêy xâc định góc giữa câc cạp
Trang 6Băi 21: Trong khong gian cho hai tam giâc đều ABC vă ABC’ cĩ chung cạnh
AB va nam trong hai mat phảng khâc nhau Goi M,N, P Q lần lượt lă trung
điểm của câc cạnh AC CB BC, CA
a Hêy xâc định góc giữa AB vă CC,
A 45° B 60" C 90" D 120" b, Fut gidc MNPQ 1a hinh gi?
A Hinh thang C Hinh chữ nhật
B Hinh binh hanh D Hình vuông
Băi 22: Cho tứ diện ABCD
a Tìm giâ trị của k thích hợp điền văo đảng thức vectơ:
ABCD + AC.DB + AD.BC =k
A k=0 B k= 1 C k= 2 D k=4
b Từ đẳng thức trín hêy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB LCD vă
AC 1 DB thi AD i BC
Băi 23: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD vă ABCTD có chung
cạnh AB vă nằm trong hai mặt phẳng khâc nhau, lần lượt có tđm O vă O'
a Hêy xâc định góc giữa AB va OO’ A 45° B 60", Cc 90" D 120° b Tứ giâc CDDC' lă hình gì ° A Hinh thang C Hinh chit nhat B Hình bình hănh D Hình vuông Bai 24: Cho S lă diện tích \ABC Tìm giâ trị của k thích hợp điền văo đẳng —1 —2 thức: S= + yAB AC) -K(ABLAC) A k =0 Bret.) Ck=l, D k i tở
§ 3 DUONG THANG VUONG GOC V6I MAT PHANG
1 KIEN THUC CAN NHO
I DINH NGHIA DUONG THANG VUONG GOC VOI MAT PHANG
Định lí mở đầu: Nếu đường thắng đ vuông góc với hai đường thăng cất nhau ô vă b
Trang 7Định nghia 1 Mor ducing thang gối lă vuòng góc với một mặt phẳng khi nó
VHưÔng goo vol mol duong thang chia ony mat phang de,
Định ti 1: Nĩu dudng thang d vudng gĩc voi hai dudmg thang cat nhau a va b nam
trong mat phang (P) thi dung thang d vudng góc với mặt phăng (P)
2 CAC TINH CHAT
Tinh chat I: Qua mot diĩm O cho trudc e6 duy nhat mĩt mat phang (P) vudng
goc vGi_ mot dudng thang d cho trude
Câch dựng:
" Qua Ó dựng đường thang dd
= Lay hai mặt phang phan biệt (Q) vă (R) cùng đi qua đ` Trong (Q) dựng durong thang a qua Ơ vă vng góc với d` lrong (R) dựng đường thang b qua Ô vă vuông góc với d`
Khi do mat phang (a bì chính lă mật phang can dung
Tinh chat 2: Qua mot diĩm O cho trude c6 duy nhat mot duong thang d vuong góc với một mặt phăng (P) cho trước
Câch dựng:
0
= Lay đường thang a nam trong (P) oO
= Dung mat phang (Q) qua O vuông góc với ô cất
(P) theo giao tuyến b 5 a
= Trong (Q) dung dudng thang d qua O va vuong
góc với b
Khi đó, đường thăng ‹1 chính lă đường thăng cần dựng
3 LIÍN HỆ GIỮA QUAN HỆ SÓNG SONG VĂ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG
THANG VA MAT PHANG
Tink chat 3:
a Cho hai đường thing sony song Mat pling nie vuong goo vi dung thâng năy thì cũng vuông góc VỚI đường th Ki
b Hăi đường thang phản biệt cùng vuông góc một mắt phảng thì sông soie
với nhau
Tính chat 4
a Cho hai mat phang sone song Dudng thing nao vuong goc voi mat
phẳng năy thì củng vuông gói với mật phẩng kia
b Hai mat phang phan biel cung vuong gốc với một đường thắng thì song
song với nhau
Tinh chat 5:
a Cho dutmg thang a ¥4 mat phang (P) song seng vai nhau, Đường thắng Hăo vuông góc với (Ï?ì thì cũng văng go Soba
Trang 84 DINH Li BA DUONG VUÔNG GÓC
Định nghĩa 2 (Phĩp chiếu vuông gĩc): Phĩp chiĩt song song tron: dĩ phucong chiếu vuóng góc với mặt chiếu gọi lă phĩp chiếu vuông góc / M
Chú ý, Phĩp chiếu vuông góc có đầy đủ câc tính chất
của phĩp chiếu song song l 1 ft
Định lí 2 (Định lí ba đường vuông góc): Cho đường M
thẳng a có hình chiếu trín mạặt phẳng (P) lă đường a
thắng a' Khi ấy, một đường thắng b nằm trong mp (P)
vuông góc với a khi vă chỉ khi nó vuông góc với a'
Tức lă: a Lbc (P) ©a` + b ays
Ấ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THANG VA MAT PHANG co '
ay
Định nghĩa 3: Góc giữa dường thẳng a vă mặt phẳng
(P) lă góc giữa đường thẳng a vă hănh chiến a` của nó
trín (P), kí hiệu lă (a, (P)) hay (TP), a) ⁄
Đặc biết: Le )
a Khia thudc (P) hode ô song song với (P) thì (a, (P)) = 0" = Khia vudng góc với (P) thì (a, (P)) = 90”
Như vậy, ta ln có Ư $ (a (P)) 5 90"
H BĂI TẬP TRÂC NGHIỆM VĂ TỰ LUẬN
Băi 25: Khang dinh "Mot dường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phđn biệt trong mặi phẳng (P) thì nó vuông góc với mp(P)" có đúng không ? A Đúng B Sai Bai 26: Cho bai đường thắng a, b vă mặt phẳng (P) Câc mệnh đề sau đúng hay sai? a Nĩeua//(P) va b L (P) thib La A Dung B Sai b Nĩua//(P) va b La thi b L¢P) A Ding B Sai c Nĩua//(P)vaa//bthib//(P) A Dung B Sai d Nếua L (a) vab 1 athib// (qa) A Đúng B Sai
Băi 27:, Cho điểm S có hình chiếu trín mặt phẳng (P) lă H Với điểm M bất kì trín
(P) (M không trùng H), ta gọi đoạn thắng SM lă đường xiín, đoạn hẳng HM lă
hình chiếu của đường xiín đó Chứng minh rằng:
a Hai đường xiín bằng nhau khi vă chỉ khi hai hình chiếu của chúng bắng
nhau ‘
b Với hai đường xiín cho trước, đường xiín năo dăi hơn thì c5 hình chiếu dăi hơn vă ngược lại, đường xiín năo có hình chiếu dăi hơn thì dăi hơn Băi 28: Cho tứ diện ABCD Tìm điểm O câch đều bốn đỉnh của tứ diện
Trang 9Băi 29: Cho hình tứ điện XBCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc vă AB = a, BC =b, CD =c : a Tính độ dăi AD ƒ 3 3 A ya eb? +07 C va -b +c”, B va +b°-cẺ, D V-a tb +c’ b Chỉ ra điểm câch đều A, B,C, D
A Trung điểm của AB C Trung điểm của AD B Trung điểm của AC D Trung điểm của BC,
Băi 30: Cho hình tứ điện OABC có ba cạnh OA, OB, ÓC đôi một vuông góc
a Chứng minh tam giâc ABC có ba góc nhọn
b Chứng mính rằng hình chiếu H của diểm Õ trín mặt phẳng (ABC) trùng
với trực tđm AABC
c, Chứng minh rằng - si mẻ L > +- ` „+ S-
OH OAT OB OC
Bai 3l: Cho hinh chop S.ABC cĩ SA 1 (ABC) va AABC khong vuông Gọi H
vă K lần lượt lă trực tăm của câc A.AXBC vă SBC
a, - Ba đường thăng XH, SK, BC thoi man:
Âc Đôi một song song C Đồng quy
B Đôi một chĩo nhau ÐD, Đâp ân khâc
b Tính số đo của góc (SC, (BHR)
A 45", B 60" C 90" D 120°
c Tính số đo của góc (HK, (SBC))
A 45 B 60" C 90° D 120"
Băi 32:_ Cho hình chóp S.ABC có ABC lă tam giâc dĩu canh a va SA = SB = SC
=b Gọi G 1a trong tam AABC
a Ching minh rang SG L (ABC) b Tinh SG Kya aa A, 5G 2 „ C.sG- YP 13C, 3 3 I BE B so= Wa p so= Woe +38 Zz 3
c Xĩt mat phẳng (P) di qua A va vudng góc với đường thẳng SC Tìm hệ thức
liín hệ giữa a vă b để (P) cât SC tại điểm C, nằm giữa S vă C
A b>av2 B.a>b/2 Cca<b⁄2 D b<av2
Trang 10d Với giả thiết trong c), hêy tính diín tích thiết điện của hình :hóp S.ABC khi cất bởi mặt phẳng (P) ha 4 3 2 a 3b -a” a’ v3b° +27 Â SaAnc, = a C Suac, = 35 : a ¥3b -a 2 lần? 2 a°v3b° ?Íy2 „22 + a7 B Syasc, = i D Syszc, ==
Băi 33: Cho tứ diện ABCD có AB 1 CD, AC L BD Chứng minh rằng
AD.+L BC Vậy, câc cạnh đối điện của tứ điện đó vuông góc với nhau Tứ diện như thế gọi lă tứ điện trực tđm
Chứng minh câc mệnh đề sau đđy lă tương đương:
a ABCD 1a tt diĩn truc tam
b Chan đường cao hạ từ một đỉnh trùng với trực tđm của mặt đối diện
c AB? +CD?=AC?+ BD’ = AD’ + BC
d Ching minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tđm đồng quy tại một
