Chương Il
QUAN HE SONG SONG
Đ1 DALCUONG VE DUONG [HANG VA MAT PHANG
TOM TAT Li THUYET
1 Cỏc tớnh chất:
1, Cú một và chỉ một đường thăng đi qua hai ciờm phan biệt
2, Cú một và chỉ một mặt phăng đi qua 3 điểm Khụng thăng hàng
3 Nếu một đường thăng cú hai điểm phần biết thuộc mặt phẩng thỡ mọi điểm
của đường thang đều thuộc mặt phang
4 Lồn tại bún điểm khụng cựng thuộc mọt mật phẳng
Đ Neu hai mat phang phõn biết cú một điểm chung thỡ chỳng cụn cú một điểm ! chung khỏc nữa
H Cỏch xỏc định một mặt phẳng
Cú ba cỏch xỏc định một mặt phăng
1 Mặt phẳng hoàn toàn vỏc định khi biết nú đi qua ba điểm khụng thăng hàng
2 Mặt phang hoan toàn xỏc định khi biết nú đi qua một điểm và chứa một
đường thăng khụng đi qua điểm đú
3 Mặt phăng hoàn toàn xỏc định khi biết nú chứa hai đường thăng cất nhau 1H Hỡnh chúp và hỡnh tứ điện
Trong mặt phăng (P) cho đa giỏc lụi AĂAa A„ Lấy điểm S ngoài (P) Lần lượt
noi S với cỏc đỉnh Ai Á› A, ta được n tam piỏc SAĂIAÁ›, SA›Ai, SAW An SA;AĂ Hỡnh gồm đa giỏc AiA› A, và n tam giỏc SAIA›, SA:Ái, SAIAĂ gọi là
hỡnh chúp, kớ hiệu S.AIA¿ Án
Cho bốn điểm khụng động phỏng A B C, D Hỡnh gồm bốn tam giỏc ABC,
Trang 2
CAC DANG TOAN CO BAN
1 Dang toan 1: Xac djnh giao tuyộn cua hai mặt phẳng
phõn biệt thuộc chỳng
VDI: Cho tứ diện ABCD và điểm M
thuộc miễn trong của tam giỏc ACD
Goi I và J tương ứng là hai điểm trờn cạnh BC va BD sao cho lJ khụng song song với CD Xỏc định giao tuyển của
hai mặt phẳng (ACD) và (LIM)
Phương phỏp: Đề xỏc định giao tuyến của hai mặt phăng ta tỡm hai điểm |
Giải
Gọi H= CD ơUJ H
=He€ (ACD) ơ(UM)
Lai do M € (ACD) 0 (UM)
Vay (ACD) 9 (IJM) = MH = (xem Hinh 34) B Hinh 34 VD2: Cho hỡnh chúp S.ABCD AB cắt CD tại E, AC cắt BD tai F và (SCD) và (SBD) là SF
a) Tỡm giao tuyến của (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD)
b) Tỡm giao tuyến của (SEF) với (SBC)
Giải
a) S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB)
E € AB, AB c (SAB) = E e (SAB) Ee CD,CDc (SCD) => E e (SCD)
E là điểm chung thứ hai cua (SAB) va (SCD)
Vậy giao tuyến cua (SAB ) va (SCD) la SE
Chứng minh tương tự giao tuyến của (SAC)
b) S là điểm chung cua (SEF) va (SBC) fi
Gọi K là giao điểm của BC và EF ta cú Klà p Hỡnh 35
điểm chung thứ hai
66
Vậy giao tuyến của hai mặt phăng (SEF) vả (SBC) là SK
Dạng toỏn 2: Xỏc định giao điểm của đường thăng và mặt phăng THỊ: Nếu trong (P) cú đường thang a cat d tai A thid cat (P) tai A
TH2: Nếu trong (P) khụng cú sẵn đường thăng a cắt (P) ta thực hiện như sau:
đ Chọn mặt phẳng (Q) qua d và cat (P) theo giao tuyộn b
e Xỏc định giao điểm B của b vad
Trang 3
VD: Cho tứ diộn ABCD) Trộn canh AB lay 1,
CB lấy điểm J, CŨ lấy điểm K sao cho JK khong song song voi BD
a) Tim giao điểm cua JK va (ABD)
b) Tim giao diộm cua AD va (UK)
Giai
a) Goi F = JRO BD > FE = JK (ABD)
b) (ABD) la mat phing qua AD
(ABD) va (IJK) cat nhau theo giao tuyển ik
Goi T = IE MAD > T= AD O(UK)
(xem Hinh 36)
VD2: Cho hinh chop SABCD, diộm M trộn canh SC, diộm N tộn canh BC
a) Tỡm giao điểm của AM và (SBD)
b) Tim giao diộm cua SD va (AMN)
Giải
a) Ta chon (SAC) chira AM, tim giao
tuyến của (SAC) và (SBD) (xem hỡnh 37)
Gọi O là giao diộm cua AC va BD
Dộ chimg minh (SAC) > (SBD) = SO
Goi | la giao điểm của SỐ và AM
1 là giao điểm của AM và (SBD)
b) Chọn (SBD) chứa SD, tỡm giao tuyến
cua (SBD) va (AMN)
Goi J là giao diộm cua AN va BD
Dễ chứng minh (SBD) ơ (AMN) = lJ
Gọi K là giao điểm của lJ của SD
K là giao điểm của SD và (AMN)
HE Dạng toỏn 3: Chứng minh 3 điểm thắng hàng Hỡnh 36
+ Ngoài cỏc phương phỏp đó biết trong hỡnh “hoc phẳng 1a cụn cú thể chứng minh ba d m đú 0 cựng thuộc hai mặt phẳng phõn biệt
VDI: Cho tứ diện SABC Trờn SA, SB, SC
lần lượt lấy cỏc điểm D, E, và F sao cho DE cắt
AB tai I, EF cat BC tai J, FD cat CA tai K
Ching minh I, J, K thang hang Giai Taco 1, J K thuộc (DEF) 1.J, K thuộc (ABC)
(DEF) va (ABC) la hai mat phang phan biột
Vay I J, K thang hang (xem Hinh 38) Hinh 38
Trang 4VD2: Cho hỡnh chúp S.ABCD Gọi [J ta hai điểm trờn SA và SC Mặt phang (P) quay quanh IJ cat SB tai M SD tai N Ching minh UW MN SO dong qui
Giai
Gọi L là giao điểm của của lJ và MN, ta chứng minh L, Đ, O thang hang (xem Hinh 39) Ta co: S, O L thudc (SAC) S, O, L thuộc (SBD) Mặt khỏc (SAC) và (SBD) là hai mat phang phõn biệt
Vậy S, O, L thang hang
Hay núi cỏch khac IJ, MN SO dong qui tại L
CAU HOI TRAC NGHIEM
Cõu 1: Chọn khăng định đỳng:
(A) Qua 2 điểm phõn biệt cú duy nhất một mặt phẳng
(B) Qua 3 điểm phõn biệt bất kỡ cú duy nhất một mặt phẳng
(C) Qua 3 điểm khụng thăng hang cú duy nhất một mặt phẳng
(é) Qua 4 điểm phõn biệt bất kỡ cú duy nhất một mặt phăng
Cõu 2: Trong cdc khang định sau, khăng định nào đỳng khăng định nào sai?
(A) Qua 2 đường thang bất kỡ cú duy nhất một mặt phẳng :- đỳng, '! sai
(B) Qua 2 đường thăng cắt nhau cú duy nhất một mặt phăng đỳng | sai (C) Cộ duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và một đường thăng bắt kỡ cho trước
: đỳng ' sai
Cõu 3: Trong cỏc khang định sau khăng định nào đỳng khăng định nào sai?
(A) Cú duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thăng và một điểm ngoài
đường thăng đú đỳng ` sai
(B) Cú đuy nhất một mặt phẳng đi qua 2 điểm và một đường thắng bỏt kỡ
đỳng - sai
(C) Cú duy nhất mặt phăng đi qua 3 điểm phõn biệt ding Sai
Cõu 4: Trong cỏc khang dinh sau, khang dinh nao đỳng khang dinh nao sai? (A) Hai mat phang cộ mot điểm chung thỡ chỳng cú vụ số điểm chung
đỳng sai (B) Hai mặt phẳng cú một điểm chung thỡ chỳng cú một đường thăng chung duy nhất
đỳng ' sai (C) Hai mặt phẳng phõn biệt cú một điểm chung thỡ chỳng cú một đường thăng
chung duy nhất đỳng sai
(D) Nộu 3 điểm M, N P cựng thuộc hai mặt phăng phõn biệt thỡ chỳng thắng hàng
đỳng - sai
Trang 5Cõu & Cac yeu t6 nao sau đõy xỏc định một mặt phẳng duy nhất?
