Viết phương trình mặt cầu S... Bi ết rằng khi m,n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ABC và đi qua D.Tính bán kính R của mặt cầu đó?. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Trang 1 j=(0;1;0)
k=(0;0;1)
0=(0;0;0)
II.TỌA ĐỘ VECTƠ
Đi ̣nh nghı̃a: u = ( x;y;z ) ⇔ = + + u xi yj zk
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ
III TỌA ĐỘ ĐIỂM
a Đi ̣nh nghı̃a: M x;y;z ( ) ⇔ OM xi yj zk = + +
AB = AB
= (x B−x A)2+(y B−y A)2+(z B−z A) 2
3.To ̣a độ trung điểm của đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn AB
4.To ̣a đô ̣ tro ̣ng tâm tam giác
G trọng tâm tam giác ABC
M ỘT SÔ ỨNG DỤNG và CÔNG THỨC
1 Chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng; không thẳng hàng:
3 điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ =
AB k AC
ho ặc: 3 điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB AC , = 0
3 điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB
≠k AC
ho ặc: 3 điểm A,B,C không thẳng hàng ⇔ AB AC, ≠ 0
2. D x;y;z ( )là đỉnh hı̀nh bình hành ABCD⇔ AD BC =
3.Diê ̣n tích hình bình hành ABCD: SABCD = AB AD,
hoặc: SABCD =2S∆ABC AB AC,
Trang 24 Diê ̣n tích tam giácABC: 1 ,
2
ABC
S∆ = AB AC
5. Chứng minh 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng, không đồng phẳng
4 điểm A,B,C,D đồng phẳng ⇔ AB AC AD, =0
4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ⇔ AB AC AD, ≠0
(A,B,C,D là đỉnh tứ diện ABCD)
6 Thể tı́ch tứ diê ̣n ABCD: 1 ,
Nếu 2 mp song song:
Nếu đường thẳng song song mp: ( ) ( ) ( ) 0 0 0
Nếu 2 đường thẳng song song : ∆1/ /∆ ⇒2 d(∆ ∆ =1; 2) d M( 1∈∆ ∆ =1; 2) d M( 2∈∆ ∆2; 1)
11 Kho ảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
Đường thẳng ∆ ∆1, 2chéo nhau 1 1
M x y z
Trang 3Bài t ập: TÌM T ỌA ĐỘ VECTƠ , TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG – MẶT
b
= (3; 0; –1), c = (3; 2; –1) Tìm tọa độ của vectơ u = (a.b).c
A (2; 2; –1) B (6; 0; 1) C (5; 2; –2) D (6; 4; –2)
Câu 5: Tính góc giữa hai vectơ a = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1) A 135° B 90° C 60° D 45°
Câu 6: Trong k.g Oxyz, cho 3 vectơ a ( 1;1;0)
Câu 11: Cho A(2;5;3);B(3;7; 4);C x y ( ; ; 6 ).Tı̀m x,y để 3 điểm A,B,C thẳng hàng
A x 5;y 11= = B x 11;y 5= = C x= −5;y 11= D x 5;y= = −11
Câu 12: Trong không gian Oxyz cho ba điểm Nếu 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì
Câu 13: Cho vectơ a = ( 2; 1;0 − )
.Tı̀m tọa độ vectơ b
cùng phương với vectơ a
, biết rằng a.b 10 =
Câu 14: Cho vectơ a = ( 2 2; 1;4 − )
.Tı̀m tọa độ vectơ b
cùng phương với vectơ a
Trang 4A.Tam giác cân đỉnh C B Tam giác vuông đỉnh A C Tam giác đều D Không phải ∆ ABC
Câu 21: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(5;3; 1 ;− ) (B 2;3; 4 ;− ) (C 1; 2;0) Tam giác ABC là:
A.Tam giác cân đỉnh A B Tam giác vuông đỉnh A C.Tam giác đều D Không phải∆ ABC
Câu 22: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểmA(1; 2;1 ;) (B 5;3; 4 ;) (C 8; 3; 2− ) Tam giác ABC là:
A.Tam giác cân đỉnh A B.Tam giác vuông đỉnh B C Tam giác đều D Không phải ∆ ABC