điểm Điểm đó gọi lă trực tđm của tứ điện nói trín
Bai 34: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC vă BCD lă hai tam giâc cđn có
chung cạnh đây BC Gọi I lă trung điểm của cạnh BC
a Chimg minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)
b Goi AH lă đường cao của tam giâc ADIL, chứng minh rang AH vuông
góc với mặt phẳng (BCD)
Băi 35: Cho hình chóp S.ABCD có đây lă hình thoi ABCD vă có cạnh SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I vă K lă hai điểm lần lượt lấy trín hai
cạnh SB vă SD sao cho bu SK Chứng minh:
SB SD
a BD vuông góc với SC
b IK vuông góc với mặt phẳng (SẠC)
§4 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1 KIEN THUC CAN NHỚ v7
I, GOC GIUA HAT MAT PHANG Xê
Định nghĩa 1: Góc giữa hai mặt phẳng lă góc giữa hai “ b
đường thăng ldn lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó it
Đặc biet: Khi (P) va (Q) trùng nhau hoặc song song với nhau thi (a, b) = 0"
Định lí 1: Nĩu S$ la diĩn tich cua mot da gidc Htrong mat phang (P) vă $ lă diện tích hình chiíu 7 cla #trĩn mat phang (P’) thi S' = S.cos@ trong đó ¢ 1a gue gitta
hai mặt phâng (P) vă (PP)
Trang 112 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi lă vuông góc với nhau nếi góc giữa chúng
bằng 901
Định lí 2 (Diều kiện để hai mặt phẳng vuông góc):
Hai mặt phẳng gọi lă vuông góc với nhau nến một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng kia
Như vậy: (P) L (Q) © 3a e (P): a L (Q)
Hệ qud I:
a Nếu hai mặt phẳng (P) vă (Q) vuông góc với nhau vă A 1a mot điểm
nằm trín (P) thì đường thẳng a đi qua A vă vuông góc với (Q) sẽ nằm
trong (P)
b Nếu hai mật phẳng (P) vă (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a năo thuộc mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến của (P) vă
(Q) sẽ vuông góc với mặt phẳng (Q)
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhất
một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P)
3 HINH LANG TRỤ ĐỨNG HÌNH HỘP CHỮ NHẬT HÌNH LẬP PHƯƠNG
Định nghĩa 3: Một hình lăng trụ được gọi lă hình lăng trụ đứng nếu câc cạnh
bín của Hó vuông góc với câc mặt đây
Nhận xĩt rằng câc mặt bín của hình lăng trụ đứng lă những lụnh chữ nhật
vă đíu vuông góc với đây D, D, Cc, B, Lan Ci \ 7 Nee" ZB D C B C Cc B A A B Laing trụ Lăng trụ đứng Lăng trị đều Ta có câc trường hợp:
1 Một hình lăng trụ đứng có dây lă một miền đa giâc đều được gọi lă lăng
trụ đều Như vậy, lăng trụ đều có câc mặt bín lă những hình chữ nhật bằng nhau
2 Một hình lăng trụ đứng có đây lă hình bình hănh được gọi lă hình hộp đứng Như vậy, hình hộp đứng có bốn mặt bín lă những hình chữ nhật vă
hai đây lă hình bình hănh
3 Mội hình lăng trụ đứng có đây lă hình chữ nhật được gọi lă Lình hộp chữ nhật Như vậy, hình hộp chữ nhật có sâu mặt đều lă những hình chữ nhật 4 Hình hộp có tất cả câc mặt đều lă hình vuông gọi lă hình lập phương
Trang 124 HÌNH CHÓP ĐỀU VĂ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
Định nghĩa 4: Mội hình chóp dược gọi lă hình chóp díu nến đây của nó lă miễn đa
giâc đều vă chđn dưỡng cao của hình chóp trùng với tâm của da giâc đều đó
Nhận xĩt rằng câc cạnh bĩn của hình chóp đều thì `
bằng nhau vă câc mặt bín của nó lă những tam giâc
cđn bằng nhat
Đoạn thẳng nối đỉnh của hình chóp với trung điểm
của một cạnh đây bất kì gọi lă ưng đoạn của hình Đ: Ay
chop đều Ni A A
Định nghia 5: Mot hinh chĩp cut duoc cat ra tit mot hinh chĩp dĩu duec goi lă
hình chóp cụt đền Khi đó:
" Hai đây lă hai đa giâc đều vă đồng dạng
" Đường nối tđm OO, của hai đây gọi lă đường cao của hình chóp cụt đều
" Câc mặt bín của hình chop cụt đều lă những hình thang cđn vă bằng nhau
* Đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh đây thuộc một mật bín gọi lă trung đoạn của hình chóp cụt đều
II BĂI TẬP TRÂC NGHIỆM VĂ TỰ LUẬN
Băi 36: Câc mệnh đề sau đúng hay sai ?
a Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song sóng với nhau A Đúng B Sai b Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phăng thứ ba thì vuông góc với nhau A Ding B Sai
Băi 37: Câc mệnh đẻ sau đúng hay sai 2
a Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phảng vuông góc
với một mặt phẳng cho trước
A Ding B Sai
b Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước vă vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước
A Đúng B Sai
c Câc mat phẳng cùng đi qua một điểm cho trước vă vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định
A Dung B Sai
Bai 38: Câc mệnh đề sau đúng hay sai ?
a _ Hình lăng trụ có hai mặt bín lă hình chữ nhật lă hình lăng trụ đứng
A Đúng B Sai
Trang 13b Hình chóp có đây lă đa giâc đều vă ba cạnh bín bằng nhau lă hình chóp đều
A Đúng.- B Sai
Băi 39: Cho hình hộp ABCD.A'BCTD có AB = a, BC = b,CC' = c Nếu AC =
BU =BÐ = va? +b? +c? thì hình hộp đó có phải lă hình hộp chữ nhật không
A Có B Không
Băi 40: Trong câc mệnh đề sau đđy, hêy tìm mệnh đề đúng ?
A Hai mặt phẳng phđn biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba
thì song song với nhau
B Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc
mặt phẳng năy sẽ vuông góc với mặt phẳng kia
C Hai mặt phẳng (œ) vă (B) vuông góc với nhau vă cắt nhau theo giao
tuzến đ Với mỗi điểm A thuộc (œ) vă mỗi điểm B thuộc (B) thì ta có đường thẳng AB vuông góc với d
D Nếu hai mặt phẳng (œ) vă (B) đều vuông góc với mặt phẳng (y ) thì
giao tuyến d của (œ) vă (B ) nếu có sẽ vuông góc với (ÿ) Băi 41: Trong câc mệnh đề sau đđy mệnh đề năo lă đúng ?
A Hai đường thẳng phđn biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song B Hai mặt phẳng phđn biệt cùng vuông góc với một mạt phẳng thì song song C Hai đường thẳng phđn biệt cùng vuông góc với một đường thang thi song song
D Hai dudng thẳng không cắt nhau vă không song song thì chĩo nhau Băi 42_ Trong câc mệnh đẻ sau, mệnh để năo lă đúng ?
A Hai đường thẳng phđn biệt cùng song song với một mặt phẳng thì
song song với nhau
B Hai mặt phẳng phđn biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cất
nhau
C Hai đường thẳng phđn biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì
vuông góc với nhau
D Một mặt phẳng (œ) vă một đường thẳng a không thuộc (œ) cùng vuông góc với đường thẳng b thì (œ) song song với a
Băi43: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A`B'C'D' có AB =a, BC=b,©C' =c a Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC”B)) vuông góc với mặt phang (ABB’A’)
b Tính độ dăi đường chĩo AC theo a, b, c
A AC'= Va? +b? +c’ C AC = Va24+b*-e?,
2 " /
Trang 14Băi 44:_ Tính độ dăi đường chĩo của một hình lập phương cạnh z
A av2 B av3 C 2a D a5
Băi 45: Cho hình lập phương ABCD.A'BCD có cạnh bằng a
a Chứng minhrằng AC' vuông góc với hai mặt phẳng (A'BD) vă (BCD)
b Cât hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC Thiết điện lă
“
hình gì ?
