Vector trong không gian

đây là 1 trong những chuyên đề thể hiện được những ứng dụng thực tế trong không gian và trong thi đị học dùng tọa độ hóa bài toán để từ đó tính toán nhanh các yếu tố như thể tích ,khoảng cách từ 1 điểm (đường thẳng) đến 1 đường thẳng...

CHUYÊN ĐỀ 8 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như : . Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì ∀ A B J JJG + BC J JJG = A C J JJG . Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2 cạnh là 2 vectơ đã cho. . I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có: MI = JJJG 2 MA MB+ J JJJG JJJJG . G là trọng tâm của Δ ABC ⇔ GA J JJG + GB J JJG + GC J JJG = 0 G . Ngoài ra ta còn có : . Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm trong một mặt phẳng . 0 G . Bất kỳ vectơ a 0 nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong không gian, đều có thể phân tích theo G ≠ G 1 e G 2 e G 1 e G , 2 e G có nghóa: a = G α 1 e G + β 2 e G ( α , β ∈ R) và sự phân tích trên là duy nhất . . Bất kỳ vectơ a nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ không đồng phẳng , , có nghóa : G ≠ 0 G 1 e G G G 2 e 3 e a = + β G α 1 e G 2 e G + γ 3 e G ( α , β , γ ∈ R) . G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD + + GC + ⇔ GA JJJG GB JJJG JJJG GD J JJG = 0 G Ghi chú : 1) Nếu một trong 3 vectơ , a G b G , c G là 0 G thì chúng đồng phẳng. 2) a , b , c đồng phẳng ⇔ G G G ,. 0ab c ⎡⎤ = ⎣⎦ G GG 1 3) OA , OB , đồng phẳng JJJG JJJG OC JJJG ⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng. Ví dụ 1: Cho một hình lăng trụ ABC A ′ B ′ C ′ . Gọi I, I ′ lần lượt là trọng tâm của Δ ABC và Δ A ′ B ′ C ′ , O là trung điểm của I I ′ . a) Chứng minh rằng + + OBOA JJJG OA ′ JJJJG J JJG + OB ′ J JJJG + OC J JJG + OC ′ J JJJG = 0 G b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABC C ′ và M là trung điểm của A ′ B ′ . Chứng minh rằng O, M, G thẳng hàng. c) Tính tỉ số OM OG JJJJG JJJG Giải a) + OA + + OA JJJG ′ JJJJG OB JJJG OB ′ JJJJG + OC J JJG + OC ′ J JJJG = 0 G I là trọng tâm của ABC ⇒ Δ IA J JG + IB J JG + IC J JG = 0 G ( + ) + ( IO + OB ) + (⇒ IO JJG OA JJJG JJG JJJG IO J JG + OC J JJG ) = 0 G OA + + OC = 3 OI ⇒ JJJG OB JJJG JJJG JJG Tương tự, là trọng tâm của I ′ Δ A ′ B ′ C ′ OA + + OC = 3 OI ⇒ ′ JJJJG OB ′ JJJJG ′ JJJJG ′ JJJG Vậy OA + JJJG OA ′ J JJJG + OB + JJJG OB ′ J JJJG + OC J JJG + OC ′ J JJJG = = 3 OI J JG + 3 OI ′ J JJG = 3( OI J JG + OI ′ J JJG ) = 0 G (vì 0 là trung điểm I I ′ ) b) O, M, G thẳng hàng G là trọng tâm của tứ diện ABC C ′ ⇒ GA + + GC + JJJG GB JJJG JJJG GC ′ JJJJG = 0 G ⇒ ( + OA ) + ( GO + ) + ( GO JJJG JJJG JJJG OB JJJG GO J JJG + OC J JJG ) + ( GO J JJG + OC ′ J JJJG ) = 0 G ⇒ OA + + OC + OC JJJG OB JJJG JJJG ′ JJJJG = 4 OG J JJG M là trung điểm của A B ′′ ⇒ OA + = 2 OM ′ JJJJG OB ′ JJJJG JJJJG ⇒ OA + + OC + OC JJJG OB JJJG JJJG ′ JJJJG + OA ′ J JJJG + OB ′ J JJJG = 4 OG J JJG + 2 OM J JJJG 2 ⇒ 0 = 4 + 2 OM G OG JJJG JJJJG ⇒ OM = –2 JJJJG OG JJJG ⇒ OM cùng phương với OG JJJJG J JJG ⇒ OM , OG cùng giá (vì cùng gốc O) JJJJG JJJG ⇒ O, M, G thẳng hàng. c) Tỉ số JJJJG JJJG OM OG OM JJJJG = –2 OG JJJG ⇒ OM OG J JJJG J JJG = –2 Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD. A ′ B ′ C ′ D ′ với A A ′ J JJJG = a G , A B J JJG = b G , / A C J JJJG = . Hãy biểu thò các vectơ c G A D JJJG , A C ′ JJJJG JJJJG JJJJG , , theo các vectơ a BD ′ BD ′ G , b G , c G . Giải Ta có với hình hộp ABCD. A ′ B ′ C ′ D ′ thì : A D J JJG = A C ′ J JJJG + / CD ′ J JJJJG + DD ′ JJJJG = c G – b G – a G A C ′ J JJJG = A A ′ J JJJG + / A C JJJJG + / CC JJJJG A C ′ J JJJG = –2 a G + c G BD ′ J JJJG = BB ′ J JJJG + BA J JJG + A D JJJG = – a G – b G + c G – – b G a G = – 2 a G – 2 b G + c G BD ′ J JJJG = BA J JJG + A D J JJG + DD ′ JJJJG = – b G + ( c G – – a ) + b G G a G = – 2 b G + c G * * * D ′ A B ′ ′ c G B C D A a C ′ G b G 3