Hệ toạ độ Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một.. Hệ gồm ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Đề – Các vuông góc Oxyz trong không gian, hay đ
Trang 1Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến
HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trang 21 Hệ toạ độ
Trong không gian, cho ba trục x’Ox,
y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một
Gọi i , j , k lần lượt là các véctơ đơn vị
trên các trục x’Ox, y’Oy, z’Oz
Hệ gồm ba trục như vậy được gọi là hệ
trục toạ độ Đề – Các vuông góc Oxyz
trong không gian, hay đơn giản hơn gọi là
hệ toạ độ Oxyz
Điểm O được gọi là gốc toạ độ
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi
một vuông góc với nhau được gọi là các
mặt phẳng toạ độ
Không gian toạ độ Oxyz còn gọi là không
gian Oxyz
x
z
i
j
k
Vì i , j , k đôi một vuông góc nên:
0 i
k , 0 k
j , 0 j
.
i
1 k
, 1 j
, 1
i
Trang 3I Toạ độ của điểm và của véctơ
1 Hệ toạ độ
Hoạt động 1 Trong không gian Oxyz cho
điểm M Hãy phân tích véctơ OM theo ba
vectơ không đồng phẳng i , j , k đã cho
trên các trục Ox, Oy, Oz
Giải Dựng hình hộp OM 1 M’M 2 M 3 M’’’MM’’
Khi đó OM 1 , OM 2 , OM 3 cùng phương
với các vectơ i , j , k Khi đó ta có
M’’
M’
M 1
M 3 M’’’
M 2
x
z
i
j
k
M
OM ' OM 3
OM
OM 1 OM 2 OM 3
x i y j z k
Trang 42 Toạ độ của điểm
x
z
i
j
k
M
M 2
M’
M 1
M 3 M’’’
M’’
Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ
ý Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng
nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao
x i y j z k OM
Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có
duy nhất một điểm M trong không
gian thoả mãn hệ thức
x i y j z k OM
Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là toạ độ của
điểm M đối với hệ toạ độ Oxyz đã cho và
viết:
M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z)
Từ định nghĩa ta suy ra toạ độ hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz và các mặt phẳng toạ độ (0xy) (0yz), (0xz)
là các điểm M 1 (x; 0; 0), M 2 (0; y; 0), M 3 (0; 0; z), M’(x;y;0) , M’’(0; y; z), M”’(x; 0; z)
Trang 5I Toạ độ của điểm và của véctơ
2 Toạ độ của một điểm
M 2
x i y j z k
i
x
z
j
k
a
M
M’
M 1
M 3 M’’’
M’’
a
3 Toạ độ của vectơ
a i a j a k
Trong không gian Oxyz cho a Khi đó
tồn tại duy nhất một bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 )
Ta gọi bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) đó là toạ độ
của vec tơ a đối với hệ toạ độ Oxyz cho
trước và viết a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) hoặc
a(a 1 ;a 2 ;a 3 )
Nhận xét Trong toạ độ Oxyz, toạ độ
điểm M chính là toạ độ của vec tơ OM
Ta có M=(x; y; z) OM = (x; y; z)
Trang 62 Toạ độ của một điểm
x i y j z k
3 Toạ độ của vectơ
) a
; a
; a ( a k
a j a i
a
a 1 2 3 1 2 3
Hoạt động 2 Trong toạ độ Oxyz, cho hình
hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A
trùng với gốc O, có AB, AD, AA’ theo thứ
tự cùng hướng với i , j , k có AB=a, AD =
b, AA’ = c Hãy tính toạ độ các véctơ AB ,
AC, AC’ và AM với M là trung điểm cạnh
C’D’
Giải
AB AD a i b j
a i
AB AB ( a ; 0 ; 0 )
AB AD AA ' a i b j c k
'
x
z
D’
C
B
A’
B’
D
M
) k c j b k c j b i
a
( 2
1 )
' AD '
AC
( 2
1 AM
2
1
Trang 7I Toạ độ của điểm và của véctơ
x i y j z k
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a 1 2 3 1 2 3
II BTTĐ của các phép toán vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
) b
; b
; b ( b ), a
; a
; a
(
) b a
; b a
; b a
( b a
)
R k
), ka
; ka
; ka ( a
k
)
a i a j a k
b i b j b k
b ( a b ) i ( a b ) j ( a b ) k
) b a
; b a
; b a
( b
Chứng minh
k a j a i a k a
.
ka 1 i ka 2 j ka 3 k
) ka
; ka
; ka ( a
Trang 8
x i y j z k
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a 1 2 3 1 2 3
II BTTĐ của các phép toán vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
) b
; b
; b ( b ), a
; a
; a
(
; b a
b a
b a
b a
)
a
3 3
2 2
1 1
) 0
; 0
; 0 ( 0 )
b
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi
a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3
) z z
; y y
; x x
( AB
)
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x
x
và C(4;-1;3) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Giải
Do ABCD là hình bình hành khi
đó ta có:
A
D
BA CD
B A
C D
B A
C D
B A
C D
z z
z z
y y
y y
x x
x x
4 3 1 2 z
z z
z z
4 1 2 3 y
y y
y y
2 4 3 1 x
x x
x
C B
A C
D
C B
A C
D
C B
A D
Vậy D = (2; 4; 4)
Trang 9I Toạ độ của điểm và của véctơ
x i y j z k
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a 1 2 3 1 2 3
II BTTĐ của các phép toán vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
) b
; b
; b ( b ), a
; a
; a
(
; b a
b a
b a
b a
)
a
3 3
2 2
1 1
) 0
; 0
; 0 ( 0 )
b
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi
a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3
) z z
; y y
; x x
( AB
)
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x
x
Ví dụ 2
Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) và C(7/4; 0; 5/4) Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
Giải
1 3
2
;
1 3
7
; 1 0 AB
3
1
; 3
4
; 1
1 4
5
; 1 0
;
1 4
7 AC
4
1
; 1
; 4
3
3
4 AB
=> AB , AC cùng phương hay A,
B, C thẳng hàng
Trang 10
x i y j z k
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a 1 2 3 1 2 3
II BTTĐ của các phép toán vectơ
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
) b
; b
; b ( b ), a
; a
; a
(
; b a
b a
b a
b a
)
a
3 3
2 2
1 1
) 0
; 0
; 0 ( 0 )
b
c) a và b cùng phương khi và chỉ khi
a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 , a 3 = ka 3
) z z
; y y
; x x
( AB
)
e) M là trung điểm AB khi và chỉ khi
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x
x
Tìm toạ độ điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M
Giải
Do A và B đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm AB, nên ta
có
0 2 1 2 z
z 2 z
7 3
) 2 (
2 y
y 2 y
5 1 3 2 x
x 2 x
A M
B
A M
B
A M
B
Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0)
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x x
Trang 11CỦNG CỐ
Qua bài học học sinh cần nắm được
trên các trục toạ độ và các mặt phẳng toạ độ
độ của một điểm qua phép đối xứng tâm