A Tam gidc dĩu € Ngũ giâc đều B Hình vuông D Lục giâc đều
c Tính diện tích thiết diện đó
az ne Z
A ~~ B a2 C ~ D Ld
Bai 46: Cho hình chóp S.ABCD có đây ABCD lă hình vuông cạnh a vă SA L
(ABCD), SA = x Xâc định x để hai mặt phẳng (SBC) vă (SCD) tạo với nhau góc
60"
6 32
A x= B x=a C= > D x =2a
Băi 47: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) vă (Q) có giao tuyĩn A Lay A, B
cùng thuộc A vă lấy C e (P), D e (Q) sao cho AC L AB, BD 1 AB vă
AB = AC = BD
a Thiết diện của tứ diện ABCD khi cất bởi mặt phẳng (œ) đi qua điểm A
vă vuông góc với CD lă hình gì ?
A Tam giâc vuông € Tam giâc đều
B Tam giâc cđn D Hình vuông
b Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD =a
2 2 2 2
az al? 4 23 a?
A 342, 12 n S2, 8 Gg aR oy, NB 8 12
Bai 48: Hình hộp ABCD.A'BCD' lă hình hộp gì nếu thoả mên một trong câc điều kiện sau:
Trang 15Băi 49: Cho hai mặt phẳng (œ) vă (B) vuông góc với nhau Người ta lấy trín
giao tuyến A của hai mặt phẳng đó hai điểm A vă B sao cho AB = 8cm Gọi C
lă một điểm trín (œ) vă D lă một điểm trín () sao cho AC vă BD cùng vuông
góc với giao tuyĩn A va AC = 6cm, BD = 24cm Tinh độ dăi đoạn CD A 30cm B 26cm C 22cm D 20cm Băi 50: Cho hai mặt phẳng (ơ), (B) cắt nhau vă một điểm M không thuộc (œ) vă không thuộc () a Qua điểm MI có bao nhiíu mặt phẳng (P) vuông góc với (œ) vă (B) A | B 2 Œ, 3 ÐD Vô số b Nếu (œ) song song với (B) thì kết quả trong a) sĩ thay đổi như thế năo ? A 1 B 2 C, 3 Ð Vô số Bai 51; Cho hai AACD va ABCD nam trĩn hai mat phang vuông góc với nhau vă AC=AD=BC=BD= a, CD = 2x Gọi I, J lần lượt lă trung điểm củc AB vă CD a Tinh AB theo a va x 2 ff
A AB= Va? -x? C AB= Va? +x’
B AB= Aa? -x*), D AB= 42a +x), b Tính IJ theo a va x a? —x? va? + x? A Ủ=——— Cc VY = ——— 2 2 l2,.2 _ v2 la 2 v2 B p= ee D y= c Với giâ trị năo của x thì hai mặt phẳng (ABC) vă (ABD) vuông góc ? A 4 B 5 C ĐI, p, 3, 37 Bai 52: Cho hình chĩp S.ABCD c6 day ABCD i mội hình thoi có cạnh đ vă có SA =SB= SC =a Chứng minh rằng: a Tinh gĩc gitta hai mat phang (ABCD) va (SBD) A 30°, B 45° C 60", D 90°
b Xac dinh dang cla ASBD
A Tam giâc vuông C, Tam giâc vuông cđn | B Tam giâc cđn D Tam giâc đều
Băi 53; Cho hình chóp tứ giâc đều S.ABCD có câc cạnh bín vă câc cạnh đây
đều bằng a Gọi O lă tđm của hình vuông ABCD
a Tinh dĩ dai doan thang SO
Trang 16c Tính độ dăi đoạn OM A =, 5 B a2 cả Cc a3 can D av? An d Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) vă (ABCD) A 30° B 45" C 60° D 90° Bai 54: Cho hình chóp S ABCD có đây ABCD lă một hình thoi tđm Ï cạnh a vă có ave
góc A =60', canh SC= “5 vă SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) vă (SAC) A 30° B 45", C 60° D 90° b Trong tam giâc SCA kẻ IK vuông góc với SA tai K Hêy tính độ dăi IK A 2 B ay2 “ C a3 .— p 2 3 c Tính số đo của góc BKD A 30° B 45° C 60" D 90°
Bai 55:, Cho AABC va mat phang (P) Biết góc giữa mp(P) vă mp(ABC) 1a ọ,
hình chiếu của AABC trín mặt phẳng (P) lă AA'BC Tìm hệ thức liín hệ giữa
điện tích AABC vă diện tích AA'B'C 2
ÂA, 5c = Sanc.Sino Cy Sxac = Sage tang
Be Sywe = Sapc-C089 D Sypc = Sanc.COLO
§ 5 KHOANG CACH
I KIEN THUC CAN NHO
1L KHOANGCACH TU MOT DIEM DEN MOT MAT PHANG, DEN MOT DUONC THANG
Định nghĩa I: Khoảng câch từ điểm M đến mặt phẳng (P) (dĩn duing thang d)
lă khoảng câch giữa hai điển M vă H, th rong dĩ H lă hình chiếu vuông tóc của
diểm M trín mặt phẳng (P) (trín đường thẳng đ)
2 KHOANG CÂCH GIỮA ĐƯỜNG THANG VA MAT PHANG SONG SONG , GITA HAI
MAT PHANG SONG SONG
Định nghĩa 2: Khoảng câc h giữa đường thang ava mat phang (P) song song voi
a lă khoảng câch từ một điểm năo đó của a dĩn mat phang (P)
Định nghĩa 3: Khoảng câch giứa hai mặt phẳng song song lă khcảng câch từ
một điểm bất kì của mặt phẳng năy đến mặt phẳng kia
3 KHOẢNG CÂCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẮNG CHĨO NHAU
Định lí Cho hai đường thẳng chĩo nhau a vă b, luôn có duy nhất một dường
thẳng d cắt cả a vă b, vă vuông góc với mỗi đường thẳng ấy Đuờng nắng d được gọi lă đường vuông góc chung của a vă b
Định nghĩa 4: Khoảng câch giữa hai đường thẳng chĩo nhau lă độ dd đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó
Trang 17II BĂI TẬP TRÂC NGHIỆM VĂ TỰ LUẬN
Bai 56: Câc mệnh đề sau đúng hay sai ?
a Đường thẳng A lă đường vuông góc chung của hai đường thẳng a vă b
nếu ^ vuông góc với a vă A vuông góc với b
A Đúng B Sai
b Gọi ŒP) lă mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a, b chĩo nhau
Khi đó, đường vuông góc chung  của a vă b luôn luôn vưđng góc với
(P)
A Đúng B Sai
c Gọi A lă đường vuông góc chung của hai đường thẳng chĩo nhau a vă b
thi A 1a giao tuyến của hai mặt phang (a, A) va (b, A)
A Đúng B Sai
d Cho hai đường thẳng chĩc nhau a vă b Đường thẳng năo đi qua một
điểm M trín a đồng thời cắt b tại N vă vuông góc với b thì đó lă đường
vuông góc chung của a vă b
A Đúng B Sai
e Đường vuông góc chung A của hai đường thẳng chĩo nhau a vă b nằm
trong mặt phẳng chứa đường năy vă vuông góc với đường kia
A Đúng B Sai
Bai 57: Cho hinh lap phuong ABCD.A’B’C’D’ canh a
a Ching minh rang cdc khoang cach từ câc diĩm B, C, D, A’, B’, D’ dĩn đường chĩo AC” đều bằng nhau
b Tính khoảng câch từ C đến AC
av6 av5
A —— —
3 B 3 C av3 | 3 D ay 3
Băi 58: Cho hình chóp tam giâc đều S.ABC có cạnh đây bằng 5a, canh bĩn
bằng 2a Tính khoảng câch từ S tới mặt đây (ABC)
A a B 2a C 3a Dz 4
Băi 59: Cho tứ diện đều ABCD canh a Tinh khoảng câch giữa hai cạnh đối của tứ điện đều đó
A 3, B = Cc A2 D a3
3 2 2 2
Bai 60: Cho tứ diện ABCD có AC = BC = AD = BD =a, AB = c, CD = c' Tính
Trang 18Bai 61: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.AˆB'CD' có AB=a, BC = b, CC” = c a _ Tính ;hoảng câch từ B đến mật phẳng (ACC'A')
3ab
A ab B 2ab C _
Va? +b? Va? +b? va? +b?
