Bài giải xác suất thống kê lý thuyết mẫu và ước lượng

BÀI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội – 2009) CHƯƠNG LÝ THUYẾT MẪU VÀ ƯỚC LƯNG Bài 3.1 Để khảo sát trọng lïng X loại vật nuôi nông trại, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: X(kg) 36 42 48 54 60 66 72 Soá 15 12 25 18 10 10 10 a) Ước lượng trọng lượng trung bình loại vật nuôi với độ tin cậy 96% b) Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa loại vật nuôi bao nhiêu? Tối thiểu bao nhiêu? c) Những vật có trọng lượng từ 60kg trở lên gọi “đạt tiêu chuẩn” Hãy ước lượng tỉ lệ đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95% d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% độ xác 10% cần phải điều tra thêm vật nữa? e) Với độ tin cậy 90%, tỉ lệ đạt tiêu chuẩn tối đa loại vật nuôi bao nhiêu? Tối thiểu bao nhiêu? n = 100; ∑X n i i • Kỳ vọng mẫu X X= =5196; a) Ước lượng trọng lượng trung bình loại vật nuôi với độ tin cậy 96% Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X − zα S S ; X + zα ), n n ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48 Tra baûng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,06 Vậy ước lượng khoảng là: (51, 96 − 2, 06 11, 0608 11, 0608 ; 51, 96 + 2, 06 ) = (49, 68; 54, 24) 100 100 Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, trọng lượng trung bình nằm khoảng từ 49,68kg đến 54,24kg b) Với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa loại vật nuôi bao nhiêu? Tối thiểu bao nhiêu? Ta có độ tin cậy γ = - α = 95% = 0,95 (α = 0,05) - Để biết trọng lượng trung bình tối đa loại vật nuôi ta cần ước lượng khoảng bên trái cho kỳ vọng μ = M(X) Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng bên trái cho kỳ vọng: (−∞; X + z2α Lời giải Ta có: n = 100 có m = 10 + 10 + 10 = 30 có trọng lượng từ 60kg trở lên, nghóa có 30 đạt tiêu chuẩn ∑X i n i = 282096 ∑ X in i = 51, 96(kg) n • Phương sai mẫu X là: 2 = S ∑ X i2ni − X =(11, 0054)2 (kg ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X laø: n 2 S2 = S = (11, 0608)2 (kg ) n −1 • Tỉ lệ mẫu đạt tiêu chuẩn m 30 Fn = = = 0, n 100 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com S ), n ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = (1- 2.0,05)/2 = 0,90/2 = 0,45 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta z2α = 1,65 Suy trọng lượng trung bình tối đa là: S 11, 0608 X + z2 α = 51, 96 + 1, 65 = 53,7850(kg) n 100 Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối đa loại vật nuôi 53,7850kg - Để biết trọng lượng trung bình tối thiểu loại vật nuôi ta cần ước lượng khoảng bên phải cho kỳ vọng μ = M(X) Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng bên trái cho kỳ vọng: (X − z2α S ; +∞) , n z2α = 1,65 Suy trọng lượng trung bình tối thiểu laø: https://fb.com/tailieudientucntt S 11, 0608 = 51, 96 − 1, 65 = 50,1350(kg) n 100 Vậy với độ tin cậy 95%, trọng lượng trung bình tối thiểu loại vật nuôi 50,1350kg X − z2α c) Những vật có trọng lượng từ 60kg trở lên gọi “đạt tiêu chuẩn” Hãy ước lượng tỉ lệ đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95% Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p đạt tiêu chuẩn với độ tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95 Ta có công thức ước lượng khoảng : (Fn − zα Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n ), n n ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: 0, 3(1 − 0, 3) 0, 3(1 − 0, 3) (0, − 1, 96 ; 0, + 1, 96 ) = (21, 02%; 38, 98%) 100 100 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ đạt tiêu chuẩn nằm khoảng từ 21,02% đến 38,98% d) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 99% độ xác 10% cần phải điều tra thêm vật nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng tỉ lệ đạt tiêu chuẩn với độ xác ε = 10% = 0,1 độ tin cậy γ = 1- α = 99% = 0,99 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα Fn (1 − Fn ) , n ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,58 Suy n= z2α Fn (1 − Fn ) ε2 Thực tế yêu caàu: z2α Fn (1 − Fn ) 2, 582.0, 3(1 − 0, 3) = ≈ 139, 7844 ε2 0,12 Giaù trị n nguyên nhỏ thoả bất đẳng thức n1 = 140 Vì n1 = 140 > 100 (100 cỡ mẫu có) nên ta cần điều tra thêm 140 -100 = 40 vật n≥ e) Với độ tin cậy 90%, tỉ lệ đạt tiêu chuẩn tối đa loại vật nuôi bao nhiêu? Tối thiểu bao nhiêu? CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Ta có độ tin cậy γ = - α = 90% = 0,90 (α = 0,1) - Để biết tỉ lệ tối đa đạt tiêu chuẩn loại vật nuôi ta cần ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p đạt tiêu chuẩn Ta có công thức ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p : (−∞; Fn + z2α Fn (1 − Fn ) ), n ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = 0,80/2 = 0,40 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta z2α = 1,28 Suy tỉ lệ tối đa đạt tiêu chuẩn là: Fn + z2α Fn (1 − Fn ) 0, 3(1 − 0, 3) = 0, + 1, 28 = 0, 3587 n 100 Vậy với độ tin cậy 90%, tỉ lệ tối đa đạt tiêu chuẩn loại vật nuôi 35,87% - Để biết tỉ lệ tối thiểu đạt tiêu chuẩn loại vật nuôi ta cần ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p đạt tiêu chuẩn Ta có công thức ước lượng khoảng bên phải cho tỉ leä p: Fn (1 − Fn ) ; +∞) , n (Fn − z2α z2α = 1,28 Suy tỉ lệ tối thiểu đạt tiêu chuẩn là: Fn − z2α Fn (1 − Fn ) 0, 3(1 − 0, 3) = 0, − 1, 28 = 0, 2413 n 100 Vậy với độ tin cậy 90%, tỉ lệ tối thiểu đạt tiêu chuẩn loại vật nuôi 24,13% Bài 3.2 Cân thử 100 trái qt vườn, ta có bảng kết sau: X(g) Số trái 40 50 10 60 12 70 15 80 28 90 16 100 11 110 X trọng lượng (đơn vị tính gam) a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình trái qt vườn qt với độ tin cậy 94% b) Những trái qt có trọng lượng X > 75g trái loại I Hãy ước lượng tỉ lệ trái loại I vườn qt với độ tin cậy 95% c) Những trái qt có trọng lượng X < 65g trái loại III Hãy ước lượng trọng lïng trung bình trái qt loại III vườn qt với độ tin cậy 99% (Giả sử X có phân phối chuẩn) Lời giải Ta có: n = 100; ∑X n i i =7720; ∑X • Kỳ vọng mẫu X https://fb.com/tailieudientucntt i n i = 625800 X= • Phương sai mẫu X laø: ∑ X in i = 77, 2(g) n 2 = S ∑ X i2n i − X =(17, 2673)2 (g ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: n 2 S2 = S = (17, 3543) (kg ) n −1 • Tỉ lệ mẫu trái loại I Fn = m 60 = = 0, n 100 n = 100 trái có m = 28 + 16 + 11 + = 60 trái có trọng lượng từ 75g trở lên, nghóa có 60 trái loại I Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ trái loại I từ 50,40% đến 69,60% c) Những trái qt có trọng lượng X < 65g trái loại III Hãy ước lượng trọng lïng trung bình trái qt loại III vườn qt với độ tin cậy 99% (Giả sử X có phân phối chuẩn) Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μIII = M(XIII) tiêu X = XIII trái qt loại III với độ tin cậy γ = 1- α = 99% = 0,99 Ta laäp bảng số liệu XIII: 40 50 60 XIIIi nIIIi 10 12 Từ bảng ta tính được: n III = 25; • Kỳ vọng mẫu XIII a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình trái qt vườn qt với độ tin cậy 94% Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ = 1- α = 94% = 0,94 Vì n = 100 ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X − zα 17, 3543 17, 3543 (77, − 1, 88 ; 77, + 1, 88 ) = (73, 94; 80, 46) 100 100 Nói cách khác, với độ tin cậy 94%, trọng lượng trung bình trái quýt từ 73,94g đến 80,46g b) Những trái qt có trọng lượng X > 75g trái loại I Hãy ước lượng tỉ lệ trái loại I vườn qt với độ tin cậy 95% Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p trái loại I với độ tin cậy γ = 1- α = 95% = 0,95 Ta có công thức ước lượng khoảng: (Fn − zα Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n ) n n ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: (0, 60 − 1, 96 0, 6(1 − 0, 6) 0, 6(1 − 0, 6) ; 0, 60 + 1, 96 ) = (50, 40%; 69, 60%) 100 100 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com n III X III = ∑ X IIIinIIIi = 53, (g) • Phương sai mẫu XIII là:  2III = S n III ∑ X 2IIIinIIIi − X III2 =(6, 8586)2 (g ) • Phương sai mẫu hiệu chỉnh XIII là: S S ; X + zα ) n n ϕ(zα) = γ/2 = 0,94/2 = 0,47 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,88 Vậy ước lượng khoảng là: ∑ X IIIinIIIi =1340; ∑ X 2IIIinIIIi =73000 S2III = n III  SIII = 72 (g ) n III − Vì nIII < 30, XIII có phân phối chuẩn, σIII2 = D(XIII) chưa biết, nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X III -t αk SIII S ;X III +t αk III ) , n III n III k t α xác định từ bảng phân phối Student với k = nIII –1= 24 vaø α = - γ = – 0,99 = 0,01 Tra bảng phân phối Student ta tαk = 2,797 Vậy ước lượng khoảng là: 7 ; 53, + 2, 797 ) = (49, 68; 57, 52) 25 25 Noùi cách khác, với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình trái qt loại III từ 49,68g đến 57,52g (53, − 2, 797 Bài 3.3 Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm xí nghiệp I, người ta quan sát mẫu kho có kết qủa sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Số