GIẢI bài tập CHƯƠNG 1 xác SUẤT THỐNG kê FTU

Chương I: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài 1.1: a) Gọi A biến cố “xuất mặt sáu chấm gieo xúc xắc” Số kết cục đồng khả n = Số kết cục thuận lợi cho biến cố A m =1 Vậy: P(A)= \f(m,n = \f(1,6 b) Gọi B biến cố “mặt có số chẵn chấm xuất hiện” Số kết cục thuận lợi cho B n = Vậy: P(B) = \f(m,n = \f(3,6 = 0.5 Bài 1.2: a) Gọi A biến cố “lấy bìa có xuất chữ số 5” biến cố khơng xuất chữ số Vì số kết cục đồng khả 100, số kết cục thuận lợi cho A 19, nên số kết cục thuận lợi cho 81 Vậy P ( ) = 0.81 b) từ đến 100 có 50 số chẵn nên có 50 số chia hết cho Có 20 số chia hết cho 5, 10 số vừa chia hết cho vừa chia hết cho Do số kết cục thuận lợi cho biến cố lấy lên bìa có số chia hết cho 2, chia hết cho 5, chia hết cho 50 +20-10 = 60 Vậy P(A)= \f(60,100 =0.6 Bài 1.3: a) A = “quả cầu thứ trắng” Số kết cục đồng khả tất phương pháp để lấy cầu khỏi (a+b) cầu Vậy n = a+b Số kết cục thuận lợi lấy cầu thứ màu trắng a Vậy xác suất P(A) = \f(a,a+b b) Nếu thứ trắng chọn thứ a+b-1 kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi để thứ màu trắng a-1 Vậy xác suất P(B) = \f(a-1,a+b-1 c) tương tự câu b), thứ hai trắng nên số kết cục đồng khả chọn thứ a+b-1 số kết thuận lợi a-1 Vậy P(C) = \f(a-1,a+b-1 Bài 1.4 a) Số kết đồng khả thực hoán vị a + b cầu nên m = (a+b)! cầu thứ trắng số kết thuận lợi cho biến cố chỉnh hợp chập a+b-1 phần tử a+b phần tử Vậy xác suất P(A) = \f(,A b) gọi B biến cố cầu cuối trắng Khi tương tự câu a), ta có xác suất P(B) = \f(,A Bài 1.5 Sấp (S) Ngửa (N) Sấp (S) SS NS Ngửa (N) SN NN a) Dựa vào bảng trên, thấy số kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi cho biến cố A = “Hai mặt sấp xuất hiện” Vậy P (A) = \f(1,4 = 0,25 b) Số kết cục thuận lợi cho biến cố B = “Một sấp ngửa” Vậy xác suất P(B) = \f(2,4 = 0,5 c) Số kết cục thuận lợi cho biến cố C = “Có mặt sấp” Vậy P(C) = 0,75 Bài 1.6 Gieo đồng thời xúc xắc số kết cục đồng khả 6.6=36 a) có kết cục thuận lợi cho biến cố A=”hai mặt có tổng số chấm 7” cặp 1&6, 2&5, 3&4, 4&3, 5&2, 6&1 nên P(A) = \f(6,36 = \f(1,6 b) B = “hai mặt có tổng số chấm nhỏ 8” Bi =”hai mặt có số chấm nhỏi i”, với i=2,3,…7 (nhỏ 2) B2 có kết cục thuận lợi B3 có kết cục thuận lợi B4 có kết cục thuận lợi B5 có kết cục thuận lợi B6 có kết cục thuận lợi B7 có kết cục thuận lợi Vậy số kết cục thuận lợi biến cố B 21 Nên P(B) = \f(21,36 = \f(7,12 c) D = “ hai mặt có mặt chấm” số kết cục thuận lợi cho D 11 Vậy P(D) = \f(11,36 Bài 1.7 Số cách trả mũ xảy A =6 d) Để người trả mũ có kết cục thuận lợi nên P(D)= \f(1,6 c) Khơng thể có khả có người trả mũ, chắn người thứ mũ, nên P( C) = b) số kết cục thuận lợi để có người trả mũ Vậy P(B) = \f(3,6 = 0,5 a) xác suất để người bị trả sai mũ là: P(A) = - \f(1,6 - 0,5 = \f(1,3 Bài 1.8 Ta có biểu đồ tập hợp