b Tinh khoang cach giita hai duĩng thang BB’ va AC’
A ab BB ¬ 2ab Cc 3ab D —=— 4ab
va? +b? va? +b? va?+b va?+b°
Băi 62: Chc hình lăng trụ ABC.A'BC có tất cả câc cạnh đều bằng a Góc tạo
bởi cạnh bín vă mặt phẳng đây bằng 30° Hình chiếu H của điểm A trín mặt
phẳng (A'BC) thuộc đường thắng BC
a Tính khoảng câch giữa hai mặt phẳng đây _ đạp V32 khổ D A =, B = C A2 D a3 a 2 2 2 b Tính khoảng câch giữa hai đường thẳng AA' vă BC A.Š B = C a3 D ay 3 2 4 2
Băi 63: Cho hình lập phương ABCD.A'BCĐ có cạnh bằng a Tính khoảng
câch giữa hai đường thẳng BC’ va CD’
a
A, 283 BẤY, Cc a2 D 3
2 4 - 2
Băi 64: Cho hình lập phương ABCD.A'B'CTD' có cạnh bằng a Tính khoảng
câch của hai đường thẳng BD' vă B'C
36p, AV6
avi0 p ays
5 “5 7 3
Bai 65: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BCD' có AB = AA' =a, AC = 2a
a Tính khoảng câch từ điểm D đến mặt phẳng (ACD')
A Cc
A aV10 “am B avs Cc av3 ‘a D avo a a
b Tính khoảng câch giữa hai đường thẳng AC vă CD
a a ⁄2 av3
A = 3 B > 2 c , eS, 2 De = 2
Băi 66: Cho hình hộp thoi ABCD.A'BCTY có câc cạnh đều bằng a vă BĐD =
BẢA' = DÊĐA' = 60° Tinh khoảng câch giữa hai mặt phẳng diy (ABCD) va (ABCD)
av5 av10 a6 D a3
—, B : — ¡mg
5 5 3 a
Băi 67:_ Cho hình chóp S.ABCD đây ABCD lă hình chữ nhật vă AB = 2a, BC = a
Câc cạnh bín của hình chóp bằng nhau vă bằng a 42
A C
Trang 19a Tinh khoảng câch từ § đến mặt phâng day (ABCD)
ava B 382 Cc a2 ; D
4 4 2 2
b Goi E va F lan Juot la trung điểm của câc cạnh AB vă CD: K lă điểm bất
kì thuộc đường thắng AD Hêy tính khoảng câch giữa hai đường thẳng EF vă SK theo a av3 A av/3 av6 , oa VIS av21 A, -— B —— C —— D -, 3 3 a 7
Băi 68: Hình chóp S.ABCD có đây lă hình thoi tđm O cạnh a vă có góc
BẠD = 60° Đường thắng SƠ vuông góc với mặt phảng (ABCD) vă SO = = :
Gọi E lă trung điểm của đoạn BC, F lă trung điểm của đoạn BE a _ Tính góc giữa hai mặt phăng (SOF) vă (SBC) A 30°, B 45” C 60° D 90" b Tinh khoang cach tir O dĩn mat phang (SBC) 3% 3a j ‘ A 2 B c SỐ p 2 8 4 ; 4 3 c Tinh khoang cach tir A dĩn mat phang (SBC) A 28 — Cc ay3 | p 23 4 2 2 3
BAI TAP LAM THEM
Bai 69: Cho hình tứ điện ABCD có trong tam G Mĩnh dĩ năo sau đđy lă sai 2
A OG= 2 (ĐÊ +OB +0C+OD) B GA+GB+GC+GD=0
C AG =2(AB+ AC+AD)
D AG = 2(AB+AC+ AD)
Bai 70: Cho hai đường thẳng phđn biệt a, b va mat phang (P), trong đó a L (P) Mệnh đẻ năo sau đđy lă sai ?
A Nĩu b //(P) thi b 1 a B Nĩub 1 (P) thib//a
C Nĩub//athib L (P)
D Nĩu b La thi b // (P)
Băi 71: Tìm mệnh đề đúng trong câc mệnh đề sau:
A Hai đường thắng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song
B Hai đường thâng phđn biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song C Hai mặt phảng phđn biệt cùng vuông góc với một đường thang thi song song
D Hai mạt phẳng phđn biệt cùng vuông góc với một mật phang thi song song
Trang 20Băi 72: Mệnh đề năo sau đđy lă đúng 2
A Hai mat phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thản nằm trong
mặt phẩng năy sẽ vuông góc với mặt phẳng kia
B Hai mặt phẳng phđn biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì
vuông góc với nhau
C Hai mặt phẳng phđn biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì
song song với nhau
D Ba mệnh đề trín đều sai
Băi 73: Trong câc mệnh đề sau, mệnh đề năo đúng?
 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước vă vuông góc với một đường thâng cho trước
B Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước vă
vuông góc với một mặt phẳng cho trước
C Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước vă vuông góc với một mặt phẳng cho trước
D Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước vă vuông góc
với một đường thẳng cho trước
Bai 74: Tìm mệnh đẻ đúng trong câc mệnh đề sau: Nếu hình hộp có hai mặt lă hình chữ nhật thì nó lă hình hộp chữ nhật Nếu hình hộp có ba mặt lă hình chữ nhật thì nó lă hình hộp chữ nhật Nếu hình hộp có bốn mặt lă hình chữ nhật thì nó lă hình hộp ‹ hữ nhật Nếu hình hộp có năm mặt lă hình chữ nhật thì nó lă hình hộp chữ nhật ĐAgœ>œ
Băi 75: Trong câc mệnh đề sau, mệnh đề năo đúng?
A Nếu hình hộp có ai mặt lă hình vuông thì nó lă hình lập phLơng
B Nếu hình hộp có ba mặt chung một đỉnh lă hình vuông thì nó lă hình
lập phương
€, Nếu hình hộp có sâu mặt bằng nhau thì nó lă hình lập ph:rơng D Nếu hình hộp có bốn đường chĩo bằng nhau thì nó lă hình lập phương
Băi 76: Cho hình chóp S.ABC có đây ABC lă tam giâc đều Tìm mệnh đẻ đúng trong câc mệnh đề sau:
106
A S.ABC lă hình chóp đều nếu câc mặt bín của nó lă tam giâc cđn
B S.ABC lă hình chóp đều nếu câc mặt bín của nó lă tam giâc cđn với
đỉnh S
C S.ABC lă hình chóp đều nếu góc giữa câc mặt phẳng caứa câc mặt bín vă mặt phẳng chứa đây bằng nhau
D S.ABC lă hình chóp đều nếu câc mặt bín có diện tích bằng nhau
Trang 21Băi 77: Tìm mệnh đề đúng trong câc mệnh đề sau:
A Đường vuông góc chung của hai đường thang chĩo miau thi nam
trong mat phẳng chứa đường thẳng năy vă vuông góc với đường thắng kia
B Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chĩo nhau thì vuông
gc: voi mat phang chứa đường thang năy vă song son; với đường
thẳng kia
C Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chĩo nhau nếu nó
vuông góc với cả hai đường thắng đó
D Cả 3 mệnh đề trín đều sai
Băi 78: Hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vă
AB= AC = AD = 3 Diĩn tich ABCD bang:
wa, BB pn 9⁄2, C 27 p 22
2 3
Băi 79: Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có AB = AA’ = AD = a vă
A'AB = A'AD = BAD = 60" Khi đó, khoảng câch giữa câc đường thẳng chứa
câc cạnh đối diện của tứ điện A'ABD bằng:
"A we B săi C av2 D 2
Bai80: TứdinOABCcóOA= OB= OC=avă AOD = AOC = 60", BOC =90"
a Chứng tỏ rằng AABC lă tam giâc vuông vă OA L BC
b Tìm đường vuông góc chung IJ của OA vă BC, tính khoảng câch giữa
hai đường thẳng OA vă BC
c Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ABC) vă (OBC) vuông góc với nhau
Bai 81: Cho hình chớp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB= 120°, BSC = 60°,
CSA = 90"
a Ching t0 rang AABC 1a tam gidc vuong
b Tinh khoang cach tir $ dĩn mat phẳng (ABC)
Băi 82: Cho hình chóp S.ABCD có đây ABCD lă hình vuông cạnh a, SA | (ABCD) Hai điểm M vă N lần lượt thay đổi trín hai cạnh CH vă CD, đặt CM =x, CN =y Tim hệ thức liín hệ giữa x vă y dĩ:
a Hai mat phang (SAM) va (SAN) tao vĩi nhau gĩc 45"
b Hai mat phang (SAM) va (SAN) vu6ng gĩc voi nhau
Băi 83: Tam giâc ABC vuông có cạnh huyền BC nằm trong mặ phẳng (P),
cạnh AB vă AC lần lượt tạo với mặt phẳng (P) câc góc vă y Gọi œ lă góc tạo
bởi mặt phẳng (P) vă mặt phẳng (ABC 1 Ch tứng minh rang:
sina = sin’B + sin’y
Bai 84: Cho tứ diện OABC có ÓA, ÓOB ÓC đôi một vuông góc với nhau vă
OA =a, OB =b, OC = c Gọi H lă hình chiếu của O trín mặt phẳng (ABC)
Tính diện tích tam giâc HAB, HBC, HCA
Trang 22
Băi 85: Cho hình lêng trụ đứng ABC.A'BC' có đây ABC lă tam giâc vuông tại
đỉnh C, CA = a, CB = b; mặt bín ABBA' lă hình vuông Gọi (P) lă mặt phẳng đi
qua C vă vuông góc với AB’
a Xâc định thiết diện của hình lêng trụ đê cho khi cât bởi (P) Thiết diện lă
hình gì ?
