Bài 40 kc giữa 2 đường chéo nhau

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt Vũ Văn Ngọc         A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa   Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Các điểm M, N lần lượt   MN  a  Khi đó, MN được gọi là đoạn  MN  b nằm trên các đường thẳng a và b sao cho   vng góc chung giữa a và b. Khoảng cách giữa a và b bằng độ dài đoạn MN.    Nhận Xét   Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong  hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.    b Phương Pháp chung   Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau.  B1: Tìm giao điểm I giữa b và mặt phẳng đáy.   B2: Qua I kẻ đường thẳng Ix song song với a.  Gọi     là mặt phẳng chứa b và Ix   a       B3:  d  a ,b   d a ,   d M ,   trong đó M là một  x a M α I đáy điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Và chú ý  nếu a đi qua chân đường cao H thì  ta chọn  M  H                   http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Phương pháp a) Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Đường  thẳng     cắt  hai  đường  thẳng  a,  b  và  cùng  vng góc với mỗi đường ấy gọi là đường vng góc chung của a và b. Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vng  góc chung của a và b.  b) Một số hướng tính khoảng cách hai đường thẳng chéo TH1: Khi  a, b  chéo nhau và  a  b    + Bước 1: Dựng mặt phẳng   P   chứa  b  và vng  + góc với  a tại M Bước 2: Trong   P   dựng  MN  b tại  N + Bước 3: Đoạn MN là đoạn vng góc chung của  a và  b  d  a, b   MN TH2: Khi  a, b  chéo nhau và  a  b   Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.   Hướng 1: Chuyển  thông  qua  khoảng  cách  từ  một đường đến một mặt phẳng  Bước 1: Dựng  mặt  phẳng   P    chứa  b   và song song với  a    a//  P  Bước 2: d  a, b     d a,  P       b   P  M a      d M ,  P      Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa  mặt phẳng song song  Bước 1: Dựng hai mặt phẳng   P  ,   Q    sao cho   a   P   //   Q   b  Bước 2: Khi đó     d  a , b    d  P  ,  Q    d M ,  Q   http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình vng cạnh  a  Đường thẳng  SA  vng góc  với mặt phẳng đáy,  SA  a  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  SB  và  CD  bằng    A.  a        B a     C a   Lời giải   D.  2a   Vì  CD  //   SAB          d  CD ,SB   d CD ,  SAB   d D ,  SAB    Vì   DA  AB  DA   SAB   d D ,  SAB   DA  a     DA  SA     Vậy   d  CD ,SB   d D ,  SAB   a    Chọn đáp án A Ví dụ 2: Cho tứ diện đều  ABCD  có cạnh bằng  a  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  AB  và  CD  bằng    A.  a      B a     C a     D.  a   Lời giải Gọi  M ,  N  lần lượt là trung điểm của  AB  và  CD    Vì  BCD  và  ACD  là các tam giác đều cạnh bằng  a    AN  CD a     *     và    BN  CD MN   ABN   *   CD   ABN   CD  MN nên  AN  BN   1   Mặt khác, vì  AN  BN  ABN  cân tại  N    MN  AB          Từ   1   và     MN   là  đoạn  vng  góc  chung  của  AB  và  CD   Do đó:  d  AB , CD   MN  AN  AM     a   a 2 a                       http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc   Vậy  d AB , CD  a    Chọn đáp án C.    