sau: a) Số học sinh học ngoại ngữ 50% + 10% + 15% + 5% = 80% Vậy xác suất biến cố P(A) = 0,8 b) Số học sinh học tiếng Anh tiếng Đức 10% Vậy P(B) = 0,1 c) Số học sinh học tiếng Pháp 15% Vậy xác suất P( C) = 0,15 Bài 1.9 Số kết cục đồng khả chỉnh hợp chập 10 số tự nhiên, nên m = A = 720 Chỉ có kết cục thuận lợi cho việc gọi điện số điện thoại, xác suất P = \f(1,720 Bài 1.10 Số kết cục đồng khả thực phép thử lấy ngẫu nhiên sản phẩm tổ hợp chập 15 phần tử, n = C = 455 a) A = “ chi tiết lấy đạt tiêu chuẩn” số kết cục thuận lợi cho A C =120 P(A) = \f(120,455 = 0,264 b) B = “chỉ có chi tiết đạt tiêu chuẩn” số kết cục thuận lợi cho B C = 225 P (B) = \f(225,455 = 0,495 Bài 1.11: Số kết đồng khả năng: P(6) = 6! A= “Xếp chữ NGHÊNH” Chữ N có cách chọn Chữ H có cách chọn Chữ G, Ê, N chữ có cách chọn Số kết đồng khả xảy A là: m = 2.2.1.1.1 = P(A) = = Bài 1.12 a) Mỗi khách có khả để tầng lại tòa nhà Do số kết cục đồng khả n = 63 =216 A = “Tất tầng 4”, m=1 P(A) = b) B= “Tất tầng” Tất có khả để tầng lại tòa nhà Do đó: P(B) = 6P(A) = = c) C = “Mỗi người tầng khác nhau” P(C) = = Bài 1.13 Số khả xảy ra: P(12) =12! A = “Các tập xếp thứ tự từ phải sang trái hặc từ trái sang phải” nên m = P(A) = Bài 1.14 Số khả xảy ra: a) A= “Lấy quân át” m= =4 = 22100 P(A) = = b) B= “Lấy quân át” P(B) = = = Bài 1.15 Chia ngẫu nhiên lô hàng thành phần tức lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ 10 sản phẩm Do số khả xảy là: n = = 252 Mỗi phần có số phẩm tức phần có phẩm, phế phẩm Do đó, m = = 120 A = “Mỗi phần có số phẩm nhau” P(A) = = Bài 1.16 Mỗi vị trí nhận giá trị từ đến 10 Số khả xảy là: n = 105 a) A= “Có chữ số khác nhau” P(A) = = 0.3024 b) B= “Có chữ số lẻ” vị trí nhận giá trị 1, 3, 5, ,9 Do đó: m= 55 P(B) = =0.03125 Bài 1.17 Số khả xảy ra: P(5) = 120 a) A= “C ngồi giữa” m=1.P(4) = 24 P(A) = = 0.2 b) B= “A B ngồi đầu ghế” P(B) = = 0.1 Bài 1.18 Số khả xảy ra: A= “Lấy có số hiệu nhỏ k có số hiệu lớn k” m= P(A) = = 1.19 Số kết đòng khả là:n= 6n A = “Tổng số chấm n+1” Số kết thuận lợi cho A m=n P(A) = Bài 1.20 f= 0,85 n=200 → k = f.n = 0,85 200 =170 Bài 1.21 Gọi A biến cố “ Sinh trai” Theo ta được, xác suất sinh trai : P( A)  45600  0,517 88200 Bài 1.23 Gọi A biến cố sản phẩm chọn phẩm Gọi A1 A2 biến cố sản phẩm bị phẩm phế phẩm Vậy yêu cầu tốn tính xác suất có điều kiện P(A1/A) Ta có A1, A2 hệ đầy đủ xung khắc với đơi Ta có: a ab b P( A2)  ab P ( A1)  Theo công thức Bayes ta có: [P ( A1).P ( A / A1)] P ( A) a 1 P( A / A1)  a  b 1 a P( A / A2)  a  b 1 P( A1/ A)  Với P(A)= P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) a( a  1) a.b  = (a  b)(a  b  1) (a  b)(a  b  1) Vậy: P(A1/A)= (a-1)(a+b-1) Bài 1.24 Theo bảng số liệu ta có, tổng số nhân viên công ty : 120 + 170 + 260 + 420 + 400 + 230 = 1600 ( nhân viên) Khi lấy ngẫu nhiên người công