sphẩm 20 16 16 13 18 https://fb.com/tailieudientucntt a) Ước lượng giá trị trung bình tiêu X loại sản phẩm với độ tin cậy 96% b) Nếu ước lượng GTTB X với độ xác 1,8cm đạt độ tin cậy bao nhiêu? c) Nếu ước lượng GTTB X với độ xác 1,5cm độ tin cậy 99% phải điều tra thêm sản phẩm nữa? d) Những sản phẩm có tiêu X từ 19cm trở xuống gọi sản phẩm loại B Ước lượng giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B với độ tin cậy 98% (GS X có phân phối chuẩn) e) Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 92% Bảng số liệu chọn ngẫu nhiên từ kho có 1000 sản phẩm loại B Hãy ước lượng số sản phẩm kho với độ tin cậy 92% f) Nếu ước lượng tỉ lệ sp loại B với độ xác 6% đạt độ tin cậy bao nhiêu? g) Nếu ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 96% độ xác 8% cần phải điều tra thêm sản phẩm nữa? h) Giả sử kho để lẫn 1000 sản phẩm xí nghiệp II 100 sản phẩm lấy từ kho có sản phẩm xí nghiệp II Hãy ước lượng số sản phẩm xí nghiệp I có kho với độ tin cậy 82% Lời giải a) Ước lượng giá trị trung bình tiêu X loại sản phẩm với độ tin cậy 96% Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X − zα n ; X + zα (26, 36 − 2, 06 13 17 21 20 n = 100; ∑ X ini 25 16 =2636; 29 16 ∑X i 33 13 37 18 n i =75028 ∑ X ini = 26, 36(cm) n • Phương sai mẫu X là: 2 = S ∑ X i2ni − X =(7, 4452)2 (cm2 ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: S2 = ) Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, giá trị trung bình tiêu X nằm khoảng từ 24,82cm đến 27,93 cm b) Nếu ước lượng GTTB X với độ xác 1,8cm đạt độ tin cậy bao nhiêu? Đây toán xác định độ tin cậy γ = 1- α ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε = 1,8cm Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: S n ϕ(zα) = γ /2 Suy zα = ε n 1, 100 = = 2, 41 S 7, 4827 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 41) = 2.0, 4920 = 98, 40% • Kỳ vọng mẫu X X= n 7, 4827 7, 4827 ; 26, 36 + 2, 06 ) = (24, 82; 27, 90) 100 100 ε = zα Xi ni S ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,06 Vậy ước lượng khoảng là: Lập bảng Ta có: S n 2 S = (7, 4827)2 (cm2 ) n −1 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Vậy độ tin cậy đạt 98,40% c) Nếu ước lượng GTTB X với độ xác 1,5cm độ tin cậy 99% phải điều tra thêm sản phẩm nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε = 1,5cm độ tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα S n , ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,58 Suy https://fb.com/tailieudientucntt ⎛z S⎞ n=⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ Thực tế yêu cầu: 2 ⎛ 2, 58.7, 4827 ⎞ ⎛z S⎞ n≥⎜ α ⎟ =⎜ ⎟ ≈ 165, 64 1, ⎝ ε ⎠ ⎝ ⎠ Giá trị n nguyên nhỏ thỏa bất đẳng thức n1 = 166 Vì n1 = 166 > 100 (100 cỡ mẫu có) nên ta cần điều tra thêm 166 – 100 = 66 sản phẩm d) Những sản phẩm có tiêu X từ 19cm trở xuống gọi sản phẩm loại B Ước lượng giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B với độ tin cậy 98% (GS X có phân phối chuẩn) Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μB = M(XB) tiêu X = XB sản phẩm loại B với độ tin caäy γ = 1- α = 98% = 0,98 Ta lập bảng số liệu XB: Từ bảng ta tính được: XBi nBi 13 17 ∑ X Bi nBi =257; ∑ X nB = 17; Bi n Bi =3, 953 • Kỳ vọng mẫu XB laø X B = ∑ X Bi nBi = 15,1176 (cm) n • Phương sai mẫu XB laø: ˆ2 = S B ∑ X Bi2nBi − X B2 =(1, 9965)2 (cm ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh XB là: SB = nB  SB = (2, 0580) (cm ) nB − Vì nB < 30, XB có phân phối chuẩn, σ2B= D(XB) chưa biết, nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: ( X B − tαk SB S ; X B + tαk B ) , nB nB CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com tαk xác định từ bảng phân phối Student với k = nB–1=16 α = - γ = – 0,98 = 0,02 Tra bảng phân phối Student ta t αk = 2, 583 Vậy ước lượng khoảng là: 2, 0580 2, 0580 ; 15,1176 + 2, 583 ) = (13, 83; 16, 41) 17 17 Nói cách khác, với độ tin cậy 98%, giá trị trung bình tiêu X sản phẩm loại B nằm khoảng từ 13,83cm đến 16,41cm (15,1176 − 2, 583 e) Hãy ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 92% số liệu chọn ngẫu nhiên từ kho có 1000 sản loại B Hãy ước lượng số sản phẩm kho với độ tin cậy 92% Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p sản phẩm loại độ tin cậy γ = 1- α = 92% = 0,92 Ta có công thức ước lượng khoảng (Fn − zα Bảng phẩm B với : Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n ), n n ϕ(zα) = γ /2 = 0,92/2 = 0,46 