(A Ba diem phan biệt (B) Mot diộm va mot durong thang
(C Hai đường thăng cat nhau (é) Bến điểm phõn biệt
Cau 6 Cho 3 đường thăng dị, d› dị khụng cựng thuộc một mặt phẳng và cắt nhau từng cụi, Chọn Khỏng định đỳng,
(A 3 đường thăng trờn đồng qui (B3 đường thăng trờn trựng nhau
(C 3 đường thăng trờn chứa ba cạnh của một tam giỏc (D Cỏc khăng định ở a, b, c đều sai
Cõu 2 Trong cỏc khang dinh sau, khang định nào đỳng?
(A Nộu ba diộm A, B,C la ba diộm chung cua hai mat phdng (P) va (Q) thi A, B.C thang hang
(B)Nộu A B, C thang hang va (P) va (Q) co diộm chung fa A thi B, C cũng là hai điểm chung của (P) và (Q)
(C Nếu ba điểm A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phõn biệt (P) và (Q) thi A, B, C khộng thang hang
(D)Nộu A, B,C thang hang va A, B la hai diộm chung cua (P) va (Q) thi C cũng là điểm chung của (P) và (Q)
Cõu 8 Cho tứ giỏc ABCD Cú thẻ xỏc định được bao nhiờu mặt phẳng chứa tất cả
cỏc địh của tứ giỏcABCĐ?
(AI (B)2
(@@3 (D) Khụng cú mat phẳng nao
Cõu 9 Cho tứ điện ABCD và điểm M thuộc miễn trong cua tam gidc ACD Goi |
va J tong ứng là hai điểm trờn cạnh BC và BD sao cho LJ khụng song song với
CD Gi H, K lần lượt là giao điểm của LJ với CD của MH và AC Giao tuyến của
hai ma phang (ACD) và (IJM) la
(A)KI (B) KJ (C) MI (D) ad
Cõu 1l: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm thuộc miễn trony - in giỏc BCD, M là
điểm tờn cạnh AO, ẽ trờn cạnh BC, J trờn cạnh BD II cắt CD tại K, BO cắt JI tại
E, BO ỏắt CD tại H ME cắt AH tại F Giao tuyển của (MJD và (ACD) là:
(A)KM (B) AK (C) MF (D) KF
Cau 1: Cho 4 diộm khụng đồng phang A, B, C, D Goi I, K lần lượt là trung điểm
của AL va BC Giao tuyộn ctia (IBC) va (KAD) la (A) K (B) BC (C) AK (D) DK Cõu 12 Cho hỡnh chúp S.ABCD AB cắt CD tai E, AC cột BD tai F Chọn khang định ding (A) SAB) > (SCD) = SE (B) (SAC) > (SBD) = SE (C) SAB) 4 (SCD) = SF (D) (SAB) 4 (SCD) =
Cau 12 Cho ti dign ABCD | la diộm nim trộn dudng thing BD và ngoài đoạn
BD Tong mat phăng BAD vẽ đường thang qua |, cột AB tại K, cắt AD tai L
Trong nat phẳng BCD, vẽ đường thẳng qua I, cắt CB tại M, cắt CD tại N BN cắt
DM tạiO BL cắt DK tại E, LM cắt KN tại F Chọn khăng định đỳng?
Trang 6(A) A, F, O khong thang hang và C, F, E thăng hàng
(B) A, F, O thang hang và C, F, E thăng hàng
(G) A F, O thang hang va C, E, F khong thang hang
(D) A, F,O khong thăng hàng và C, F, E khụng thắng hàng
Cõu 14: Cho bốn điểm A, B, C, D khụng đồng phang Goi M, N lan hrot ka trung điểm của AC và BC Trờn đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD Giao điểm của
đường thẳng CD và mặt phd ng (MNP) la giao điểm của
(A) NP và CD (B) CD và MN
(C) CD và MP (D) CD và AP
Cõu 15: Cho tứ diện ABCD, trờn AC và AD lần lượt lẫy M, N-sao cho MN: khụng
song song với CD Gọi O là một điểm thuộc miễn trong của tam giỏc BCDI Chọn
khẳng định đỳng /
(A) Giao diộm của BC với (OMN) là giao điểm của BC với OM
(B) Giao điểm của BC với (OMN) là giao điểm của BC với ON
(C) Giao điểm của BC với (OMN) là giao điểm của BC với MN
(D) Cỏc khẳng định ở (A), (B), (C) đều sai
Cõu 16: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành Gọi M lat trung điiểm của SC Gọi I là giao điểm của AM với (SBD) Chọn khăng định đỳng
(A) [A =-2IM (B) IA =-31M (C) IA = 2IM (D) 1A = 2,5]M
Cõu 17: Chọn khẳng định sai
Thiết điện của một hỡnh tứ điện với một mặt phẳng cú thể là
(A) Tam giỏc (B) Tam giỏc vuụng
(C) Tứ giỏc (D) Ngũ giỏc
Cõu 18: Cho mp(P) và điểm A ở trờn (P) và một đường thẳng a khụng nằm trong
(P) và a khụng đi qua A Co nhiều nhất bao nhiờu đường thăng b thuộc (P) tbiột b di qua A và cắt a?
(A)! (B)2
(C) Vụ số đường thăng (D) Khụng cú đường thăng nao
Cõu 19: Cho tứ điện ABCD Gọi E, F, G, K lần lượt thuộc cỏc cạnh AB, AAC, BD
AD EF cắt BC tai 1, EG cat AD tại H, KF cắt CD tại T, EK cắt BD tại L
(A) 1, T, L thắng hang va IG, FH, CD đồng qui
(B) I, T, L khụng thang hàng va IG, FH, CD dong qui
(C) 1, T, L thing hang va 1G, FH, CD khộng dong qui
Trang 7Cõu3:
(4) Shang định đỳng (3) Shang dinh sai
(7) Khang dinh sai Khang định đỳng là: cú duy nhất mặt pnăng đi qua 3 điểm khụig nõng hàng, Cõu4: (1) Shăng định đỳng (B) Khăng định sai (â) <hăng định đỳng, (D) Khang định đỳng CõuĐ:(C) Cõu6:
khang định cõu (B) va (C) rừ ràng là sai vỡ 3 đường thăng trờn khụng cựng
thud: Ot mat phang Kiem tra ta thay khang định cõu (A) là đỳng ES: (A) A Cú tiể dựng phương phỏp phản chứng đề chứng mỡnh Cau7:(D) Cau8:(A) Cau 9: (xem Hinh 40) NiH=CDOU =R€(ACD)^(UM) -H
LailoMe (ACD) A(UM) >
Trang 9Cõu 15: Cỏc khăng dinh o (A) 0B) (C) đếu sai
De tin giav diem ta thue hien nhu sau; Keo dar MN cat CD tar honor OL eat BC tại P, Giao điểm cần tỡm là P (xem Hỡnh 46)
DS: (D)
Cõu 16: xem Hỡnh 17)
Goi C là tõm của hỡnh bỡnh hành ABCD
Vớ AM và SỐ thuộc mặt phẩng (SÁC) và khụng song sống nờn AM cất SỐ tại |
Để chứng mỡnh rằng chớnh là giao điểm của AM và (SBD)
Vỡ SỐ và AM là hai trung tuyển của tam giỏc SẠC nờn 11a trong tam cua tam piace SAC Vay 14 = -21M DS: (A) ] A B Hinh 46 Hinh 47 Cõu 17: Vỡ tứ diện cú bốn mặt nờn thiết điện cú tụi da 4 doan giao tuyến vỡ vậy khụng th¿ là ngũ giỏc DS: (D)
