Bài giảng: PP tọa độ trong không gian

Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian 2 A. Tóm tắt lý thuyết 2 B. Bài tập 4 Chủ đề 2. Tích có hướng 6 A. Tóm tắt lý thuyết 6 B. Bài tập 7 Chủ đề 3. Phương trình mặt phẳng 8 1. Tóm tắt lý thuyết 8 2. Các ví dụ 12 3. Bài tập 13 Chủ đề 4. Phương trình đường thẳng 16 A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ 16 B. Bài tập 21 Bài tập tổng hợp về mặt phẳng và đường thẳng 23 Tổng kết về khoảng cách và góc 26 Chủ đề 5. Phương trìõnh mặt cầu 29 A. Phương trình mặt cầu 29 B. Bài tập về mặt cầu 29 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 2 Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hệ trục tọa độ trong không gian Đònh nghóa: Hệ trục tọa độ Oxyz là một hệ thống gồm ba trục tọa độ đơi một vng góc Ox , Oy , Oz . Gọi i  , j  , k  lần lượt là ba véc-tơ đơn vị trên ba trục Ox , Oy , Oz . Ta có i j k 1       , i.j j.k k.i 0          . ⃗ i x O y z ⃗ j ⃗ k 2. Tọa độ của một véc-tơ, một điểm  Tọa độ của một véc-tơ:   u x;y;z u xi yj zk          . Để xác định tọa độ của véc-tơ u  ta làm như sau: +) Lấy điểm A sao cho OA u    . +) Lấy H , P là hình chiếu của A lên Oxy , Oz ; M , N là hình chiếu của H lên Ox , Oy . +) Ta có:   u OM;ON;OP   . H Tính chất: Cho các véc-tơ   1 1 1 1 u x ;y ;z  ,   2 2 2 2 u x ;y ;z  và số k tùy ý, ta có Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 3 ☞ 1 2 u u     1 2 1 2 1 2 x x y y z z         . ☞   1 2 1 2 1 2 1 2 u u x x ;y y ;z z        . ☞   1 1 1 1 ku kx ;ky ;kz   . ☞ Giả sử 2 u 0    , ta có: 1 2 u / /u    1 2 m R :u mu       1 2 1 2 1 2 x mx m R : y my z mz           .  Tọa độ của một điểm: Tọa độ của điểm M là tọa độ của véc-tơ OM    M x;y;z OM xi yj zk         .  Tọa độ của véc-tơ AB  :   A A A A x y; ; z  ,   B B B B x y; ; z     B A B A B A ;AB x x y ; y z z      . Ta có: ☞ M là trung điểm của AB  x x A B M 2 y y A B M 2 z z A B M 2 x y z              . ☞ G là trọng tâm tam giác ABC  x x x A B C G 3 y y y A B BC G 3 z z z A B C G 3 x y z                   . ☞ G là trọng tâm tứ diện ABCD  x x x x A B C D G 4 y y y y A B C D G 4 z z z z A B C D G 4 x y z                      . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 4 3. Tích vô hướng của hai véc-tơ: Cho các véc-tơ   1 1 1 1 u x ;y ;z  ,   2 2 2 2 u x ;y ;z  , ta có ☞   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 u .u u . u cos u ,u x x y y z z           . ☞ 2 2 2 2 1 1 1 1 1 u u x y z       . Hệ quả:   A A A A x y; ; z  ,   B B B B x y; ; z         2 2 B A B A B A 2 AB x x y y z z    ☞   u .u x x y y z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 u .u 1 2 x y z . x y z 1 1 1 2 2 2 cos u ,u               ( 1 u 0    , 2 u 0    ). ☞ 1 2 u u     1 2 u .u 0     1 2 1 2 1 2 x x y y z z 0    . B. Bài tập Bài 1. Cho   A 2;3; 1  . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A lên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ. Bài 2. Cho   M 1;2;3  . Tìm tọa độ của điểm M' lần lượt đối xứng với M qua 1) Gốc tọa độ. 2) Mặt phẳng Oxy , Oyz , Ozx . 3) Trục tọa độ Ox , Oy , Oz . Bài 3. Cho các véc-tơ   a 1;2;3   ,   b 0;1; 1   ,   c 1; 2;4   . Tìm tọa độ các véc-tơ u  , v  biết rằng 1) u 2a 3b 4c        . 2) 2 3 u 4a b 5c        . Bài 4. Cho các bộ điểm 1)   A 2;3;1 ,   B 4; 3; 1   ,   C 3;0;0 . 2)   M 1;2; 3  ,   N 3;6;5 ,   P 2;4;3 . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 5 Hỏi trong các bộ điểm nói trên, bộ điểm nào thẳng hàng, bộ điểm nào tạo thành một tam giác? Bài 5. Cho các điểm   A 1;3; 4   ,   B 5;0;5 ,   C 1;2; 1  ,   D 1; 1;2  . 1) Chứng tỏ rẳng ba điểm A , B , C thẳng hàng; ba điểm A , B , D khơng thẳng hàng. 2) Chứng minh góc  ADB tù. Bài 6. Cho tam giác ABC với   A 1; 1;1  ,   B 0;1;2 ,   C 1;0;1 . 1) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác. 2) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Bài 7. Cho tam giác ABC với   A 11;8;4  ,   B 1; 7; 1    ,   C 9; 2;4  . Hãy chứng tỏ tam giác vng và tính diện tích của nó. Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có   A 4;1; 2  ,   C 3; 2;17   ,   B' 4;5;10 ,   D' 7; 2;11   . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Bài 9. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có   A 1;0; 1   ,   B 2; 1; 2    ,   D 1;1; 1   , OC' 4i 5j 5k         . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. Bài 10. 1) Trên trục Oy , tìm điểm M cách đều hai điểm   A 3;1;0 ,   B 2;4;1  . 2) Trên mặt phẳng Oxz , tìm tọa độ điểm N cách đều ba điểm   A 1;1;1 ,   B 1;1;0  ,   C 3;1; 1  . Bài 11. Cho tứ diện ABCD với   A 1; 1;1  ,   B 3;1; 2  ,   C 1;2;4  ,   D 5; 6;9  . Tìm tọa đột trọng tâm G của tứ diện. Bài 12. Cho tứ diện ABCD với   A 1;0;0 ,   B 0;1;0 ,   C 0;0;1 ,   D 2;1; 1   . 1) Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện. 2) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Tìm tọa độ trung điểm G của MN . Bài 13. Cho tứ diện ABCD với   A 3;0;0 ,   B 0;3 3;0 ,   C 3;0;0  ,   D 0; 3;3 . Chứng minh tứ diện có các cặp cạnh đối diện vng góc với nhau. Bài 14. Cho tam giác ABC với   A 1;1;1 ,   B 5;1; 2  ,   C 7;9;1 . Biết phân giác trong góc A cắt BC tại D . Tìm tọa độ điểm D . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 6 Bài 15. Cho tam giác ABC với   A 1;2; 1  ,   B 2; 1;3  ,   C 4;7;5  . Tính độ dài đường phân giác trong góc B . Chủ đề 2. Tích có hướng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Đònh nghóa: cho   u x;y;z   ,   v x';y';z'   tích có hướng của u  và v  là:     y z z x x y u, v ; ; yz' y'z;zx' z'x;xy' x'y y z z x x y                    . 2. Tính chất 1) Tích có hướng vng góc với các véc-tơ thành phần:   u, v u     ,   u, v v     . 2) Độ dài của tích có hướng:     u, v u . v .sin u,v        . 3. Ứng dụng 1: kiểm tra điều kiện cùng phương và đồng phẳng 1) Điều kiện cùng phương của hai véc-tơ:   u / /v u,v 0        . Hệ quả: bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng  AB,AC .AD 0         . 2) Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ: u  , v  , w  đồng phẳng  u,v .w 0         . Chú ý: biểu thức u,v .w        được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ u  , v  , w  . 4. Ứng dụng 2: tính diện tích, thể tích 1) Diện tích hình bình hành ABCD : AB, AS D        . 2) Diện tích hình tam giác ABC : 1 S AB, AC 2        . 3) Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' : V AB, AD .AA'         . 4) Thể tích khối tứ diện ABCD : 1 V AC, AB .AD 6         . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 7 B. Bài tập Bài 1. Cho   a 2;3;1  ,   b 5;7;0  ,   c 3; 2;4   . Chứng minh a  , b  , c  khơng đồng phẳng. Hãy biểu diễn   d 4;12;3  qua a  , b  , c  . Bài 2. Cho   A 1;2; 3  , B(2;4;7) ,   C 0;2; 4  . 1) Tìm ràng buộc giữa x , y , z để     M x;y;z mp ABC  . 2) Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Hãy tính diện tích của hình bình hành đó. 3) Gọi n  và véc-tơ vng góc với   mp ABC và có độ dài bằng 1 . Hãy xác định tọa độ của n  . Bài 3. Cho tứ diện A , B , C , D với   A 2;3;1 ,   B 1;1; 2  ,   C 2;1;0 ,   D 0; 1;2  . 1) Tính ABCD V . 2) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện. 3) Xác định tọa độ của H . Đáp số: 1) 7 3 . 2) 14 2 . 3)   2;3;1 . Bài 4. Cho   A 0;1;1 ,   B 1;0;2  ,   C 1;1;0  ,   D 2;1; 2  . 1) Chứng minh A , B , C , D khơng đồng phẳng. 2) Tính độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó. 3) Tính góc  CBD và góc giữa các đường thẳng AB và CD . 4) Tính thể tích của tứ diện ABCD và độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện. Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 8 Chủ đề 3. Phương trình mặt phẳng 1. Tóm tắt lý thuyết a. Véc-tơ chỉ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng  Véc-tơ n 0    được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng   P nếu n  có giá vng góc với   P . Ký hiệu   n P   hoặc   P n   . Chú ý: ☞ Mọi véc-tơ khác 0  , cùng phương với một véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng đều là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:   1 2 2 1 n P n 0 n / /n                  2 n P   . ☞ Hai véc-tơ pháp tuyến của cùng một mặt phẳng ln cùng phương với nhau:     1 2 n P n P           1 2 n / /n   .  Véc-tơ u 0    được gọi là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng   P nếu u  có giá song song hoặc nằm trên   P . Ký hiệu   u / / P  hoặc   P / /u  . Chú ý: ☞ Mọi véc-tơ khác 0  , cùng phương với một véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng đều là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy:   1 2 2 1 u / / P u 0 u / /u                 2 u / / P  . ☞ Hai véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng chưa chắc cùng phương với nhau. Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 9  Quan hệ giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng ☞ Véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng vng góc với nhau     n P u / / P          n u    . ☞ Véc-tơ khác 0  , vng góc với véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy.   n P u 0 u n                   u / / P  . ☞ Véc-tơ khác 0  , vng góc với véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng khơng chắc là là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy. Tuy nhiên, một véc-tơ khác 0  , vng góc với hai véc-tơ chỉ phương khơng cùng phương của một mặt phẳng thì là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:     1 2 1 2 n 0 u / / P u / / P n u n u                          n P   . Từ đây suy ra: tích có hướng của hai véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:     1 2 u / / P u / / P           1 2 u ,u P        . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 10 b. Phương trình tổng quát của mặt phẳng Xét bài toán: lập phương trình mặt phẳng   P đi qua điểm   0 0 0 0 M x ;y ;z , nhận véc-tơ   n A;B;C  làm véc-tơ chỉ phương. Lời giải: Xét điểm   M x;y;z . Ta có   0 0 0 0 M M x x ;y y ;z z      .   M P   0 n M M     0 n.M M          0 0 0 A x x B y y C z z 0       . Vậy         0 0 0 P :A x x B y y C z z 0       hay   P :Ax By Cz D 0     ( 0 0 0 D Ax By Cz     ). Kết luận: ☞ Mỗi mặt phẳng trong khơng gian đều có phương trình dạng: Ax By Cz D 0     (phương trình tổng qt của mặt phẳng), trong đó A , B , C là các hằng số khơng đồng thời bằng 0 . ☞ Ngược lại, người ta chứng minh được: mỗi phương trình Ax By Cz D 0     với A , B , C là các hằng số khơng đồng thời bằng 0 là phương trình của một mặt phẳng. c. Một số dạng đặc biệt của phương trình mặt phẳng ☞ Phương trình mặt phẳng vng góc với các trục tọa độ   P Ox   phương trình của   P có dạng By Cz D 0    ( 2 2 B C 0   ).   P Oy   phương trình của   P có dạng Ax Cz D 0    ( 2 2 A C 0   ).   P Oz   phương trình của   P có dạng Ax By D 0    ( 2 2 A B 0   ). ☞ Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ   P đi qua gốc tọa độ  phương trình của   P có dạng Ax By Cz 0    ( 2 2 2 A B C 0    ). [...]