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,75 Mặt khác, n =100 sản phẩm có m = 17 sản phẩm loại B nên tỉ lệ mẫu sản phẩm loại B Fn = 0,17 Vậy ước lượng khoảng là: (0,17 − 1, 75 0,17(1 − 0,17) 0,17(1 − 0,17) ; 0,17 + 1, 75 ) = (10, 43%; 23, 57%) 100 100 Nói cách khác, với độ tin cậy 92%, tỉ lệ sản phẩm loại B nằm khoảng từ 10,43% đến 23,57% Khi kho có 1000 sản phẩm loại B, gọi N số sản phẩm có kho, ta có tỉ lệ sản phẩm loại B 1000/N Theo kết trên, với độ tin cậy 92%, tỉ lệ sản phẩm lọai B từ 10,43% đến 23,57%, ñoùù: 10,43% ≤ 1000 ≤ N 10,43 1000 23,57 ≤ ≤ 100 N 100 100.1000 100.1000 ⇔ ≤N≤ 23,57 10, 430 ⇔ 4242, 68 ≤ N ≤ 9587,73 23,57% ⇔ ⇔ 4243 ≤ N ≤ 9587 Vậy với độ tin cậy 92%, ta ước lượng kho có từ 4243 đến 9587 sản phẩm f) Nếu ước lượng tỉ lệ sp loại B với độ xác 6% đạt độ tin cậy bao nhiêu? 10 https://fb.com/tailieudientucntt Đây toán xác định độ tin cậy γ = 1- α lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác ε = 6% = 0,06 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: Fn (1 − Fn ) , n ε = zα ϕ(zα) = γ /2 Suy ra: zα = ε n 100 = 0, 06 = 1, 60 Fn (1 − Fn ) 0,17(1 − 0,17) Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 60) = 2.0, 4452 = 89, 04% g) Nếu ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 96% độ xác 8% cần phải điều tra thêm sản phẩm nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại B với độ xác ε = 8% = 0,08 độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα ϕ(zα) = γ /2 = 0,82/2 = 0,41 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,34 Mặt khác, theo giả thiết, n =100 sản phẩm có sản phẩm xí nghiệp II tức có 91 sản phẩm xí nghiệp I, nên tỉ lệ mẫu sản phẩm xí nghiệp I Fn = 91/100 = 0,91 Vậy ước lượng khoảng là: 0, 91(1 − 0, 91) 0, 91(1 − 0, 91) (0, 91 − 1, 34 ; 0, 91 + 1, 34 ) = (87,17%; 94, 83%) 100 100 Nói cách khác, với độ tin cậy 92%, tỉ lệ sản phẩm xí nghiệp I nằm khoảng từ 87,17% đến 94,83% Bây gọi N số sản phẩm xí nghiệp I có kho Khi đó: - Tổng số sản phẩm có kho N + 1000ø - Tỉ lệ sản phẩm xí nghiệp I có kho N/(N+1000) Theo kết trên, với độ tin cậy 82%, tỉ lệ sản phẩm xí nghiệp I có kho nằm khoảng từ 87,17% đến 94,83%, đóù: 87,17% ≤ N ≤ N + 1000 ⇔ Fn (1 − Fn ) , n ⇔ ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,06 Suy n= ⇔ z2α Fn (1 − Fn ) ε2 ⇔ Thực tế yêu cầu: n≥ N ≤ 94,83% N + 1000 1000 87,17% ≤ − ≤ 94,83% N + 1000 1000 ≤ 12, 83% 5,17% ≤ N + 1000 1000 1000 -1000 ≤ N ≤ -1000 12, 83% 5,17% 6794, 23 ≤ N ≤ 18342, 36 94,83% ⇔ 87,17% ≤ ⇔ 6795 ≤ N ≤ 18342 z2α Fn (1 − Fn ) 2, 062.0,17(1 − 0,17) = ≈ 93, 56 ε2 0, 082 Giá trị n nguyên nhỏ thoả bất đẳng thức n1 = 94 Vì n1 = 94 < 100 (100 cỡ mẫu có) nên ta không cần điều tra thêm sản phẩm h) Giả sử kho để lẫn 1000 sản phẩm xí nghiệp II 100 sản phẩm lấy từ kho có sản phẩm xí nghiệp II Hãy ước lượng số sản phẩm xí nghiệp I có kho với độ tin cậy 82% Trước hết ta ước lượng tỉ lệ sản phẩm xí nghiệp I có kho với độ tin cậy 82% Ta có công thức ước lượng khoảng : (Fn − zα Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n ) n n 11 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Vậy với độ tin cậy 82%, ta ước lượng số sản phẩm xí nghiệp I có kho nằm khoảng từ 6795 đến 18342 Bài 3.4 Để khảo sát chiều cao X giống trồng, người ta quan sát mẫu có kết qủa sau: X(cm) Số 95-105 10 105-115 10 115-125 15 125-135 30 135-145 10 145-155 10 155-165 15 a) Ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 96% b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 99% độ xác cm cần phải điều tra thêm nữa? c) Nếu ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ xác 4,58cm đạt độ tin cậy bao nhiêu? 12 https://fb.com/tailieudientucntt d) Những trồng có chiều cao từ 135cm trở lên gọi “cao” Hãy ước lượng tỉ lệ “cao”với độ tin cậy 95% e) Nếu ước lượng tỉ lệ những “cao” với độ xác 10% đạt độ tin cậy bao nhiêu? f) Nếu ước lượng tỉ lệ những “cao” với độ tin cậy 95% độ xác 11% cần phải điều tra thêm nữa? g) Ước lượng chiều cao trung bình cao giống trồng với độ tin cậy 94% n = 100; ∑X n i i • Kỳ vọng mẫu X X = • Phương sai mẫu X là: =13100; ∑X i ∑ X ini = 131(cm) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: n ˆ2 S = (18, 2297)2 (cm ) n −1 a) Ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 96% Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X − zα S n ; X + zα S n ), ϕ(zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,06 Vậy ước lượng