Cách 2: Sử dụng công thức: d(M,, A) = [mM.v] hị s Khoảng cách giữa hai đường thẳng (A) và (A') chéo nhau:
(A) di qua Mp và có vectơ chỉ phương " (a; b; c) Đường thẳng (A') di
qua M, và có vectơ chỉ phương u' (a; b; c), A và A' chéo nhau
Cách 1: * Viết phương trình mặt phẳng (œ) chứa A và song song với (A') * Tìm khoảng cách từ Mạ đến mp(œ) *d(A,A) =d(M, „0) [=:*] Cách 2: d(A,A)= - B Bai tap
1 Ôn về phương pháp toa độ trong mặt phẳng
Câu 271 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho M,(1; 2), M,(2; 3),
M;(3;4) lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, MP, MN của tam giác MNP
Toạ độ của các điểm M, N, P là: A M (4; 5); N(2;3); PO; 1) B M(2; 3); N(4; 5); PCO; 1) C MQ; 1); NÓ; 3); P(4; 5) D M(4; 5); N(O; 1); P(2; 3) Câu 272 Phương trình tổng quát của đường thẳng qua hai điểm A (1; 2), B(-1; 3) là: some y=3-t B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.2x-y+5=0 x=3+t
Câu 273 Cho phương trình của đường thẳng (d): { y= ỹ teR
Vay phuong trinh tổng quát của đường thẳng (đ) là:
Trang 2A 2x-y-6=0 B.x+2y-3=0
C.2x+y+6=0 D.2x-y=0
Câu 274 Cho phương trình tổng quát của đường thẳng (d): 3x + 2y - 5 = 0 Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
= hn đi xa
Peete y=0+2t
c x=-l+3t D x=1+2t (eR)
y=-1+2t y=l-
Câu 275 Cho đường thang (d) x - 2y - 2 = 0 và điểm M(1; 2) Tìm
điểm M' là hình chiếu của điểm M trên (d) A (1; -2) B (2; 0) CA) D (-1; 2) Câu 276 Tìm toạ độ của điểm M' đối xứng với điểm M (1; -2) qua đường thẳng (d): 3x + 2y - 12 =0 A.(Œ;2) B.(6;2) C.(4;0) D (0; 4) Câu 277 Cho ba đường thẳng (d,): x - y + 1 =0, (d,): 3x + 2y -7=0, =194+4t ;
(đ;): ÿ y=- : † e1 đôi một cắt nhau tại A, B, C Toạ độ trọng tâm G của
tam giác ABC là
A.q;3) B (:š) C.d;2) D.C1;2)
Câu 278 Đề bài như đề bài câu 277 Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC
A (§:#) B (3; 12) CT3) D.@:<1)
Câu 279 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC và điểm
M(-1; 1) là trung điểm của AB Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai
đường thẳng 2x + y - 2 = 0 và x + 3y - 3 = 0 Phương trình đường cao CH của
tam giác ABC là: 5
Trang 3
C.20x - 10y+4=0 D.3x+4y-4=0
Câu 280 Với để bài của câu 279 Diện tích eủa tam giác ABC tính
theo đơn vị điện tích (đvdt) là: =
ee 5 ạ Số 5 có 5 Ga §
Câu 281 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Để các vuông góc Oxy, cho
điểm A (8; 6) Phương trình đường thang qua A tao với hai trục toạ độ một
tam giác có diện tích bằng 12 (đvd) là: Yo} B A += 3 ai et x = 8 4 ese eri Bi Đ: St 1 +>ịm” lm x 3 si Cau 282 Tam I và bán kính R của đường tròn có phương trình x?-2x+y°+4y+1=0là A.ICI;2),R=4 B.ICI;2),R=2 C.I1(1;-2),R=4 D.1(; -2),R=2
Câu 283 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có
phương trình đường thẳng (AB) là x - y - 2 = 0, (BC) là 5y - x + 2 = 0 và (AC)
là y + x - 8=0 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
A.(- 4+ Ú - =25 B.- D + Óy - 4) =25