ty a Xác suất để nhân viên từ 40 tuổi trở xuống : 120  170  260  420  0, 61 1600 b Xác suất để nam nhân viên 40 : 400  0, 25 1600 c Xác suất để nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống : 170  420  0,37 1600 Bài 1.25 Gọi A biến cố ‘ bóng điện lấy hộp có bóng hỏng tốt ’’ Số kết hợp đồng khả xảy số tổ hợp chập từ 12 phần tử Như ta có : n  C12  220 Số kết cục thuận lợi cho A xảy số tổ hợp chập ( bóng điện tốt) từ 8( hộp có bóng điện bị hỏng) Vậy m= C8  56 Do xác suất để hộp bóng đèn chấp nhận có bóng bị hỏng : P( A)  56  0, 254 220 Bài 1.26 Ta có n=8 kết cục khả GGG, GGT, GTG, TTT, TGG, TGT, TTG a Gọi A biến cố ‘’ Gia đình có hai gái’’ Có kết thuận lợi cho A nên ta có : P( A)  b Gọi B biến cố ‘’ Gia đình có gái ‘’ Số kết thuận lợi cho B nên ta có : P( B)   c Gọi C biến cố ‘’ Gia đình có hai gái biết đứa đầu lòng gái’’ Số kết thuận lợi cho C nên ta có : P (C )  d Gọi D biến cố ‘’ Gia đình có đứa gái biết gia đình có đứa gái’’ Nếu gia đình có đứa gái số kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi cho D nên ta có : P ( D)  Bài 1.27 Gọi A biến cố ‘’ Cả người có ngày sinh nhật trùng nhau’’ Số kết cục đồng khả tổ hợp chập 30 nên ta có : n  C303  4060 Số kết cục có lợi cho biến cố A 30( tháng có 30 ngày) nên ta có P( A)  30  0, 008 4060 Gọi B biến cố ‘’ Cả người có ngày sinh nhật khác nhau’’ Do A B biến cố đối nên ta có P(B) = – P(A) = 0.992 Bài 1.28 Phân tích từ liệu đề ta có : sản phẩm bị vỡ nắp sản phẩm bị vỡ vòi sản phẩm bị mẻ miệng sản phẩm vừa bị mẻ miệng vừa bị vỡ nắp sản phẩm vừa bị sứt vòi vừa mẻ miệng sản phẩm vừa bị sứt vòi vừa bị vỡ nắp sản phẩm có tất khuyết điểm a Gọi A biến cố ‘’ sản phẩm có khuyết tật’’ Số sản phẩm bị khuyết tật : 7+4+1+5+3+7+1=28 P( A)  28  0, 28 100 Vậy : b Gọi B biến cố ‘’ sản phẩm bị sứt vòi’’ Số sản phẩm bị sứt vòi Như : P( B )   0, 04 100 c Gọi C biến cố ‘’ sản phẩm bị sứt vòi biết vỡ nắp’’ Gọi D biến cố ‘’ sản phẩm vừa bị sứt vòi vừa bị vỡ nắp’’ Gọi E biến cố ‘’ sản phẩm bị khuyết tật’’ Như C=D+E Do D E độc lập với nên ta có : P(C)= P(D) + P( E) Với P(D)=0,07 P(E)= 0,01 nên ta P(C)= 0,08 Bài 1.29 Gọi A biến cố ‘’ Khơng có ngày có q vụ tai nạn lao động’’ Số kết cục đồng khả số chỉnh hợp lặp chập từ 92 phần tử n  B926 Số kết cục thuận lợi số chỉnh hợp chập từ 92 phần tử m  A926  A926  0,85 B926 Vậy : P(A) Bài 1.30 a Có n người xếp thành hang ngang có n! cách xếp Gọi A biến cố m người trùng tên đứng cạnh họ xếp hàng ngang Nếu coi m người đứng trùng tên cạnh lag người ta có (n – m +1 ) ! cách xếp Có m! cách xếp cho m người trùng tên Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh họ xếp hàng là: P( A)  m !(n  m  1)! n! b Có n người xếp thành vòng tròn có ( n-1) cách xếp Gọi B biến cố có m người trùng tên đứng cạnh họ xếp thành vòng tròn Nếu coi m người trùng tên đứng cạnh người xếp n người thành vòng tròn ta có (n-m)! cách xếp Số kết thuận lợi cho B m!