Khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau

Bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau thường gây khó khăn cho học sinh bởi nó khá khó tưởng tượng, việc mường tượng đường vuông góc chung trong không gian khi chỉ.... Tuy nhiê

BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU TRONG KHÔNG GIAN

Với Kỹ thuật này hy vọng các bạn có thể tìm ra hướng và trình bày lời giải cho các bài toán

tương tự không quá 10’ Khi đó, việc tính toán trong hình phẳng có lẽ mới là khó khăn của các bạn Bài

viết này chỉ tập trung vào phần “không gian” do đó sẽ ko đi sâu vào tính toán chi tiết

Bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau thường gây khó khăn cho học sinh bởi nó khá

khó tưởng tượng, việc mường tượng đường vuông góc chung trong không gian khi chỉ nhìn vào một

mặt giấy phẳng chẳng dễ chịu chút nào, ngay cả với hs học tốt hình Tuy nhiên, rất may mắn là có tới

90% các bài toán đều có 1 đặc điểm chung: Chúng có “tính vuông”, và với tính chất này, ta có thể đưa

bài toán về tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện vuông (hoặc gần vuông) đến mặt đối diện Khi đó ta không

nhất thiết phải dựng và tính toán trực tiếp được đường vuông góc chung nữa, thay vào đó ta chỉ phải đi

tính các đoạn dễ tính hơn rất nhiều: Các đoạn vuông của tứ diện vuông

Ý tưởng đã có! Vấn đề là làm thế nào để dựng được tứ diện vuông đó?

Các thuật ngữ, các khái niệm đưa ra mang tính khái quát chứ không gắn vào 1 ví dụ cụ thế để các

bạn cần phải hình dung một cách chung chung, khi đã hình dung được rồi thì vận dụng vào bài tập cụ thể

sẽ linh hoạt hơn

I) “Tính vuông” của hai đoạn thẳng:

Khái niệm: Hai đoạn thẳng được coi là có tính vuông khi thỏa mãn các điều kiện sau:

1 Chúng nằm trên hai mặt phẳng vuông góc

2 Mỗi đoạn có 1 đầu mút nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng

vuông góc đó Đầu mút này gọi là mút cố định, đầu mút không

thuộc giao tuyến gọi là mút tự do

3 Một trong hai đầu mút cố định là hình chiếu vuông góc của đầu

mút tự do

(Ở đây ta chỉ xét 2 đường chéo nhau chứ không vuông góc, Vuông

góc chỉ là trường hợp riêng của bài toán này)

Ví dụ: Cho hai đoạn thẳng SA & BC như hình vẽ: Có:

 

1

2

SA

BC











 và     1  2

2 Có A B ,        d  1  2 nên A B , gọi là mút cố định

,

S Cgọi là mút tự do

3 Mút cố định B là hình chiếu vuông góc của mút tự do S

Khi đó ta nói 2 đoạn SA & BCcó “tính vuông” Tính vuông

được thể hiện qua tính chất sau: SB   BCA  Để thành lập tứ

diện vuông, ta viết 2 đoạn theo sơ đồ vuông như sau:

S, B thẳng cột, SA viết trên, BC viết dưới Vẽ hình vuông bao quanh A, B, C

Để dựng được tứ diện vuông ta làm tiếp 2 bước sau:

a2

a1

S

B

C A

Q

Q

H

Q

2 d

1 d

2

3

1

d

x

x

S A

B C

S A

B Q

Bước 1: KẻAx BC(kẻ về 2 phía của A, bước bắt buộc!)