2 2
c.(x-3| +(y-4) -% D.(x +1)? + (y+ 4 =25
Câu 284 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật có
tâm I( :0) Phương trình đường thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD
"Tìm toạ độ các đỉnh A và B biết A có tọa độ âm
A (-2; 0), (2; 2) B (2; 2), (-2; 0) C (-1; 0), (0; 1) D (2; - 2), (1; )
Trang 4Cau 285 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác vuông cân
AB= AC, biết M (1; -L) là trung điểm của BC và G (2:0) là trọng tâm của
tam giác ABC Tìm toa độ hai đỉnh B và C
A (3; 0), (-1; -1) B (4; 0), (-2; -2)
C (4; 0), (2; 2) D (2; 0), (-2; -2)
Câu 286 Trong mặt phẳng với hệ toạ dd Oxy phương trình đường
tron di qua hai diém A (1; 2), B (3; 0) và có tâm nằm trên đường thẳng
(đ): x+ 2y - I0 =0 là:
A.(x-3)? + (y - 4)? = V10 B.Œ- Ù + (y - 3 = 10
C.(x- 4) + đy - 3) = 10 D (x - 3) + (y - 4) = 10
Câu 287 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy cho
(d): x- y + 1=0 và (C): x? + y? + 2x - 4y = 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với đường tron C tai hai diém A va B va AMB = 60° A (3; 4) B (-3; -2) C (3; -4) D (3; 4); (-3; -2) Câu 288 Trong mặt phẳng với hệ toa do Oxy cho đường tròn (C) (x-LŸ + (y + 2)? = 9 va đường thẳng (d): 3x - 4y + m = 0 Tìm m để trên
{d) có duy-nhất một điểm P mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB đến (C) (A, Bà hai tiếp điểm sao cho A PAB đều) (Trích đề thi Toán khối D 2007)
A.m=19 B.m=-41 C.m=19;m=-41 D.m=-5
2 Phương pháp toạ độ trong không gian
Trang 5
Cau 291 Dé bai nhu cau 289
Góc tạo bởi MN va AC, BD lan lượt là:
A 30°; 60° B 60°; 30° C 45° 45° * D 90% 90°
Câu 292 Cho tứ điện ABCD Gọi A', B, C, D' là các điểm theo
thứ tự chia các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo tỉ số k: A'A =kA'B,
BB =kBC, CC = kC'D, DD =kDA Véi gid tri nao của k thì
bốn điểm A', B, C, D' đồng phẳng:
A.I B -1 C3 D.4
Câu 293 Cho hình lập phương ABCD A'BCT' cạnh 3 Gọi P, Q là
các điểm lần lượt xác định bởi AP = -AD, CQ =-CD Độ dài đoạn
thẳng PQ bằng:
A.35 B3V7 7 Cả D.3V10
Cau 294 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'BCD' Dat các véctơ cơ sở
BA =a, BB =b, BC = c Gọi M là điểm chia đoạn thẳng AC theo tỉ số m, N là điểm chia đoạn thẳng CD theo tỉ sốn (MA =mMC, NC =nNP')
Tìm m và n để MN song song với BD A.m=-l,n=3 B.m=l,n=3 C.m=l,n=-3 D.m=-3,n=-l Câu 295 Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M (1; - 3; - 5) trên mp Oxy A.qG;-35) B.q;-30) C.(1;3,1) D.(1;-3;2) Câu 296 Cho A (-3; 2; -1) Toạ độ điểm A' đối xứng với A qua trục yOy là: đc Gai k0 2 Bị 3; 2) -1) (0:21) D (3; -2; -1) Câu 297 Cho M (-3; 2; -1) Toạ độ điểm M° đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy là: A.(3;2;-1) B.@;2;l1) €.(;2;-l) D.@;-2;-l)
Câu 298 Cho tam giác ABC có A(-4; -1; 2), B.(3; 5; -10) Trung điểm
cạnh AC thuộc trục tung, trung điểm cạnh BC thuộc mặt phẳng Oxz Thế thì
toạ độ đỉnh C là:
A (4; 5; -2) B (4; 5; 2) C (4; -5; 2) D (4; -5; -2)