Ví dụ 3: Cho hình chóp  S.ABC  có đáy là tam giác đều cạnh  a  Hình chiếu của  S  trên   ABC    trùng với trung điểm của  BC  Biết  SA  hợp với đáy một góc  30  Khi đó, khoảng cách giữa  hai đường thẳng  SA  và  BC  bằng    A.  a      B a     C a     D.  2a   Lời giải Gọi  H  là trung điểm của  BC  SH   ABC     SH  BC      1     AH  BC        Vì  ABC  đều        a AH    Từ   1  và     BC   SAH    Trong   SAH  , kẻ  HK  SA ,    K  SA           BC   SAH   BC  HK         HK  SAH    Vì   Từ     và     HK  là đoạn vng góc chung của   SA  và  BC  d  SA , BC   HK   Vì  SH   ABC   HA  là hình chiếu của  SA  trên   ABC       300     SA,  ABC    SA, HA   SAH    Xét  AHK  vng tại  K , ta có:  sin HAK    Vậy  d SA , BC  HK  HK   a    HK  AH sin HAK AH a  Chọn đáp án B Ví dụ 4:  Cho hình  chóp  S.ABCD   có  đáy là hình  chữ nhật  với  AD  AB  2a ,  cạnh  SA   vng góc với mặt phẳng đáy   ABCD   và  SB  tạo với mặt phẳng đáy   ABCD   một góc  600  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  AB  và  SC  bằng  a 21 a 21 a 21              A.  B C 7 14   D.  a 21   21 Lời giải http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc   Vì  AB  //   SCD   d  AB , SC   d AB ,  SCD                                                            d A ,  SCD    Trong   SAD  , kẻ  AH  SD ,    H  SD     CD  AD  CD   SAD   CD  AH      CD  SA Vì    AH  SD  AH   SCD   d A ,  SCD   AH   AH  CD   Vì        60   SB, AB  SBA       Ta có:  SB, ABCD  Xét  SAB  vng tại  A , ta có:  tan SBA Vậy  d  AB , SC   AH  SA AD SA  AD  SA   a.tan 60  a    SA  AB.tan SBA AB a.a a 21    Chọn đáp án B a  3a2 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng  ABC.ABC  có đáy là tam giác vng tại  A  với  BC  a ,  AB  a  Khi đó, tỉ số    A.  3d  AA, BC   a     B   bằng      C         D.    Lời giải Vì  AA   //   BBC C         d  AA,BC    d AA ,  BBC C   d A ,  BBC C    Trong   ABC  , kẻ  AH  BC ,    H  BC      AH  BC  AH   BBC C      AH  BB Vì      d A,  BBCC   AH  Ta có:  AC    3d  AA, BC  a AB2  AC   BC  AB  a  a  a      d A ,  BBC C   Vậy  AB.AC  AB AC AB  AC   a.a a  3a 3d A ,  BBCC  a   a   a    Chọn đáp án B a http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc Ví dụ 6: Cho hình lập phương  ABCD.ABCD  có cạnh bằng  a  Gọi  M ,  N  lần lượt là trung  điểm của  AB  và  CD  Khi đó, tỉ số    A.       B a d  MN , AC  V A ABC D       bằng  C     D.    Lời giải 1 AA.SABCD  a.a  a   3 Vì  MN  //   ABC   d  MN , AC   d MN ,  ABC     Ta có:  V A ABC D                                                                  d M ,  ABC       Vì  AM  ABC  B     d M ,  ABC      MB     d  A ,  ABC   AB d M ,  ABC  d A ,  ABC     BC   AABB   BC  AH     AH   AABB  Trong   AA BB  , kẻ  AH  A B ,    H  A B   Vì    AH  AB  AH   ABC   d A ,  ABC   AH  AB2  BH    AH  BC  Vì    a 2 AB a a   AH  a2     Ta có:  BH      2       Khi đó:  d MN , AC  d M , ABC Vậy  a d  MN , AC  V A ABC D    21 d  A,  ABC   21 AH  a 42   a    Chọn đáp án C a a2      http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng với  AC  Câu a  Cạnh  bên  SA  vng góc với đáy,  SB  hợp với đáy góc  600  Tính theo  a  khoảng cách giữa hai  đường thẳng  AD  và  SC   A a B Câu chóp bằng  A a a C a   D a Cho hình chóp tứ giác đều  S.ABCD  có cạnh đáy bằng  a  Biết thể tích khối  a  Tính khoảng cách  h  giữa hai đường thẳng  BC  và  SA B a C 2a   D a Câu Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng tâm  O , cạnh  a  Cạnh    60  Tính theo  a  khoảng cách giữa hai đường thẳng  bên  SA  vng góc với đáy, góc  SBD AB  và  SO   A a B a C a   D a Câu Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng tâm  O , cạnh bằng    Đường thẳng  SO  vng góc với mặt phẳng đáy   ABCD   và  SO   Tính khoảng cách  giữa hai đường thẳng  SA  và  BD   A      B 30 C 2   D Câu Cho hình chóp  S ABC  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a , tâm  O  Cạnh  bên  SA  a  và vng góc với mặt đáy   ABCD   Gọi  H  và  K  lần lượt là trung điểm của  cạnh  BC  và  CD  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  HK  và  SD   A a     B 2a C 2a   D a Câu Cho hình lăng trụ  ABC A ' B ' C '  có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng  2a  Hình chiếu vng góc của  A '  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung điểm  H  của  BC  Tính theo  a  khoảng cách giữa hai đường thẳng  BB '  và  A ' H   A 2a     B a C a   D a Câu Cho hình hộp chữ nhật  ABCD.A ' B ' C ' D '  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a ,  AA '  2a  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  BD  và  CD '   A a     B 2a C 2a a   D .  5 Câu Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng tâm  O , cạnh bằng  4a   Cạnh bên  SA  a  Hình chiếu vng góc của đỉnh  S  trên mặt phẳng   ABCD   là trung  điểm của  H  của đoạn thẳng  AO  Tính theo  a  khoảng cách giữa các đường thẳng  SD  và  AB   http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc A 4a 22   11 B 3a 11 C 2a   D a   Câu Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh bằng  10  Cạnh bện  SA  vng góc với mặt phẳng   ABCD   và  SC  10  Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm  của  SA  và  BC  Tính khoảng cách giữa  BD  và  MN    A     B C   D 10   Cho  hình  chóp  S ABC   có  đáy  ABC   là  tam  giác  vuông  tại  B ,  AB  3a ,  BC  a  Cạnh bên  SA  vng góc với đáy. Góc tạo bởi giữa  SC  và đáy bằng  60  Gọi  M   là trung điểm của  AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AB  và  SM   Câu 10 A a     B 5a C 5a   D 10a 79   Câu 11 Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a , tam giác  SAD   đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  SA  và  BD   A a 21   14 B a C a 21   D a   Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình thang vng tại  A  và  D  với  AB  2a ,  AD  DC  a  Hai mặt phẳng  SAB   và  SAD   cùng vng góc với đáy. Góc giữa  Câu 12 SC  và mặt đáy bằng  60  Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AC  và  SB   A a   B 2a C a   D 2a 15   Câu 13 Cho hình chóp  S ABCD  có đáy  ABCD  là hình vng cạnh  a  Cạnh  SA  vng  góc với đáy, góc giữa  SC  với đáy bằng  600  Gọi  I  là trung điểm của đoạn thẳng  SB  Tính  khoảng cách từ điểm  S  đến mặt phẳng   ADI    A a     B a C a 42   D a   Câu 14 Cho lăng trụ  ABC A ' B ' C '  có đáy  ABC  là tam giác đều cạnh bằng   Hình  chiếu vng góc của  A '  trên mặt phẳng   ABC   trùng với tâm  O  của đường tròn ngoại  tiếp tam giác  ABC  Gọi  M  là trung điểm cạnh  AC , tính khoảng cách  giữa hai đường  thẳng  BM  và  B ' C   A      B 2 Câu 15 C   D    Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam  giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng  60  Khoảng cách giữa  hai đường thẳng GC và SA bằng:  A a 5 B a C a 10 D a http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc Câu 16 Cho hình chóp tam giác  S ABC  có  SA  vng góc với mặt đáy, tam giác  ABC vng cân tại B,  BA  BC  a  , góc giữa  mp( SBC )  với  mp( ABC )  bằng  60  Gọi I là  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AI   với  BC  .  