Cõu 18: Đõy thực chất là bài toỏn dựng hỡnh Ta cần dựng đường thăng b (ban đọc tự vẽ hỡm)) b chớnh là giao tuyến của mp(A a) và mp(P) mp(A, a) và mp(P) phõn
biệt và cc điểm chung A
Vậy c› nhiều nhất một đường thắng b
DS: (A) “õu 19:
Việc chứng minh I, T, L thang hang, ban doc xem phan phuong phap (xem
Hinh 48)
Ta cheng minh 1G, FH, CD đồng qui
Goi Sla giao diộm cua IG va FH (cht y rang IG, FH thuộc mp(IEH))
Trang 1074
Ta chứng minh S, C D thăng hàng
€, S, D thuộc (ACH) €, S,D thuộc (BIG)
Vay C, S D thang hang
Trang 11
Đ2 HAI ĐƯỜNG THANG CHEO NHAU
VA HAL DUONG THANG SONG SONG
TOM TATL i THUYE “T
Ch Vi tri tương đấi của hai đường thăng a, b ) trong | khộng gian
THI: a b cong thude mot mat phang: ta núi a b đồng phẳng
đ¿ và b cú điểm chỳng duy nhất M ta núi a cắt b tại M, kớ hiệu abM j
đ¿ và b khụng cú điểm chung Ta noi a và b song song, kớ hiệu a /b ị e Nếu a và b cú 2 điểm chung phõn biệt ta núi a trựng với b kỉ hiệu a b
TH2: Khụng cú mặt phăng chứa a và b: ta núi a và b chộo nhau i
1I Tớnh chất:
1 Định lớ 1: Trong khụng gian qua một điểm khụng năm trờn đường thăng cho i trước, cú một và chỉ một đường thăng song song với đường thăng đó cho \ 2 Định lớ 2: Nếu ba mat phang phan biệt đụi một cắt nhau theo ba giao tuyển | phõn biộ: thi ba giao tuyến ay hoặc đồng qui hoặc song song với nhau |
Hệ qỏa: Nếu hai mặt phẳng phõn biệt lần lượt chứa hai đường thắng song song
thỡ giao tuyến của chỳng (nếu cú) cũng song song với hai đường thắng đú hoặc trựng vớ một trong hai đường thăng đú
3 Định lớ 3: Hai đường thăng phõn biệt cựng song song với đường thăng thứ ba
thỡ song song nhau
CÁC DANG TOÁN CƠ BẢN
I Dạng toỏn 1: Xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương phỏp: “Dộ tim giao tuyển của hai mat phang {P) và (Q), ngoài cach tim hai điểm chung, ta cú thể sử dụng cỏch sau: Tỡm một điểm chung S Tim trong (P)
và (Q) ln lượt hai đường thang a, b sao cho a // b Giao tuyến của (P) và (Q) là
đường thắng đi qua S và song song với a
VDI: Clo hinh chop S.ABCD co ABCD
là hỡnh tang đỏy AB Xỏc định giao tuyến
của (SA3) và (SCD)
Giải Se(SAB)ơ(SCD)-
AB c GAB), CD c (SCD), AB // CD
Vậy giio tuyến của (SAB) và (SCD) là
đường tiằng qua S và song song với AB (xem khinh 49)
Hỡnh 49
Trang 12VD2: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD Ia hinh thang, canh day AD = a, CIB = b 1, J lan luot la trong tõm cỏc tam giỏc SAD và SBC
a) Tớnh độ dai đoạn giao tuyến của mặt phăng (ADJ) và mặt bờn (SBC”) của hỡnh chúp S.ABCD b) Tỡm độ đài đoạn giao tuyến của mặt phẳng (BCI) va mat bộn (SAD) cua hỡnh chop S.ABCD Sự Giải
a)J là điểm chung cia (ADJ) va (SBC) P
Mat khac AD // BC, AD c (ADJ), BC c (SBC)
Nờn giao tuyến của (ADJ) và (SBC) là đường
thăng d qua J và song song với BC (xem Hỡnh 50) Le Moy,
Gọi M là trung điểm của BC, P và Q lần lượt
là giao điểm của đ với SB và SC Theo định lớ Talet: PQ SJ 2 2 A D — =— =—- > PQ==b BC SM 3 3 Hỡnh 50 Vậy đoạn giao tuyến của mặt phẳng (ADJ) và mặt bờn (SBC) của hỡnh chúp 2
S.ABCD là đoạn PQ cú độ dài 3 b
b) Tương tự độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng (BCI) và mặt bộm (SAD)) cua
hỡnh chúp S.ABCD là đoạn RS cú độ dài ; a , " IL Dạng toỏn 2: Chứng minh hai đường thắng song song
_Phương phỏp: Ngoài cỏc phương phỏp đó biết trong hỡnh học phămg ta cũn cú thể sử dụng cỏc phương phỏp sau
đ Chứng minh chỳng củng song song với đường thăng thứ ba
e Sử dụng tớnh chất: Hai mặt phăng phõn biệt lần lượt chứa hai đường tthăng
song song thỡ giao tuyến của chỳng cũng song song với hai đường thăng ay
â Dung định lớ về giao tuyến của ba mặt phẳng
Trang 13
Ul hl Lard ~ (tinh chat trong tam) L:( D3 ` [ thuo: cạnh PC, ƒ thuộc cạnh [ID >i CD (JP) (BED) â OP >t) PO (xem Tỉnh XE)
VD2: ( bà hỡnh chộp S.AHRCD cú das ABCD là hỡnh bỡnh hành, Gọi MUN, P, Q lõn lượt nằm trờn cỏc cạnh BC, SC, SỬ AD sao cho MN 2 BS.NP CD, MO ZCD a) Chrng minh SA â PQ b) Gio K la giao diộm cua MN và PQ Chirng minh SK AD” BC Giải ơ > SM_CN CB CS a) M)//AB CD SM PQ Gy CB DA P - NI’ CD => cs = De CS DS @) D DQ DP [x 1) Â) (3) cho ta =~ = — = ”“ BA DS B MC <> PCH SA (xem Hỡnh 52) Hinh 52 b) Rerang SK la giao tuyộn cua hai mat phẳng (SBC) va (SAD) Lai de BC < (SBC), AD c (SAD), BC // AD Vay SK // AD BC
II, Dang toỏn 3; Xỏc định thiết điện của mặt phẳng và hỡnh chúp
Phương phỏp: Xỏc định từng đoạn giao tuyến của mặt phẳng và cỏc mặt của
Ee choo Nội cae doan giao tuyến ta được đa giỏc, là thiết diện cõn xỏc định VD: Cho tứ diện ARCD cú cỏc cạnh bằng A
nhau và bằng 6a I J lần lượt là trung điểm
cia AC va BC K là điểm trờn cạnh BD với
KB = 2kD
a) X& dinh thiột diộn cua tr diộn va (WK)
Trang 14Vay IJKM là hỡnh thang Ta chứng minh IM = JK
BJ=Al= 3a
BK = AM = 4a M
ZJBK = ZIAM = 60°
=> AJBK = AIAM = IM=JK
Vậy thiết diện là hỡnh thang cõn LIKM
b) Áp dụng định lớ Cụsin cho tam giỏc AIM ta cú:
IM? = AP’ + AM? - 2ALAM.cos60°
= 9a’ + 16a’ ~ 12a’ = 13a lH Ss =IM=a⁄13 Hỡnh %4 Gọi H, S là hỡnh chiều vuụng gúc của M, K lờn [J (xem Hỡnh 54) IJ = 3a, MK = 2a IH = SJ= dy MK)= re 2 2 Áp dụng định lớ Pitagor cho tam giac vuộng IMH ta co: MH = VMi2 -1H? = 295! 2 MK+lJ _ 5V51a? 4 - S(IKM) =MH
CÂU HỎI TRÁC NGHIỆM
Cõu 1: Trong cỏc khẳng định sau, khẳng định nào đỳng, khẳng định nào saii?