Trang 6Câu 299 Cho tit dién ABCD cé A (2; 3; 1), B (4; 1; -2), C (6; 3; 7),
D (-5; -4; 8) D6 dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh D xuống đáy (ABC) là: A.II B.12 Cos D 14 Cau 300 Cho phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) 3x -2y + 5z+6=0 Phương trình tham số của mặt phẳng (P) là: x=t x=2t A.iy=3+-t+—s B y~3+ tra z=s Z=s eae x= t b C 4y=3+—t+—s D.{y=3+ Sie z=s D ae (t, s là tham số, t, s € IR) x=2s-t Câu 301 Cho phương trình tham số của mặt phẳng (P): 4y=2+s-t .z=l+s+2t Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là: A.3x+5y-z+11=0 B 3x - Sy-z+11=0 C 3x -5y+z-11=0 D -3x - Sy+z-11=0
Câu 302 Trong không gian với hệ toa do Oxyz cho tứ diện OABC có
©O là gốc toạ độ, A 6 Ox, B eOy, C 6 Oz và mặt phẳng (ABC) có phương
trình 6x + 3y + 2z - 6 = 0 Thể tích của khối tứ diện tính theo (đvdt) bằng:
A2 Ti Gil D.4
Câu 303 Sử dụng để bài của câu 302 thì phương trình mặt câu ngoại
tiếp tứ diện OABC là:
Trang 8Câu 307 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Viết phương trình : 5x-4y-2z-5 =0 tình chiếu của dường thang (1 c7” x+2z-2=0 trên mặt phẳng (œ): 2x - y+z-1=0 -2x+4y+8z-1=0 af hee B - 2x + 4y + 8z-1=0 2x-y+z-1=0 2x + 4y +8z-1=0
C.2x-y+z-1=0 Dae 2x-y+z-1=0 a
Câu 308 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng
(a): ee a diém P (4; 1; 6
2x+y-2z+3= san )
Toạ độ điểm P đối xứng với P qua (A) là:
A (2; 3; 2) B (2; -3; 2) C (2; -3;-2) D.(4;1;6)
Câu 309 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phang (a):
3x + y - 2z =0 Toạ độ điểm A' đối xứng với điểm A (1; 3; -4) qua (œ) là: A.(-5;-1;0) B.@;2;l) C (-5; 1; 0) D (5; -1; 0) Cau 310 Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: y-3_ 7-3 X:3.; Vo Z.] Ni CD c2 G275 a (ay 2 ees (Ap: ; 5 4 (A,): n 5 š A.3x-2y-z-12=0 B 5x +34y - L1z- 38 =0 2x-2y-z-12=0 D 3x-2y-z-12=0 5x +34y-11z-38=0 ˆ [5x +34y-11z-38=0 Cau 311 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng a x=-1+2t eo eee vàd; Jy=l+t 2 1 1 z=3 Xét vị trí tương đối của d, và d;
Trang 9Câu 312 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
2x-z-1=0 3x+y-2=0
(Ay): -x-y+4=0 Ghd y-z-2=0 7
Khoảng cách giữa hai đường thẳng (A,) va (A,) la:
512 10 5
12
A B C D
V110 v110 v110 v110
Câu 313 Cùng với hai đường thẳng d, và d; của câu 311, phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): 7 + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng dị, d; là: A.X*+5y+3z+1=0 B 4x - 8y +5z-3=0 Cc x+5y+3z+1=0 D 2x+5y-3z+2=0 ˆ |4x-8y+5z-3—0 ˆ |4x-§y+5z-3=0
Câu 314 Trong không gian cho hai đường thẳng:
(i \ 3 S2 TA) Ệ Ti pee x+1=0 ios cide A (OLN)
Phương trình đường thẳng (A) di qua A vuông góc với (A,) và cắt (A,) là A.-x+y-z+1=0 B.2x+y-z-1=0 Cc 3x+y+z-3=0 D -3x-y-z+3=0 X-y+z-1=0 x+y+z-1=0 ĐỀ TRẮC NGHIỆM - ÔN CUỐI NĂM VÀ THỊ TỐT NGHIỆP (50 câu - 90 phú) Để số 1
A Phan chung dành cho tất cả các thí sinh (40 câu)
Cam 1 Cho f(x) = — == "> typ xác dịnh cia ham STR: x? ~ 3x74 2x