A a B a C a D a   Câu 17 Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vng tại O,  OB  a, OC  a  Cạnh OA vng góc với mặt phẳng (OBC),  OA  a , gọi M là trung điểm của BC.  Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.  A.  h  a   B.  h  a   C h  a 15   D.  h  a   15   Câu 18 Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  thoi  tâm  O  cạnh  2a,  góc    1200  Các mặt phẳng   SAB  và   SAD   cùng vng góc với mặt đáy. Thể tích  BAD khối chóp S.ABCD là  3a  Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC  theo a.  A.  h  5a   B h  a   C.  h  a   D.  h  a     Câu 19 Cho  hình  chóp  S.ABCD có  đáy  ABCD  là  hình  vng  tâm  O  cạnh  a,  cạnh  SA  vng góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng   ABCD  là  450 , gọi  G là trọng tâm tam giác SCD. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG  và AD.  A.  h  a   B.  h  a   C.  h  a   D h  a     Câu 20 Cho hình chóp  S ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông cân tại  A , mặt bên  SBC   là  tam  giác  đều  cạnh  a   và  mặt  phẳng   SBC    vuông  góc  với  mặt  đáy.  Tính  theo  a   khoảng cách  h  giữa hai đường thẳng  SA, BC   A h  a B h  a C.  h  a D h  3a     http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc Cho hình chóp  S ABC  có đáy là tam giác đều cạnh  a  Hình chiếu vng góc  Câu 21 của  S  trên mặt phẳng   ABC   là điểm  H  thuộc cạnh  AB  sao cho  HA  HB   Góc  giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   ABC   bằng  600  Tính khoảng cách  h  giữa hai  đường thẳng  SA  và  BC  theo  a   A.  h  42 a B.  h  42 a 12 C.  h  42 a 12 D.  h  42a   12   Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC   có mặt đáy là tam giác đều, cạnh AA  3a Câu 22 . Biết góc giữa  ( ABC ) và đáy bằng  450  Tính khoảng cách hai đường chéo nhau  AB   và  CC   theo  a  là:  A a   B 3a   C 3a   D 3a     Cho hình hộp chữ nhật  ABCD ABC D  có  AB  3a , AD  5a  , góc tạo bởi  D B   Câu 23 và mặt đáy là  450  . Gọi  M   là trung điểm của  BC  . Tính khoảng cách giữa hai đường  thẳng chéo nhau  BD  và  B M    A.  a 661   20 B 20a   661 C a 661   30 D 30a   661   Câu 24 Cho hình lăng trụ  ABC ABC   có mặt đáy là tam giác đều cạnh  AB  2a  Hình  chiếu vng góc của  A  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung điểm  H  của cạnh AB   Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  600  Tính khoảng cách hai đường chéo nhau  AC  và  BB  theo  a  là:  A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13   Câu 25 Cho hình lăng trụ  ABC ABC   có mặt đáy là tam giác đều cạnh  AB  2a  Hình  chiếu vng góc của  A  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung điểm  H  của cạnh AB   Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  600  Tính khoảng cách hai đường chéo nhau  BC  và  AA  theo  a  là:  A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13 10 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc   1200 Các Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD mặt phẳng  SAB   SAD  vng góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD 3a 3 Hãy tính khoảng cách h hai đường thẳng SB AC theo a A h  5a B h  a C h  a D h  a Hướng dẫn giải Cách : phương pháp dựng hình Hai mặt phẳng  SAB   SAD  cắt theo giao tuyến SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  nên SA   ABCD  Dựng đường thẳng d qua B song song với AC Dựng AH  d , AK  SH Ta chứng minh AK   SBH  AC //HB  AC //  SBH   d  AC , SB   d  AC ,  SBH    AK BO  AC , AH  HB  AH  AC suy AH //BO Vậy tứ giác AHBO hình chữ nhật nên AH  BO  a Diện tích hình thoi ABCD S ABCD  AB.BC.sin 600  3a Suy AH  3VS ABCD a S ABCD Tam giác SAH vuông A, đường cao AK nên 1 1 a a Vậy d  AC , SB         AK  2 AK AH SA 3a a 3a 2 z S S K d D A D A H O B x B C O C y Cách : phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, Oz //SA Khi ta có   O  0;0;0  , A  a;0;0  , B 0; 3a;0 , C  a;0;0  , S  a;0; a     Suy SB  a; a 3; a , OB  0; a 3;0 , OC   a;0;0      24 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc    OC , SB  OB a    Vậy d  AC , SB     OC, SB    Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABCD  450 , gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách h hai đường thẳng chéo OG AD A h  a B h  a C h  a D h  a Hướng dẫn giải Cách : phương pháp dựng hình Gọi M, N trung điểm CD, AB AD //MN  AD //  SMN   d  AD, MN   d  AD,  SMN    d  A,  SMN   MN  AB, MN  SA  MN   SAB    SMN    SAB  Dựng AK  SN  AH   SMN   d  A,  SMN    AK Lại có SA   ABCD  nên AC hình chiếu SC lên mặt phẳng  ABCD   SC, AC  SCA Từ suy  SC ,  ABCD        450 Vậy giác SAC vuông cân, suy SA  AC  a Tam giác SAN vuông A, đường cao AK suy : 1 1 a  2     AK  2 AK SA AN 2a a 2a S z S K G A N O B C Cách : phương pháp tọa độ D M x D G A M O B y C Chọn hệ tọa độ hình vẽ, theo cách ta tính SA  a  Khi A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; a;0  , S 0;0; a  25 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc  a 2a a    a a a  a a  Suy O  ; ;0  , G   ; ;  , OG   ; ;  3 3  2    6          a a   AD, OG  AO a  AD   0; a;  , AO   ; ;0  Vậy d  AD, OG      AD, OG  2    Câu 20 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách h hai đường thẳng SA, BC A h  a B h  a C h  a D h  3a Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Trước tiên, ta cần kiểm tra xem SA BC có vng góc với khơng Gọi H trung điểm BC , SH đường cao hình chóp S.ABC Ta nhận thấy SA   SHA có SH  BC , ABC tam giác vuông cân A nên: AH  BC Suy ra: BC   SHA  nên BC  SA BC cắt  SHA  H , kẻ HI  SA  I  SA  Suy HI đoạn vng góc chung SA BC nên d  SA, BC   HI Ta có: HI  SH  HA SH  HA  3a 3a  Vậy d  SA, BC   4 z S S I H C C B B H A y A x [Cách 2]: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ có gốc H , trục hoành HA , trục tung HB , trục cao HS Ta có: 26 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc  a 3 a  a    a  A  ;0;0  , S  0;0;  , C  0;  ;0  ; B  0; ;0    2          SA, BC  AB a    Vậy d  SA, BC      SA, BC    Câu 21 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh AB cho HA  HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  600 Tính khoảng cách h hai đường thẳng SA BC theo a A h  h 42 a 42 a 12 B h  C h  42 a 12 D 42a 12 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình d  SA, BC   d  BC ,  SAt   , At / / BC  d  B,  SAt   , BC / /  SAt  Gọi N trung điểm BC , qua H dựng EK / / AN , E  At , K  BC  AEKN hình SH