(A) Hai đường thắng chộo nhau thỡ khụng cú điểm chung !;Ă đỳng, 7 sai (B) Hai đường thắng khụng cú điểm chung thỡ chộo nhau đỳng, 1) sai
(C) Hai đường thắng phõn biệt khụng song song thỡ chộo nhau ˆ đỳng, Ă' sai (D) Hai đường thăng phõn biệt khụng cắt nhau, khụng song song nhau thỡ chộo nhau
(i ding, |) sai
Cõu 2: Cho hai đường thăng chộo nhau a và b
Chọn khẳng định sai trong cỏc khăng định sau:
(A) a và b khụng cú điểm chung
(B) a và b khụng cựng thuộc một mặt phẳng
() Cú nhiều đường thẳng cắt cả a và b
(Đ) Cú hai đường thăng c, đ song song nhau và mỗi đường đều cắt cả a 'và b
Cõu 3: Cho 2 đường thẳng song song dj do
(A) Nếu đường thẳng d; song song với dị thỡ d› song song void), â} dung: Ă sai
(B) Nếu đường thẳng dị cắt dị thỡ dị cất d; tĂ đỳng, ' sai (C) Nếu đường thẳng dị vuụng gúc với d; thỡ dị vuụng gúc với dạ đỳng:,.' sai
Trang 15Cõu 4: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đõy ARCD là hỡnh bỡnh hành, Giao tuyển của
(SAB) va SCD) 1a
(A) Đường thang qua S va song song voi DC
(B) Đường thăng qua S va song song voi AD
(C) Đường thang SO voi â 1a tim cua hinh binh hanh
(D) Duong thang qua S và cất AB
Cõu Đ: Cto hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang với cỏc cạnh đỏy là AB va CD Gọi I J lất lượt là trung điểm của AD và BC và G la trong tam cua tam giae SAB
Giao tryển của (SAB) và (1G) là
(A) SC
(B) Đường thang qua S và song song với AB (C) Đường thang qua G và song song với DC
(Đ) Đường thang qua G và cắt BC
Cõu 6: C?o tứ điện ABCD và bỏ điểm P Q R lan lượt lầy trờn ba cạnh AB CD, BC Cho 3R AC và CỌ = 2QD Gọi giao điểm của AD và (PQR) là Š Chọn
khang dint ding
(A) AT = 3DS (B) AD = 2DS
(C) AS= 3DS (D) AS = DS
Cõu 7: Cto hỡnh tứ diộn ABCD vai P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD Gọi
R là điểm tằm trờn c¿nh BC sao cho BR = 4RC và S là g giao điệm của cạnh AD với
mặt phẳng (PQR) Chọn khang định đỳng
(A) AS= 4SD (B) AS=3SD
(C) AS= 2SD (D) AS = 5SD
Cõu 8: Clo tứ điện ABCD trong đú tam giỏc BCD khụng cõn Gọi M,N lần lượt là trung điển của AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN Gọi A; là giao điểm của
AG và (BCD) Chọn khăng định đỳng
(A) A;Ă 'à tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD
(B) A, à tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc BCD (C) AĂ à trực tõm tam giỏc BCD
(D) A, à trọng tõm tam giỏc BCD
Cau 9: Clo tu điện ABCD Goi I, J lõn lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABC và
ABD Cho khang dinh dung
(A) J song song voi CD (B) 1) song song voi AB
(C) I hộo CD (D) J cit AB
Cõu 10: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh thang với đỏy lớn AB đỏy nhỏ CŨ
Gọi M, Niần lượt là trung điểm của SA và SB Gọi P là giao điểm của SC và
(AND) AW cat DP tai | SABI la hinh gỡ?
(A) Hỡnh bỡnh hành (B) Hinh chữ nhật
(C) Hỡth vuụng (D) Hinh thoi
Cau 11: Cio hai đường thẳng chộo nhau a,b va điểm M ở ngoài a và ngoài b Cú nhiều nhấtbao nhiều đường thăng qua M cất cả a và b?
(A) | (B) 2 (C) 0 (Đ) Vụ số
Trang 16Cau 12: Trong khụng gian cho 3 đường thing a,b  chộo nhau từng đỏi Cú nhỉ nhật bao nhiờu đường thăng cat ca ba dudng thang ay?
(A) | (B) 2 (C)0 (D) Vừ số
Cõu 13; Cho hinh chap S.ABCD, day ABCD là hỡnh thang với đỏy lớn AB = 3C
Goi I J lan tot la trung diộm của Aé và BC G là trọng tõm cua tam giỏc SA SDC là tam giỏc cõn tại S Thiết điện của (HỚ) và hỡnh chúp S.ABCTD là
(A) Hỡnh thang (B) Hỡnh bỡnh hành
(C) Tứ giỏc khụng phải hỡnh thang — (D) !Hỡnh chữ nhật
"õu 14: Cho hai hỡnh vuộng ABCD va CDIS khang thuộc một mặt phẳng và canh bang 4 Biet tam giac SAC ean tai S, SB = 8 Thiột diộn cua mp( ACH) va hi chúp S.ABCD cú diện tớch bằng (A) 6V2 (B) 82 (C) 10/2 (D) 9 V2 TRA LOI Cau 1: (A) Khang định đỳng
(B) Khang dinh sai Phỏt biểu đỳng như sau: Hai đường thăng khụng cú đi chung thỡ song song hoặc chộo nhau
Trang 17Cầu 5; xem Hỡnh 56) Ro reng Ge (SAB) (WG) Lai ABT Nen aiao tuven cua (SAB) 9a (IG) la duone thang qua G va song song var 1 ĐS: C) Cau 6: ViPR AC nộn OS AC
Vậy Š là giao điểm của AD và đường thỏng qua Q va song song voi PR
Vheedinh li Taletta co: AS = 28D hay AD = 3DS
DS: A)
Cau 7: (xem Hỡnh 57)
Núi OR cắt BD tại S núi SP cắt AD tại S S là giao điểm của AD và (PQR)
Đề tĩnh tị số nờu ra ở cõu trắc nghiệm ta giai như sau
Goi f va Q lần lượt là trung điểm của AD và BC Ta cú: SB RB 4 8 _ SD:DB 8 CQ’ RQ’ A 3 3” QQ@ 3 2 SD DB 8, 32 y SE oY a oQ' 3 De CQ là đường trung bỡnh của tam giỏc BDC nờt =2 vỡ vậy từ (*) ta cú: S“%V B7 ] Zz QQ sD_8 4? QQ 3 3 S'D _ 2 Vi Q) = PP nộ Q) nờn op ald 7 Lại tleo định lớ Talet ta cú ; > BB 3B = = = AS=4SD P'" &P 3, DS: (A) Cõu 8: (em Hỡnh 58)
Lay dộm I trộn BN sao cho Gè / BM
Trang 18BI | BI 3 Hay: | ~ = — => A'B 4 A'B 4 Lai do 2BI = BN Nờn Bs ` A'B 2 Vậy A' là trọng tõm tam giỏc BCD DS: (D) Cõu 9: (xem Hỡnh 59)
Gọi E là trung điểm của AB ta cú
IJ va CD cing thuộc mp(CED) : EI EJ I ‘ 5 Lại do: —— =—— = = (tinh chat trong tam) EC ED I thuộc cạnh EC, J thuộc cạnh ED =l⁄CD DS: (A) Cõu 10: (xem Hỡnh 60) Goi E= ADA BC, P=NE ASC => P=SC (AND) Vi SI=(SAB) 0 (SCD) Ma: AB// CD =SI AB /CD Vỡ NM là đường trung bỡnh của A SAI va ASAB => SI= AB Vậy SABI là hỡnh bỡnh hành DS: (A)
Cõu I1: Đõy thực chất là bài toỏn dựng
hỡnh trong khụng gian (xem Hỡnh 61)
Đường thẳng qua M và cắt a và b là
giao tuyến của mp(a, M) và mp(b, M) No
Vỡ hai mặt phẳng núi trờn là phõn biệt
và cú một điểm chung nờn chỉ cú nhiều
nhất một giao tuyến
DS: (A)
Cau 12: Hinh 61
Với mỗi điểm M trờn a theo bài toan 11 cộ một dudng thang qua M va cat b, Â
(cú nghĩa là đường thăng này cắt cả ba đường thăng a, b, c)
Vỡ M lấy tựy ý nờn cú cú vụ số đường thẳng cắt a, b c
DS: (D)
Hỡnh 60
Trang 19Cõu 13: (xem Hỡnh 62)
(UG) va (SAB) cộ diộm chung G
Wo dG), AB & (SAB) NW // AB
Gia tuyen cua (JJG) va (SAB) là
đường thăng d qua G và song song với AB
Gọi MỊN là giỏo điểm của d với SA và SB Thiết điện là hỡnh thang HNM > AB+CD - Eu cú - 3CD MN SG 2 Theo định lớ Talet: - ay = 5G =— AB SE 3 2 =MN= 3 AB=2CD Vậy NM là hỡnh bỡnh hành DS: (B) Cõu 14: (xem Hỡnh 63)
Gọi K là giao điểm của Cl và DS
Thiết diện của mp(ACI) và hỡnh
chop S.ABCD Ia tam giac ACK