b Tính diện tích thiết điện nói trín
Băi 86: Một tứ diện được gọi lă gần đều nếu câc cạnh đối bằng nhau từng đôi
một Với tứ diện ABCD, chứng tỏ câc tính chất sau lă tương đương:
a Tứ diện ABCD lă gần đều
b Câc đoạn thẳng nếi trung điểm cặp cạnh đối điện đôi một vuông góc với nhạu
c Câc trọng tuyến (đoạn nối đỉnh với trọng tđm của mặt đối diện) bằng nhau
d Tổng câc góc tại mỗi đỉnh bằng 180°
Băi 87: Cho tứ điện ABCD Gọi M, N lần lượt lă trung điểm của BC vă BD, P
lă một điểm thay đổi trín đoạn thăng AD
a Xâc định giao điểm Q của mặt phẳng (MNP) vă cạnh AC Tứ giâc
MNPQ lă hình gì 2
b Tìm quỹ tích giao diĩm I cua QM va PN c Tìm quỹ tích giao điểm J của QN vă PM
Bai 88: Cho hình hộp ABCD.A'RCD Điểm M nằm giữa A vă D, điểm N nam
giữa C vă C' sao cho AM = CN
MD NC
a Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mp(ACB)
b Xâc định thiết diện của hình hộp khi cất bởi mặt phẳng đi qua MN vă
song song với mp(ACB))
Bai 89: Cho hình chóp S.ABC Gọi K vă N lần lượt lă trung điểm của SA vă
BC, M lă điểm nằm giữa S vă C
a Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua K, song song với AB vă SC thì đi
qua điểm N
b Xâc định thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng (KMN)
Chứng tỏ rằng KN chia thiết diện thănh hai phần có diện tích bằng nhau Băi 90: (Tr 126): Hình chóp tứ giâc đều S.ABCD có cạnh đây bă ¡g a vă cạnh
bín bằng a+/2
a Tính khoảng câch từ S đến mp(ABCD)
Tính khoảng câch giữa đường thẳng AB vă mp(SCD)
Tính khoảng câch giữa hai đường thẳng AB vă SC
Gọi (P) lă mặt phẳng đi qua A vă vuông góc với SC Hêy xâc định thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi (P) Tính diện tích thiết diện
e Tính góc giữa đường thẳng AB vă mặt phẳng (P)
Boe
Trang 23ĐÂP SỐ TRẮC NCHIỆM - LỜI GIẢI TỰ LUẬN
Bails Dap sĩ trdc nghiĩm a) A:b) A a! B Băi 2: Đâp số trắc nghiệm a) B:b) B;c) B
a _3ử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
AC’ = AB+BC’ = AB+BC+CC’ = AB+BC+DD
Viv, voi k = | thoả mên hệ thức
b Ta cd:
VT = BD-(BD'+D'D) = BD-B'D = BD+DB' = BB
Văy, với k = 1 thoả mên hệ thức
c Thay thế bởi câc vectơ bằng nhau, ta được:
VT= AC+CD+DB+BA =AD+DA = AA =0 Vay, với k = 1 thoả mên hệ thức A
Bai 3: Đâp số trắc nghiệm a) A:b) A a _T: lần lượt có hai câch biểu diễn: M MN =MA + AD+DN q) D B MN < MB + BC +CN (2)
Cong theo vĩ (1) vă (2), ta được:
2MN = (MA + MB) + (AD : BC)+(DN+CN) =AD+BC €
<= MN = 2(AD+ BC) Vậy, với k= ; thoả mên hệ thức
b T: lần lượt có hai câch biểu diễn: MN =MA +AC+CN (3)
MN = MB + BD + DN (4)
Ccng theo vế (3) vă (4), ta được:
2 MN = (MA + MB) +(AC + BD)+(CN + DN) = AC+ BD
Trang 24Băi 5: Đâp số trắc nghiệm a) B; b) D
a Ta lần lượt có: IA+IC= 21M (1)
1C+ID=2IM (2)
Cộng theo vế (1) vă (2) ta được: JA +1B+1C +ID= 20M +IN) = 0 Vay, voi k = | thoa man hệ thức A b Ta lần lượt có: PA = Pl + IA (3) PB= PI + IB - (4) M PC= PI + Ic (5) D Cc PD = PI + ID (6) Cộng theo vế (3) (4), (5) va (6), ta được: N
PA +PR+ PC +PD = 4PI +(IA +IB+IC+ID) B
© Pi= G(PA +PB+PC+ PD) Vậy, với k= : thoả mên hệ thức
Băi 6:
a Nĩu ABCD lă hình bình hănh với tđm O thì:
SB+SD=2SO, SA +SC=2SO, từ đó, suy ra: SB+SD= SA +$C
Điều ngược lại cũng đúng, thật vậy:
SB+ 3D = SA +SC â SB~ SA =ĐC~SD œ AB = DC
© ABCD lă hình bình hănh
b Trước tiín, vì O lă giao điểm của AC vă BD nín:
* O,A, C thang hang, suy ra 3m: OA =moc * O,B,D thang , hang, suy ra 3n: OB =nOD Khi đó: 480 = SA + SB+ SC + SD
= (SO + OA) + (SO + OB) + (SO +.0C) + (SO + OD) = 4SO0 +(OA + OC) +(OB + OD) — = 3 1=0 _ © (m+#1)0C +(n+ LOD = 0 ag {mtist [n+l=0 n+l= n=- | ©O lă trung điểm của AC vă BD © ABCD lă hình bình hănh Băi 7:
a Với điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì ba vectơ AB, AC, AM đồng
phẳng, suy ra 3 y, Z sao cho:
AM = 1 =yAB +ZAC 2 OM - - OA = y(OB- OA )+z(OC - OA)
-© OM= (l-y- z)OA + yOB + z0C
Dat x = 1 Sa 0 r$ne 1) thì ta được:
OM =xOA + yOB +zOC
Trang 25b Ngược lại, ta biến đổi:
OM =xOA + yOB + zÓC = (1- y ~ z)OA + yOB + z0C OM ~ OA “ <> AM = yAB +zAC = ba vecto AB, AC, AM đồng phẳng =Me (ABC) Băi 8:_ Đâp số trắc nghiệm C Lời giải tự luận: Gọi G lă trọng tđm AABC, ta có: SỐ =2 (SA + SẼ + §€) = 25A + 5B vệ +£5C
Su dung ee quả tir bai tap 5, ta thay dĩ G thuậc mặt phẳng (A'BC) thì có ba
SỐ X, ÿy, z mă X+ y+Z= ] sao cho:
xSA + y§B + z§C = SG = 5 Sal + 2.sB+ SSC (x ~4)Sa" ` 0 a= 3x © (b=3y a+b+c=3x+ô3y+3z = 3(x + y + 7) = 1, đpem c=3z A B Băi 9: Đâp số trắc nghiệm a) D:b) B Ba a Theo > quy tâc hình bình hănh, ta có: BC= BC +BB = BC - AA’ A = AC-AB-AA' =c-b-a b Theo quy tắc hình bình hănh, ta có: BC' = BB'+B'C = AA’+BC = AA'+AC- AB =a+c-b, Băi 10: Đâp số rắc nghiệm C
Lời giải tự luận: Ta lần lượt có:
a.- Với (A) thìtừ: AB =3AC <> - BA =-3CA, dodo (A) lă sai
b VorTB) thi tir’ AB=-3AC © AC- AB=2AC œ@ BC=2AC
Do đó (B) lă sai
c Với (C) thì từ: AB = -2AC +5AD ¢> ba vecto AB, AC, AD dĩng phang
© bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng Do đó (C) lă đúng
d.- Với (D) thì từ: AB=- 20C ©> 2BA =BC => A nằm giữa BC
