Bài giảng bài hệ trục tọa độ trong không gian hình học 12 (6)

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Click Bài 1 :... vuông góc với nhau từng đôi một... Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ Định lí : Tr

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

Click

Bài 1 :

I Tọa độ của điểm và của vectơ

1) Hệ tọa độ :

Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy ; z’Oz

vuông góc với nhau từng đôi một Gọi

là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho

z’

các vuông góc Oxyz trong không gian

Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz

Điểm O gọi là gốc tọa độ

Các mặt phẳng (Oxy) ; (Oyz) ; (Ozx) ;

Đôi một vuông góc được gọi là các mặt

phẳng tọa độ

Không gian với hệ trục Oxyz còn được gọi

là không gian Oxyz

Vì là các véc tơ đơn vị và đôi một vuông góc nên

và

O

x’

x

z

Trong không gian Oxyz , cho một điểm M Hãy phân tích véc tơ theo 3 véc tơ

không đồng phẳng đã cho trên các trục Ox ; Oy : Oz

2 Tọa độ của một điểm :

O

x

y

z

M

Trong không gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý

Vì không đồng phẳng nên có 1 bộ

ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho

x

y

z

Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một

điểm M duy nhất trong không gian thỏa :

M = ( x ; y ; z ) hay M(x ; y ; z)

3 Tọa độ của một véctơ :

Trong không gian Oxyz , cho 1 vectơ Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a 1 ;a 2 ;a 3 )

sao cho : Vậy : tọa độ của véctơ

M (x ; y ; z)

Ví dụ minh họa : Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có điểm A trùng với gốc O , có theo thứ tự cùng hướng với

và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c Hãy tính tọa độ các véc tơ :

trong đó M là trung điểm của C’D’

z

C’

B

D A’

C

B’

D’

a

b

c

M

Thầy trò cùng đi tìm ….?

x

II Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Định lí :

Trong không gian cho 2 vectơ

Trong đó k là một số thực

Chứng minh :

Theo giả thiết :

Vậy :

Chứng minh tương tự cho b) và c)

Click

Hệ quả :

b) Vectơ

Thì :

Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :

Bài tập thêm :

Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(x A ; y A ; z A ) ; B(x B ; y B ; z B ) ; C(x C ; y C ;z C )

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là :

III Tích vô hướng

1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí : Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của 2 vectơ

được xác định bởi :

Chứng minh :

2 Ứng dụng

a) Độ dài của một vectơ

Click

c) Góc giữa 2 vectơ : Cho 2 vectơ

và góc  giữa 2 vectơ là :

Ta có :

Qua đó suy ra

Bài tập cùng làm tại lớp :

Vơi hệ Oxyz cho

Hãy tính :

IV Phương trình mặt cầu

Định lí : Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) , bán

kính r có phương trình :

Chứng minh :

Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r

I(a ; b ; c)

M(x ; y ; z)

r

Nên có M  (S)

Bài tập cùng làm tại lớp :

Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = 5

Chú ý : Phương trình mặt cầu có thể viết :

(S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 trong đó d = a 2 + b 2 + c 2 – r 2

Cũng chứng minh được pt mặt cầu : x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

Trong đó r 2 = A 2 + B 2 + C 2 - D > 0 ; tâm I(-A;-B;-C) Click

Ví dụ :

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :

x 2 + y 2 + z 2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0

Giải :

Ta có :

(S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

Vậy tâm I ( -2 ; 1 ; -3)

d = a 2 + b 2 + c 2 – r 2 Nên r2 = (-2)2 +12 +(-3)2 – 5 = 9  r = 3

Bài tập trắc nghiệm :

I - Trong kg Oxyz cho 3 véc tơ :

Hãy trả lời các câu hỏi sau :

1 Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?

2) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

3) Cho hình bình hành OADB có

A

(O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là :

(0 ; 1 ; 0) B (1 ; 0 ; 0)

C (1 ; 0 ; 1) D (1 ; 1 ; 0)

Click

II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) và D(1;1;1)

1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tọa độ điểm G là trung điểm

của MN là :

2 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là :

V Bài tập :

Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008