(n-m)! Vậy ta có : P( B)  m !(n  m)! ( n  1)! Bài 1.31: Ta có 4=4+0+0=3+1+0=2+1+1=2+2+0 a.Gọi M biến cố chị A đánh vỡ chén chị B đánh vỡ chén 1.76, a, A= “Lấy nam sinh viên” b, B= “Lấy sinh viên học kinh tế” c, C= “Lấy nam sinh viên, học kinh tế” d, D= “Lấy nam sinh viên học kinh tế” D = AB e, E= “Lấy sinh viên kinh tế người nam sinh viên” 1.77, a, Trước mở kiện hàng, xác suất để kiện hàng xí nghiệp là: b, X= “Sản phẩm lấy phế phẩm” H1 = “Sản phẩm xí nghiệp A” H2 = “Sản phẩm xí nghiệp B” Ta có: Trong đó: P(H1) = 0,6; P(H2) = 0,4 P(X/H1) = 0,3; P(X/H2) = 0,1 Do đó: c, Y = “Cả sản phẩm phế phẩm” Giả sử: Lơ hàng kiểm tra có 10N sản phẩm Do đó: 1.78, X= “vợ thường xem chương trình thể thao” Y= “chồng thường xem chương trình thể thao” P(X) = 0,3; P(Y) = 0,5; P(Y/X) = 0,6 a, A = “Cả hai xem chương trình thể thao” A = XY P(A) = P(X).P(Y/X) = 0,3.0,6 = 0,18 b, B = “Có người thường xem” B=X+Y P(B) = P(X+Y) = P(X) + P(Y) – P(XY) = 0,3 + 0,5 – 0,18 = 0,62 c, C = “Khơng có thường xem” P(C) = 1-P(B) = 0,38 d, D = “Nếu chồng xem vợ xem cùng” e, E = “Nếu chồng khơng xem vợ xem” 1.79, Hi = “ Bán hàng lần thứ i” Ta có: P(H1) = 0,8 P(H2/H1) = 0,9; P(H3/H2) = 0,9 a, A= “Cả lần bán hàng” P(A) = P(H1.H2.H3) = P(H1).P(H2/ H1).P(H3/ H2 H1) = = 0,8.0,9.0,9 = 0,648 b, B = “Có lần bán hàng” 1.80, E1 = “Cặp sinh đôi đồng trứng” E2 = “Cặp sinh đôi khác trứng” P(E1) = P; P(E2) = 1- P A = “Cặp sinh đơi có giới tính” Vậy: Nếu cặp trẻ sinh đơi có giới tính xác suất để chúng cặp sinh đơi giới tính là: 1.81 a Gọi A = “Một phần gồm cầu đỏ” b Gọi B = “Mỗi phần có cầu đỏ” Như cầu lại phần cầu xanh 1.82 a A= “Hệ thống phun nước bị hỏng” B= “Hệ thống báo động bị hỏng” C= “Có hệ thống hoạt động bình thường” b D= “Cả hệ thống hoạt động bình thường” , A,B không xung khắc 1.83 H= “Chai rượu lấy thuộc loại A” A= “3 người kết luận chai rượu thuộc loại A” B= “1 người kết luận chai rượu thuộc loại B” 1.84 a A= “2 mẫu hàng loại” A1= “2 mẫu hàng loại A” A2= “2 mẫu hàng loại B” A1, A2 xung khắc b H1= “Mẫu lấy hộp 1” H2= “Mẫu lấy hộp 2” B= “Mẫu lấy thuộc loại B” P(H1)=0,45 P(H2)=0,55 P(B)=P(H1)P(B/H1)+P(H2)P(B/H2)=0,45.0,4+0,55.0,7=0,565 C= “Mẫu lấy thuộc loại A” Vậy mẫu nhiều khả thuộc H1 1.85 H1= “Chiếc lấy đôi không hỏng” H2= “Chiếc lấy đơi có hỏng” H3= “Chiếc lấy đơi có hai hỏng” P(H1)=.9, P(H2)=0.08,P(H3)=0.02 A= “Chiếc lấy bị hỏng” B= “Chiếc hai lấy bị hỏng” P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2) (A/H2)+P(H3)P(A/H3)=0,9.0+0,08.0,5+0,02.1=0,06 P(B)=P(H3/A)= Bài 1.86: a Gọi X biến cố rút phải đĩa bị lỗi biến cố X xảy với giả thuyết : H1 đĩa rút cửa hàng A H2 đĩa rút cửa hàng B P(X)=P(H1).P(X/H1)+ P(H2).P(X/H2)=0,6.0,1+0,4.0,2=0.14 b.P(H1/X)=P(H1).P(X/H1)/P(X)=0,4.0,2/0,14=0,571 