HE chữ nhật,  SAt   SAE  Dựng HI  SE ta có: d  H ,  SAE    HI  SH  HE MH  1 a AB  a  CH  CM  MH  6   60 , tan 60  SC ,  ABC    SCH HK   SH a 21  SH  CH a ; d  H ,  SAE    HI  AN  EH  AN  3 BH   SAE   A, BA  Vậy d  SA, BC   SH HE SH  HE  a 42 12 3 a 42 HA  d  B,  SAE    d  H ,  SAE    2 a 42 27 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc S z S I E A M B H A M B H y K 600 600 N C x C [Cách 2]: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ có gốc M , trục hồnh MC , trục tung MB , trục cao Mz / / HS Ta có: MH  1 a AB  a  CH  CM  MH  6 SH a 21  SH  CH  a a 21  a  a    a  ;0;0  A  0;  ;0  , S  0; ;  , B  0; ;0  ; B              SA, BC  AB a 42    a 21 a a2     SA, BC     d SA , BC   ; ;            SA , BC       60 , tan 60  SC ,  ABC    SCH 0  Câu 22 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có mặt đáy tam giác đều, cạnh AA  3a Biết góc ( ABC ) đáy 450 Tính khoảng cách hai đường chéo AB CC  theo a là: A a B 3a C 3a D 3a Hướng dẫn giải [Cách 1]: phư ơng pháp cổ điển: Ta có C C //AA  C C // ( AABB) Suy d  C C , AB   d  C , ( AABB)  Kẻ CH  AB Ta chứng minh CH  ( ABBA) Khi d  C , ( ABBC )   CH Ta có BC  ( ABC )  ( ABC ) 28 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc  AM  ( AAM )  ( ABC ) Kẻ AM  BC Ta chứng minh BC  ( AAM ) Ta có   AM  ( AAM )  ( ABC ) Suy  ( AAM ), ( ABC )    AM , AM   450 Khi AAM vng cân A  AA  AM  3a Mà ABC nên CH  AM  3a Vậy d  AB, C C   3a z A A C C B B y C A C A x M H M B [Cách 2]: Phương pháp tọa độ B Ta tính AB  2a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi ta có M (0;0; 0); A(0;3a;3a ); B (  a 3; 0; 0); C ( a 3;0;0); C ( a 3; 0;3a )    Ta có: AB  (  a 3; 3a; 3a ); CC   (0; 0;3a ); BC  (2a 3;0;0)     AB  CC  BC  18a 3    Lại có: BA  BC  ( 9a ;3a 3; 0) Ta tính được:    AB  CC   6a     AB  CC  BC   Khi ta có: d AB, CC    3a   AB  CC        Câu 23 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  3a, AD  5a , góc tạo D B mặt đáy 450 Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo BD B M A a 661 20 B 20a 661 C a 661 30 D 30a 661 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp cổ điển: 29 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc Gọi N trung điểm DC Tacó BD //(BMN)  d  BD, BM   d  BD, ( BMN )   d  B, ( BMN )  Kẻ BE  MN , BK  BE Chứngminh BK  ( BMN )  d  B,( BMN )   BK Kẻ đường cao CI CMN ta có CI  BE 1 6a Ta có    CI   BE 2 CI CN CM  BD  450 Ta có  DB, ( ABCD )   D N D Suy BD D vuông cân D  BD  DD  5a 1 30a Lại có    BH  2 B BH BE BB 661 A D C A C I M E B D B A D K N M C B C M y A B [Cách 2]: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục toa độ hình 3a B (0;0; 0); M( ; 0;0); B(0;0;5a ); D (3a; 4a;0)   3a  3a Có BD  (3a; 4a;0); BM  ( ;0;5a ); BM  ( ;0; 0) 2   2 Ta có : BD  BM  (20a ; 15a ;6a );       BD  BM  a 611; BD  BM BM  3a    BD  BM BM 30a Khi d  BD, BM      661 BD  BM   x D E A  C z B vẽ :  Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có mặt đáy tam giác cạnh AB  2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách hai đường chéo AC BB theo a là: A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình 30 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc Ta có: AH hình chiếu vng góc AA lên  ABC  nên:  AA,  ABC     AA, AH   60 a Gọi I trung điểm AC M trung điểm IA Kẻ HK  AM Ta có: HK   ACC A   d  H ,  ACC A    HK Khi đó: AH  a 3; BI  a 3; HM  AH HM Xét tam giác AHM vng H có: HK  Mặt khác: d  H ,  ACC A   d  B,  ACC A    AH  HM  15 a HA 15   d  B,  ACC A    HK  a BA Chọn AC   ACC A  có BB//  ACC A  nên: d  AC , BB   d  BB,  ACC A    d  B,  ACC A    15 a z A C B K C B K y I M A A C H I M A C H B B x [Cách 2]: Phương pháp tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:    H  0;0;0  , B  a;0;  , A  a; 0;  , C 0; a 3;0 , A 0; 0; a   Vì BB  AA  B 2a;0; a Ta có:    AC  a; a 3; ; BB  a;0; a ; AB   a; a;     AC  BB AB 15 d  AC , BB    a   AC  BB          Câu 25 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có mặt đáy tam giác cạnh AB  2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết góc 31 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc cạnh bên mặt đáy 600 Tính khoảng cách hai đường chéo BC AA theo a là: A 15 a B 15 a C 21 a D 39 a 13 Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Ta có: AA//BB nên: d  AA, BC   d  AA,  BCC B    d  A,  BCC B   Gọi E điểm đối xứng với H qua điểm B ta có: AH //BE BE   ABC  Vì: d  A,  BCC B   d  E,  BCC B    AB  Nên: d  AA, BC   2d  E ,  BCC B   EB Kẻ EK  BC ; EF  BK Chứng minh được: EF   BCC B   d  E ,  BCC B    EF   600 ta có: EK  BE sin 600  a Xét tam giác KEB vuông K KBE EK BE 15 Xét tam giác BEK vng E ta có: EF   a EK  BE 2 15 a [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích Ta có: Vậy d  AA, BC   EF = d  AA, BC   d  AA,  BCC B    d  A,  BCC B    d  A,  BCB    3VABCB VABC ABC   S BCB S BCB VABC ABC   AH S ABC  3a BCB có: BC  2a; BB  AA  AH  AH  2a ; BC  BE  CE  a Suy ra: S BCB  15 2 15 a Vậy d  AA, BC  = a 32 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc A C z A C B B K y C A M A F H I C H B B K x E [Cách 3]: Chọn hệ trục tọa độ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho:     H  0;0;0  , B  a;0;  , A  a; 0;  , C 0; a 3;0 , A 0; 0; a    Ta có: BC  a; a 3; ; AA  a;0; a ; AB   a; a;     AA  BC AB 15  a Vậy d  AA, BC     AA  BC         Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có mặt đáy đáy ABC tam giác vuông cân A , AC  a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh BC Biết góc cạnh bên mặt đáy 300 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AA BC là: A a B a C a D 29 a Hướng dẫn giải Cách 1: [Phương pháp dựng hình] a a BC  a ; AH  2 Vì AH   ABC  nên AH hình chiếu vng góc AA lên  ABC  , đó: Tam giác ABC vng cân A có: S ABC  a Kẻ HK  AA , ta có: HK  AA nên: HK  AA Suy ra, d  AA, BC   HK  AA,  ABC     AA, AH   30 Suy ra, AH  AH tan 300  33 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc Xét tam giác AAH vng H có: HK  AH AH AH  AH  a a Vậy d  AA, BC   C A B K C A H B C A z B y A C H x B [Cách 2]: Phương pháp tọa độ     Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho: A  0;0;0  , B a 3;0; , C 0; a 3;0 ,   a a  a a  a a  H  ; ;0  , A  ; ; a  Ta có: AA   ; ; a; 2  2         AA  BC AB     a BC   a 3; a 3; ; AB  a 3; 0; Vậy d  AA , BC     AA  BC        Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm  ABC  600 , SA  SB  SC  2a Tính khoảng cách AB SC A a 11 12 B a 11 C a 11  cạnh O D a, 3a 11 Hướng dẫn giải 34 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc [Cách 1]: Phương pháp dựng hình ABC có AB  BC ,  ABC  600 nên ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC , K trung