= Bkhông thể lă trung điểm của đoạn ÂC Do đó (D) lă sai Bai ll: Đâp số trắc nghiệm D
Lời giải tự luận: Ta lần lượt có:
a Với (A) thì N đúng lă trung điểm của đoạn MP, do đó (A) đúng
b Với (B) đúng vì đó chính lă quy tắc trung điểm,
Trang 26c Với (C) đúng vì thoả mên định lí về sự đồng phẳng của ba vectơ tong không gian d Với (D) thi 1i bang g quy | tắc ba điểm ta nhận thấy đẳng thức: AB + BC +CD + DA =0 đúng với mọi điểm A, B, C, D nín cũng đúng với tứ diện ABCD Do đó (D) lă sai Băi 12: Ta có thể trình băy theo hai câch sau: 5 Câch 1: Ta lầa lượt có: MN = MA + AB + BN Mĩ MN =2MA +2AB+2BN TEPBIN aime ERE aes (1) c A MN=MS+SC+CN (2) Cộng theo vế (1) va (2), ta được: N 3 MN =(2MA — + MS) + 2AB + SC +(2BN + CN) ——— B 0 0 © MN =5 AB + 25C AB, MN, SC đồng phẳng Câch 2: Lấy điểm E trín SB sao cho SE = 2EB, ta có: 8 E BN oe as 2 = AB// EM c (MNE), MA EB CN _ SE _ 9 = SC//EN C (MNE), NB Vậy, ba vectơ AB, MN, SC đồng phẳng vì chúng cùng có giâ song son với mặt phẳng (EMN)
Băi 13: Đâp số trắc nghiệm a) B;b) B
a Sai, vì chúng có thể cât nhau hoặc chĩo nhau, cụ
thể với hình lập phương ABCD.EFGH ta thấy:
=_ AE vă AD cắt nhau nhưng cùng vuông góc với AB
* AE va BC chĩo nhau nhưng cùng vuông góc với AB
b Sai, vì có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc chĩo | -
nhau, cụ thể với hình lập phương ABCD.EFGH ta thấy: A “AE vă AH cắt nhau nhưng cùng vuông góc với AB
s AE vă BF song song với nhau nhưng cùng vuông góc với AB * AE va BG chĩo nhau nhưng cùng vuông góc với AB Băi 14: Đâp số trắc nghiệm B Băi 15: Đâp số trắc nghiệm C Bai 16; a Giả sử trâi lại, ba vĩctơ n.a vă b đồng phẳng Tức lă tồn tại l:ai số xvă y E
Sao cho: n =xêa +yb => n, n =xa.n +yb.n = nŸ =0 =lnl=0
điều đó mđu thuẫn Với i gia thiết
Vay, ba vĩcto n, ava b không đồng phẳng
Trang 27b Với ba vectơ ay b, c c cùng vuông góc với vecto a,
Khi d6, nĩu a va b không cùng phương thì n,a vă b không đồng phẳng,
tức lă tồn tại ba SỐ X,ÿ,Z sao | cho:
c=xn +ya +zb Sc n =xn n tya n+zÐ n =0= xn? =>x=0,
Tức lă, ta có biểu diễn: c = ya +zb = ba vecto a, b, ¢ đồng phẳng
Từ đó suy ra, câc đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng
Băi 17: Đâp số trắc nghiệm A
Lời giải tự luận: Ta có:
(AB, BG) =(AB, AC) = BĐC = 45,
AB.EG = | AB | | EG |.cos( AB, EG)
=a.av2 cos45" = a’, do dĩ (A) lă đúng
Bai 18: Đâp số trắc nghiệm a) C; b) C; c) C
a Ta có: AB.CD = AB.(AD- AC) = AB AD- AB.AC
= AB?.cos60° — AB’.cos60° =
= (AB, CD) = 90"
b Từ giả thiết, suy ra AABC, AABD đều
Ta có: AACD = ABCD (c.c.c) = JA = JB => AJAB can tai J > + AB
=> (AB, IJ) =90"
c Ta có: AABD= AABC(c.c.0)-> IDI MCD ean mgt <8: CD
=> ( LU, CD) = 90°
Băi 19; Đâp số trắc nghiệm a) C:b) C;c) C
a Ta có: SA.BC = SA.(SC ~ SB) = SA.SC - SA.SB
= SA2.cosCSA - SA?.cos ASB =0 (SA, BC) = 90°
Chứg minh tương tự, ta cũng nhận được: (SB, AC )= 90", & › AB) =90, Băi 20: Đâp số trắc nghiệm a) Âi b) Bre) C
a Tacĩ: (AB, EG)=(AB, AC)= BAD = = 45", E 1
bởi AABC vuông cđn tại B Ke Cc
b Tacĩ: (AF, EG)=(AF, AC) = FAC =60", A i
bởi AAFC lă :am giâc đều
c Tacó:(AB vă DH)=(AF, AE)= BAE= 90", bởi AFE lă hìn vuông
Trang 28Băi 2l: Đâp số trắc nghiệm a) C¡bị, C
a Gọi a lă cạnh của tam giâc đều, ta có: ABCC = AB(AC-AC) = ABAC-ABAC = a’.cos60" — a7.cos60" = 0 (AB, CC’) = 90" b Nhận xĩt rằng: Mt if u MN = LAByaPQ = 1AB=> MN ˆ PQ (1) QMN =(MN, MQ) = (AB, CC ) = 90" (2) Từ (1) vă (2) suy ra MNPQ lă hình chữ nhật ” Băi 22: a Đâp số trắc nghiệm A Lời giải tự luận: Ta lần lượt có:
ABCD = AB(AD- AC) = ABAD-AB.AC, - @)
AC.DB = AC(AD - AB) = AC.AD- AC.AB, (2)
AD.BC = AD(AB- AC) = AD.AB-AD.AC (3)
Cong theo vĩ (1), (2) va (3), ta được: A
AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0 dpem:
b AB LCD va AC L DB thi
— ——=— —— Cc
AB.CD =0 va AC.DB =0 > AD.BC © AD 1 BC
Trang 29Bai 24: Đâp số trắc nghiệm C Lời giải tự luận: Với AABC, ta có: SE 2AB.ACsinÔ = 2 IABI.IACIsiaĐ q) Mật khâc, ta có: sinA = AB AC — (AB AC)? (2) [ABIL ACI Thay (2) văo (1), ta được: [—:—?z —===, — 5 2 ¬ s= LIABI.IACI, AB ÂC -(ABAO” _ = 1 JAB AC -(ABAC)? 2 IABI.LACI 3 Vậy, với k= ; thoả mên hệ thức Băi 25: Đâp số trắc nghiệm B Lời giải tự luận: Khẳng định trín lă sai vì cần thím điều kiện hai đường thẳng đó phải cắt nhau /
Băi 26: Đâp số trắc nghiệm a) A:b) B;c) B;d) B
a Đúng, bởi: a//(P) = 3a' c (P) sao choa//a,b L (P)>b La
Khi đó: g(a, b) = g(a, b) =90°—=a L b
b Sai, bởi khi đó b có thể nằm trong (P)
c Sai, bởi khi đó b có thể vuông góc với a d Sai, bởi khi đó b có thể nằm trong (0)
Băi 27: Hướng dẫn: Sử dụng tính chất bằng nhau của tam giâc vuông
Băi 28: Gọi d lă đường thắng đi qua tđm I đường tròn ngoại tiếp AABC vă
vuông g góc với (ABC) Mặt phẳng trung trực của đoạn AD cất d tại O thì O câch
đều bốn đỉnh của tứ diện, thật vậy trước tiín ta có ngay:
OA=OD ()
Mặt khâc: AOLA = AOIB = AOIC (c.g.c) > OA=OB=OC ` (2)
Tir (1) va (2), suy ra: OA = OB = OC = OD tức lă, điểm O câch đều bốn đỉnh của tứ diện ' Băi 29: Đâp số trắc nghiệm a) A;b) C lop LAB Ta có: LBC = AD? = AC? + CD? = AB? + BC? + CD? = a? + b? + c° = AD= va? +b? +c?
