Chuẩn bị trước BT ở nhà theo hướng dẫn của Thầy, Cô. + Chú ý nghe Thầy, Cô sửa BT và ghi chép bài sửa đầy đủ để về nhà xem lại. + Chỗ nào chưa rõ hoặc không hiểu thì mạnh dạn hỏi ngay. Nếu không hỏi Thầy, Cô thì hỏi các bạn trong lớp hoặc lớp khác. + Giờ BT phải có đầy đủ dụng cụ học tập và giấy nháp. (để có tinh thần học tốt hơn) + Không nói chuyện, sao lãng hay làm việc khác khi đang sửa bài….
Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” NG D NG PH NG PHÁP T A Đ Đ GI I TOÁN HÌNH H C KHỌNG GIAN Các em học sinh nên nhớ “Không có phương pháp giải vạn năng”, em phải không ngừng luyện tập để tạo sợi dây liên kết phần kiến th c c a mình, em vận dụng linh hoạt phương pháp cho giải c a khoa học nhất, hay Đối với số loại hình chóp, hình lăng trụ số toán ta sử dụng việc đặt hệ trục tọa độ thích hợp, để chuyển từ việc giải hình học không gian tổng hợp túy (mà việc gặp nhiều khó khăn dựng hình, tính toán với em học sinh) sang việc tính toán dựa vào tọa độ Cách giải toán gọi phương pháp tọa độ hóa Đối với phương pháp tọa độ hóa, việc tính toán dài dòng ph c tạp phương pháp hình học không gian túy, nhiên cách giải thực hữu ích cho nhiều bạn học sinh mà việc nắm vững phương pháp cách giải hình học không gian yếu toán hình không gian khoảng cách khó; xác định GTLN, GTNN; toán quỹ tích điểm, Để tốt toán giải phương pháp tọa độ hóa em học sinh phải nắm kiến th c (cụ thể công th c tính) c a phần “Phương pháp tọa độ không gian” kiến th c c a hình học không gian Sau thầy trình bày cụ thể phương pháp: “ ng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian” Cao Văn Tuấn – 0975306275 Ph ng pháp + Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz không gian: Vì Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi nên hình vẽ toán cho có ch a cạnh vuông góc ta ưu tiên chọn cạnh làm trục tọa độ + Bước 2: Suy tọa độ đỉnh, điểm hệ trục tọa độ vừa ghép + Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ không gian để giải toán Các bƠi toán ghép tr c t a đ th ờng g p vƠ cách suy t a đ đỉnh Các bƠi toán th ờng g p Hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Cách ghép tr c T a đ m + Với hình lập phương: A 0;0;0 , B a;0;0 C a; a;0 , D 0; a;0 A 0; 0; a , B a;0; a C a; a; , D 0; a; a + Với hình hộp chữ nhật: A 0;0;0 , B a;0;0 C a; b;0 , D 0; b;0 A 0;0; c , B a;0; c C a; b; c , D 0; b; c https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình hộp ABCD.ABCD có đáy hình thoi Hình chóp S.ABCD có: + ABCD hình chữ nhật, hình vuông + SA ⊥ (ABCD) Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình chữ nhật, hình vuông + Các cạnh bên (SO vuông góc với đáy) https://www.facebook.com/ThayCaoTuan + Gốc tọa độ trùng với giao điểm O c a hai đư ng chéo c a hình thoi ABCD + Trục Oz qua tâm c a đáy A 0;0;0 B 0; AB ;0 C AD ; AB ;0 D AD ;0;0 S 0;0; SA A 0;0;0 B 0; AB ;0 AD AB ; ; SO S C AD ; AB ;0 D AD ;0;0 Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình thoi, hình vuông + SO vuông góc với đáy Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình bình hành, hình thoi + SA vuông góc với đáy Hình chóp S.ABCD có: + Đáy hình bình hành + SO vuông góc với đáy https://www.facebook.com/ThayCaoTuan O 0;0;0 A 0; OA ;0 B OB ;0;0 C 0; OC ;0 D OD ;0;0 S 0;0; SO A 0;0;0 B 0; AB ;0 C DH ; AB AH ;0 D DH ; AH ;0 S 0;0; SA A 0;0;0 B 0; AB ;0 C DH ; AB AH ;0 D DH ; AH ;0 S DH ; AB AH ; SO 2 Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” A 0;0;0 B 0; AB ;0 C CH ; AH ;0 S 0;0; SA Hình chóp S.ABC có: + Đáy tam giác vuông, tam giác + SA vuông góc với đáy Hình chóp S.ABC có: + Đáy tam giác cạnh a + Các cạnh bên A 0;0;0 B 0; AB ;0 0; a;0 C CH ; AH ;0 a a ; ;0 2 S OH ; AH ; SO a ; a ; SO Trên số dạng c a số loại hình khối mà tọa độ hóa cách đơn giản Các em lưu ý tọa độ hóa khối đa diện Chỉ cần xác định đư ng cao c a khối đa diện thông thư ng lý thuyết ta đặt gốc tọa độ chân đư ng cao c a khối đa diện; trục cao (trục Oz) đư ng cao, sau ta dựng hai tia lại Nhưng thực hành giải toán c tùy toán để đặt hệ trục tìm tọa độ đỉnh liên quan đến hình khối cần tính tìm cách dễ dàng không ph c tạp Ví dụ toán sau: (Các em xem suy nghĩ nên đặt hệ trục sao) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy góc 60 Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân S Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đư ng thẳng SA, BC Bình luận: Rõ ràng việc tính thể tích c a khối chóp không khó khăn, cần em nắm cách xác định góc hai mặt phẳng xác định Vì vậy, ý tính thể tích thầy để em tự suy nghĩ thực Với câu hỏi tính khoảng cách hai đư ng thẳng chéo này, em hoàn toàn thực theo hình tổng hợp bàn luận