ASAD = ASDC (c-c-c) => AK =CK
Trang 20
Đ3 DUONG THANG SONG SONG VOI MAT PHANG
TOM TAT Li THUYET
1 Vị trớ tương doi:
Cho đường thang d và mặt phăng (œ), ta cú ba vị trớ tương đụi như sau:
1 d và (œ) cất nhau tại M, kớ hiệu đ ơ (œ) =M
2 d song song voi (a), ki higu d // (œ) hoặc (œ) /d
3 d nằm trong (œ), kớ hiệu đ c (œ)
IL Tinh chất:
1 Nếu đường thăng d khụng năm trong mặt phăng (œ) và d song song g với đường thăng d, nằm trong (œ) thỡ d song song với (a)
2 Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (œ) Nếu mặt phẳng ((B) cththia d
va ct (ct) theo giao tuyển dị thỡ dị song song với d
3 Nếu hai mặt phẳng phõn biệt cựng Song song với một đường thăng thỡi {i giao tuyến của chỳng cũng song song với đường thăng dú
4 Cho hai đường thăng chộo nhau Cú duy nhất một mặt phăng chứa diutuong
thẳng này và song song với đường thẳng kia CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN I Dạng toỏn 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng song với một đường thăng nào đú thuộc mặt phẳng đú Phương phỏp: Chứng minh đường thăng đú khụng thuộc mặt phăng vai 3 súng
VD: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành Gọi M,N lần Hưiượt
là trung điểm cỏc cạnh AB, CD
a) Chứng minh MN song song với (SBC) và (SAD)
b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh SB, SC dộu song Song voti (MINNP)
Giải S
a) Rừ ràng MN // BC, (SBC) BC, MN ơ (SBC) Vi vay MN // (SBC)
Chứng minh tương tự MN //(SAD)
b) Theo tớnh chất đường trung bỡnh thỡ SB / MP
Mat khac MP c (MNP), SB c (MNP) Vi vay SB // (MNP)
Gọi O là tõm của hỡnh bỡnh hành ABCD
Theo tớnh chat của đường trung bỡnh ta cú SC // PO
Mặt khỏc PO c (MNP), SC Z (MNP)
Vi vay SC // (MNP) (xem Hỡnh 64)
Trang 21
_H Dang toan 2: Thiột điện song song với một đường thăng
Phương phỏ Thường sử dụng, định lớ sau: Cho đường thăng aọ song song với | mật phing (P) Nếu mặt phẳng (Q) chứa đường thăng thăng a và cắt (P) theo giao |
tuyển | t thỡ a b |
VDI: Cho hinh chộp S.ABCD voi ABCD 1a hinh thỏng đ đỏy lớn AD, M.N lan lượt là hai tung diểm của AB và CD (P) là mặt phẳng qua MN và cất mặt bờn SBC theo mỏt đoạn giao tuyến Xỏc định thiết diện của (P) và hỡnh chúp Giải 5 MN là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABCDnờn NM // BC (xem Hỡnh 65) Gọi PQ là đoạn giao tuyến của (P) và mặt SBD, t: cú PQ // BC // MN
Vậy MPNO hỡnh thang
VD2: Cho tứ diện ABCD điểm M trờn cạnh
BC mr(P) qua M song song với AB va CD
(P) cắt BD, AD, AC lần lượt tại N, P, Q
MNPQ là hỡnh gỡ? D Cc
Giai Hinh 65
Vi: P) // AB, (ABC) > AB, (ABC) 4 (P)=MQ_ 4
Vay MQ // AB (1) (xem Hinh 66)
Ching minh tương tự ta cú NP / AB (2) (1à) >MQ//NP P Cũn: chứng minh tương tự ta cú MN / PQ VậyMNPQ là hỡnh bỡnh hành c Hinh 66
CÂU HỎI TRÁC NGHIỆM
Cõu 1; Cho đường thang a va mp(P) trong khụng gian Cú bao nhiờu vị trớ tương
đụi của : và (P)
(A): (B) 3 (C) | (D) 4
Cau 2: Sho hai duộng thang phan biột a va b cựng song song với mp(P) Cú bao
nhiờu vịtrớ tương đối của a và b?
(A): (B) 3 (C) | (D)4
Cõu 3: Sho mp(P) va hai đường thắng song song a va b Chon khang dinh dung? (A) tếu (P) song song với a thỡ (P) cũng song song với b
(B) *ếu (P) cat a thỡ (P) cũng cat b
Trang 22(C) Nếu (P) chứa a thỡ (P) cũng chứa b
(D) Cỏc khẳng định & (A), (B), (C) đều sai
Cõu 4: Cho hai đường thăng chộo nhau a, b Chon khang dinh sai? (A) Cú duy nhất một mặt phẳng song song với a và b
(B) Cú duy nhất một mặt phẳng qua a và song song với b
(C) Cú duy nhất một mặt phẳng qua điểm M cho trước và song song với a w và hoặc chứa một trong hai đường thăng này
(D) Cú vụ số đường thẳng song song với a va cat b
Cõu 5: Trong cỏc điều kiện sau, điều kiện nào kết luận hai đường thăng a, b ằ son
song nhau
(A)a//cvàc//b (B)aLcvàb Lcvàazb
(€) a// mp(P) và b // mp(P) và a#b_ (D)a// (P) và a// (Q) và b = (P)ơ (QQ) Cõu 6: Cho tứ diờn ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểmm củ cạnh AC, BD, AB, CD, AD, BC Bốn điểm nào sau đõy khụng đồng phẳng?
(A) P,Q, R,S (B) M, P,R, S
(C) M, R, S.N (D) M, N, P,Q
Cõu 7: Cho tứ diện ABCD, Goi G là trọng tõm của tam giỏc ABD, Q thuộc c cạn AB sao cho AQ = 2QB, P là trung điểm của AB Chọn khang dinh dung?
(A) GP // (BCD) (B) GQ // (BCD)
(C) GQ cat (BCD) (D) Q thuộc mặt phẳng (CDP)
Cõu 8: Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và ABEF khụng cựng nằm trong mộtột m:
phẳng Gọi O, O, là tõm của ABCD và ABEF, M là trung điểm của CD C Chẹ
khẳng định sai
(A) OO, // (BEC) (B) OO, // (AFD)
(B) OO, // (EFM) (D) MO, cat (BEC)
Cõu 9: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành Giao tuyến của mp(S(SAT
và mp(SBC) là đường thăng song song với đường thăng nào sau đõy?
(A) AC (B) BD (C) AD (D) SC
Cõu 10: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt thuộc cạnh AD, BC sao cho IA = = 2[I
JB = 2JC Gọi (P) là mặt phẳng qua LJ và song song với AB Chọn khăng định đỳnỳng?
(A)(P)/CD (B) CD cắt(P) (C)IU/CD (D)U/ AB
Cau 11: Cho hinh chop S.ABCD với ABCD là hỡnh thang day lon AD M .N li lượt là hai trung điểm của AB và CD (P) là mặt phang qua MN va cắt mặnặt bộ SBC theo một đoạn giao tuyến Thiết diện của (P) và hỡnh chúp là
(A) Hỡnh bỡnh hành (B) Hinh thang
(C) hỡnh chữ nhật (D) Hỡnh vuụng
Cõu 12: Cho tứ diện ABCD, điểm M trờn cạnh BC mp(P) qua M song sonang v:
AB và CD (P) cat BD, AD, AC lõn lượt tại N, P, Q MNPQ là hỡnh gỡ?
(A) Hỡnh thang (B) Hỡnh bỡnh hành
(C) Hỡnh chữ nhật (D) Hỡnh vuụng
Trang 23Cau 13: Cho tứ diộn ABCD Goi LF lan leet thude canl AD BC sao cho TA â 21D
JB— 246 Goi (P) ta mat phang qua VW và súng sống với AB, Thiết diện của (P) v
tứ điện xBC là
(A) binh thang (B) Hinh binh hanh
(C) Finh tam pide (é) Tam giỏc đếu
Cau 14: Cho hinh chop S.ABCD co day la hinh binh hanh ABCD) tam â Goi M là điểm huộc cạnh SA (Khụng trựng với S hoặc A) (P) là mặt nhàng qua OM và
song sốrg với AD, Thiết diện cua (P) và hỡnh chop la
(A) binh bỡnh hành (B) Hỡnh thang
(€) linh chữ nhật (Đ) Hỡnh tam giỏc
Cõu I5 Cho tir diộn dộu ABCD canh a = 3 Goi O la tõm đường trũn ngoại tiếp tam gia BCD Goi (P) la mat phang qua AO và song song voi BD Goi M N là giao diộn cua (P) voi BC va CD Do dai cua AM bang bao nhieu?