b._ Gọi O lă trung điểm của AD
» - Vì AACD vuông tại Cnín: OA =OC=OD (1)
a = CD 1(ABO) = CDLAC AACD vuông tại C
Trang 30„ JCDLAB Ta có: lien nọ <= AB 1 (BCD) A => AB 1 BD= AABD vuong tai B O => OA = OB= OD (2) Vay, diĩm O cach dĩu A, B, C, D -B D Bai 30: :
a Giả sửOA =a, OB=b, OC = c , Cc
Xĩt AABC vuông tại O, ta có:
AB’ = OA? + OB’ =a? +b’, BC?=OB?+OC?=b?+c), AC? = OA? + OC = a? +c’, , - —— AB? +AC?-BC a? +b? +a? +c? -(b? +7) cos BAC = : = >0 2AB.AC ava? +b? va? +c? => gdc BAC nhon
Chứng minh tương tự, ta được câc góc ABC, ACB đều nhọn
Vậy, câc góc của tam giâc ABC đều nhọn
b Tir gia thiĩt: OH L (ABC) = OH L BC () A | OB - Ta có: § ĐC = OA 1 (OBC) => OA 1 BC (2) Từ (1) vă (2) suy ra BC 1 (OAH) Chứng minh tương tự ta nhận được CA L (OBH) Ta có: BC L (OAH) >BC L AH „@) AC 1 (OBH) > AC L BH (4)
Từ (3) vă (4) suy ra H lă trực tđm của AABC
c Giả sử AH cat BC tai K, suy ra OK L BC
= Trong AOBC vuông tại O, ta có: 1 1 I , a An ante OK’ OB’ OC ® Trong AOAK vng tại O, ta có: 1 aye 1 ts Fs tt 1 1 1 st 1, OH OA” OK OA‘ OB OC Băi 31: Đâp số trắc nghiệm a) C; b) C;c) C lạ + s => BC 1 (SAE) => BC J SE dpcm,
a Goi {E} = AH‘ BC, taco:
=> SE 1a duĩng cao cla A SBC > K e SE
Vậy, ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy tại E
6 Ta có: [re => BH L (SAC) => BH 1 SC qd) Mat khac, ta cĩ: BK 1 SC (2) Tit (1) va (2), suy ra: SC 1 (BHK) (*)
Trang 31c Tir(*), suy ra SC L HK (3) Mat khdc, ttra), suy ra BC L HK (4) Tir (3) va (4), suy ra HK L (SBC) Bai 32: - a Gọi M lă trung điểm BC, ta có: 5 {re LAM BC LSM Chứng minh tương tự, ta cùng nhận được: AB SG = SG (ABC) , ĐĂ b Dap sĩ trắc nghiệm B M Lời giải tự luận: Trong AGSA vuông tại G, ta có: Cc (2) a _ V9b” - 3e” = BC 1 (SAM) > BC L 5G SG? = SA’-Ga?=b'-| =| =b'- 5 = sG= 3 3 c Đâp sở trắc nghiệm B Lời giải tự luận: Để điểm C, nằm giữa S vă C điều kiện lă ASAC (cđn tại S) nhọn SA? + SC? - AC? & ASC <90" & cosASC >0 PRE >0 © 2b — a2 >0 ca? > 2b) a> bv2 d Đâp số trắc nghiệm B
Lời giải tị luận: Ta có: ASAC = ASBC (c.c.c) => SC 1 B,C = SC 1 (ABC,)
=> A ABC, can tai C, chinh a thiĩt diện _ — 2 2Ý Ta có: AC, = SA.sinASC =SA V1—cos? ASC =b {2 z 2b? _ ay db? =a? os _ ay 3b? —a? — 2p ˆ AARC, 4b Băi 33; Ta lần lượt có:
AB.CD = AB(AD ~AC) = ABAD- AB.AC, a)
Trang 32a._ Chứng minh (a) vă (b) tương đương
Với giả thiết (a), gọi A' lă hình chiếu vuông góc của A lín mặt phẳng
(BC LAD
(BCD), ta có: {BC LAA =BC 1 (AAD) = BC L1 AD
Chứng minh tương tự, ta cũng có BD L A'C Từ đó, suy ra A' lă trực tđm ABCD
Với giả thiết (b) gợi A' lă hình chiếu vuông góc của A lín mặt phẳng BC 1 DA'
(BCD), ta có: , => BC 1 (AAD) = BC L AD
BC LAA
Chứng minh tương tự ta cũng có AB 1 CD, AC 1 BD b Chứng minh (a) vă (c) tương đương
Với giả thiết (a), ta có:
0= ABCD = AB(AD~ AC) = ABAD-AB.AC <> ABAD = ABAC
<2 AB +AD -2ABAD+AC =AB +AC -2ABAC + AD
<> (AD~ AB)? + AC? = (AB- AC)? + AD?
< BD? + AC? = BC? + AD’:
Chứng minh tương tu, ta cling nhan dugc AB? + CD? = AC’ + BD’
Vì câc phĩp biến đối trín lă tương đương nín điều ngược lại vẫn đúng
c Chứng minh (a) vă (đ) tương đương - Bựn đọc tự giải,
Băi 34: A
a Vi AABC va ABCD can theo thir tu tai A va D nĩn:
(oc LAT BC 1 (ADD, dpom BC LDI B ( b Với AH lă đường cao của AADI, suy ra: AH 1DI (1) D Mat khac tira), tacd: BOL (ADI) => BC LAH (2) Tir (1) va (2), suy ra AH L (BCD) Bai 35: , a Tirgiathiĩt, suyra: BDLAC (1) BD 1 SA (2) Từ (1) vă (2), suy ra: BD L (SAC) => BD -L SC, dpem
b Từ giả thiết suy ra: IK // BD = IK 1 (SAC)
Bai 36: Đâp số trắc nghiệm a) B: b) B
a Sai, bởi chúng có thể cắt nhau
b Sai, bởi chúng có thể song song với nhau
Trang 33Băi 37: Đâp số trắc nghiệm a) Bị b) A:c) A
a Sai, nếu a L (P) thì mọi mặt phẳng chứa a đều vuông góc với (P)
b._ Đúng, bởi với hai mặt phẳng (œ), (B) cât nhau vă một điểm M không thuộc
(œ) vă không thuộc (`) ta luôn có:
" Qua M kẻ được duy nhất đường thẳng a vuông góc với (Œ)
" Qua M kẻ được duy nhất đường thang b vuông góc với (8)
Từ đó, suy ra qua M có một vă chỉ một mặt phẳng (P) = (a, b) vuông góc với (a) va B) a c Đúng, bởi đó chính lă đường thẳng đi qua điểm cho trước đó vă vuông góc với mặ: phẳng Bai 38: Dap sĩ trade nghiĩm a) Bib) A Băi 39: Đứp số trắc nghiệm A Lời giâ tự luận: Khi đó ABCD.A'BCD' lă hình hộp chữ nhật, bởi trong bêi tập 38 của chương lÏ ta có: A'C? + BD” + BID? + AC? = 4(a’ +b? +c”) SAC? =a +b? +> AC = Va Kh đó, hình hộp ABCD.A'BCD' có bốn đường chĩo bằng nhau nín nó lă hình hĩp chữ nhật Bai 40: Đâp số trắc nghiệm D Băi 4l: Đâp số rắc nghiệm A Băi 42_ Đâp sở trắc nghiệm D Băi 43: a [A'B LAB a Taco: } FA'BLBC - => (AB’C'D) | (ABB’A’) b Đâ2 số trắc nghiệm A, Lời giai tự luận: Ta có: C” = CC? + AC! = CC?! + AB! + BC =c?+a?+b? => AC = va? +b +c?, Băi 44: Đâp số trắc nghiệm B D Q Cc wr lapiap eel => A’B L(AB’C’D) -=> A’B 1 (ABCD) A'BLAD =A'B.L AC, () lo LAC => BD L (AA'C’C) BD 1 AA’ => BD LAC (2) A M B
Từ 1) vă (2), suy ra AC'.L (A'BD)
Ching minh tương tự, ta cũng có AC' L (BCĐ)
Ñ Q
Trang 34b Đâp sở trắc nghiệm D
Loi giải tự luận: Gọi M.N,P lần lượt lă trung điểm của AB, BC' vă DD suy ra: CMNP) sóng song với câc mât phâng (AB) vă (BDC') [(AB'D')/MMNP) Ta nhận xĩt: +(ABD)¬(ABCD)=BD (MNP) 4 (A'B'C'D') = Nx Suy ra NÑx song song với BI vă cắt CD tại F lă trung điểm cua CD’ (CBD)/(MNP) (C' BD) (ABCD) = BD (MNP) 7 (ABCD) = My
Suy ra My song song vdi BD va cat AD tai Q lă trung diĩm cua AD Kĩo dăi EN cắt Ô'B tại G, nối GM cat BB ' tai E
Vậy, thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP) lă lục giâc “PQ va
cũng chính lă mặt phẳng trung trực của AC
6, Đâp sở trắc nghiệm D
Lời giải tự luận: Dựa theo tính chất đường trung bình tì thầy ngay MERFPO lă
lục giâc đều có độ dăi cạnh bằng ne S , fe - av2 v3 2 ` ¬ ‘v3 Khi đó: Swus¿ = Ó.^ MENEPQ 4 4 B Bai 46: Đâp số trắc nghiệm B L8 5 ⁄ Lời giải tự luận: Trong ASBC, hạ BM 1SC, ta có: ‹ ASAB = ASAD (c.g.c) = SB = SD => ASBC = ASDC (c.c.c) = BM = DM va SC L DM
Suy ra BMD Ia một trong bốn góc mă hai mặt phẳng (SBC) vă (SCD) tạo ra
Trang 35The y (2) (3) văo (1), ta được: vă,
Vậy, với x = a thoa mên điều kiện đầu băi,
Băi 47: Đâp số trắc nghiệm a) A:b) D
a Để xâc định thiết diện ta thực hiện: XS * Trong (ACD) kĩ AK LCD : # "Trong (BCD) kẻ HK 1 CD D Suy ra, thiết điện lă AAHK B 4 JBDLAC la có: 4 => BD L (ABC) => BD L AH = AH 1 (BCD) (BD LAB = AH 1 HK = AAHK vuông tại H b Ta c6: Sanne = 2 AILHK, q) awd Ta có: AH = 2%, (2) 2 Vì hai tam giâc CKH vă CBD đồng dạng nín: HK CK _ ng DBCK _ avo @) DB CB CB 6 ` I a⁄2 a6 ⁄3
Thay (2), (3) văo (L), ta được: Sau = os 5 a = =-
Bai 48: Đâp số trắc nghiệm a) B;b) A;c) C
a Tứ diện ABCD có câc cạnh đối bang nhau thì ABCD.A'BCT' lă hình hộp
chữ nhật, bởi khi đó ta có AA' L (ABCD)
b Tứ diện ABCTD có câc cạnh đối vuông góc thì ABCD.A'BCD' lă hình hộp
Trang 36Băi 50: Đâp số trâc nghiệm a) A:b) D
a Ta luôn có: `
° - Qua M kẻ được duy nhất đường thâng a vuông góc với (œ) » - Qua M kẻ được duy nhất đường thẳng b vuông góc với ()
Từ đó, suy ra qua M có một vă chỉ một mật phẳng (P) = (a b) vuông góc với
(œ) vă (B)
b Nếu (0œ) song song vớ: (B) thì kết quả trín sẽ lă vô số mặt phẳng Bai 51: Ddp sĩ trac nghiĩm a) B;b) Bic) D
a Tacĩ ngay: AP=AC?-CP sa-x?=> AJ = BỊ = Va2-x?