việc đặt hệ trục tọa độ để thực ý th hai Trước hết em cần lưu ý: Xác định chiều cao c a hình chóp nào? Điều không khó: Vì sao? Hãy nhớ: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, mặt dựng đư ng thẳng vuông góc với giao tuyến đư ng thẳng vuông góc với mặt phẳng kia” Gắn vào hình chóp này: Ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến c a hai mặt phẳng AB Ta cần tìm chiều cao cho nên, em cần từ S dựng SH vuông góc với AB, (H AB) tam giác SAB cân S H trung điểm AB T c em xác định chiều cao chân đư ng vuông góc Vậy đặt hệ trục tọa độ Các em vẽ hình đặt hệ trục sau: https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” S z A C x O B y 3a O 0;0;0 , S 0;0; Tính toán tọa độ điểm (căn c vào phần trước), ta có: A 0; a ;0 , B 0; a ;0 , C(a;0;0) Áp dụng công th c tính khoảng cách hai đư ng thẳng chéo nhau: SA, BC ta có: SA,BC AB , ta thu kết cần tính d SA,BC SA,BC Kể không ph c tạp không em Các em suy nghĩ có cách đặt hệ trục tọa độ khác không? mục số Ví d minh h a, thầy trình bày thêm số ví dụ cụ thể dạng toán để em hiểu rõ phương pháp Sử d ng kiến th c v t a đ đ gi i bƠi toán a) Kho ng cách m Khoảng cách hai điểm A xA ; yA ; zA B xB ; yB ; zB là: AB xB xA yB yA zB zA 2 b) Kho ng cách từ m đến đo n thẳng Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng ? Cách 1: Cho đư ng thẳng qua M, có vectơ phương u điểm A Khoảng cách từ A đến đư ng thẳng tính b i công th c: d A, u , AM u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với + Tìm tọa độ giao điểm H c a + d(M, d) = MH c) Kho ng cách từ m đến m t phẳng Khoảng cách từ M0 x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng P : Ax By Cz D là: d M , P Ax0 By0 Cz0 D A B2 C2 d) Kho ng cách hai m t phẳng song song Đ nh nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm c a mặt phẳng đến mặt phẳng https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” e) Kho ng cách hai đ ờng thẳng chéo Cho hai đư ng thẳng chéo 1 , biết: + 1 qua M có vectơ phương u1 + qua N có vectơ phương u2 Cách 1: Khoảng cách hai đư ng thẳng 1 tính công th c: u1 , u2 .MN u1 , u2 d 1 , Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng ch a 1 song song với + Khi đó: d 1 , 2 d 2 , d M, với M Đ C BI T: Tính khoảng cách hai đư ng thẳng AB, CD biết tọa độ c a chúng: AB,CD AC d AB,CD AB,CD f) Kho ng cách đ ờng thẳng song song Khoảng cách đư ng thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đư ng thẳng đến đư ng thẳng quay dạng toán khoảng cách từ điểm đến đư ng thẳng g) Kho ng cách đ ờng thẳng vƠ m t phẳng (với // ) d , d M, với M h) Góc hai đ ờng thẳng Cho hai đư ng thẳng: 1 có vectơ phương u1 x1; y1; z1 có vectơ phương u2 x2 ; y2 ; z2 Gọi góc hai đư ng thẳng 1 Khi đó: cos u1.u2 u1 u2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y z x y z 2 2 2 90 2 i) Góc gữa hai m t phẳng Gọi góc hai mặt phẳng P : Ax By Cz D P' : A'x B'y C'z D' cos cos nP , nQ nP nQ nP nQ A.A' B.B' C.C ' 2 0 A B C A ' B' C ' 2 900 j) Góc đ ờng thẳng vƠ m t phẳng Cho: Đư ng thẳng có vectơ phương u x; y; z Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n A; B; C Gọi góc hai đư ng thẳng Khi đó: sin u.n u.n Ax By Cz 2 90 A B C x y z 2 k) Di n tích thiết di n AB, AC 2 AB, AD + Diện tích tam giác ABC: SABC + Diện tích hình bình hành: SABCD https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” l) Th tích khối đa di n + Thể tích khối hộp: VABCD.A'B'C'D' AB, AD AA' + Thể tích t diện: VABCD AB, AC AD Ví d minh h a Ví d 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi N trung điểm c a BC a) Ch ng minh rằng: AC vuông góc với ABD b) Tính thể tích khối t diện ANBD c) Tính góc khoảng cách hai đư ng thẳng AN BD d) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ACD Gi i: Các em lưu ý, tính toán ch ng minh yếu tố liên quan đến hình lập phương, thực phương pháp tổng hợp, thầy không trình bày phương pháp nữa, mà giải toán theo phương pháp tọa độ hóa Như nói phần trước, với hình lập phương hình hộp chữ nhật việc chọn hệ trục tọa độ dễ dàng Thầy chọn hệ trục sau (Các em chọn hệ trục khác giải theo cách em) Khi ta có tọa độ đỉnh c a hình lập phương sau: z A ' 0;0;0 , B' a;0;0 , C ' a; a;0 , D ' 0; a;0 D A a A 0;0; a , B a;0; a , C a; a; a , D 0; a; a , N a; ;0 C B a) Mục đích c a ta ch ng minh đư ng thẳng vuông góc với mặt phẳng Ta VTCP c a đư ng thẳng phương với VTPT c a mặt phẳng ABD D' Ta có: AC' a; a; a A'B, A'D a ; a ; a véc tơ pháp tuyến c a mặt phẳng ABD y A'=O x B' C' Ta thấy hai vrctơ AC' A'B, A'D phương Vì ta có AC vuông góc với mặt phẳng ABD b) Tính thể tích t diện ANBD Ta có công th c tính thể tích t diện là: VANBD' AN,AB AD a AB,AN 