Bước 2: Để lập tứ diện ta chọn Q  Ax theo một trong 3 cách sau:

 

 

 

1 2 3













Ta nên chọn Q sao cho  BAQi là tam giác vuông ở Bhoặc ở Qi Khi đó việc tính toán BQ2sẽ trở nên đơn giản hơn

HạBHSQ2 ta có ngay BHchính là khoảng cách cần tính Tứ diện cần tìm là S.B AQ i Ta có:

d d d d SA BC d BC SAQ d B SAQ BH với  SBQ2vuông tại B có BH là

2

BH  SB BQ

*) Mở rộng đoạn thẳng: Nếu 2 đoạn thẳng đã cho chưa có các “mút cố định” tức là nó còn đang lơ lửng,

chưa có 1 đầu bám vào giao tuyến, thì ta phải kéo dài các đoạn đó cho nó cắt với giao tuyến, điểm cắt

này chính là các “mút cố định”

+) Nếu 1 trong hai “mút cố định” chưa có tính chất 3 thì từ 1 trong 2 “mút cố định”, ta kẻ đường vuông

góc với mặt phẳng chứa đường thẳng của “mút cố định” đó Đường này cắt đoạn kia tại đâu thì đó chính

là điểm mở rộng của đoạn kia (nó là mút tự do mới của đoạn kia) (đường vuông góc kẻ từ mút cố định

“thường” là đường thẳng đứng, nó vuông góc với mặt nằm ngang.Xem Ví dụ 1)

+) Trong trường hợp 1 đoạn không có “mút cố định” tức là nó song song với giao tuyến, thì k/c cần tính

chính là k/c giữa đoạn song song đó tới giao tuyến

Để rõ hơn, ta xét các ví dụ:

Ví dụ 1 (đề Khối A-2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông

góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC

và (ABC) bằng 600 Tính theo a khoảng cách giữa SA và BC

Giải: Phân tích: ta nhận thấy SA thuộc (SAB) vuông với (ABC) chứa BC

Một trong hai mút cố định A B , không phải là hình chiếu của 1 trong 2

“mút tự do” S C, Do đó ta cần mở rộng 1 trong 2 “mút tự do” Do 1

trong 2 mút cố định phải là hình chiếu vuông góc của mút tự do nên từ 1

trong hai mút cố định này, ta sẽ kẻ đường vuông góc với mặt phẳng chứa

đoạn thẳng của mút cố định đó Do đó từ B kẻ BO vuông với (BAC) cắt SA

tại O, khi đó O chính là “mút tự do” mới của SA

Xét OA & BC có: OB   BAC  ta viết lại 2 đoạn theo sơ đồ vuông:

Bước 1 Kẻ Ax // BC Bước 2 Xác định Q thuộc Ax sao cho BQ vuông với Ax Khi đó ta có:

d SA, BC d OA, BC d BC, OAQ d B, OAQ BI Với

BI  OAQ .Các cm cụ thể các bạn tự cminh Tam giác vuông OBQ có BI là đường cao nên:

BI  BO  BQ Từ đây dễ suy ra kết quả vớiSCH600 BQ bằng đường cao tam giác đều, BO =

O A

BC

O A

BQ

x

Ax

S O

B

H

C A

Q

I

Q' I'

x x

K

3.SH/2

Cách 2: Ngoài ra do giữa 2 đường chéo nhau này có B, H, A thẳng hàng, nên có thể tính k/c như sau:

2

BA

HA

  Như hình vẽ trên (SA và HK có tính vuông:SH   HAK 

Theo quy tắc dựng hình ta suy ra cách dựng Q’ các đoạn HS, HA, HQ’ cũng dễ tính

Ví dụ 2 ( Khối A 2011): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a

Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) Gọi M là trung điểm của

AB; Mặt phẳng qua M song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa 2 mặt

phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa AB và SN theo a

Giải: Phân tích: Do SN và AB đều nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc, ta đã

có tính vuông: SA   ABC  Do đó ta cần đi xác định tứ diện vuông Viết 2

đoạn trên với sơ đồ sau:

Bước 1.Kẻ Nx // AB

Bước 2 Q thuộc Nx và được xác định theo: AQNx

Tứ diện mới: SAQN có AQ = MN và SA=AB tan600 Ta có:

d AB SN  d AB SNQ  d A SNQ  AHvà 12 12 12

AH  SA  AQ

0

60

SBA

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD Tính khoảng

cách giữa 2 đường thẳng AM và BN

Giải: Do đây là tứ diện đều nên dễ suy ra:

AD  NBC  AN  NMB do đó AM và NB đã có ngay tính

vuông (nó tương ứng thuộc 2 mặt vuông với nhau là (AMD) và (BNC) )

Do đó ta có sơ đồ và dựng hình như sau:

Kẻ Mx // NB, xác định Q theo cách sau: NQ // BM (đồng thời vuông góc) Ta có:

d AM BN  d BN AMQ  d N AMQ Mà tứ diện ANMQ

vuông tại N (NA, NM, NQ đôi một vuông góc, các đoạn này tính toán khá

đơn giản) do đó khoảng cách cần tính NH là:

NH  NA  NM  NQ Ngoài ra bài này có tính đối xứng nên sẽ

có 1 cách dựng hình như trên nữa Và với 1 công cụ # nữa, thì bài này có nhiều cách giải nhưng cách trên

có thể là cách đơn giản nhất

Ví dụ 4 (D-2008): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB = BC = a Cạnh

bên AA'  a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C

Giải: Do AM và B’C, nó nằm trong 2 mặt vuông góc nhau là (ABC) và BCB’C’) có giao tuyến là BC, M

và C là 2 mút cố định, chưa có t/c3 do đó ta cần mở rộng 1 trong 2 mút tự do A và B’ từ M ta kẻ MN

A

S

C

B

N Q

H

M

x

x

S N

A B

S N

A Q

N

B

M

C

D

Q

A

AM

N B

AM

N Q

vuông với (ABC) cắt B’C tại N, N sẽ là điểm mở rộng của B’C Khi đó giữa AM và NC đã có tính vuông

Ta viết lại như sau:

Bước 1 Kẻ Cx // MA, Bước 2 Q thuộc Cx và AQ // MC ( Xác đinh Q thế này vì tứ diện mới N.MCQ vuông tại M (trong quá

trình vẽ hình ở nháp, ta xác định Q theo cả 3 cách, so sánh 3Q ta sẽ chọn được Q tốt nhất Khi đó:

d AM B C d AM NC d AM NCQ d M NCQ MHTa

MH  MC  MN  MQ Với , , '

MC MQAB MN

Cách 2: d AM B C  , '    d AME B CF , '    d B AME ,  (xem dịch khoảng cách

giữa 2 mặt // ) Ta đưa về tính k/c từ B (ko thuộc 2 đường ban đầu) tới (AME)

Tứ diện B.AME bằng tứ diện M.QCN

Chú ý: Các mặt quan trọng ta nên vẽ trên hình phẳng, nhìn chính diện, vì như

thế ta sẽ nhìn ra được nhiều điều đặc biệt hơn

Ta thấy Q 3 sẽ cho tam giác đáy MCQ có tính chất đặc biệt hơn

là vuông tại M, do đó việc tính

MQ 2 dễ dàng hơn vì nó là đường cao tam giác vuông

Bài tập vận dụng: Hầu hết các bài tính khoảng cách giữa 2 đường chéo nhau mà các bạn gặp

Nhược điểm của phương pháp là: không vận dụng được tính chất đặc biệt của từng bài toán,

nên đôi khi nó dẫn tới lời giải dài, đi theo lối mòn  hạn chế tư duy tuy nhiên nó lại khá hiệu quả và

đảm bảo ta luôn có 1 con đường để đi tới lời giải - Đặc biệt là với các bạn học kém hình không gian Hy vọng nó sẽ là công cụ hữu ích cho các bạn Và tất nhiên, với 1 kỹ thuật là không đủ Với các kỹ thuật cũng rất dễ vận dụng và hiệu quả sau, các bạn sẽ tự tin hơn với các dạng toán khác của HKG (còn nữa )

N C

N C

A

Q

C M B

N

B'

C' A'

x

x

E F

A

B

M C

x

Q 2

Q 2

Q 3

x