Bài 1.87: a Gọi A biến cố sản phẩm lấy xấu Ā biến cố sản phẩm lấy có sản phẩm tốt B biến cố sản phẩm lấy xấu Biến cố B xảy với giả thuyết: H1: sản phẩm máy H2: sản phẩm máy P(B)=P(H1).P(B/H1)+ P(H2).P(B/H2)=0,01.0,4+0,02.0,6=0,016 P(H1/B)=P(H1).P(B/H1)/P(B)=o,01.0,4/0.016=0,25 P(H2/B)=P(H2).P(B/H2)/P(B)=0,75 P(A)=P(H1/B).P(A/H1B)+ P(H2/B).P(A/H2B)=0,25.0,01+0,75.0,02=0,0175 P(Ā)=1-P(A)=0,9825 b.P(B̅)=1-P(B)=0,984 P(H1/B̅)=P(H1).P(B̅/H1)/ P(B̅)=0,4.0,99/0,984=0,402 P(H2/ B̅)= P(H2).P(B̅/H2)/ P(B̅)=0,598 Gọi C biến cố sản phẩm thứ tốt P(C )= P(H1/B̅).P(C/ H1B̅)+ P(H2/B̅).P(C/ H2B̅)=0,402.0,99+0,598.0,98=0,98402 P(H1 B̅/C)= P(H1/B̅).P(C/ H1B̅)/P(C)=0,404 P(H2B̅/C)= P(H2B̅).P(C/ H2 B̅)/P(C)=0,596 Gọi D biến cố sản phẩm thứ sản phẩm tốt P(D)= P(H1 B̅/C).P(D/ H1 B̅C)+ P(H2B̅/C).P(D/ H2B̅C) =0,404.0,99+0,596.0,98=0,98404 P(H1 B̅C/D)= P(H1 B̅/C).P(D/ H1 B̅C)/P(D)=0,406 P(H2 B̅C/D)= P(H2 B̅/C).P(D/ H2 B̅C)/P(D)=0,594 Gọi E biến cố sản phẩm thứ sản phẩm tốt P(E)= P(H1 B̅C/D).P(E/ H1 B̅CD) + P(H2 B̅C/D).P(E/ H2 B̅CD) =0,406.0,99+0,594.0,98= 0,98406 Bài 1.88: Gọi A biến cố nhà sau Biến cố A xảy với giả thuyết: H1 : theo đường ngầm H2 : qua cầu P(A)=P(H1).P(A/H1)+P(H2).P(A/H2)=1/3.0,25+2/3.0,3=17/60 P(H2/A)=P(H2).P(A/H2)/P(A)=0.706 Bài 89: Gọi A biến cố sp có phế phẩm Hi (i=1,2,3) biến cố 8sp người thứ I làm P(Hi)=1/3 P(A/H1)= P(A/H2)= C68.0,96.0,12 P(A/H3)= C68.0,86.0,22 P(A)=P(H1).P(A/H1)+ P(H2).P(A/H2)+ P(H3).P(A/H3)=0,2 P(H1/A)= P(H1).P(A/H1)/P(A)= 0,25 P(H2/A)= P(H2).P(A/H2)/P(A)=0,25 P(H3/A)= P(H3).P(A/H3)/P(A)=0,5 Gọi B biến cố sp sau có phẩm P(B)= P(H1/A).P(B/ H1A)+ P(H2/A).P(B/ H2A)+ P(H3/A).P(B/ H3A)=0,23 Bài 90: Gọi A biến cố lấy phẩm phế phẩm B biến cố lấy phế phẩm phẩm Hi biến cố sp có i phẩm P(A)= P(H3).P(A/H3) + P(H4).P(A/H4)+ P(H5).P(A/H5)+ P(H6).P(A/H6 )+ P(H7).P(A/H7) =1/9.(1.5/C48+ C34.4/C48+ C35.3/ C48 + C36.2/ C48+ C37.1/ C48 ) =0,2 B xảy i=4,5 P(H4/A)= P(H4).P(A/H4)/P(A)=0,127 P(H5/A)= P(H5).P(A/H5)/P(A)=0.238 P(B)= P(H4/A).P(B/ H4A)+ P(H5/A).P(B/ H5A) =0,127.C23/C34 + 0,238.C12/ C34=0,214 1.91 Gọi A biến cố “lấy sản phẩm tốt” Hi biến cố “lúc ban đầu hộp có i sản phẩm tốt” i 0, n P( Hi)  i n P( A \ Hi)  i 1 n 1 Vì bỏ vào hộp có n sản phẩm sản phẩm sau lấy ngẫu nhiên sản phẩm nên áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có: n P( A)  P( Hi) P ( A \ Hi) i 0 Ta P( A)  n2 Đáp số: 2(n  1) n2 2(n  1) Bài 1.92 Gọi A biến cố k sản phẩm lấy phẩm Hi biến cố hộp có i phẩm, với i=1,2,…6 Theo cơng thức Bayes thì: P(Hi/A) = \f(, Vì ta lấy ngẫu nhiên k sản phẩm theo phương thức có hồn lại nên tổng số kết cục đồng khả xảy số chỉnh hợp lặp chập k n, tức nk Mặt khác, hộp chứa i phẩm, có C cách xảy ( có C cách chọn i sản phẩm n sản phẩm), với cách thế, số cách để lấy k phẩm số i phẩm theo phương thức có hồn lại ik Vậy P(Hi).P(A/Hi) = \f(C.ik,nk P(Hn/A) = \f(C.nk,nk =1 P(A) = P(H1).P(A/H1) + P(H2).P(A/H2) +…+P(Hn).P(A/Hn) = \f(C.1k,nk + \f(C.2k,nk +….