(Ay 7 (8) 3 (C) v6 (D) 2
Cõu 16 Cho ba duong thang chộo nhau ting doi a b,c Goi (P) 14 mat phang qua
a, (Q) le mat phẳng qua b sao cho giao tuyến của (P) và (Q) song song với c Cú nhiều niất bao nhiều mặt phẳng (P) va (Q) thoa man yờu cầu trờn?
(A) !Hiột mặt phăng (P) một mặt phăng (Q)
(B) tiệt mặt phăng (P) vỏ số mặt phang (Q)
(C) Một mat phang (Q) và vụ số mặt phang (P) (D) Yụ số mặt phăng (P) và (Q) TRA LỚI Cõu I1: B) Cõu 2: B) Cõu 3: B) Cau 4: A) Cõu S:
(A) Từ a//c và c / b ta suy ra a //b hoặc a = b
(B)ừaLcvàb Lcvàazb ta chỉ suy ra a và b khụng cú điểm chung (song
song hơic chộo nhau)
(C) “tra // mp(P) và b // mp(P) và a z b ta cú tất cả cỏc vị trớ tương đối của a và b
DS: D)
Cõu 6: xem Hinh 67) |
Trang 24Vay M, R, S, N dộng phang DS: (B) A Hinh 67 Cau 7: (xem Hinh 68) Vi ` =GQ//BD GM QB Lai do BD c (BCD) Nộn GQ // (BCD) DS: (B) Cõu 8: (xem Hỡnh 69) Vỡ OO, là đường trung bỡnh của tam giỏc ACE nộn OO, // EC (1)
Tuong tu OO, là đường trung bỡnh của
tam giỏc BFD nờn OO, // FD (2)
Vậy
OO, // (BEC) (do (1)) OO, // (AFD) (do (2)) OO, // (EFC) (do (1))
Chủ ý rang (EFC) = (EFM)
DS: (D)
Cõu 9: (bạn đọc tự vẽ hỡnh)
Vi (SAD) va (SBC) cú điểm chưng là S
Trong (SAD) chứa AD, trong (SBC) chứa BC, mà AD / BC nờn
Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thăng đi qua S và song song với AD
DS: (C)
Hinh 69
Trang 25Cõu 10: (xem Hỡnh 70)
Ta chỉ cần xột khang dinh (A) và (B) Goi FE la giao điểm của ÁC và (P)
(V) 4 (ABC) = JH, AB & (ABC) AB // (P) => JH AB Theo định fi Talet ta cú: JB HA - CC HC “11A TA HC ID Vay HI// CD =CD /(P) ĐS: (A)
Cõu 11: (xem Hinh 71)
MN Ia đường trung bỡnh của hỡnh thang ABCD nộn NM // BC Goi PQ 1a doan giao tuyộn ctia (P) và mat SBD, ta co PQ // BC // MN Vậy MPNO là hỡnh thang A D DS: (B) ơ Hinh 71 Cau 12: (xem Hinh 72) Vi: A (P) AB (ABC) > AB, (ABC) a (P) = MQ VayMQ//AB (1) P Chứng mỡnh tương tự ta cú NP.AB (2) (1) a (2) => MQ // NP B D Ctinz chimg minh tương tự ta cú MN‘ PQ M Vay MNPQ là hỡnh bỡnh hành Cc DS: (B) Hinh 72
Cõu 13: (xem Hinh 73)
Giả sử (P) cắt cỏc mặt của tứ điện (ABC) va (ABD) theo hai đoạn giao tuyển Ju
va IK
Trang 26Ta cú: (P)ơ (ABC) =JH, (P) ơ(ABD) = IK (ABC) > (ABD) = AB, (P)// AB =>JH/⁄AB//IK Theo định lớ Talet ta cú: IB _HA JC HC = HA IA Linen ID HC =CD//(P)
Vậy (P) cắt cỏc mặt (ABC) và (ABD) theo hai đoạn giao tuyến IH va JK voi TH // JK
Vậy JHIK là hỡnh bỡnh hành
DS: (B)
Cõu 14: (xem Hỡnh 74)
Vi (P) song song với AD nờn (P) cắt hai
mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến MN và QP song song với AD
Lại do MN là đường trung bỡnh của tam
Trang 27
Hinh 75
Cau 16: Day 14 bai toan dimg hinh, tr cach dung suy ra so mat phang (P) va (Q) Dung mp(P) qua a và song song với c, via, Â chộo nhau nộn cú duy nhất mp(P) Dựng mp(Q) qua b vả song song với c, vib, Â chộo nhau nộn cd duy nhat mp(Q)
Giao tuyộn (nờu cú) của (P) và (Q) song song với œ
Trang 28
Đ4 MAT PHANG SONG SONG
TOM TAT Li THUYET
I Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) va (0) gọi là song song với nhau: new Ă chỳng khụng cú điểm chung, kớ hiệu (P) / (Q)
II Tớnh chất:
1 Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thang cắt nhau a b và hai đườmg thăng
này song song với mặt phẳng (Q) thi (P) song song với (Q)
2 Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước cú một và chỉ mmột mặt
phẳng song song với mặt phăng đó cho
3 Nếu đường thăng d song song với mặt phẳng (P) thỡ trong (P) cú một đường thăng song song với d và qua d cú duy nhất một mặt phẳng song song với (IP)
4 Hai mặt phăng phõn biệt cựng song song với mặt phẳng thứ ba thỡ song somg nhau 5 Cho điểm A khụng nằm trong mặt phẳng (P) Mọi đường thang di qua A vộ song song với (P) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và Song song (P)
6 Cho hai mặt phang song song nhau Nếu một mặt phẳng cắt mặt phiẳng nảy thi phải ‘cit mặt phẳng kia và hai giao tuyộn tuong ứng song song nhan
7 Hai mặt phẳng song song chắn trờn hai cỏt tuyến song song những đozan thăng bằng nhau 8 Dinh lớ Talột: Ba mặt phăng đụi một song song chẵn trờn hai cỏt tuyển bất k những đoạn thắng tương ứng tỉ lệ CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN I Dạng toỏn 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song nhau
Phương phỏp: Cú thẻ sử dụng hai cỏch sau:
e Chứng minh chỳng phõn biệt và cựng song song với mặt phẳng thứ ba
ứ Chứng minh trong mặt phẳng này chứa hai đường thăng cắt nha cing sony song với mặt phăng kia
VD: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh
hành ABCD tõm O Gọi M, N theo thứ tự là trung
Trang 29HH Dạng toỏn 2: Chứng mỡnh đường thang song song voi mat phẳng
Phương phỏp: Cú thể sử dụng hai cỏch sau:
đô Chứng mỡnh đường thăng đú khụng thuộc mat phang va song song sor mot đường thang nao do thuge mat phang do (xem phan duong thang song song
Với mặt phẳng)
đ Chứng mớnh đường thăng đú thuộc một mặt phăng khỏc song song với mật
phẳng đó cho
VDI: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đầy ABCD là hỡnh bỡnh hành Gọi ệ là trọng tõm
của tam giỏc SAB và | là trung điểm của AB Lấy điểm M trờn đoạn AD sao cho
AD = 3AM Từ M kẻ đường thăng song song với DC cắt IC tại N a) Chiang minh NG “ (SCĐ) b) Chung minh MG i (SCD) Giai 5 —., IN AM 1 a) Taco — = —— = - (1) Ic AD 3 : (Do AI // MN // DC) A M D Theo tớnh chất của trọng tõm ta cú (xem Hỡnh 77) 1G 1 G —= ~ (2) Is 3 IN IG ‘ (1) va (2) > — = — = NG//SC Ic IS 1 7 => NG // (SCD) b) Xột hai mặt phẳng (MNG) và (SCD) Ê as MN // CD, NG // SC => (MNG) // (SCD) B Hinh 77 Lai do MG < (MNG) = MG H/(SCD) — ;
Trang 30HI Dạng toỏn 3: Thiết diện của mặt phăng (P) và hỡnh chúp, biết (P) sor
song với mặt phăng (Q) cho trước
Phương phỏp: Sử dụng cỏc kết quả sau: (P) i (Q) suy r ra (P) song Song $ voit
cả cỏc đường thang thuộc (Q)
Thực hành như sau: Tỡm trong (Q) đường thăng d (đó cú), vỡ đ (P), nờn (P) c
tất cả cỏc mặt phang chứa d theo cac giao tuyển song song (hoặc trựng) với d_
VD: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành tõm O SDB la tam giac đề
Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm T thuộc cạnh ÁC (khụi trựng với A hoặc C)
a) Xỏc định thiết diện của (P) và hỡnh chúp
b) Cho I là trung điểm của OA, ABCP: là hỡnh chữ nhật với AB = 3, BC =
Tớnh điện tớch của thiết điện của (P) và hỡnh chúp Giải a) (xem Hỡnh 79) Gọi MN là đoạn giao tuyến của (P) và mặt đỏy của hỡnh chúp Vỡ (P) / (SBD) (P) ơ (ABCD) = (SBD) > (ABCD) = => MN // BD
Lớ luận tương tự ta cú (P) cắt mặt (SDA)
theo đoạn giao tuyến NP với NP // SD
{P) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP
voi MP // SB
Vậy tam giỏc MNP đồng đạng với tam giỏc
SBD nờn thiết diện là tam giỏc đều MNP b) BD = AB) +BC” =5 Đo 1 S(SBD) = 5 SB.SD.sin60° = ——— Vi APMN dộng dang ASBD, nộn S(PMN) _ PM ; ye 1 S(SBD) SB 4 =~ => Đ(PMN) = ———
CAU HOI TRAC NGHIEM
Cau 1: Trong cac điều kiện sau, điều kiện nào kết luận đường thăng a song so với mp(P)?