khoảng là: (131 − 2, 06 S , n ⎛z S⎞ n=⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ ni =1749000 ˆ2 = S ∑ X 2i ni − X =(18,1384)2 (cm2 ) n S2 = ε = zα ñoù ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,58 Suy Lời giải Ta có: b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 99% độ xác 4cm cần phải điều tra thêm nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε = 4cm độ tin cậy γ = 99% = 0,99 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: 18, 2297 18, 2297 ; 131 + 2, 06 ) = (127, 2447; 134, 7553) 100 100 Thực tế yêu cầu: ⎛z S⎞ n≥⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ 2 ⎛ 2, 58.18, 2297 ⎞ =⎜ ⎟ ≈ 138, 254 ⎝ ⎠ Giaù trị n nguyên nhỏ thỏa bất đẳng thức n1 = 139 Vì n1 = 139 > 100 (100 cỡ mẫu có) nên ta cần điều tra thêm 139 – 100 = 39 c) Nếu ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ xác 4,58cm đạt độ tin cậy bao nhiêu? Đây toán xác định độ tin cậy γ = 1- α ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε = 4,58cm Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα S n , ϕ(zα) = γ /2 Suy zα = ε n 4, 58 100 = = 2, 5123 S 18, 2297 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy laø γ = 2ϕ(zγ ) = 2ϕ(2, 5123) = 2ϕ(2, 52) = 2.0, 4941 = 98, 82% Nói cách khác, với độ tin cậy 96%, chiều cao trung bình nằm khoảng từ 127,2447cm đến 134,7553cm d) Những trồng có chiều cao từ 135cm trở lên gọi “cao” Hãy ước lượng tỉ lệ “cao”với độ tin cậy 95% Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p cao với độ tin cậy γ = 1- α = 95% = 0,95 Ta có công thức ước lượng khoaûng : 13 14 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com https://fb.com/tailieudientucntt (Fn − zα Fn (1 − Fn ) Fn (1 − Fn ) ; Fn + zα ), n n ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Trong n = 100 có m = 10 + 10 + 15 = 35 có chiều cao từ 135cm trở lên nên tỉ lệ mẫu cao Fn = 35/100 = 0,35 Vậy ước lượng khoảng là: (0, 35 − 1, 96 0, 35(1 − 0, 35) 0, 35(1 − 0, 35) ; 0, 35 + 1, 96 ) = (25, 65%; 44, 35%) 100 100 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ cao nằm khoảng từ 25,65% đến 44,35% e) Nếu ước lượng tỉ lệ những “cao” với độ xác 10% đạt độ tin cậy bao nhiêu? Đây toán xác định độ tin cậy lượng tỉ lệ cao với độ xác ε = 10% = 0,1 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα ñoù Fn (1 − Fn ) , n ϕ (zα) = γ /2 Ta có tỉ lệ mẫu cao laø: Fn = 0,35 Suy zα = ε n 100 = 0,1 = 2, 0966 Fn (1 − Fn ) 0, 35(1 − 0, 35) Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(2, 0966) = 2ϕ(2,1) = 2.0, 4821 = 96, 42% f) Nếu ước lượng tỉ lệ những “cao” với độ tin cậy 95% độ xác 11% cần phải điều tra thêm nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng tỉ lệ cao với độ xác ε = 11% = 0,11 độ tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα Fn (1 − Fn ) , n ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Suy n= Thực tế yêu cầu: n≥ zα2 Fn (1 − Fn ) ε2 z2α Fn (1 − Fn ) 1, 962.0, 35(1 − 0, 35) = ≈ 72, 23 ε2 0,112 15 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Giá trị n nguyên nhỏ thoả bất đẳng thức n1 = 73 Vì n1 = 73 < 100 (100 cỡ mẫu có) nên ta không cần điều tra thêm g) Ước lượng chiều cao trung bình cao giống trồng với độ tin cậy 94% Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μC = M(XC) tiêu X = XC cao với độ tin caäy γ = 1- α = 94% = 0,94 Ta lập bảng số liệu XC: Từ bảng ta tính được: XCi nCi 140 10 150 10 160 15 ∑ X CinCi = 5300; ∑ X Ci2 nCi = 805000 nC = 35; • Kỳ vọng mẫu XC là: XC = • Phương sai mẫu XC laø: ∑ X CinCi = 151, 4286(cm) n  C2 = S ∑ X Ci2 nCi − X C2 =(8, 3299)2 (cm2 ) n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh XC là: SC2 = nC  SC = (8, 4515)2 (cm ) nC − Vì nC = 35 > 30, σ2C = D(XC) chưa biết, nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X C − zα SC nC ; X C + zα SC nC ), ϕ(zα) = γ /2 = 0,94/2 = 0,47 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,88 Vậy ước lượng khoảng là: 8, 4515 8, 4515 (151, 4286 − 1, 88 ; 151, 4286 + 1, 88 ) = (148, 74; 154,11) 35 35 Nói cách khác, với độ tin cậy 94%, chiều cao trung bình cao nằm khoảng từ 148,74cm đến 154,11cm Bài 3.5 Trái chủ hàng đựng sọt, sọt 100 trái Người ta kiểm tra 50 sọt thấy có 450 trái không đạt tiêu chuẩn a) Ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng với độ tin cậy 95% b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 0,5% đạt độ tin cậy bao nhiêu? 