điểm AB Ta có : SA  SB  SC nên SG   ABCD  Mặt khác: AB //  SCD   d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  B,  SCD    d  G ,  SCD   Vì G trọng tâm ABC nên CG  AB hay CG  CD Kẻ GI  SC CD  SG CD  CG  Ta có:   CD   SGC   SG  CG  G  SG , CG   SCG   mà GI   SGC  nên CD  GI S GI  SC GI  DC  Lại có   GI   SCD   SC  CD  C  SC , CD   SCD   I hay d  G,  SCD    GI A ABC có cạnh a nên CG  2a a CK   3 D O K G C B Tam giác SGC vuông G suy SG  SC  GC  4a  a a 11  3 1 a 11    GI  2 GI SG GC Vậy d  AB, SC   3 a 11 a 11 d  G,  SCD     2 [Cách 2]: Phương pháp dùng thể tích AB //  SCD   d  AB, SC   d  AB,  SCD    d  B,  SCD    3VBSCD S SCD Tam giác SGC vuông G suy SG  SC  GC  4a  Tam giác ABC có cạnh a nên: OC  a a , OB  2 a a 11  3 z S 35 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc 1 a a2 Tam giác BCO vuông O : S BCD  OC.BD  a  2 1 a 11 a a3 11 Do đó: VSBCD  SG.SBCD   3 12 CD  SG CD  CG  Ta có:   CD   SGC   CD  SC SG  CG  G     SG , CG   SCG   Tam giác SCD vuông C : S SCD  Vậy d  AB, SC   1 SC CD  2a.a  a 2 3VBSCD a 11  S SCD [Cách 3]: Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ đó: a    a a   2a  a 33  G  0;0;0  , B  , , , ;0;0 S 0; 0; C  ; ;0 D  ;0;0                       a a a 33    a a    a a  Suy ra: CS   , ,  ;  ;   CD    ;  ;0  CB   ;  ;           CD, CS  CB a 11    Suy ra: d  AB, SC   d  B,  SCD      CD, CS    Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Góc SB mặt phẳng  SAC  0 Gọi M trung điểm SB Tính khoảng cách AM CD A a B a C a D a Hướng dẫn giải [Cách 1]: Phương pháp dựng hình Hình chóp SABCD đều, O tâm đáy nên SO   ABCD   BD  AO Vì ABCD hình vng nên AC  BD Ta có:   BD   SAC   BD  SO   600 Góc SB  SAC  góc SB SO góc SOB 36 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc CD//AB  CD//  SAB  Mà AM   SAB  AB   SAB  Ta có  nên d  AM , CD   d  CD,  SAB    2d  O, SAB  Gọi I trung điểm AB Kẻ OH  SI  AB  OI Ta có:   AB   SOI  mà OH   SIO   OH  AB  AB  SO OH  SI Lại có   OH   SAB   d  O,  SAB    OH OH  AB Vì OI đường trung bình tam giác ABD nên OI  AD  a 2 OB a a   tan 60 1 1 10 a  2     OH  2 2 OH OI SO a 10 a a      2   Tam giác SBO vuông O nên ta có: SO  Vậy d  AM , CD   d  CD,  SAB    2d  O,  SAB    2OH  2a 10 S z S M H M D A I O C B D A x O B C y [Cách 2]:Phương pháp toạ độ Chọn hệ trục toạ độ cho:  a 6 O  0;0;0 ; S  0;0;  ;     a a   a   a  a A 0;  ;0  ; C  0; ;0  ; B  ;0;0  2          a a    ; ;0  ; AS   0; ; Suy ra: AB    ; AC  0; a 2;0 2      37 http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan http://hoc24h.vn/ Thầy VŨ VĂN NGỌC https://www.facebook.com/ToanthayNgoc     AB, AS  AC 2a    d  AM , CD   d  C ,  SAB       10  AB, AS    38 ...  theo  a   A.  h  42 a B.  h  42 a 12 C.  h  42 a 12 D.  h  42a   12   Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC   có mặt đáy là tam giác đều, cạnh AA  3a Câu 22 . Biết góc giữa ( ABC ) và đáy bằng ... cách giữa AM  và  CD    A a B a C a D a   III ĐÁP ÁN 1  2 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12 13  14  15  16  17  18  A  C  D  B  A  B  C  A  B  D  C  A  C  A  A  B  C  B  19  20   21   22   23   24  ...  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD  và  B M    A.  a 661   20 B 20 a   661 C a 661   30 D 30a   661   Câu 24 Cho hình lăng trụ  ABC ABC   có mặt đáy là tam giác đều cạnh  AB  2a  Hình