A R\{0; 1; 2} B.R\{1; 2} C R\{O; 1} D R\{O}
X”-4x
Câu 2 Đạo hàm của hàm số y = x? + Ke 7 là
Trang 10269 Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt
hình cầu và đi qua tâm của hình cầu Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R Vậy ta có tR? =p => R= ye Œ) Mặt phẳng (œ) cắt hình cầu theo một hình tròn có bán kính là r Dễ Z 2 _ 2 đàng có |) a aN eae a =r Rapes 2 2 2
Thay Rar) acére 2 fk = [2 Dép én ding / + a 2z
270 Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng 1A d, ta cé: d? = R?- R =2m Ta phải tìm r r chính là bán kính của hình tròn tạo ra do mặt phẳng cắt hình cầu, nên ta có 2tr = 2,4m => r = _ =1/2(m) z Vậy đ? =2? - (1/2)? =4- 1,44= 2,56 = d= 2,56 = 1,6m Đáp án A đúng
271 Gọi Œụ, yu), (Xx; va), (X; y,) lần lượt là toạ độ điểm M, N,,P của AMNP
Trang 11272 AB = (2; 1) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là
n =(1;2) 3
Vậy phương trình của đường thẳng AB là:
1.(x+1)+2(y-3)=0<©x+2y -5=0
Đáp án B đúng
273 Đường thẳng (đ) đi qua điểm M (3; 0) và có vectơ chỉ phương là n =(1;2) Vậy vectơ pháp tuyến của đường thẳng (đ): n_ = (2; -L) và nó đi
qua điểm M nên có phương trình tổng quát là:
2(x - 3) - l(y - 0 =0 ©2x-y-6=0
Đáp án A đứng
274 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) là n = (3; 2) nén vecto
chi phương của d là a (2; -3) va (d) di qua diém M(1; 1) nên phương trình
: tes x=l+2t
tham số của (d) là:
y=l-3t
Đáp án D dúng
Trang 12Goi H là giao điểm cta (d) va (d') thì toa độ của H là nghiệm của hệ phương trình x=l+3t y=-2+2t =>H=(4; 0) 3x+2y-12=0 Dễ dàng có H là trung điểm của MM' nên toạ độ của M' = (7; 2) Đáp án A đúng 277 Gia sit A là giao của (d,) và (d;) Vậy toạ độ của A là nghiệm của ‘ x-y+1=0 x=l hệ phương trình o St {eae on : Vậy A =(1; 2) “Tương tự toạ độ của B là nghiệm của hệ phương trình x=194+4t x<3 y=-t > y=4 x-y+l=0 t=-4 Vay B= (3; 4); C=(-1; 5) Goi toa độ của G là Œ; y), tacé GA + GB + GC =0 =(1-x;2-y)+(3- x; 4- y) + (-1 - x; 5 - y) = (0; 0) 1-x+3-x+(-l-x)=0 binh = Ầ© 11 2-y+4-y+5-y=0 vow 11 VậyG= |1;— wo~[6Ÿ) Đáp án B đúng
278 Toạ độ ba dinh của AABC là: A(1; 2), B(3; 4), C(-1; 5) Khi đó
phương trình các cạnh của AABC là
x=19+4t
AB:xcy +1=0,AC: 3e v2y-T=BG | y=- :
Trang 13Đường cao (AH) đi qua A và vuông góc với BC, nên vectơ chỉ phương của BC, chính là vectơ pháp tuyến của AH => thia = (4; -1) Vay phuong
trình đường cao (AH): 4(x - 1) - (y= 2) =0
_ ©4x-y-2=0
3+3t
Phương trình đường cao (BH): Hou 4+2t teR
Vay toạ độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình 6 Ä =3 4+ 0U x== y=4+2t ng a H (§:Z) 4x-y-2 =0 và Hes 5 | Dap 4n A ding 279 Toạ độ đỉnh C là nghiệm của hệ phương trình: 2x+y-2=0 Sod ok x+3y-3=0 55 Goi toa độ dinh A, B lan lugt 18 (x4; Ya), (Xai Ya) Ta có hệ phương trình sau: XẠ +Xp =-2 YA+Yn=2 Bet 2x, +¥,-2=0 Xpg +3yp-3=0 Vậy A(I;0, BC3;2)
AB = (-4; 2) ma CH L AB nén vecto AB Pek ia Vaca’
cao CH Vậy phương trình của CH là:
-(x-2) +2(y-2) =0 ©_ -20x+10y+4=0
hay 10x-5y-2=0
_ Đáp án B đúng
Trang 14280 Có nhiều cách tính diện tích AABC Ở đây ta trình bày một cách
AB = (-4; 2) nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng chứa cạnh AB là
n =(2; 4) Vậy phương trình cạnh (AB): 2x - + 4y =0 â2x+4y-2=0ô>x+2y-1=0 Khong cỏch t C đến AB chính là độ dài đường cao CH nên d(C; AB) = Brel AB =(-4;2)=> AB= V16+4 = V20 =25 Dien tich AABC = 2ABCH ay = =.2V5 2 s5 6 = = 2 (đvút 6 5 ) Đáp án C đúng, 281 Phương trình đoạn chắn: XU a b
Đường thing đi qua điểm A(8; 6) và tạo với hai trục một tam giác có
Trang 15Ta có hai đường thẳng thoả mãn điều kiện bài toán Ty rẻ 4 6 8 Đáp án D ding 282 Phương trình đường tròn đã cho viết theo dạng chính tắc là: Œ&-D?+(y+2=4 Vay tam I (1; -2) và bán kính R = 2 Đáp án D đúng 283 Dễ dàng tìm được toạ độ các điểm A(5; 3), B(2; 0), C(7; 1) 22
Goi N là trung điểm của AC thì N = (6; 2)
Gọi M là trung điểm của AB thì M = (2:3)
Trang 16|L.o+2 284 IH = d(I, AB) = a =e Dé dang cé AH = AD =2IH = V5 “Trong tam giác vuông AHI ta có: Hình 42 TA?=THP + AHP= 25 si 20 20 125 2
Vay A; B nằm trên đường tròn (x-5) +y= a"
Do đó toạ độ của A, B là nghiệm của hệ phương trình:
x-2y+2=0
š x=-2 x=2
(<-;) 1a: ca y0 be? a) oe o0
Trang 17Vậy tọa độ B, C là nghiệm của hệ phương trình
x-3y-4=0 x=4 |x=-2
TP = {yr i
=> B(4; 0), C (-2; -2)
Đáp án B đúng
286 Ta đã biết quỹ tích tâm các đường tròn đi qua hai điểm A(1; 2),
B(3; 0) là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB Gọi M là trung điểm của AB thì M =@¿ 1) AB = @; -2)=2(1; -1) 'Vậy phương trình đường trung trực của AB là: Á: 1.(x-2)- l(y-I1)=0© x-y-1=0 Toa d6 tam I của đường tròn là nghiệm của hệ phương trình: 2y-10=0 =4 was ° ễ =1(4;3) x-y-1=0 R’=1A?=(4- 1)? +(3-2)?=10 Do đó phương trình đường tròn cần tìm là: (Œœ-4)2+(y-3)'= 10 Đáp án C đúng 287.(C): (x+1)”+(y-2)= Vậy 1(-1;2) R= V5
Giả sử — điểm M e Med kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với BO; A, Bla tiếp
điểm va AMB = 60° = AMI = 30°
=> IM=2IA =2R =2V5
= M nằm trên đường tròn
(x+ D+ (y - 2# =20 M
Do đó toạ độ của điểm M là
nghiệm của hệ phương trình: N
x-y+1=0 Hinh 44
(x +1)? + (y-2) =
Trang 18i ° Bed : bìa” Vay có hai điểm thoả mãn diều kiện bài toán M(3; 4), M '(-3; -2) Đáp án D đúng vẽ Tàn 288 Dé dang API = 30° > PI = 21A (C): (x-1)? + (y +2 =9 > 1 (1; -2),R=3 > PI=6
Để trên d có một điểm P duy nhất mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến PA,
Trang 19290 MN AB = [MN] [AB] cos (MIN , AB) Ta đã biết |MN| sẽ ,AB =d Vậy cos (MN Ỹ AB a al ụ Đáp án C đúng 291 Chứng minh tương tự như câu 290 ta được (MN, AC) = 90° MN , BD) = 90° Đáp án D đúng
292 Nếu A', B, C, D' đồng phẳng thì ta luôn luôn có p, q, r với p+q+r=l thoả mãn OA' = pOB' +qOC +rOD (1)
Tidaubaicho AA =kA'B <> OA -OA =k(OB -OA)
Trang 23BA (-2;2;3), BC =(2;2;9), BD = (-9; -5; 10) wmf PAE b zlbr2 = (12; 24; -8) [BA, BC] BD| = (12;24;-8).(-9;-5;10) = {-108)+ (-120)+ 80) = 308 Ma [BZ BC | = (12? +247 Cay =28 Vay Siac = 14