(A) a//b vab c (P) (B)a//b và b//(P)
() a// mp(Q) và (Q) // (P) (D) ac (Q) va (Q)//(P)
Trang 31Cõu 2: | ong cúc mệnh để sau, mệnh để nào đỳng, mệnh đệ nạo sai?
(A) Thi mat phang phan biết cựng song song với một đường thăng thỡ song song nhau
dung sal
(B) Her mat phang cling song song vai mot mat phang thir ba thỡ song song nhau
đỳng — sai (C) Hai mat phang song song, bat cứ đường thăng nào cất một mặt phóng thi
phớ cất mat phẩng con lại đỳng sal
Cõu 3: long cỏc mệnh đề sau, mệnh để nào đỳng mệnh đễ nào sai’?
(A) Neu hai mặt phẩng song song, đường thắng năm trong một mặt phẳng thỡ
sonz sang voi mat phang cũn lại ` đỳng — sai (B) tycu hai mat phang song song thỡ mọi đường thắng nằm trờn một mặt phẳng
đết song song với bất kỉ đường thăng nào nằm trờn mặt phóng cũn lại
dung, sai (C) Hii mat phang phan biột cing di qua hai đường thăng song song thi song
sonz nhau đỳng sai
(Đ) N¿u một mặt phăng cắt một trong hai mặt phẳng song song thỡ cắt mặt
phing con lai đỳng sai
Cõu 4: Tong khụng gian cho hai mặt phăng, cú mấy vị trớ tương đối của hai mặt
phăng này?
(A)2 (B)3 (€) 4 (D) |
Cõu 5: Tong cac điều kiện sau điều kiện nào kột luận mp(a) // mp(B)?
(A) (ot // (y) va (B) / (7) CG) là mặt phẳng nào đú)
(B) (a //a va (a) // b với a, b là hai đường thẳng phõn biệt thuộc (8)
(C) (a //a va (a) // b voi a, b la hai đường thing phõn biệt cựng song song với (B) (D) (a // a va @) // b voi a, b 1a hai đường thắng cắt nhau thuộc (B)
Cõu 6: Tong cỏc mệnh đẻ sau, tỡm mệnh đề đỳng (A) N& (a) // (B) vaa c (a), bc (B) thia/b
(B) Net (a) // (B) vaa c (a) bc (B) thi a và b chộo nhau
(C) Nava // b và a C (ơ), bc (0) thi (a) // (B)
(D) Na@i (7) 0 (@) = a, (y) 9 (B) = b va (a) // (B) thi a //b
Cõu 7: Tong cỏc khăng định sau, khẳng định nao đỳng, khang dinh nao sai?
(A) Hỡih hộp là một hỡnh lăng trụ (i dung, â sai
(B) Hith lóng trụ cú tất ca cỏc mặt song song đỳng, ˆ sai
(C) Hỡnh lỏng trụ cú tắt cả cỏc mặt bờn bằng nhau ( dung, | sai
(D) Hỡnh lăng trụ cú tất cả cỏc mặt bờn là hỡnh bỡnh hành dung, â sai
Cu 8: Cio hai mat phẳng song song (œ) và (é), đường thăng a // (a) Co may vị
trớ tương, cối của a và (BY?
(A) | (B) 2 (C)3 (D) 4
Trang 32Cõu 9: Cho hỡnh chúp S.ABCD day là hỡnh bỡnh hành ABCD tam 9 Goi M,N, |
theo thứ tự là trung điểm của SA, SD và AB Chon khang dinh ding?
(A) (NOM) cat (OPM) (B) (MON) // (SBC) (C) (PON) 0 (MNP) = NP (D) (NMP) // (SBD)
Cau 10: Cho hai hỡnh vuụng ABCD và ABEF khụng cựng thuộc một mặt phẳng Trộn doan AC va BF lan lugt lay M, N sao cho AM = BN Duong thang song son;
với AB kẻ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại Mỡ và Nị Chọn khẳng định sai
(A) (ADF) // (CBE) (B) (M\NiN) 4 (MNM,) = MIN
(C) (MM\N) // (CDE) (D) AB // (MM,N)
Cõu 11: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành tõm O SDB là tam giỏ
đều Một mặt phăng (P) song song với (SBD) và qua điểm ẽ thuộc cạnh ÁC (khụng
trựng voi A hoặc C) Thiết diện của (P) và hỡnh chỏ; "` hỡnh gỡ? (A) Hỡnh bỡnh hành (B) Tam giỏc cõn
(€) Tam giỏc vuụng (D) Tam giỏc đều
Cõu 12: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành Gọi ** 12 điển
trờn cạnh SB Thiết điện của mặt phẳng (ADM) và hỡnh chúp S.ABCD là hian
(A) Tam giỏc (B) Hinh thang
{(C) Hỡnh binh hành (D) Hỡnh chữ nhật
cau 13: Cho hỡnh chúp S.ABC với day là tam giỏc ABC thoả món AB = ÁC = 4
= 30° Mat phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM : tt Diện tớch thiết diện của (P) và hỡnh chúp S.ABC bằng bao nhiờu?
16 14 25
(5 (B) 9 (C) 9 (D) |
Cau i Cho hỡnh chúp S.ABCD với đỏy ABCD là hỡnh thang cõn với cạnh bờ BC = 2, hai đỏy AB = 6, CD = 4 Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) và cỏ cạnh SA tại M sao cho SA = 3SM Diộn tớch thiết điện của (P) và hỡnh chúi
S.ABCD bằng bao nhiờu?
7
(A) sẽ (B) 2 (C)2 (D) Be
Trang 33(C) (ADD, A1) / (BCC, B) (D) AD, CB Ja hinh cht nhật
Cõu 18: Cho hỡnh lăng trụ tam giae ABC.A,B,C, Gai M, N lần lượt là trung điểm
của AA,,ÁC, Thiết diện của hỡnh lăng trụ và (MNB,) là
(A) Tim giỏc (B) linh thang
(C) Hỡnh chữ nhật (D) Tứ giỏc khụng phải hỡnh thang
Cõu 19: Sho lang tru tam gide ABC.A,B,C, Goi H là trung điểm của A,B, Mặt
phẳng (A IC,) song song với đường thăng nảo sau đõy?
(A) C3, (B) BB, (C) BC (D) BA,
Cõu 20: Cho hinh ling try tir giac ABCD.A,B,C,D) Goi |, J, K, L lan tuot la trung
diộm cia A.C) B/D), BD, AC KL la hinh gi?