... , M có hồnh độ bằng 1 2) M  d , M có hồnh độ bằng tung độ    3) M  d , MA  u  1;2;3  Ở đây, A   3;4;7  4) M đối xứng với N  0;2; 5  qua d 5) M  d , M cách đều hai mặt phẳng tọa độ  xOy  và  yOz  Giải ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 19 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian 1) M  d  tọa độ M có dạng M  2  5t;2  t;3  M có hồnh độ bằng 1 ... bởi   ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian  u.n sin     u.n ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 28 29 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề 5.Phương trìõnh mặt cầu A Phương trình mặt cầu  Phương trình x  x0   2   x  x0  2   x  x0  2  R 2 ,  trong đó R  0 , là phương trình  chính tắc...  3  và  P  : x  2y  z  5  0  2 1 1 Trong mỗi trường hợp trên, hãy ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 24 25 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian a) Tìm tọa độ giao điểm A của d với  P  b) Tính góc giữa d và  P  c) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến P bằng 2 d) Gọi B là điểm trên d có hồnh độ bằng 4 Tính khoảng cách từ B đến  P  e)... DĐ:0983070744 Với Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian Bài 6 15 Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng  P  và  Q  trong các trường hợp sau 1)  P  : 2x  y  4z  5  0 ,  Q  : 3x  5y  z  1  0 2)  P  : 2x  y  2z  1  0 ,  Q  : 6x  3y  2z  2  0 3)  P  : x  2y  z  1  0 ,  Q  : x  2y  z  5  0 Đáp số: 1) Bài 7 Tìm điểm M  Oz trong các trường... DĐ:0983070744 2 yz0, 3 22 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian 2) M  d , M có hồnh độ bằng hai lần tung độ      3) M  d , MA  u 1; 2; 3 Ở đây, A   1;2;4  4 4) M đối xứng với N  1;2;6  qua d 5) M  d , M cách đều hai mặt phẳng tọa độ  xOy  và  yOz  Viết phương trình mặt phẳng  P  biết Bài 3  x  4t  1)  P  đi qua điểm M  2;5; 7  và song song... DĐ:0983070744 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian Bài 5 30 2 2 2 Cho mặt cầu  S  : x  y  z  2x  4y  2z  3  0 và mặt phẳng  P  : 2x  y  2z  14  0 1) Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa trục Ox và cắt  S  theo một đường tròn có bán kính bằng 3 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu  S  sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  lớn nhất Bài 6 2 2 2 Cho... hai mặt phẳng đó Đáp số: t 3 3 Bài 10 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc Gọi  ,  ,  là góc giữa các mặt  OBC  ,  OCA  ,  OAB  với mặt  ABC  Bằng phương pháp tọa độ hãy chứng minh: 1) Tam giác ABC nhọn 2 2 2 2) cos   cos   cos   1 ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 16 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề 4.Phương trình đường...  0 ( m là tham số)   1) Cho m  2 Chứng minh rằng mặt phẳng P2 2) Xác định m để  Pm  tiếp xúc với  S  Tìm tọa độ tiếp điểm cắt  S  theo một đường tròn có bán kính r  2 2 ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 31 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian Bài 10 Cho các đường thẳng d1 : x  1  1 y2 z3 y2 z3 , d2 : x1  và mặt cầu   2 3 1 1 1  S   : (x  1)2 ... ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian d  P  , Q   | D  D' | A 2  B 2  C2 12 2 Các ví dụ Bài 1 1) P Viết phương trình mặt phẳng  P  biết rằng  đi qua A  2;0; 4  và nhận n  2;  3;6  là véc-tơ pháp tuyến ( 2x  3x  6z  20  0 ) 2) P đi qua A  2;2; 3  và vng góc với đường thẳng BC , trong đó B  2;10; 7  , C  5;9;...     u,u'   u,M 0M '0   0     ThS Phạm Hồng Phong DĐ:0983070744 20 Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian         u,u'  0 u' cùng phương         M 0M '0 không cùng phương   u,M 0 M '0   0            u,u'  0 u và u' không cùng phương         d và d' cắt nhau        u, . Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian. Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744 2 Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian A. Tóm tắt lý thuyết 1. Hệ trục tọa độ. z 0    . B. Bài tập Bài 1. Cho   A 2;3; 1  . Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A lên các mặt phẳng tọa độ và các trục tọa độ. Bài 2. Cho   M 1;2;3  . Tìm tọa độ của điểm M'