Câu 23: ∆ ABC cóA(1;0;1 ;) (B 0; 2;3 ;) (C 2;1;0) Độ dài đường cao kẻ từ C là: A 26 B. 26
Câu 25: Cho 3 điểm M(2;0;0 ;) (N 0; 3;0 ;− ) (P 0;0; 4) Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:
Câu 31:Trong kg Oxyz cho bốn điểm A(1;0;0 ,) (B 0;1;0 ,) (C 0;0;1 ,) (D 1;1;1).Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Bốn điểm A,B,C,D tạo thành một tứ diện B Tam giác ABD là tam giác đều
C AB⊥CD D Tam giác B là CD là tam giác vuông
Câu 32: Cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD
Câu 35: Cho B ( − 1 ; 1 ; 2 ), A ( ) 0 ; 1 ; 1 , C ( 1 ; 0 ; 4 ) Phát biểu nào sau đây đúng nhất:
A.∆ABC vuông tại A B ∆ABC vuông tại B C ∆ABC vuông tại C D A, B, C thẳng hàng
Câu 36: Cho 4 điểm: A 7; 4;3 , B 1;1;1 , C 2; –1; 2 , D –1;3;1 Phát biểu nào sau đây đúng nhất:
A 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng B 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng
Trang 5Câu 44: Hình chiếu H của điểm A ( − 2; 4;3 )trên mặt phẳng ( ) P : 2x 3 − y + 6z 19 + = 0có tọa độ:
Trang 6M r R
Trong k.g Oxyz Cho : mặt cầu (S),tâm I(a;b;c), bán kinh r và mặt phẳng ( ) α : Ax + By Cz + + = D 0
Gọi H(x;y;z) là hình chiếu vuông góc của tâm I(a;b;c) trên m ( )α
a/ IH > R mp : ( ) α và mặt cầu (S) không có điểm chung
b/ IH = R mp : ( ) α và mặt cầu (S) có 1 điểm chung duy nhất ( mp ( ) α tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm H )
H : Gọi là tiếp điểm mp ( ) α : Gọi là tiếp diện Điều kiện mp ( )α :Ax+By+Cz+ =D 0 tiếp xúc mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kinh r: d I ( , ( ) α ) = r
c/ IH < R mp : ( ) α cắt mặt cầu (S) theo 1 đường tròn (C) có phương trình: (C): 2 2 2 2 2 2 0
Câu 48: Trong không gian v ới hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) có tâm I(2;1;1)và mặt phẳng( )P : 2x+ +y 2z+ = 2 0
Biết mặt phẳng (P)cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1 Viết phương trình mặt cầu (S)
Trang 7và m + n = 1 Bi ết rằng khi m,n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) và đi qua D.Tính bán kính R của mặt cầu đó ? A R=1
B.
22
Câu 1: Mặt cầu (S): x2+ y2+ z2 − 8 x + 10 y − 8 = 0 có tâm I và bán kính R lần lượt là:
A I(4 ; -5 ; 4), R = 8 B I(4 ; -5 ; 0), R = 33 C I(4 ; 5 ; 0), R = 7 D I(4 ; -5 ; 0), R = 7
Câu 2: Mặt cầu (S): ( x + 3 )2+ ( y − 1 )2+ ( z + 2 )2 = 16 có tâm I và bán kính R lần lượt là:
A I(-3 ; 1 ; -2), R = 16 B I(3 ; -1 ; 2), R = 4 C I(-3 ; 1 ; -2), R = 4 D I(-3 ; 1 ; -2), R = 14 Câu 3: Mặt cầu (S) tâm I bán kính R có phương trình: 2 2 2
2 1 0
x + y + z − + x y + = Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A 1;1;0
I−
và R=
12
Câu 4: Cho mặt cầu (S): ( )2 2 ( )2
x+ +y + z− = Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A (S) có tâm I(-1;0;3) B (S) có bán kính R=2 3 C (S) đi qua điểm M(1;2;1) D (S) đi qua điểm N(-3;4;2)
Câu 5: Phương trình nào không là phương trình mặt cầu ?
A m < − 5 hoặcm > 1 B m > 1 C 5− < < m 1 D Cả 3 đều sai
Câu 8: Tìm các giá trị của m để phương trình sau là phương trình mặt cầu ?