16 https://fb.com/tailieudientucntt c) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 1% độ tin cậy 99% phải điều tra thêm sọt nữa? Lời giải Số trái 100 sọt 50×100 = 5000 Do đó: • Cỡ mẫu n = 5000 • Số trái không đạt tiêu chuẩn là: m = 450 • Tỉ lệ mẫu trái không đạt tiêu chuẩn là: Fn = m/n = 450/5000 = 0,09 a) Ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn lô hàng với độ tin cậy 95% Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy γ = 1- α = 95% = 0,95 Ta có công thức ước lượng khoảng: (Fn − zα Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n ) n n ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra baûng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: (0, 09 − 1, 96 0, 09(1 − 0, 09) 0, 09(1 − 0, 09) ; 0, 09 + 1, 96 ) = (8, 21%; 9, 79%) 5000 5000 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn từ 8,21% đến 9,79% b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 0,5% đạt độ tin cậy bao nhiêu? Yêu cầu tóan: Xác định độ tin cậy γ = 1- α Giả thiết: - Ước khỏang cho tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn - Độ xác ε = 0,5% = 0,005 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα Fn (1 − Fn ) n c) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ xác 1% độ tin cậy 99% phải điều tra thêm sọt nữa? Yêu cầu tóan: Xác định cỡ mẫu Giả thiết: - Ước khỏang cho tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn - Độ xác ε = 1% = 0,01 - Độ tin cậy γ = 1- α = 99% = 0,99 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: ϕ(zα) = (1- α) /2 = 0,99/2 = 0,495 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,58 Suy n= Thực tế yêu cầu: n≥ z2α Fn (1 − Fn ) ε2 n 5000 = 0, 005 = 1, 24 Fn (1 − Fn ) 0, 09(1 − 0, 09) Tra baûng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy là: γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 24) = 2.0, 3925 = 79, 5% z2α Fn (1 − Fn ) = ε2 2, 582.0, 09(1 − 0, 09) ≈ 5451,6 0, 012 Giá trị n nguyên nhỏ thoả bất đẳng thức n1 = 5452 Vì n1 = 5452 > 5000 (5000 cỡ mẫu có) nên ta cần điều tra thêm 5452 – 5000 = 452 trái, nghóa khoảng sọt Bài 3.6 Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng khu vực, người ta khảo sát 400 hộ gia đình Kết sau: Nhu cầu (kg/tháng/hộ) Số hoä 0-1 10 1-2 35 2-3 86 3-4 132 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com 5-6 6-7 31 18 7-8 10 Lời giải Gọi X(kg) nhu cầu hộ loại hàng tháng Ta có: Xi ni 0,5 10 1,5 35 2,5 86 3,5 132 4,5 78 5,5 6,5 31 18 Vậy độ tin cậy đạt 79,5% 17 4-5 78 Cho biết khu vực có 4000 hộ a) Ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực năm với độ tin cậy 95% b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực năm, ta muốn đạt độ tin cậy 99% độ xác 4,8tấn cần khảo sát hộ gia đình? ϕ (zα) = γ /2 Suy zα = ε Fn (1 − Fn ) n ε = zα 18 https://fb.com/tailieudientucntt 7,5 10 ∑X n n = 400; i • Kỳ vọng mẫu X X = • Phương sai mẫu X là: i =1448; ∑X i n i = 6076 ∑ X in i = 3, 62 n ˆ2 = S ∑ X 2i ni − X =(1, 4442)2 n tháng với độ tin cậy γ = 1- α = 0,99 độ xác ε = 4800/(4000×12) = 0,1kg Như vậy, ta đưa toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε = 0,1 độ tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: S2 = n ˆ2 S = (1, 4460)2 n −1 a) Ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực năm với độ tin cậy 95% Trước hết ta ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng hộ khu vực tháng với độ tin cậy 95% Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ = 1- α = 95% = 0,95 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X − zα S S ; X + zα ), n n ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: 1, 4460 1, 4460 (3, 62 − 1, 96 ; 3, 62 + 1, 96 ) = (3, 4783; 3, 7617) 400 400 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, nhu cầu trung bình mặt hàng hộ khu vực tháng nằm khoảng từ 3,4783kg đến 3,7617kg Xét 4000 hộ năm 12 tháng, ta có nhu cầu tương ứng là: 3,4783×4000×12 = 166958,4kg = 166,9584tấn; 3,7617×4000×12 = 180561,6kg = 180,5616tấn Kết luận: Với độ tin cậy 95%, nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực năm nằm khoảng từ 166,9584tấn đến 180,5616tấn b) Khi ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực năm, ta muốn đạt độ tin cậy 99% độ xác 4,8tấn cần khảo sát hộ gia đình? Khi ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng toàn khu vực năm với độ tin cậy 99% độ xác 4,8 tấn= 4800kg, nghóa ta ước lượng nhu cầu trung bình mặt hàng hộ 19 