0; a ; Ta có: AD (0; a; a) AB,AN AD a a3 (đvtt) Do thể tích tìm là: V 12 c) Để tính góc hai đư ng thẳng khoảng cách hai đư ng thẳng ta sử dụng hai công th c a , b AB a.b sau: cos a, b cos a , b d (a, b) a, b a b https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Với a , b véc tơ phương c a đư ng thẳng a b Đư ng thẳng a,b qua hai điểm A B AN.BD Do ta có góc hai đư ng thẳng AN BD là: cos AN, BD = AN BD AN, BD AB a 26 Khoảng cách hai đư ng thẳng là: d AN, BD 26 AN, BD d) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ACD Viết phương trình mặt phẳng ACD Mặt phẳng ACD có véc tơ pháp tuyến phương với AC,AD a ;0; a Ta chọn véc tơ pháp tuyến c a mặt phẳng ACD n (1;0;1) Vì phương trình mặt phẳng ACD là: x z – a Áp dụng công th c khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta có: d C, ACD a Ví d Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD có cạnh AB 1, AD 1, AA a) Tính khoảng cách hai đư ng thẳng AC BD b) Gọi Q mặt phẳng qua A vuông góc với AC Tính diện tích c a thiết diện c a hình chóp A.ABCD cắt b i mặt phẳng Q Gi i: Chúng ta đặt hệ trục tọa độ giống ví dụ Từ ta tính tọa độ đỉnh sau: A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A 0;0; a) Dành cho em tự tính toán b) Với toán này, em viết phương trình mặt phẳng Q , đư ng thẳng: AB, AC, AD tìm giao điểm c a với mặt phẳng Q , ta có B' tọa độ giao điểm là: 2 2 1 2 2 M ;0; , N ; ; , P 0; ; 2 3 3 Ta có thiết diện t giác AMNP Và diện tích c a t giác là: 2 x SAMNP SAMN SANP B https://www.facebook.com/ThayCaoTuan A' z D' C' D y A=O C Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” Ví d 3: Cho hình chóp t giác S.ABCD có cạnh BD 2 Mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 a) Tính thể tích khối chóp, xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính góc khoảng cách hai đư ng thẳng SB AC c) Tính góc hai mặt phẳng SAB SCD d) Gọi I trọng tâm tam giác SAB, tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng ABCD SCD Gi i: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ đỉnh sau: O 0;0;0 , A 0; 2;0 B 2;0;0 , D 2;0;0 C 0; 2;0 ,S 0;0; Đến công việc lại tính toán, thầy để dành cho em z S I A J x D O B C y Các em thấy tọa độ hóa khối đa diện việc giải toán hình không gian tr nên đơn giản nhiều Sau xét số khối đa diện mà việc tọa độ tính toán ph c tạp Ví d Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh tâm O, SO vuông góc với đáy; cạnh bên SA 3,SB Gọi M trung điểm c a cạnh SC a) Tính góc khoảng cách hai đư ng thẳng SA BM b) Mặt phẳng AMB cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Gi i: Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có tọa độ O 0;0;0 , A 2;0;0 , B(0;1;0) đỉnh sau: C 2;0;0 , D 0; 1;0 S 0;0; 2 , M 1;0; a) Ta có cos SA,BM SA.BM z N SA BM SA,BM 30 S M D C x SA, BM SB d SA,BM SA, BM O A By b) Viết phương trình mặt phẳng AMB phương trình đư ng thẳng SD Từ tìm tọa độ giao điểm D c a AMB SD Ta có: VS.ABMN VS.AMB VS.AMN 1 SA,SB SM SA,SN SM 6 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Chuyên đề 8: “PPTĐ không gian” BƠi tập rèn luy n BƠi 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, SA a Gọi M trung điểm c a AB Tính khoảng cách hai đư ng thẳng SM BC a ĐS: d BƠi 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ điểm H c a cạnh AB dựng SH vuông góc với (ABCD), biết góc hai mặt phẳng (SAD) mặt đáy 600 a) Tính SH khoảng cách từ H đến (SCD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SCK) biết K trung điểm c a cạnh AD a a 21 b) 900 ĐS: a) SH , d H, SCD BƠi 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, AC = a Tam giác SAB cân S, nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc cho tan a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ O đến (SCD) c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) 2a 57 a 21 b) d A, SBC ĐS: b) d O, SCD 19 14 BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông, đư ng cao AB, BC = 2a, SA = a SA vuông góc với đáy Biết SC vuông góc với BD a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Gọi M điểm đoạn SA, AM = x, Tính độ dài đư ng cao DE c a tam giác BDM theo a, x Tìm x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ a x a DE max a c) ĐS: a) AD DE a x BƠi 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, với AB =2a, BAC 300 ,SA 2a vuông góc với đáy a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi M điểm di động cạnh AC cho AM = x, x a Tính khoảng cách từ S đến BM theo a, x Tìm x để khoảng cách đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ BƠi (ĐH ĐƠ N ng khối A năm 2001): Cho t diện S.ABC có SC CA AB a SC vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông A, điểm M, N thuộc SA BC cho AM CN t với t 2a a) Tính độ dài đoạn MN, tìm t để độ dài đoạn MN nhỏ b) Khi MN nhỏ nhất, ch ng minh MN đư ng vuông góc chung c a BC SA BƠi 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên c a hình chóp Biết khoảng cách từ S đến (ABC) h Tìm điều kiện c a h để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc Khi tính thể tích khối chóp S.ABC BƠi (ĐH khối B năm 2002): Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đư ng thẳng A1B B1D b) Gọi M, N, P theo th tự trung điểm c a cạnh BB1 ,CD, A1D1 Tính góc MP C1 N BƠi (ĐHSP TPHCM năm 1992): Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi M, N theo th tự trung điểm c a AD CD Lấy P cạnh BB1 cho BP = 3PB1 Xác định tính diện tích thiết diện c a hình lập phương cắt b i mặt phẳng (MNP) 7a ĐS: S 16 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ta có: A'B a;0; a , B'D a;a; a , A'B' a;0;0 A'B,B'D a2 ;2a2 ;a2 A'B.B'D A'B' a3 a Vậy d A'B,B'D A'B,B'D a2 6 b Góc hia đư ng thẳng MP v| C’N a a a a a a ởa có M a;0; , N ;a;0 , P 0; ;a MP a; ; , NC' ;0;a MP.NC' MP NC' 2 2 2 2 Vậy góc hai đư ng thẳng MP v| C’N có số đo 900 Bài ởrong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ với A 0;0;0 , B 1;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1 Gọi M v| N l| trung điểm c a “” v| CD a ởính khoảng c{ch hai đư ng thẳng “’C v| MN b Vi t phư ng trình mặt phẳng ch a “’C v| tạo với mặt phẳng Oxy góc α bi t cos α Gi i a Khoảng c{ch hai đư ng thẳng “’C v| MN z Cách Gọi P l| mặt phẳng ch a “’C v| song song với MN Khi đó: d A'C,MN d M, P D' A' C' B' Phư ng trình c a mặt phẳng (P): 1 1 ởa có C 1;1;0 , M ;0;0 , N ;1;0 2 2 M A'C 1;1; 1 , MN 0;1;0 Vec-t ph{p n c a D A mặt phẳng n A'C,MN 1;0;1 P l| x B y N C Phư ng trình c a mp P l|: 1 x y 1 z 1 hay x z Vậy d A'C,MN d M, P 1 12 02 12 2 Cách d A'C,MN A'C,MN A'M 1 với A'C,MN 1;0;1 , A'M ;0; 1 A'C,MN 2 A'C,MN 2, A'C,MN A'M Vậy d A'C,MN 2 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 22 33 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com b Vi t phư ng trình mặt phẳng ch a “’C tạo với mp(Oxy) góc α Gọi Q l| mặt phẳng ch a “’C v| tạo với mp(Oxy) góc α Phư ng trình mp Q có dạng: ax by cz d a2 b2 c2 c d c d a b Mp Q qua A' 0;0;1 v| C 1;1;0 nên a b d Khi phư ng trình c a Q l|: ax by a b z a b Mp Q có vtpt l| n a;b;a b Mp Oxy có vtpt l| k 0;0;1 Gọi α l| góc Q v| Oxy , ta có cos α cos n,k ab a2 b a b 6 a b a2 b2 ab 2a2 2b2 5ab 2a2 ab 2b2 4ab a 2a b 2b b 2a 2a b a 2b a 2b b 2a Với a 2b , chọn a v| b 1 Phư ng trình c a mặt phẳng Q l| 2x y z Với b 2a , chọn a v| b 2 Phư ng trình c a mặt phẳng Q l| x 2y z Bài Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn thẳng BD v| “D’ cho DM AN a X{c định vị trí c a hai điểm M, N để MN nhỏ Ch ng minh MN vuông góc với ”D v| “D’ b Ch ng minh MN vuông góc với đư ng thẳng cố định Gi i Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, tia Ox ch a AB, tia Oy ch a AD, tia Oz ch a ““’ a Giả sử cạnh hình lập phư ng có độ d|i a.Đặt AN DM t t a z Khi ta có A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;a;0 , D' 0;a;a , t t t t M ;a ;0 , N 0; ; 2 C' D' t t ;t a; Do MN 2 N A ởa có: t MN t a 2 B' A' 2 t 2 3t 2at a 2 B x M y D C Xét h|m số f t 3t 2at a2 H|m số n|y có đồ thị l| Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 23 34 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com parabol quay bề lõm lên phía Do f t nhỏ v| t a a a M, N thuộc đoạn ”D, “D’ tư ng 0;a nên MN nhỏ t 3 1 DM BD, AN AD' 3 Vì Khi MN nhỏ ta có: t ng cho a a a a nên MN ; ; 3 3 Mặt kh{c BD a;a;0 , AD 0;a;a nên: a a a MN.BD a a 3 3 a a a MN.AD' a a 3 3 Vậy MN vuông góc với ”D v| “D’ b ởrước h t ta tìm phư ng α x;y;z vuông góc với vec-t MN Điều tư ng đư ng với: α.MN t 0;a t t x y t a z t 0;a 2 2 x z y 2 t ya 2 t 0;a x z y x z y ya Chọn α 1;0;1 Vậy MN vuông góc với đư ng thẳng cố định nhận α 1;0;1 l|m vec-t phư ng Chú ý: ởa có k t luận tư ng tự l| MN song song với mặt phẳng cố định Bài Cho tam gi{c “”C vuông A v| đư ng thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABC) điểm A C{c điểm M, N thay đổi đư ng thẳng Δ cho MBC NBC a Ch ng minh AM.AN không đổi b X{c định vị trí c a M, N để t diện MN”C tích nhỏ Gi i Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm “, c{c tia Ox, Oy Oz trùng c{c tia “”, “C, AM Đặt AB b, AC c, AM m b, c không đổi) Khi A 0;0;0 , B b;0;0 , C 0;c;0 , M 0;0;m Giả sử N 0;0;n ởa có M”C : 1 1 x y z có ph{p vec-t α ; ; ; b c m b c m Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 24 35 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (NBC): 1 1 ; ; b c n x y z có ph{p vec-t b