+ \f(C.nk,nk =( n + \f(,2! 2k + \f(,3! 3k +…+ nk) / nk Vậy, P(Hn/A) = \f(,2!\f(,3!\f(nk,n+2k+3k+…+nk Bài 1.93 Gọi T biến cố “ A thắng trung ván dễ thắng trung ván” * Gọi C biến cố “ A thắng B chung ván”  P(C ) 1  P(C ) P (C ) xác suất xảy biến cố “A thua B chung ván” Gọi D biến cố “A thua B ván”  P( D) 1  P Muốn A thua B chung ván A phải thua ván nên P (C ) 1  P  2  P(C ) 1  P(C ) 1  (1  P) 2 P  P * Gọi E biến cố “ A thắng B chung ván” P ( E ) 1  P ( E ) P (E ) xác suất xảy biến cố “ A thua B chung ván” + TH1 gọi F biến cố “ A thua B ván”  P( F ) (1  P ) + TH2: Gọi G biến cố “ A thua B ván”  P(G ) 4 P(1  P) Ta có: P( E ) P( F )  P(G ) (1  P)  P(1  P)  2 Vậy P(T) phải thỏa mãn P  P 6 P  8P  3P  P (T )  Đáp số P (T )  Bài 1.94 Gọi A biến cố sản phẩm thứ phế phẩm B biến cố sản phẩm thứ phế phẩm VẬy biến cố sản phẩm mua có sản phẩm phế phẩm biến cố tổng A + B Đây nhóm biến cố xung khắc nên xác suất tổng tổng xác suất Gọi H1, H2 biến cố sản phẩm mua thuộc day chuyền số 1, số  Ta tính P(A )trước P (H1) = P(H2) = 0,5 P(A) = 0,5.0,2 +0,5.0,03 = 0,025 Sau A xảy xác suất H1, H2 thay đổi theo công thức Bayes sau: P(H1/A) = \f(, = \f(2,5 P(H2/A) = \f(, = \f(3,5 P( /A ) = \f(2,5 0,98 + \f(3,5 0,97 = 0,974 Vậy P(A, ) = 0,025.0,0974 = 0,02435  Tính P( , B) Tương tự, P( ) = 0,5.0,98 + 0,5.0,97 = 0,975 P(H1/ ) = \f(, = \f(98,195 P(H2/ ) = \f(, = \f(97,195 P(B/ ) = 0,02 \f(98,195 + 0,03 \f(97,195 = \f(487,19500 Vậy P( , B) = 0,975 \f(487,19500 = 0,02435 Vậy P = 0,02435 + 0,02435 =0,0487 Bài 1.95 a) số lần ném trúng người thứ cao người thứ tỉ số xảy 2-0, 1-0, 2-1., Các biến cố xung khắc đôi Xác suất để xảy tỉ số 2-0 là: 0,6.0,6.0,3.0,3 =0,0324 Xác suất để xảy tỉ số 2-1 là: 0,6.0,6.0,7.0,3 =0,1512 Xác suất để xảy tỉ số 1-0 là: 0,6.0,4.0,3.0,3 =0,0432 Vậy Pa = 0,0324 + 0,1512 + 0,0432 = 0,2268 b) để số lần ném trúng người xảy cá tỉ số sau: 00, 1-1, 2-2 tương tự ta có Pb = 0,4.0,4.0,3.0,3 +2.0,4.0,6.2,0,3.0,7 + 0,6.0,6.0,7.0,7 = 0,3924 Bài 1.96 giả sử lần rút thứ i người rút trắng lần 1: P= a/(a+b) lần 2: P= b/(a+b) b/(a+b) a/(a+b) = [ b/(a+b)]^2 a/(a+b) lần 3: P= [ b/(a+b)^4 a/(a+b) p xác xuất để người thứ rút trắng trước P= a/(a+b) + [b/(a+b)] ^2 a/(a+b) a/(a+b) + P= a/(a+b) { [ + [b/(a+b)]^2 đặt + + [ b/(a+b)] ^4 [b /(a+b)]^4 } [b/(a+b)]^2 = X ta có ( [ + [b/(a+b)]^2 + [b /(a+b)]^4 } ) = + X + X^2 + X^3 + = 1/(1-X) (dãy cấp số nhân lùi vô hạn: co so la X < 1) = P= a/(a+b) 1/ (1 - X) = (a+b) / (a+2b) 1.95 Co cac truong hop xay la: Goi x la so lan nem trung ro cua nguoi 1, y la so lan nem trung ro cua nguoi a co cac truong hop thoa man la: (2,1);(2,0);(1,0)( cac truong hop la xung khac), xac suat nem trung cua nguoi va nguoi la hoan toan doc lap Theo becnuli va quy tac nhan: 1 P(a)= c (0.6)^2* c 0.7*0.3+ c 0.6*0.4*0,3^2+0,6^2*0,3^2=0,2268 b tuong tu co cac cap thoa man la` (2,2),(1,1),(0,0) P(B)=0,6^2.0,7^2+ c 0,6.0,4 c 0,7.0,3+0,4^2.0,3^2=0,3924 1.97 Xac suat de m nguoi ngoi dung cho: P(A)=1/m! Xax suat de m nguoi ngoi sai cho: P(B)=[(n-m)!