(A) Tr gidc kh6ng phai hinh thang
(B) Hoh thang khụng phải là hỡnh bỡnh hành
(C) Hnh bỡnh hành
(D) Hnh chữ nhật
Cõu 21: “ho hỡnh hộp ABCD.AĂB.C,D Gọi M, N; P, Q lần lượt là trung điểm
của AB 2CĂ C.DĂ AA, Mặt phăng (MNPQ) song song với mặt phẳng nảo sau đõy?
(A) /.BCDI) (B) (A: BC,)
(C) (ABCD) (D) (A, BB,)
Cõu 12: Cho hỡnh lập phương ABCD.A,B,C,D, Goi M, N, P lần lượt là trung điểm củc AB, CCĂ, CĂD, Thiết diện của (MNP) và hỡnh lập phương
ABCD.AB,C,D, la hinh gi?
(A) Lic giỏc khụng đều (B) Ngũ giỏc đều
(C) Lic giỏc đều (D) Ngũ giỏc khụng đều
Cõu 23: “ho lóng trụ tam giỏc ABC.A;BĂC: Gọi I, G, K lần lượt là trọng tõm của
tam giỏc XBC, AC A,BĂCĂ mp(IGK) song song với mặt phẳng nào sau đõy?
(A) 1, 3, K thăng hàng (B) (IGK) // (BB,C)
(C) (15K) // (AA\B) (D) (IGK) // (AA, cC,)
Cõu 24: ho hai mặt phẳng, song song (P) va (Q) Hai điểm M,N lần lượt thay dội trờn (P) vỡ (Q) Gọi I là trung điểm của MN Chon khẳng định đỳng
(A) Tip hợp cỏc điểm I la đường thăng song song song và cỏch đều (P) và (Q)
(B) Tịp hợp cỏc điểm I là mặt phẳng song song và cỏch đều (P) và (Q)
(C) Tip hợp cỏc điểm I la mot mat phẳng cắt (P) (D) Tip hop cac diộm 1 là một đường thăng cắt (P)
TRA LO
Cau 1:
(A) Tr điều kiện a // b và b C (P) ta suy ra a // (P) hoặc ac (PA
(B) Tr điều kiện a // b và b //(P) ta suy ra a // (P) hoặc a c (E, , 98 (C) Tr điều kiện a // mp(Q) và (Q) // (P) ta suy ra a // (P) hoặc a c (P)
DS: ()
Trang 34Cau 2:
(A) Khang dinh sai
(B) Khang định sai Phỏt biểu đỳng như sau: Hai mặt phẳng cựng song song với một mặt phăng thứ ba thỡ song song hoặc trựng nhau
(C) Khăng định đỳng Cõu 3:
(A) Khăng định đỳng (B) Khang định sai (C) Khăng định sai (D) Khang dinh ding
Cõu 4: Cú ba vị trớ tương đối: cắt nhau, song song, trựng nhau
DS: (B) Cau 5: (D) Cau 6:
Khẳng định (A) và (B) khụng đỳng Phỏt biểu đỳng như sau
Nộu (a) // (B) va ac (a), b C (B) thỡ a // b hoặc a và b chộo nhau
Khẳng định (C) khụng đỳng Phỏt biểu đỳng như sau:
Nếu a⁄/ b và a C (œ), b c (B) thỡ (œ) / (B) hoặc (œ) cắt (B) theo giao tuyến song song với a Khẳng định (D) đỳng Cõu 7: (A) Khăng định đỳng (B) Khang định sai (C) Khẳng định sai (D) Khăng định đỳng Cõu 8: Cú hai vị trớ tương đối DS: (B) Cõu 9: (xem Hỡnh 80)
Ta chimg minh (MON) // (SBC)
MN là đường trung bỡnh của tam giỏc SAD nờn MN//AD Ma AD // BC, nộn MN // BC (1) Tuong ty NO // SB (2) (1), (2) va do SB cat BC nộn (MON) // (SBC) DS: (B)
Cõu 10: (xem Hinh 81) Hỡnh 80
Cỏc khẳng định ở (A), (C), (D) đều đỳng Khăng định ở (B) là sai
That vay, vi MM; // NN, nộn 4 điểm MMINN; đồng phăng (xem hỡnh)) hay nú
cach khac (M,N,N) tring voi (MNM,) DS: (B)
Trang 35
Hỡnh 81
Cõu I1: (xem Hỡnh 82)
Gọi MN là đoạn giao tuyến của (P) và mặt đỏy của hỡnh chúp Vỡ (P) // (SBD), (P) ơ (ABCD) = MN, (SBD) ơ(ABCD) = BD =MN /BD Lớ luận tương tự ta cd (P) cắt mặt (SDA) theo đoạn giao tuyến NP vội NP // SD (P) cắt mặt (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP // SB
Trang 36Cõu 13: (xem Hỡnh 84) Ta tớnh S(ABC)
S(ABC) = ; AB.AC.sin30° = 4
(P) cắt hỡnh chúp S.ABC theo thiết diện
là tam giỏc MNP đồng dang voi ABC theo tỉ MP _SM _2 đồng dạng k = ae st sổ đồng ding = "SA 3 16 Vậy S(MNP) = G Y'S(ABC) = s DS: (A) Hỡnh 84
Cõu 14: Ta cần tớnh diện tớch hỡnh thang cõn ABCD (xem Hỡnh 85) DH, CK vuụng gúc với AB Ta cú AH = BK
= AH+ BK = 2AH = AB - CD =2 => AH=1
Áp dụng định Iớ Pitagor vào tam giỏc vuụng ADH ta được:
DH= VAD? - AH? =
Vay: (ABCD) = DH AB*Cđ - ; /
Thiết diện của (P) và hỡnh chúp là tứ giỏc đồng dang voi ABCD vội hộ sộ dộng
Trang 38Cau 17: (D) (xem Hinh 90) B,
Cõu 18: (xem Hỡnh 91) KT a
Trong mp(AA,C,C), MN cắt CC; tại T j N ` ;
Trong mp(CC,B,B), B,T cat BC tai K LẦN ỬA j
Vậy thiết điện cần tỡm là tứ giỏc BIMNK ¿ ẢN/
Ta chứng minh B,MNK khụng thể là ¿ \ \ /
hỡnh thang, cần chứng minh NK khụng / ‘ |
M thể song song với B,M /
Taco:
N là trung điểm của AC
Do CT// BB, nộn LX KB, = Ê1 - 1 BB, 2
= K khụng phải là trung điểm của B,T
Vậy KN khụng song song với BB,
DS: (D) Ai ee
Cõu 19: (xem Hỡnh 92) LG H ~~
Rừ rảng phương ỏn (D) khụng thể xảy ra(bạn ễN, oo
đọc ty lớ luận) ww
Ta khảo sỏt vị trớ tương đối của CBĂ và (AHC,) i
Trang 39Cau 21: (xem Hinh 94)
Nhan xột rang ABC,D, 1a hinh binh hanh, MP 1a đường trung bỡnh, vỡ vậy MP BC)
Laido MQ fa durong trung binh cla tam giae ABA, => MQ #/ A\B
Vay (MNPQ) // (A, BC))
DS: (B)
Cõu 22: (xem Hỡnh 95)
Vè NP 2 DịC, ĐỊC = 2NP (đường trung,
bỡnh) và DịC Z AB, DịC = A,B (tinh chất
cia hinh hop) nộn PN / A, B va A\B
2PN
Vè vậy gọi Q = (MNP) 6ơ AA, thi MQ //
A,B va vi vay A,B = 2MQ => MQ // NP va MQ = NP Vay MNPQ là hinh binh hành Chứng mỡnh tương tự ta cú QS ⁄ RN; MR “SP (xem hỡnh) Vậy thiết diện cần tỡm là lục giỏc MRNPSC) cú sỏu cạnh bằng nhau Hinh 95 Ta chứng mỉnh lục giỏc này là lục giỏc đờu bằng cỏch chứng minh cỏc gúc ở đỉnh bằng nhau và bằng 1207 Vỡ ABC, là tam giỏc đều nộn ZBA,C, = 60" Ma QM // A.B va MR // A\C, nộn ZQMR = 120°
Vay cdc gúc ở đỉnh của lục giỏc bằng nhau và bang 120°