c n z Vậy MBC NBC α M b2 c2 mn b2 c2 m.n b2 c2 Mặt kh{c m nên n Vậy M v| N nằm hai phía c a A a ởa có AM.AN m n m.n b2 c2 b2 c2 không đổi x A b ởa có: BC b;c;0 , BM b;0;m , BN b;0;n BM,BN 0;b n m ;0 B N C 1 Vậy VMNBC BM,BN BC bc n m 6 Áp dụng bất đẳng th c Cauchy ta có: y 1 b2 c2 VMNBC bc n m bc.2 m n 6 b2 c2 Dấu đẳng th c xảy v| m n bc b2 c2 Vậy VMNBC nhỏ M, N nằm hai phía c a “ v| AM AN AB.AC BC Chú ý: ta tính thể tích t diện MN”C theo c{ch: 1 VMNBC VMABC VNABC AM.SΔABC AN.SΔABC 3 1 AM AN SΔABC bc m n Bài Cho tam gi{c “”C có cạnh a, I l| trung điểm c a ”C, D l| điểm đối x ng với A qua I Dựng đoạn SD a b a vuông góc với mặt phẳng (ABC) Ch ng minh rằng: SAB SAC SBC SAD Gi i Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm I, c{c tia Ox, Oy, trùng c{c tia ID, IC, tia Oz song song v| chiều với tia DỞ Khi a D ;0;0 , a a a a a C 0; ;0 , B 0; ;0 , A ;0;0 , S ;0; 2 2 a 6 SA cắt Iz trung điểm M c a Ở“ ởa có M 0;0; Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 36 25 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a a ;0;0 , B 0; ;0 , qua A Ở“” a Mặt phẳng z S a 6 M 0;0; nên có phư ng trình đoạn chắn (SBA): 2x 2y 4z 1 a a a (SBA): v| có M ph{p vec-t B 2 n1 ; ; a a a 6 Mặt D I Ở“C phẳng qua A C y a a a 6 A ;0;0 , C 0; ;0 , M 0;0; nên có phư ng trình đoạn chắn (SAC): 2x a ởa có n1.n2 x 2 2y 4z v| có ph{p vec-t n2 ; ; a a a a a 6 2 2 4 0 a a a a a a Do SAB SAC b Mặt phẳng Ở”C có cặp vec-t phư ng l|: a a a BC 0;a;0 ∥α 0;1;0 ; CS ; ; ∥ 2 Vậy Ở”C có vec-t ph{p n n3 α, 3; 1; 6;0; Mặt phẳng Ở“D trùng mặt phẳng tọa độ xOz nên có ph{p vec-t n4 0;1;0 Do n3 n4 nên SBC SAD Bài Cho hình vuông “”CD C{c tia “m v| Cn vuông góc với mặt “”CD v| chiều C{c điểm M, N thuộc Am, Cn Ch ng minh BMN DMN MBD NBD Gi i Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với điểm “, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia “”, “D, “m Giả sử hình vuông “”CD có cạnh a z m Đặt AM m, CN n Ta có: M B a;0;0 , D 0;a;0 , M 0;0;m , n N N a;a;n , C a;a;0 Mặt phẳng ”MN có cặp vec-t B phư ng BM a;0;m , A x BN 0;a;n Do ”MN có ph{p vec-t BM,BN am;an; a ∥α m; n;a Mặt phẳng DMN có cặp D y C Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 37 26 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com vec-t phư ng DM 0; a;m , DN a;0;n Vậy BMN DMN α1.α2 m.n ởa có M”D : DM,DN an;am;a2 ∥α n;m;a Do DMN có ph{p vec-t a2 x y z có ph{p vec-t l| a a m (1) 1 1 ; ; a a m Mặt phẳng ”DN có cặp vec-t phư ng BD a;a;0 , BN 0;a;n Do N”D có ph{p vec-t v| n;n; a (2) n n a a2 m.n a a m ta có điều phải ch ng minh Vậy MBD NBD Từ BD,BN an;an; a2 ∥ 0 Bài Cho hình lăng trụ “”C.“’”’C’ có tất c{c cạnh nhau, M l| trung điểm c a ””’ Ch ng minh “’M vuông góc với “C’ v| C”’ Gi i Gọi O l| trung điểm c a AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy trùng với c{c tia OC, O”, tia Oz song song chiều với tia ““’ Giả sử c{c cạnh c a hình lăng trụ a Khi đó: a a a a C ;0;0 , B 0; ;0 , A 0; ;0 , B' 0; ;a z a a a a ;0;a , M 0; ; , A' 0; ;a , C' 2 3;1;2 M O a a CB' ; ;a ∥ 3;1;2 2 C' B' a Vậy A'M 0;a; ∥α 0;2; 1 a a AC' ; ;a ∥ 2 A' A C y B y Do α 0, α nên A'M AC' v| A'M CB' Bài Cho hình chóp Ở.“”CD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm c a SA, SC Bi t BM DN ởính thể tích khối chóp Ở.“”CD Gi i Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O l| t}m c a hình vuông “”CD, c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia O“, O”, a a a a ;0 , D 0; ;0 ,A ;0;0 , C ;0;0 , Đặt SO h Khi đó: B 0; a a h h S 0;0;h , M ;0; , N ;0; M, N l| trung điểm c a SA, SC) 2 2 2 2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 27 38 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a a h a a h ; ; ; ; DN ; ởa có BM 2 2 2 2 2 2 z S ởa có: BM.DN a 10 a2 a2 h2 0h M N a 10 Vậy VS.ABCD SO.SABCD Bài Cho hình chóp Ở.“”C, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm c a SB, SC Bi t AMN SBC ởính thể tích hình chóp Ở.“”C D A x O C B y Gi i Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có O l| t}m tam gi{c “”C, c{c tia Oy, Oz trùng c{c tia O”, OỞ, tia Ox hướng với tia CA z S Đặt SO h Khi đó: a a a a a A ; ;0 , B 0; ;0 , C ; ;0 , 2 2 N a h a a h S 0;0; h , M 0; ; , N ; ; 2 4 2 M C K Mặt phẳng “MN có cặp vec-t phư ng A O a a h 3a a h AM ; ; , AN ; ; 2 4 2 x B Vậy “MN có ph{p vec-t y 2 AM,AN 3ah ; ah ; 5a ∥α 3ah ; ah; 5a 8 8 3 3 a a ;0 , S 0;0;h nên có phư ng trình đoạn Mặt phẳng (SBC) cắt trục Ox K ;0;0 v| qua B 0; chắn (SBC): 3x 3y z 1 a a h Vậy Ở”C có ph{p vec-t 3 ; ; a a h ởa có AMN SBC α 9h h 3 5a2 h 0h a 12 1 a2 a3 a Vậy VS.ABC SO.SABC 3 12 24 Bài Cho hình chóp Ở.