-( c nm (n-m-1)!-( c n m (n-m-2)!-…… ( c k nm (n-m-k)!-…… -1)))]/ (n-m)! (1) ^ k =1-1/1!+1/2!-1/3!+………….+(-1)^(m-n)/m(m-n)!= k 0 k ! nm � Vay xac suat cua bai toan la`: (1) ^ k k! k 0 nm P(A).P(B)= 1/m! � 1.98: sgk 1.99 hai nguoi choi toi da la m+n-1 van thi moi biet duoc minh thang hay thua Xet cac truong hop thang cho nguoi thu nhat: Ta phan cac truong hop nguoi phai danh lan luot la : m, m+1, m+2,….,m+n-1 tran moi biet minh thang( so thu tu cau van thang cuoi cung lan luot la m, m+1, m+2,….,m+n-1) Cac truong hop lan luot xung khac Ap dung becnuli P(m)=(1/2)^m P(m+1)= c m 1 m (1/2)^(m-1).1/2.1/2=1/2 c m (1/2)^m c P(m+2)= c (1/2)^(m-1).(1/2)^2.1/2=1/2^2 m 1 m 1 m 1 (1/2)^m ………… m 1 n P(m+n-1)= c m n (1/2)^(m-1).(1/2)^(n-1).1/2=(1/2)^n c m n 2 (1/2)^(n-1) Nen xac suat nguoi thu nhat: c P(1)= (1/2)^m(1+1/2 c +1/2^2 m 1 +….+ (1/2)^(n-1) c n ) Hoan toan tuong tu cho nguoi thu ti le chia tien la p(1)/p(2) 1.100 Goi A la bien co khong boc trung r lan o bao Do lan cuoi cung boc trung bao khong( khong mat tinh tong quat gia su la bao 1) Nen so lan boc phai la: 2n-r+1 Xac suat boc trung bao la ½ Theo becnuli: de bao diem lai r que thi xac suat phai la: m c r (1/2)^r.(1/2)^(2n-2r+1)=  dpcm  n  r 1 c r n  r 1 m n 2 (1/2)^(2n-2r+1) Bài 1.91) Gọi A = “ lấy sản phẩm tốt “ Hi biến cố lúc đầu hộp có I sảng phẩm tốt ( i = )  P(H0) = P(H1) = … = P(Hn) = P(A/H0) = = n  P(A/H1) = = …… P(A/Hn) = = Do A xảy với biến cố Hi tạo thành nhóm biến cố đầy đủ nên:  P(A) = P(H0).P(A/H0) + P(H1).P(A/H1) + …+ P(Hn).P(A/Hn) = + + …+ n  = = 1.93 TH1) H1 = “ A thắng chung ván” P(H1) = C p(1-p) + C.p2 = 2p(1-p) + p2 TH2) H2 = “A thắng chung ván” P(H2) = C.p2(1-p)2 + C.p3(1-p) + C.p4 = 6p2(1-p)2 + 4p2(1-p) +p4 Để A thắng chung ván dễ ván  P(H1) > P(H2)  2p(1-p) + p2 > 6p2(1-p)2 + 4p3(1-p) + p4 ( 0 6p(1-p)2 +4p2(1-p) + p3  (p-1)2(p-) <   Vậy để A thắng chung ván dễ ván 1.94) Gọi H1 = “ sản phẩm sản phẩm dây chuyền 1” H2 = “ sản phẩm sản phẩm dây chuyền 2” A = “ khách hang mua phải phế phẩm” B = “ khách hang mua phẩm” P(A/H1) = 0,02 ; P(A/H2) = 0,03 P(B/H1) = 0,98 ; P(B/H2) = 0,97 P(AB) = P(A/H1) P(B/H1) + P(A/H1) P(B/H2) + P(A/H2) P(B/H1) + P(A/H2) P(B/H2) = 0,02.0,98 + 0,02.0,97 + 0,03.0,97 + 0,03.0,98 = 0,0975 Khi ch ọn th ì x ác su ất ch ọn đ ợc m ột day chuyen la ½ nen ket qua cu ối c ùng c b ài to án l 0.024375 ??????? 