x2 + y2 + z2 + 2 ( m − 1 ) x + 4 my − 4 z − 5 m + 9 + 6 m2 = 0
A − 1 < m < 4 B m < − 1 hoặcm > 4 C Không tồn tại m D Cả 3 đều sai
Câu 9: Phương trình nào không phải phương trình mặt cầu tâm I(-4 ; 2 ; 0), R = 5, chọn đáp án đúng nhất:
12
12
12
12
12
) 1 ( x + 2 + y − 2 + z − 2 =
3
2 4 2
) 1 ( x + 2 + y − 2 + z − 2 =
Trang 8Câu 15: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;-2) và tiếp xúc với P : x 2y 3z 7 0 là:
Câu 19: Cho 4 điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3) và D(2;2;−1) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình :
Trang 101/ Vectơ được gọi là VTPT của mp
2/ + Cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trên( )α hoặc song song với được gọi là
cặp VTCP của mp
+ Nếu là cặp VTCP của mp thì : là 1 VTPT của mp
3/ Mặt phẳng đi qua điểm ,VTPT có phương trình tổng quát dạng
: phương trình tổng quát của mặt phẳng
4/ Chú ý: Các trường hợp đặc biệt của phương trình mặt phẳng
Tính ch ất của mặt phẳng (P) Phương trình của mặt phẳng (P)
(P) qua các điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0),C(0 ; 0 ; c)
Trang 11Câu 43: Trong không gian v ới hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 3x − + = z 2 0 Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuy ến của (P) ? A n1= −( 1;0; 1− )
− − và m ặt phẳng( )P : 3x−3y+2z+ =6 0Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A d cắt và không vuông góc với (P) B d vuông góc với (P) C d song song với (P) D d nằm trong (P)
Câu 49: Trong không gian v ới hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng
( 2;3;1)−
M
Trang 12Câu 10: mp(P) qua A(4; –3; 1) và song song với hai đường thẳng (d1): 1 1 1
A –4x–2y +5z+ 5= 0 B 4x + 2y–5z +5 = 0 C –4x+2y +5z + 5 = 0 D 4x+2y+5z+ 5 = 0
Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(–1; 2; 1), B(–4; 2; –2), C(–1; –1; –2) Phương trình mp(ABC) là:
Câu 16: Phương trình mp (P) qua G(2; 1; – 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C (khác gốc tọa độ ) sao cho G là
trọng tâm của ∆ABC là:
A (P): 2x + y – 3z – 14 = 0 B (P): 3x + 6y – 2z –18 = 0 C (P): x + y + z = 0 D (P): 3x + 6y – 2z – 6 = 0 Câu 17: Cho 3 điểm M(2; –1; 3), N(3; 0; 4), P(1; 1; 4) Giá trị của m để điểm E(–1; 3; m) thuộc mp(MNP) là:
Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm Viết phương trình
mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3
Câu 26: Cho tứ diện có các đỉnhA(5;1;3 ,) (B 1;6; 2 ,) (C 5;0; 4 ,) (D 4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh
AB và song song với cạnh CD
Trang 13Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm và song song với đường thẳng : 1 3
y z
d x+ = = +
− A.10x+4y− −z 19=0
Câu 30: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d: , Viết phương trình mp (P) chứa d và song song với
Câu 33: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua A(1;3;-2), vuông góc với mặt phẳng
(Q) : x + y + z + 4 = 0 và song song với Ox
A.(P): x – z - 5 = 0 B.(P): 2y + z – 4 = 0 C P): y + z -1= 0 D.(P):2y - z - 8 = 0
Câu 34: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (R) đi qua C(1;1;-1), vuông góc với mặt phẳng
(P) : x +2y +3z -1 = 0 và song song với Oz
phương trình mp (P) chứa d và vuông góc với mp (Q)
Trang 14Câu 44: Trong không gian với hê ̣ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng và
Chứng minh rằng điểm cùng nằm trên một mă ̣t phẳng Viết phương trı̀nh mă ̣t phẳng
Câu 51: Khoảng cách từ điểm A(2;-1;-1) đến mặt phẳng (P) : 16x - 12y - 15z – 4 = 0 là :
Câu 54: G o ̣i A,B,C lần lượt là hı̀nh chiếu của điểm M(2;3;-5) xuống mp(Oxy) ,(Oyz) ,(Ozx).Tı́nh khoảng cách
t ừ M đến mp(ABC) A 1 B 5 3 C 5 D.Một đáp số khác
Câu 55: Cho 4 điểm A(-1;2;1), B(-4;2;-2), C(-1;-1;-2), D(-5;-5;2) Chiều cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện ABCD
A 3 B 2 3 C 3 3 D 4 3
Câu 56: Xác định góc φ của hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z –3 = 0 và(Q): 16x +12y –15z +10 = 0
A Φ = 30º B Φ = 45º
C cosφ = 2/15 D φ = 60º
Câu 57: Cho điểm I(2;6;-3) và 3 mặt phẳng (P): x –2 = 0 ; (Q): y – 6 = 0 ; (R): z + 3 = 0.Trong các mệnh đề sau tìm
mệnh đề sai : A (P) đi qua I B (Q) // (xOz) C (R) // Oz D (P) ⊥ (Q
Câu 58: Cho mặt phẳng (P): 2y + z = 0.Trong các mệnh đề sau tìm mệnh đề đúng
Câu 61: Cho A(–1; 2; 1), (P): 2x + 4y– 6z – 5 = 0, (Q): x + 2y – 3z = 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A mp(Q) không đi qua A và song song với mặt phẳng (P) B mp(Q) đi qua A và không song song với mp (P)