“”CD có đ{y l| hình vuông cạnh a, tam gi{c Ở“” Gọi M, N, P, K l| trung điểm c a BC, CD, SD, SB a ởính khoảng c{ch hai đư ng thẳng MK v| “P b Ch ng minh ANP ABCD Gi i Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 28 39 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Gọi O l| trung điểm c a AB Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có c{c tia Ox, Oy, Oz trùng c{c tia ON, O”, OỞ Khi đó: z S a a a 3 A 0; ;0 , B 0; ;0 , N a;0;0 , S 0;0; , P a a a a a a a a 3 D a; ;0 , P ; ; , M ; ;0 , K 0; ; 4 2 4 K a Đư ng thẳng MK có vec-t phư ng l|: a a a MK ; ; ∥α 2;1; 4 A O x N C Đư ng thẳng “P có vec-t phư ng l|: a a a 3 AP ; ; ∥ 2;1; 2 B M y 3a a ởa có α, 3; 4 2;0 , AK 0; ; 4 α, AK 3a 3a Vậy d MK,AP α, 15 b Mặt phẳng “PN có cặp vec-t phư ng l| a a a a a a 3 NP ; ; ∥α 2;1; ; AP ; ; ∥ 2;1; 4 2 Do “NP có ph{p vec-t l| α, 3; 4 3;0 ∥n1 1; 2;0 Mặt phẳng “”CD có ph{p vec-t l| n2 0;0;1 Do n1.n2 nên ANP ABCD Bài Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho hình hộp “”CD.“’”’C’D’ có A 0;0;0 , D 0;1;0 , D' 0;1;2 , B' 1;0;2 Gọi E l| điểm đối x ng với A qua B Điểm M thuộc đoạn CD cho mặt phẳng “’ME tạo với mặt “””’“’ góc φ thỏa mãn tan φ a Vi t phư ng trình mặt phẳng “’ME b Vi t phư ng trình mặt cầu Ở qua C, ”’, D’ v| có t}m thuộc mặt phẳng “’ME Gi i Dễ d|ng suy tọa độ c a c{c điểm A' 0;0;2 , z B1;0;0 , C 1;1;0 , C' 1;1;2 , E 2;0;0 A' Đặt DM t t 1 Khi M t;1;0 Mặt phẳng “’ME có cặp vec-t A'M t;1; 2 , A'E 2;0; 2 ∥α 1;0; 1 Do “’ME có ph{p vec-t B' D' C' phư ng A'M, α n 1;t 2; 1 Mặt phẳng “””’“’ có ph{p vec-t n2 0;1;0 B A x E y D M C Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 40 29 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com t 2 ởa có cos φ cos n1 ,n2 Vậy t 2 suy sin φ cos2 φ 2 t 2 2 t t t ) t 2 tan φ Vậy M 1;1;0 trùng với điểm C) a Mặt phẳng “’ME có ph{p vec-t n1 1;t 2; 1 1; 1; 1∥1;1;1 v| qua điểm E 2;0;0 nên có phư ng trình: A'ME :1 x 2 1 y 0 1z hay A'ME : x y z b Ở qua C, ”’, D’ nên có t}m I thuộc c{c mặt phẳng α , l| c{c mặt phẳng trung trực c a C”’, CD’ α qua trung điểm K 1; 21 ;1 c a C”’ v| có ph{p vec-t CB' 0; 1;2 1 Vậy α : y z 1 2y 4z 2 qua trung điểm L 21 ;1;1 c Do a CD’ v| có ph{p vec-t D'C 1;0; 2 :1 x 21 y 1 z 1 2x 4z x y z 1 Vậy tọa độ c a I l| nghiệm c a hệ: 2y 4z I ; ;1 2 2x 4z Mặt cầu Ở có b{n kính R IC 2 1 1 Vậy S : x y z 1 2 2 Bài Cho t diện O“”C vuông O C{c mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) tạo với mặt phẳng (ABC) tư ng ng Gọi SO , SA , SB , SC l| diện tích c{c mặt đối diện với c{c đỉnh O, A, B, c{c góc α, , C c a t diện Ch ng minh rằng: a OH OA OB OC2 với H l| hình chi u vuông góc c a O “”C b SO2 SA2 SB2 SC2 Gi i Chọn hệ tọa độ Oxyz hình v Giả sử OA a, OB b, OC c , O 0;0;0 , A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c a Mặt phẳng “”C có phư ng trình: x y z 1 a b c Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 30 41 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com OH d O, ABC a OH OH2 a OA b z b C c2 c2 OB2 H OC2 x O b Do c{c tam gi{c O“”, O“C, O”C l| c{c tam gi{c vuông O nên: S2A SOBC 1 b2 c2 OB.OC S2A 2 ởư ng tự ta có: S2B A B y c2 a2 a2 b2 , SC 4 1 2 2 AB,AC b c c a a2 b2 S2O S2ΔABC S2A S2B S2C 2 Cho hình chữ nhật “”CD có AB a, AD b C{c tia “m v| Cn hướng v| vuông góc với Mặt kh{c: SΔABC Bài mặt phẳng (ABCD) C{c điểm M, N thay đổi c{c tia “m, Cn cho MBD NBD Ch ng minh AM.CN không đổi Gi i Chọn hệ trục tọa độ Oxyz A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;b;0 , C a;b;0 hình v , đó: z m Giả sử AM m, CN n m,n ởa có M 0;0;m , N a;b;n n M N 1 1 Mặt phẳng M”D có vec-t ph{p n n ; ; a b m B Mặt phẳng N”D có vec-t ph{p n n' NB,ND A x Do NB 0; b; n , ND a;0; n nên 1 1 n' bn;an; ab abn ; ; a b n D MBD NBD n.n' 12 a b mn a b a b 2 AM.CN const mn a b a b2 Cho hình chóp Ở.“”CD, đ{y có cạnh a Gọi M, N l| trung điểm c a Ở“ v| ”C, Do đó: Bài C y 2 2 O l| t}m c a đ{y “”CD ”i t MN tạo với mặt phẳng “”CD góc 300 z a Ch ng minh rằng: SO MN b ởính góc MN v| Ở”D S Gi i M Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình v , đó: O 0;0;0 , a a B ;0;0 , C 0; ;0 , a a a N ; ;0 , A 0; ;0 Giả SO h h Khi sử D C N O A y B x Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 31 42 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com a h a a h S 0;0;h , M 0; ; MN ; ; 2 2 a Mặt phẳng “”CD có phư ng trình z v| có vec-t ph{p n n 0;0;1 , suy sin 300 n.MN n MN MN tạo với “”CD góc 300 Do đó: h 5a a 30 h hay h h2 6 2a 2a h 2 5a 2h 16 4 Vậy SO h a 30 2 a a h 2 a a 5a a 30 Mặt kh{c MN 24 2 Vậy SO MN b Mặt phẳng Ở”D có phư ng trình y v| có vec-t ph{p n n ' 0;1;0 a a a 30 MN ; ; 12 a 15 Gọi α l| góc MN v| Ở”D , ta có: sin α n ' MN a 30 Bài Cho hình chóp Ở.