1.94 Mua DC1 ko phế phẩm ¼ x 98% x 98% Mua DC2 ko phế phẩm ¼ x 97% x 97% Mua DC DC ko phế phẩm ¼ x 98% x 97% Lấy 1- hy vọng =)) Bài 1.97: Trong rạp có n chỗ đánh số , n người có vé vào ngồi cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để có m người ngồi chỗ u cầu tốn tìm xác suất để m người ngồi chỗ (n- m) người lại ngồi sai chỗ A= “m người ngồi chỗ’’ Số trường hợp đồng khả xảy xếp m người vào n vị trí Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A mA= Vậy P(A) = = B= “n- m người lại ngồi sai chỗ” C= “Có người n- m người lại ngồi chỗ n- m vị trí lại” Ta có P(B)= P(C) Ai= “Người thứ i ngồi chỗ” Với i= P(Ai)= C= Vì biền cố Ai không xung khắc với nên P(C)= - + + (-1)n-1P(A1A2 An-m) Có n-m chỗ nên =(n-m).=1 Vì Ai, Aj biến cố có điều kiện nên P(AiAj)= P(Ai)P(Aj/Ai)= = Tương tự P(A1A2 An-m)= P(C)= 1-= P(B)=1-P(C) = 1- = Theo định lí nhân xác suất, A, B độc lập P(AB)= P(A)P(B)= Bài 1.98: Một hệ thống kĩ thuật gồm n phận với xác suất hoạt động tốt phận p Hệ thống ngừng hoạt động có phận bị hỏng Để nâng cao độ tin cậy hệ thống người ta dự trữ thêm n phận theo phương thức( hình vẽ SBT/T37) Hỏi phương thức dự trữ đem lại độ tin cậy cao cho hệ thống? Độ tin cậy hệ thống dự trữ theo phương thức a: Pa = [1- (1-p)2]n = pn(2-p)n (Vì: (1-p)2 xác suất phận nhóm bị hỏng, hệ thống bị hỏng) Độ tin cậy hệ thống dự trữ theo phương thức b: Pb = 1- (1-pn)2 = pn(2-pn) (Vì (1-pn)2 xác suất mà hai nhánh, nhánh có phận bị hỏng) Ta cần chứng minh: Pa>Pb hay (2-p)n > (2-pn) (2-p)n + pn > Đặt q = 1-p ta có: (1+q)n + (1-q)n >2 (đúng theo khai triển nhị thức Newton) Vậy: phương thức dự trữ a mang lại độ tin cậy cao cho hệ thống Bài 1.99: Bài nhóm em chưa làm Bài 1.100: Một người bỏ bao diêm vào túi, bao có n que diêm Mỗi hút thuốc người rút ngẫu nhiên bao đánh que Tìm xác suất để người phát bao hết diêm bao lại r que diêm Người phát bao hết bao lại r que diêm nên người lấy diêm 2n-r+1 lần ( lần phát bao hết nên ko lấy diêm!) Số trường hợp đồng khả : 22n-r+1 (vì có bao nên lần rút diêm có khả năng) có bao lại r que diêm nên 2n-r+1 lần lấy diêm phải có r lần khơng lấy phải bao Số trường hợp để r lần lấy ko vào bao đó: Vậy xác suất để người phát bao hết diêm bao lại r que diêm : P= ... thứ P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2).P(A4/A1A2A3)=8/9.7/8.6/7 .1/ 6 =1/ 9 Kết luận xác suất để mở cửa kho lần thứ 1/ 9 Bài 1. 51: cách vẽ sơ đồ ven ra, ta có hình 15 % 24% 10 % Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên... A1)  a  b 1 a P( A / A2)  a  b 1 P( A1/ A)  Với P(A)= P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) a( a  1) a.b  = (a  b)(a  b  1) (a  b)(a  b  1) Vậy: P(A1/A)= (a -1) (a+b -1) Bài 1. 24 Theo bảng... 15 % Vậy xác suất P( C) = 0 ,15 Bài 1. 9 Số kết cục đồng khả chỉnh hợp chập 10 số tự nhiên, nên m = A = 720 Chỉ có kết cục thuận lợi cho việc gọi điện số điện thoại, xác suất P = f (1, 720 Bài 1. 10