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com S n , ϕ(zα) = γ /2 = 0,99/2 = 0, 495 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,58 Suy ⎛z S⎞ n=⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ Thực tế yêu cầu: ⎛z S⎞ n≥⎜ α ⎟ ⎝ ε ⎠ 2 ⎛ 2, 58 × 1, 4460 ⎞ =⎜ ⎟ ≈ 1391, 0,1 ⎝ ⎠ Giá trị n nguyên nhỏ thỏa bất đẳng thức n1 = 1392 Vậy cần khảo sát 1392 hộ gia đình Bài 3.7 Để biết số lượng cá hồ lớn người ta bắt lên 2000 đánh dấu xong thả chúng xuống hồ Sau người ta bắt lên 400 thấy có 80 đánh dấu a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng số cá có hồ b) Ước lượng số cá tối đa có hồ với độ tin cậy 96% c) Ước lượng số cá tối thiểu có hồ với độ tin cậy 94% Lời giải Gọi N số cá có hồ Khi tỉ lệ cá đánh dấu có hồ p = 2000/N Với mẫu thu được, ta có: • Cỡ mẫu n = 400 • Số đánh dấu mẫu là: m = 80 • Tỉ lệ mẫu đánh dấu là: Fn = m/n = 80/400 = 0,2 a) Với độ tin cậy 95%, ước lượng số cá có hồ Trước hết ta ước lượng khoảng cho tỉ lệ p đánh dấu với độ tin cậy γ = 1- α = 95% = 0,95 Ta có công thức ước lượng khoảng: 20 https://fb.com/tailieudientucntt (Fn − zα Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n ), n n ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: 0, 2(1 − 0, 2) 0, 2(1 − 0, 2) (0, − 1, 96 ; 0, + 1, 96 ) = (16, 08%; 23, 92%) 400 400 Như vậy, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ đánh dấu nằm khoảng từ 16,08% đến 23,92%, đóù: 2000 16,08% ≤ ≤ N 2000 2000 23,92% ⇔ ≤N≤ 23, 92% 16, 08% ⇔ 8361,20 ≤ N ≤ 12437,81 ⇔ 8362 ≤ N ≤ 12437 Vaäy với độ tin cậy 95%, ta ước lượng số cá có hồ khoảng từ 8362 đến 12437 b) Ước lượng số cá tối đa có hồ với độ tin cậy 96% Số cá tối đa có hồ tươg ứng với giá trị tối thiểu tỉ lệ đánh dấu Do trước hết ta ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p đánh dấu với độ tin cậy γ = 1- α = 96% = 0,96 (α = 0,04) Ta có công thức ước lượng khoảng bên phải: (Fn − z2α Fn (1 − Fn ) ; +∞) n ñoù ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,92/2 = 0,46 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta z2α = 1,75 Suy giá trị tối thiểu tỉ lệ đánh dấu là: Fn − z2α Fn (1 − Fn ) 0, 2(1 − 0, 2) = 0, − 1,75 = 0,165 n 400 Nhö vậy, với độ tin cậy 96%, ta có 2000 2000 ≥ 0,165 ⇔ N ≤ = 12121, N 0,165 Vậy với độ tin cậy 96%, số cá tối đa có hồ 12121 c) Ước lượng số cá tối thiểu có hồ với độ tin cậy 94% Số cá tối thiểu có hồ tương ứng với giá trị tối đa tỉ lệ đánh dấu Do trước hết ta ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p đánh dấu với độ tin cậy γ = 1- α = 94% = 0,94 (α = 0,06) Ta có công thức ước lượng khoảng bên trái: (−∞; Fn + z2α Fn (1 − Fn ) ), n 21 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ/2 = 0,88/2 = 0,44 Tra baûng giá trị hàm Laplace ta z2α = 1,56 Suy giá trị tối đa tỉ lệ đánh dấu là: Fn + z2α Fn (1 − Fn ) 0, 2(1 − 0, 2) = 0, + 1, 56 = 0, 2312 n 400 Như vậy, với độ tin cậy 94%, ta có 2000 2000 ≤ 0,2312 ⇔ N ≥ = 8650,5 N 0, 2312 Vậy với độ tin cậy 94%, số cá tối thiểu có hồ 8651 Bài 3.8 Trước kỳ bầu cử tổng thống người ta vấn ngẫu nhiên 1800 cử tri thấy có 1180 người ủng hộ cử tri A Với độ tin cậy 99%, hỏi ứng cử viên A thu tối thiểu phần trăm số phiếu bầu? Và tối đa bao nhiêu? Lời giải Với mẫu thu được, ta có: • Cỡ mẫu n = 1800 • Số người ủng hộ ứng cử viên A m = 1180 • Tỉ lệ mẫu số người ủng hộ là: Fn = m/n = 1180/1800 = 0.6556 Với độ tin cậy 99%, để biết ứng cử viên A thu tối thiểu phần trăm số phiếu bầu ta cần ước lượng khoảng bên phải cho tỉ lệ p người ủng hộ với độ tin cậy γ = 1- α = 99% = 0,99 (α = 0,01) Ta có công thức ước lượng khoảng bên phải: (Fn − z2α Fn (1 − Fn ) ; +∞) n ϕ(z2α) = (1- 2α)/2 = γ /2 = 0,98/2 = 0,49 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta z2α = 2,33 Suy giá trị tối thiểu tỉ lệ người ủng hộ là: Fn − z2α Fn (1 − Fn ) 0, 6556(1 − 0, 6556) = 0, 6556 − 2, 33 = 0,6295 n 1800 Như vậy, với độ tin cậy 99%, ứng cử viên A thu tối thiểu 62,95% số phiếu bầu Với độ tin cậy 99%, để biết ứng cử viên A thu tối đa phần trăm số phiếu bầu ta cần ước lượng khoảng bên trái cho tỉ lệ p người ủng hộ với độ tin caäy γ = 1- α = 99% = 0,99 (α = 0,01) Ta có công thức ước lượng khoảng bên traùi: 22 https://fb.com/tailieudientucntt Fn (1 − Fn ) ), n (−∞; Fn + z2α z2α = 2,33 Suy giá trị tối đa tỉ lệ người ủng hộ là: Fn + z2α Fn (1 − Fn ) 0, 6556(1 − 0, 6556) = 0, 6556 + 2, 33 = 0,6817 n 1800 Như vậy, với độ tin cậy 99%, ứng cử viên A thu tối đa 