Trong AJAB vuông cđn tại J, ta có:
AB= AJV2 = J2(a2 - x7)
b Trong AJAB vuong can tai J, ta co: ——
1= lap= W202) 2 2 c
c Tacĩ:- AABC cđn tại C nín AB 1 ]C (D
- AABD can tai Dnĩn AB L ID (2) B
Suy ra CID lă một trong bốn góc tạo bởi hai mat phang (ABC) va (ABD)
Từ đó, để: (ABC) 1L (ABD) = CID =90" = IC? + ID? = CD” & 2IC = CD? & AAC? - TA) = CD | §
vex? ; re av
saat! Fe) <a eaewcoxe ME ô
Băi 52; Đâp số trắc nghiệm a) D;:b) A
a Gọi O lă giao điểm của hai đường chĩo AC vă L
BD, ta có: BD L AC (1) ba
Vì ASAC cđn tại S nín: SO LAC (2) đă Từ (1) vă (2), suy ra: AC L (SBD) = (ABCD) L (SBD)
b Từ giả thiết, ta có:
ASAC = ABAC = ADAC > SO =OB = OD > SO= 5 BD
Trong ASBD trung tuyĩn SO thoa man SO = 2BD nín nó lă tam giâc vuông tai S Băi 53: Dap so trac nghiĩm a) Bib) D:c) Ard) B
Trang 37c Trọng AOSC vuông tại O, ta có; OM = sặc = : d Nhạn xĩt rằng: OM L BD vì AMBD cđn tại M,
ÓC L BD vì ABCD lă hình vuông,
(MBD) ~ (ABCD) = BD, /
Từ ¢6, suy ra: ((MBD), (ABCD)) = MOC po
Từ kết quả trong a), suy ra AOSA vuông cđn tại O nĩn:
OM lă phđn giâc => MOC = 45",
Băi 54: fì.°n số trắc nghiệm a) D;b) A: c) D 3L ÂAC a Ta od: 4 [sD LSC b: Trong AABD có ‘A = 60” nín nó lă tam giâc đều, => BD L (SAC) = (SBD) 1 (SAC) R Do dĩ: BD =a, Al = = = ay3 “rong ASAC vuông tại C, ta có: Bo (fey = › 3 6 3 SA? = SC + AC = | TẾ | + ava} = — ay? k 27 “ V:hai tam giâc AKI vă ACS đồng dạng, nín: et = IK= BO a a SC SA SA 2 c Trong AKBD trung tuyĩn KI thoa man KI = 7 BD nĩn a lă tam giâc vuông tạik ` Băi §§; Đâp số rắc nghiệm B Lời siải tự luận: Xĩt hai trường hợp: Trường hợp 1: Giả sử BC c (P) Kẻ đường cao AH của AABC, suy ra: A'H 1 BC
“a co: Syec = ; A'H.BC = 5 AH BC.cos@ = DI com, io
Trường hợp 2: Giâ sử BC không a nằm trong mặt phẳng (P)
2ựng mặt phẳng (œ) qua B vă song song với (P)
: Gọi A,, C¿ theo thứ tự lă hình chiếu của A, C lín (a)
Trang 38Băi 56; Dap so trac nghiĩm a) Bib) Ac) A: d) Be) B
Bai 57:
a Nhan xĩt rang: ABAC' = ACA'A = ADAC = = AA'AC = ABCA = AD'CA
nín khoảng câch từ câc diĩm B.C D A’, B’, D’ dĩn
đường chĩo AC" đều bảng nhau b Đâp xố rắc nghiệm A Lời giải tự luận: Hạ CH vuông góc với AC, ta được: yal = 7 =- + — = CHẶ- A6 CH" ACT CC 3 Bai 58: Đâp số trâc nghiệm A Băi 59; Đâp sở mâc nghiệm C Băi 60; Đâp sở trắc nghiệm D Lời giải tự luận: Gọi I ] theo thứ tự lă trung điểm của AB vă CD thì: © AABC=AABD => IC=IDSU LCD (1) Ạ
* AACD = ABCD = JA=JB> IJ LAB (2) ]
Tir (1) va (2) suv ra IJ chinh lă đoạn vuông góc chung của AB vă CD B Cc Va co: J 3 D 3 : > ? “D l yo 8 Ws IC - IC = (AC — AP) - ES [= : (4a °= c —c”) ` ĩ< / *
Băi 61: Đấp số trắc nghiệm a) A:b) A Bai 62: Đâp số trắc nghiệm a) Bịb) C
Trang 39Bai 63: Đâp sở rắc nghiệm A
Hướng đẫm: Trong hình vẽ ta có KH chính lă đường
vuông gâc chung của BC" vă CD av3
ˆFa tính được KH = = -
Băi 64: Đúp sở trắc nghiệm C
Lời giải tự luậm Gọi T lă giao điểm của BC vă BC, hạ IK vuông góc với BD' Ta
đi chứng minh IK chính lă đoạn vuông góc chung của BD' vă BC, thật vậy: BC LBC 8 «BC L(ABCD) — BC L IK BC AB VÌ hai tam giâc BIK vă BC đồng dạng, nín: IK _ BỊ =~ =p IK = ———- DCSBI _ av6 l D Cc BD BD' 6
Băi 65: Đâp sở trắc nghiệm a) A: b) B
a.— Tứ điện DACĐD' có ĐA, DC, DD' đôi một vuông góc
với nhau, đo đó gọi h = đ(Ð., (UACDĐ))) thì:
dot ~+——> =h=_—— Ị av10
h DA? De 2 pp? 5
b Gọi I lă giao điểm của CD vă CD, hạ IK vuông góc
vai AC’ Ta di ching minh IK chính lă đoạn vuông góc chung cua AC’ va CD’, that vav: icp CD CDi Be Vi hai tam giâc CIK va C’AD dong dang, nĩn: ] C a Jk ƠI sik = ARC! I Z AD CA CA 2 Bai 66: Đâp số trắc nghiệm C Lời giải tự luận: Hạ VH L ÂC, ta có nhận xĩt: {BD LAC [BD LA'O => BDL NH = A'H L (ABCD),
va vi (ABCD) // (\'B'C'D’) nĩn A’H chinh 1a khoang
câch giữa hai mặt phẳng đây
Trang 40Băi 67: Đâp số trắc nghiệm a) D;b) D
a Gọi O lă tđm của hình chữ nhật ABCD, vì câc cạnh bín của hình chóp bằng nhau nín: SƠ 1 (ABCD) = SO = d(S, (ABCD)) Ta có: SO? = SA? ` AO?= SA” - (acy 3a? av3
=2a° - J(4a!+ J)= — Ko 4 tac S5O= —— Bo 2 ° - VĂ - b Ta nhận thấy: EF//AD cC (SAD) = EF //(SAD chứa đường thẳng SK
Do đó, khoảng câch giữa hai đường thâng EF vă SK không phụ thuộc văo K Từ nhận xĩt trín, suy ra: d(EF, SK) = d(EF, (SAD)) = d(O, (SAD))
Gọi M lă trung điểm AD, hạ OI L SM thì:
OI 1 (SAD) = OI = d(O, (SAD))
Pot U2 1 sore eet
Ol SO” OM- 7
Bai 68: Dap sĩ trac nghiĩm a) Dib) Asc) A
a Với giả thiết ta có: AOBE đều >OFLBC (1)
Mặt khâc, ta cũng có: SO L (ABCD) => SO L BC (2)
Từ (1) vă (2) suy ra: BC 1 (SOF) = (SBC) 1 (SOF)
b ‘lrong ASOF ha OH vuông góc với SF suy ra: OH 1 (SBC) = OH = d(O, (SBC))
Trong AOSM, ta có:
Trong ASOF vuông tại O, ta có:
OH? OS? OF? 8 Vi AO (SBC) =C nín: d(O,(SBC)) _ ÓC 1 a(A,(SBC)) AC 2 Băi 69: Đâp số trắc nghiệm C = d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 20H = 2 ‘ Băi 70: Đâp số trắc nghiệm C
Lời giải tự luận: Tă có:
a._ Sai, bởi chúng có thể cắt nhau
b Sai, bởi chúng có thể song song với nhau
c Đúng, dua trín khâi niệm về góc giữa hai đường thâng
d Sai, bởi chúng có thể cắt nhau Bai 71: Đâp số trắc nghiệm D Bai 72: Đâp số trắc nghiệm D Băi 73:, Đâp số trắc nghiệm D