Ta đã biết Vagen = 5 Bh (6 day B= Sac = 14 là đường cao của tứ
Trang 24301 Từ phương trình tham số của (P) ta biết (P) đi qua điểm M,(0;2;1) và hai vectơ chỉ phương u= (2; 1l; l) và v= (-1; -1; 2) Vậy vectơ pháp " của (P) là: v-() #Ệ 3 1)£œ*s9 Vậy phương trình tổng quát của (P) là: -3(x - 0) + 5(y - 2) + 1 - 1) =0 © -3x+5y +z- 11=0 hay 3x - Sy-z+11=0 Đáp án B đúng 302 (ABC): 6x + 3y + 2z - 6= 0 © 6x + 3y + 2z = 6 Ầ + + 5 + : = 1 (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn) = A(1; 0; 0), B(O; 2; 0), C(0; 0; 3) Vay OA =(1; 0; 0), OB =(0; 2; 0); OC = ©; 0; 3) Ta có Voanc = s joa 08] oc] [OA, OB] =; 0; 2) [OA, ØB] OC =(0; 0; 2) (0; 0; 3) =6 Do đó Voane = 2-6 = 1 (Av) Đáp án C đúng 303 Sử dụng kết quả của câu 302 ta có: A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3)
Gọi M là trung điểm của OC thi M = (3:0 3) Tap hop cdc tam mat
câu cách đều O va C là mặt phẳng (ơ) trung trực của đoạn thẳng OC, mat phẳng (œ) đi qua M và nhận Đ = (0; 0; 3) làm vectơ pháp tuyến nên
Trang 25
(6)=3(z-2) =0۩6z-9=0
Tập hợp các tâm mặt cầu đi qua O, A, B là đường thẳng (A) qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với mp xoy Gọi N là trung điểm của
Trang 26Mặt phẳng (œ) đi qua M (7; 0; 0) và vuông góc với (đ) nên nhận t C5; 2; 3) làm vectơ pháp tuyến, suy ra (œ) -5(x - 7) + 2y + 3z=0 > -5x + 2y + 3z+35=0 'Toạ độ hình chiếu M' của điểm M trên (đ) là nghiệm của hệ phương trình: x-2y+3z-1=0 x=4 x+y+z+2=0 c4y=-3 = M(4, -3; -3) -5x + 2y+3z+35=0 z=-3 Đáp án A đúng
305 Trước hết phải xét xem vị trí tương đối của hai đường thẳng Dễ
dàng thdy u, #ku," (hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng không cộng tuyến) (A) và (A' cất nhau thì hệ phương tình sau có một nghiệm duy nhất: 2x+y+l=0 (1) x-y+z-1=0 (2) 3x+y-z+3=0 @) 2x-y+1=0 (4)
Cộng vế với vế của () và (49) ta có 4x +20 eX=~ 2 Thếx =~2 vào
(1) ta được y = 0 Thế x = -2 y = 0 vào (2), (3) ta đều được z = 3 Vay
nghiệm của hệ là:
suy ra (A) cắt (A') tại Mạ(- 5 0; 2)
Vay mat phẳng œ là tồn tại và duy nhất
Trang 27Như vậy mặt phẳng œ có hai vectơ chỉ phương đó là hai vectơ chỉ
phương của (A) và (A') là:
= (1z 0102142: 1À
r=) ER HR doa
er f ‡E #B 4)<=s3 IE cna a nd |) oe recta ae
Trang 283x -2y +6z+21 =0 Chon m = 19, n= 85 ta có phương trình phải tìm 189x + 28y + 48z - 591 =0 Đáp án D đúng 307 Đường thẳng đã cho thuộc chùm mặt phẳng: m(5x - 4y -2z-5)+n(x+2z-2)=0 (m°+n?+0) ° (5m + n)x - 4my + (-2m + 2n)z + (-5m - 2n) = 0 (B) (*)
Hình chiếu của đường thẳng (A) trên mp (a) 14 giao cia mat phing (f)
chứa (A) vuông góc với (œ) và mặt phẳng (œ)
(B).L(œ) — nạ L nạ mà nạ =2; -1; 1)
Dy = (5m +n; -4m; -2m + 2n)
=> 2(5m + n)- 1(-4m) + 1 (-2m + 2n) =0
©>3m = -n Chọn m =-l =n=3
Thay vào (*) ta được mp (8): -2x + 4y + 8z - 1 =0
Vay hình chiếu của đường thẳng (A) trên (œ) là (ene ees 2x-y+z-1=0 Đáp án A đúng 308 Vectơ chỉ phương của (A): ạ + = {et Sioa it k › I- -2}2 2 Bee ol = (6; - 6; 3) 2