“”C có Ở“ vuông góc với mặt (ABC) ởam gi{c “”C vuông B, n '.MN AB a, BC b Đư ng thẳng SC tạo với mặt phẳng “”C góc 600 ởính thể tích hình chóp v| b{n kính mặt cầu ngoại ti p hình chóp Gi i Chọn hệ tọa độ Oxyz hình v Giả sử SA h , B 0;0;0 , A a;0;0 , C 0;b;0 , S a;0;h z S SC a;b; h Mặt phẳng “”C có phư ng trình z n 0;0;1 l| vec-t ph{p n c a (ABC) Do SC tạo với “”C góc 600 nên: sin 600 n.SC n SC h a b2 h C h a b2 Giả sử I x ; y0 ;z0 l| t}m c a mặt cầu ngoại ti p hình chóp, ta có: y B A x Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 43 32 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com IA IB2 IC2 IS2 x 02 y02 z 02 x a y02 z 02 x 02 y0 b z 02 x 02 y02 z a b a b2 a b x ; y0 ;z 2 Gọi l| b{n kính mặt cầu ngoại ti p hình chóp, ta có: R IB x 02 y02 z02 a b2 Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có: 1 V SA.SΔABC SA.AB.BC ab a b2 6 Bài Cho hình chóp Ở.“”C, đ{y có cạnh a M, N l| trung điểm c a SA, SC Bi t BM AN ởính thể tích v| b{n kính mặt cầu ngoại ti p hình chóp Ở.“”C Gi i Gọi O l| t}m c a tam gi{c “”C v| K l| trung điểm c a z a a a , AO , KB KC Giả sử ”C, đó: OK AK SO h h S Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình v Khi đó: a a a ;0 , A 0; ;0 , a a C ; O 0;0;0 , B ; ;0 , 2 S 0;0;h I A C O a h a a h M 0; ; , N ; ; 12 x K y B a a h a 5a h BM ; ; , AN ; ; 2 12 Do BM AN nên BM.AN N M a 15a h 42 0h a 36 1 a 42 a a 14 Gọi V l| thể tích hình chóp, ta có: V SO.SΔABC 3 24 Gọi I l| t}m c a mặt cầu ngoại ti p hình chóp, dễ thấy I SO nên I 0;0;m ởa có: IA IS2 a 42 a2 42 5a a2 m2 a a.m m2 m m2 m 3 42 Vậy R IA Bài a 25a 9a 168 42 Cho điểm M nằm góc tam diện vuông Oxyz Mặt phẳng α thay đổi qua M v| cắt c{c tia Ox, Oy, Oz c{c điểm ph}n biệt “, ”, C ởìm gi{ trị nhỏ c a thể tích t diện OABC Gi i Chọn hệ tọa độ Oxyz hình v Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 33 44 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giả sử M x ; y0 ;z0 v| mặt phẳng α cắt Ox, Oy, Oz c{c điểm z A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c C x y z 1 a b c x y z abc Vì M α nên a b c Khi mặt phẳng α có phư ng trình: ởa có VOABC Suy 33 x y0 z (bất đẳng th c Cô-si) abc abc 27x y0 z0 VOABC M B y O 27x y0 z0 a 3x x y0 z Dấu = xảy b 3y0 a b c c 3z A x Bài Cho hai đư ng thẳng chéo a, b vuông góc với nhau, nhận “” l|m đoạn vuông góc chung (A thuộc a, B thuộc b C{c điểm M, N thay đổi a, b cho MN AM BN Ch ng minh khoảng c{ch từ trung điểm O c a đoạn AB tới đư ng thẳng MN không đổi Từ suy MN ti p xúc với mặt cầu đư ng kính “” Gi i Kẻ Ay∥b Dễ thấy Ay a , Ay AB z Chọn hệ tọa độ Oxyz hình v Giả sử AB h, AM m, BN n h,m,n N B Khi đó: A 0;0;0 , B 0;0;h , M m;0;0 , b h N 0;n;h , O 0;0; 2 Theo giả thi t MN AM BN nên ta có a m n h m n h 2mn 2 y O A M x h ởa có MN m;n;h , OM m;0; 2 hn hm MN,OM ; ; mn 2 Do d O, MN MN,OM MN h n h m2 m2 n 4 m n2 h2 2mn 2m3n m2 n mn h 4 2 m2 n 2mn Vậy khoảng c{ch từ O đ n MN không đổi v| AB Do MN ti p xúc với mặt cầu đư ng kính “” Bài ởrong không gian tọa độ cho c{c điểm A 0;0;1 , D 0;2;0 C{c điểm ” v| C thay đổi trục Ox cho ACD ABD X{c định vị trí c a ” v| C để thể tích t diện ABCD nhỏ ng với vị trí đó, vi t phư ng trinh mặt phẳng α ch a “D v| tạo với c{c mặt (ACD), (ABD) góc Gi i Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 34 45 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giả sử B b;0;0 , C c;0;0 Khi “”D có phư ng trình: x y z 1 b z 1 v| có vec-t ph{p n n ; ;1 b Mặt phẳng “CD có phư ng trình: x y z v| có vec-t ph{p n c C A 1 n ' ; ;1 c O VABCD VBOAD VCOAD BO CO y D 1 Do ACD ABD nên n.n ' bc bc Vậy ta có OB.OC v| ”, C nằm kh{c phía O ởa có: B x 1 BO CO .SΔOAD BO CO BO.CO 3 3 Dấu = xảy Khi mp “OD tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc v| đó, mặt phẳng α qua “D v| vuông góc với (AOD) c)ng tạo với c{c mặt phẳng (ACD), (ABD) góc “OD có phư ng trình: x v| có vec-t ph{p n n 1;0;0 α có vec-t 0. x 0 1. y 2. z 1 hay y 2z Bài gian Mặt phẳng 46 ởrong không tọa α n1 n, AD 0;1;2 Do ph{p n độ Oxyz, cho hình hộp có phư ng trình: “”CD.“’”’C’D’ có A 0; 1;0 , C 2;1;0 , B' 2; 1;2 , D' 0;1;2 C{c điểm M, N thay đổi c{c đoạn “’”’ v| ”C cho D'M AN a Ch ng minh MN vuông góc với đư ng thẳng cố định b Khi M l| trung điểm c a “’”’, vi t phư ng trình mặt phẳng (DMN) Gi i ởa có AC 2;2;0 , B'D' 2;2;0 AC B'D' v| AC B'D' AC BD v| AC BD A' M “”CD l| hình vuông ởư ng tự, ta ch ng minh c{c mặt lại c a hình hộp l| hình vuông, “”CD.