C mp(Q) không đi qua A và không song song với mặt phẳng (P) D mp(Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P)
………
Câu 62: Cho mặt phẳng (P): 2x –y + 2z –3 = 0 Lập phương trình của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách (P) một khoảng bằng 9
A (Q): 2x – y + 2z +24 = 0 B (Q): 2x – y +2z –30 = 0 C (Q): 2x –y + 2z –18 = 0 D A, B đều đúng Câu 63: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;-3;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
vectơ , vuông góc với mặt phẳng đồng thời cách điểm I một đoạn bằng 4
Trang 15Câu 64: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểmA(3; 1; 1).Viết phương trình mặt phẳng
(P) song song mp (Q) và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 2
Câu 68: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: và điểm M(0; –2;0) Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng ∆
Câu 70: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho các điểm , , Viết phương trình
mp đi qua và gốc tọa độ sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng cách từ đến
đi qua A, vuông góc với mp (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho
Câu 74: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình
.Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng
Trang 16PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1/ Vec tơ chỉ phương: Vec tơ u ≠ 0
và có giá song song hoặc nằm trên đường thẳng ∆ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng∆
Nếu
u là vectơ chỉ phương của∆ thì k
u (k ≠ 0) cũng là VTCP của ∆ 2/ Phương trình tham số của đường thẳng:
Đường thẳng∆ đi qua điểm M0(x0;y0;z0),VTCP u = ( ; u u u1 2 3)
4/ V ị trí tương đối giữa 2 đường thẳng :
Cách 1 : ( đưa 2 đt về phương trình tham số )
a/ d1//d2 ⇔ u 1= ku 2
và 1
2
d d
+ Nếu (1) vô nghiệm thì d //(P)
+ Nếu (1) có vô số nghiệm thì d ⊂ (P)
+ Nếu (1) có nghiệm duy nhất t = t0 thì d cắt (P)
Thay t = t 0 vào (d) ta tìm được (x;y;z)
Kết luận d cắt (P) tại điểm M (x;y;z)
M ột số cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B thì d có vtcp là u = AB
Cho hai mp (P) và (Q) có vtpt lần lượt là n ( )P , n( )Q.
Nếu d là giao tuyến của 2 mp (P),(Q) thì d có vtcp là:
Trang 17Bài t ập PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1: Cho đường thẳng (∆) :
1
2 23
C
00
D
10
Trang 18Câu 12: Phương trình nào sau đây là chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 3− và ) B(3; 1;1− ) ?
235
D
235
D Cả A,B,C đều sai
Câu 17: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1; 4; 7) và ⊥ mp (P): x + 2y – 2z – 3 = 0 là:
z t
C
235
D
23
Trang 19Câu 23: Cho 2 mp( )α : 4x+ +y 2z+ = , mp1 0 ( )β : 2x−2y+ + = Viết phương trình tham số của đường thẳng d là z 3 0giao tuyến của( )α và( )β A. : 1
833
7187
y z
7187
x y
− Viết phương trình đường
thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với giá của a và cắt đường thẳng d
Trang 20Câu 31: Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểmM(−1; 2;3)và song song 2 mp( )α : 2x+ − = , mp(Oxz) z 1 0
Câu 34: Cho đường thẳng : 1 1 2
Trang 21A 12 B 3 C 2 D 2 6
Câu 45: Khoảng cách giữa hai đường thẳng
12 3:
A 12 B 3 3 C 25 D Cả A,B,C đều sai
Câu 46: Khoảng cách giữa hai đường thẳng
A 0 B 1 C 2 D Vô số điểm chung
Câu 53: Số điểm chung của đường thẳng : 1 1 2
− và mặt phẳng ( )α :x+ + − = y z 4 0
A 0 B 1 C 2 D Vô số điểm chung
Câu 54: Giao điểm của hai dường thẳng:
Trang 22Câu 58: Cho điểm A(1;0; 1− ) và đường thẳng : 1 1
Câu 64: Cho hai điểm A ( 1; 1; 2 , − ) ( B 2; 1; 0 − ) và đường thẳng : 1 1
− Tìm tọa độ điểm M thuộc d
sao cho tam giác AMB vuông tại M
Câu 65: Cho hai điểm A ( − 1; 2;3 , ) ( B 1; 0; 5 − và mặt phẳng ) ( ) P : 2 x + − y 3 z − = 4 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc
( )P sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng
Trang 23Câu 69: Cho điểm A ( 2;1; 4 ) và đường thẳng
, và m ặt phẳng ( ) P : 2 x − − y 2 z + = 1 0 Tìm điểm M trên đường thẳng
d sao ch o khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng 3
A.M(−15;10; 24− ) ,M(21;8; 30− ) B.M(−15;10; 24− ) ,M(21; 8;30− )
C.M(15;10; 24− ) ,M(21; 8;30− ) D.Kết quả khác
Câu 71:Cho 3 điểm A ( 0;1; 2 , ) ( B 2; 2;1 , − ) ( C − 20;1 ) và mặt phẳng ( ) P : 2 x + − y 3 z − = 4 0 Tìm tọa độ điểm M
thuộc ( ) P sao cho MA = MB = MC