Mat phang (a) qua P(4; 1; 6) va 8A
Trang 29Toa d6 giao diém I cita (A) va (œ) là nghiệm của hệ phương trình: x-y-4z+12=0 x=3 2x+y-2z+3=0 ° y=-l =I@; -l; 4) 2x-2y+z-12=0 z=4 Theo tính chất đối xứng thi [ là trung điểm của PP“ Theo công thức toa độ trung điểm ta có: Xp = 2X, -Xp Me mee: Yr = 2Y,-Yp = y„ =3 => P'(2; -3; 2) Z,» = 2z, -Z, Zp = 2 Đáp án B đúng
309 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
(a), n =(3; 1; -2) Qua điểm A dựng đường
thẳng (A) vuông góc với (œ) Vậy vectơ chỉ
phương a cha (A) là vectơ pháp của (œ): n.=n =@:1:2) Đường thẳng (A) đi qua A nên có Hình 49 phương trình: x=l+3t y=3+t =-4-2t Giao điểm H của (A) va (œ) là nghiệm của hệ phương trình: x=1+3t y=3+t z=-4-2t 3x+y-2z=0
‘Theo tinh chất đối xứng thì H là trung điểm của AA' nên dễ dàng tính
được tọa độ của A' = (-5; 1; 0)
Đáp án C đúng
= H(-2; 2; -2)
Trang 30
310 Vectơ chỉ phương của Ai 0 =(1;2;-1)
Á;: tạ =(-7;2; 3)
Gọi vectơ chỉ phương của A (là
đường vuông góc chung của A,, A;)
w =[t, tạ] Hình 50
soe a ees ae Sims lca = (8; 4; 16)
Be ba 7g a pee
Mặt phẳng œ chứa A, và A nên có hai vectơ chỉ phương
tị =(;2;-1) và u =(8; 4; 16) và đi qua điểm (7; 3; 3) An: — 2 -1) bl 1 ỊI 2 vụ mị =[n #] ~[Ệ a te ‘|| =o 28-09 Phương trình của (a): 36(x - 7) - 24(y - 3) - 12(z-3) =0 <> 3(x - 7) - 2(y -3) -(z- 3) =0 > 3x -2y-z-12=0
Mặt phẳng B chứa A, va A có hai vectơ chỉ phương
Trang 31311 Đường thẳng d, có vectơ chỉ phương u, = (2; -1; 1) va di qua diém M, (0; 1; -2) Đường thẳng d; có vectơ chỉ phương " = (2; 1; 0) và đi qua điểm M,(-1; 1; 3) Trước hết phải xét d, va d, c6 déng phing hay khong Ta da biết d, và d; đồng phẳng = [u,,u; ] M\M, =0 Ly H th J)»ch59 2 00 12B ty MỊM; =(-1; 0; 5) mati) | Vậy [uị,uy ].MỊM; =1; 2; 4) (1; 0; 5) : =1+20z0 Suy ra d, và d; chéo nhau Đáp án A đúng
312 Khoảng cách giữa hai đường thẳng (A,) và (A;) là khoảng cách
giữa một điểm của đường thẳng (A;) đến mặt chứa đường thẳng (A,) và song song với đường thẳng (A,)
Trang 32as ne eae os 2) Mặt phẳng (œ) lại chứa điểm (0; 4 -1) nên có phương trình: (œ): 9x + 5(y - 4) - 2(y + 1) =0 ©9x+5y-2z-22=0 'Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (A,), (A;) là khoảng cách giữa M; ( Ỹ 0; -2) đến (œ) dM, 0) = +4-2| _ 12 _ 12vi10 _ 6vil0
oat oppress yt © 110-7 55
Đáp án A đúng (HS tự chứng minh (A,), (A,) là hai đường thẳng chéo nhau)
Trang 33x + Sy +3z+1=0 4x -8y + 5z-3 = 0 'Vậy phương trình của đường thẳng (d): { Đáp án C đúng 314 Đường thẳng A là giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q (hình 52) Mặt phẳng PL A; và đi qua A (0; 1; 2) nên Bp = u, (u, = (3; l; 1) là vectơ chỉ phương của A,) Vậy phương trình của mặt phẳng (P): 3(x - 0) + 1 (y- 1) 4+ 1 (z-2)=0 Hinh 52 = 3x+y+z-3=0
Mat phẳng Q chứa A; và đi qua A (0; 1; 2) Vậy Q có vectơ chỉ phương
a) (uy; 1a vecta chi phương của đường thẳng A;) và vectơ MÃ là vectơ