“’”’C’D’ l| hình lập phư ng “”CD có phư ng trình: z B' C D Giả sử n AC,B'D' n 0;0;8 “”CD có vec-t ph{p n n 0;0;8 C' D' N A B “’”’C’D’ có phư ng trình: z Từ dễ d|ng x{c định c{c đỉnh lại c a hình lập phư ng l|: B 2; 1;0 , D 0;1;0 , A' 0; 1;2 , C' 2;1;2 Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 35 46 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 2t “’”’ có phư ng trình: y 1 ”C có phư ng trình: z x y 1 2s z t,s Do M, N nằm c{c đoạn “’”’ v| ”C nên M 2t; 1;2 , N 2; 1 2s;0 với t 1, s Theo giả thi t D'M AN D'M.AN t s MN 2t;2t; 2 a Xét u 1;1;1 , ta thấy MN.u t nên MN vuông góc với c{c đư ng thẳng có phư ng u , suy MN vuông góc với đư ng thẳng cố định b Khi M l| trung điểm c a “’”’ t s ởa có M 1; 1;2 , N 2;0;0 MN 1;1; 2 , DM 1; 2;2 MN,DM 2; 4; 3 (DMN) qua D 0;1;0 v| có vec-t ph{p n n1 2;4;3 Vậy DMN có phư ng trình: 2x 4y 3z Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 36 47 [...]... l| t}m c a “”CD v| I, J, K lần lượt l| trung điểm SO, SD, DA a X{c định đoạn vuông góc chung c a IJ v| “C b ởính thể tích c a khối t diện AIJK Gi i a IJ l| đư ng trung bình c a tam gi{c ỞOD IJ∥OD IJ SO hay IJ IO SO ABCD SO AC hay IO AC Từ v| z (1) S (2) suy ra IO l| đoạn vuông góc chung c a IJ v| “C J b Góc giữa cạnh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO 450 I ởam gi{c ỞOD vuông c}n tại... 2 a2 9 hay d h2 2ah 4h2 9a2 Bài Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng 1 Gọi M l| trung điểm c a cạnh ”C ởính khoảng c{ch từ A tới mặt phẳng “’MD Gi i Chọn hệ trục tọa độ như hình v z Kéo d|i DM cắt AB tại E A' 1 ởa có BM AD 2 ”M l| đư ng trung bình c a tam gi{c “DE C' B' ” l| trung điểm c a AE D A AE 2AB 2 Khi đó: A 0;0;0 , E 2;0;0 , D 0;1;0 , A' 0;0;1... 2 2 C' D' t t ;t 2 a; Do đó MN 2 2 N A ởa có: 2 t MN t 2 a 2 2 B' A' 2 2 t 2 2 3t 2 2at a 2 B x M y D C Xét h|m số f t 3t 2 2 2at a2 H|m số n|y có đồ thị l| một Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 23 34 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com parabol quay bề lõm lên phía trên Do đó f t nhỏ nhất khi v| chỉ khi... AE 0;2a;a BD a; 2a;0 4a2 8ka2 ka2 0 4 MN.AE 0 MN l| đoạn vuông góc chung c a “E v| ”D k 2 2 2 9 MN.BD 0 ka 4a 8ka 0 4 9 Bài Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ cạnh bằng a ởrên c{c cạnh ””’, CD, “’D’ lần lượt lấy c{c Vậy MN l| đoạn vuông góc chung c a “E v| ”D khi k điểm M, N, P sao cho B'M CN D'P x , x 0;a a Ch ng minh AC' MNP... ax a2 4 2 2 3 a 3a2 3a2 3 a x Dấu = xảy ra x 2 2 4 8 2 Vậy min S 3a2 3 khi M, N, P lần lượt l| trung điểm c a c{c cạnh ””’, CD, “’D’ 8 Bài Cho hình lập phư ng “”CD.“’”’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M v| N lần lượt l| trung điểm c a AD v| ””’ Ch ng minh AC' AB'D' v| tính thể tích c a khối t diện “’CMN Gi i Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 13 2 Chọn... ởa còn có SA a 2;0;a 2 v| BC a 2; a 2;0 MN.SA 0 MN SA MN.BC 0 MN BC Vậy MN l| đư ng vuông góc chung c a Ở“ v| ”C đpcm Bài Cho khối lăng trụ tam gi{c đều có cạnh đ{y bằng a v| AB' BC' ởính thể tích c a khối lăng trụ Gi i Gọi O l| trung điểm c a AC Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ l| O, tia Ox đi qua “, tia Oy đi qua ” Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT:... v| nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm c a SB, BC, CD Ch ng minh rằng AM BP v| tính thể tích c a khối t diện CMNP Gi i Trần Đình Cư Gv TH PT Gia Hội, TP Huế SĐT: 16 5 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với “, tia Ox đi z qua ”, tia Oy đi qua D, tia Oz cùng hướng với vec-t HS S H l| trung điểm c a AD), khi đó A 0;0;0 , B a;0;0 , C a;a;0 , D ... trong không gian BƠi 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a a) Tính khoảng cách giữa hai đư ng thẳng AD1 và B1C AM b) Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số 3 Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng MD (AB1C) c) Tính thể tích khối t diện AB1D1C BƠi 11: Cho lăng trụ đ ng ABC.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , biết BA=a cạnh bên AA ' a 2 Gọi M là trung điểm... bằng a K l| trung điểm c a DD’ v| O l| t}m c a hình vuông ““’”’” ởính thể tích c a khối t diện “IK“’ Ởuy ra khoảng c{ch từ “’ đ n mặt phẳng “”’K Gi i z Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A O , c{c tia Ox, Oy, Oz lần lượt đi qua ”, D, “’ Khi B a;0;0 , B' a;0;a , C a;a;0 đó A 0;0;0 , A' 0;0;a , C' a;a;a , D 0;a;0 , D' 0;a;a , a a a K 0;a; , I ;0; I l| trung điểm c a “”’... giác vuông tại A, AB a , AC a 3 , hình chiếu vuông góc c a A lên (ABC) là trung điểm c a BC Tính theo a thể tích khối chóp A.ABC và tính cos c a góc giữa hai đư ng thẳng AA và BC BƠi 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =a, SB a 3 Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm c a AB và BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cos c a góc giữa hai đư