68,17% số phiếu bầu Bài 3.9 Khảo sát thu nhập tỷ lệ thu nhập chi cho giáo dục 350 hộ gia đình, ta thu số liệu bảng sau: X 10 20 30 40 50 Y 150 - 250 10 40 20 250 - 350 40 60 20 350 - 450 20 30 40 450 - 550 30 30 10 : X tỷ lệ thu nhập chi cho giáo dục (tính theo %) Y thu nhập bình quân người/tháng hộ (đơn vị tính ngàn đồng) a) Ước lượng giá trị trung bình tỷ lệ thu nhập chi cho giáo dục hộ gia đình với độ tin cậy 95% b) Những gia đình có thu nhập bình quân người 450 hộ có thu nhập cao Ước lượng tỷ lệ hộ có thu nhập cao với độ tin cậy 97% c) Để ước lượng giá trị trung bình tỷ lệ thu nhập chi cho giáo dục với độ xác ε = 0,8% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? Lời giải • Cỡ mẫu: n = 350 • Kỳ vọng mẫu X X= • Phương sai mẫu X là: ∑ X in Xi = 29,7143 n  2X = S ∑ X i2n Xi − X =(8,7785)2 n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh X là: S2X = n 2 S X = (8,7910) n −1 23 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com a) Ước lượng giá trị trung bình tỷ lệ thu nhập chi cho giáo dục hộ gia đình với độ tin cậy 95% Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μ = M(X) với độ tin cậy γ = 1- α = 95% = 0,95 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: (X − zα SX n ; X + zα SX n ), ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: 8, 7910 8, 7910 (29, 7143 − 1, 96 ; 29, 7143 + 1, 96 ) = (28,7933;30,6353) 350 350 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, giá trị trung bình tỷ lệ thu nhập chi cho giáo dục hộ gia đình từ 28,7933% đến 30,6353% b) Những gia đình có thu nhập bình quân người 450 hộ có thu nhập cao Ước lượng tỷ lệ hộ có thu nhập cao với độ tin cậy 97% Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p hộ có thu nhập cao với độ tin cậy γ = 1- α = 97% = 0,97 Ta có công thức ước lượng khoảng : (Fn − zα Fn (1 − Fn ) F (1 − Fn ) ; Fn + zα n ) n n ϕ(zα) = (1- α)/2 = γ /2 = 0,97/2 = 0,485 • Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 2,17 • Cỡ mẫu n = 350 • Trong n = 350 hộ có m = 30 + 30 + 10 = 70 hộ có thu nhập bình quân người 450 nên có m = 70 hộ có thu nhập cao Do tỉ lệ mẫu hộ có thu nhập cao là: Fn = m/n = 70/350 = 0,2 Vậy ước lượng khoảng là: 0, 2(1 − 0, 2) 0, 2(1 − 0, 2) ; 0, + 2,17 ) = (15, 36%; 24, 64%) 350 350 Nói cách khác, với độ tin cậy 97%, tỉ lệ hộ có thu nhập cao từ 15,36% đến 24,64% (0, − 2,17 c) Để ước lượng giá trị trung bình tỷ lệ thu nhập chi cho giáo dục với độ xác ε = 0,8% đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? Yêu cầu tóan: Xác định độ tin cậy γ = 1- α 24 https://fb.com/tailieudientucntt Giả thiết: - Ước khỏang cho kỳ vọng X - Độ xác ε = 0,8 (%) Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα S , n ϕ (zα) = (1- α)/2 = γ /2 Suy zα = ε n 0, 350 = = 1,70 S 8,7910 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy là: γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 70) = 2.0, 4554 = 91, 08% Vậy độ tin cậy đạt 91,08% Bài 3.10 X(%) Y(kg/mm2 ) hai tiêu chất lượng loại sản phẩm Quan sát số sản phẩm ta có bảng số liệu sau: X 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 Y 120 130 12 10 140 20 15 150 19 16 160 Sản phẩm có tiêu X ≥ 15% loại A a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A độ tin cậy 95% b) Ước lượng giá trị trung bình tiêu Y sản phẩm loại A với độ tin cậy 95% (Giả sử Y có phân phối chuẩn) c) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình tiêu Y với độ xác 1,6 kg/mm2 đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? Lời giải Fn = m/n = 27/134 = 0,2015 Ta có công thức ước lượng khoaûng: Fn (1 − Fn ) Fn (1 − Fn ) ; Fn + zα ) n n (Fn − zα ϕ(zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta zα = 1,96 Vậy ước lượng khoảng là: 0, 2015(1 − 0, 2015) 0, 2015(1 − 0, 2015) ; 0, 2015 + 1, 96 ) 134 134 = (0,1336; 0, 2694) = (13, 36%; 26, 94%) (0, 2015 − 1, 96 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, tỉ lệ sản phẩm loại A từ 13,36% đến 26,94% b) Ước lượng giá trị trung bình tiêu Y sản phẩm loại A với độ tin cậy 95% (Giả sử Y có phân phối chuẩn) Đây toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μYA = M(YA) tiêu Y = YA sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1- α = 95% = 0,95 Ta lập bảng số liệu YA: Từ bảng ta tính được: n A = 27; 140 YAi nAi ∑Y Ai n Ai =4140; • Kỳ vọng mẫu YA YA = • Phương sai mẫu YA là: 150 14 160 11 ∑Y Ai n Ai =635800 ∑ YAin Ai = 153, 3333 n  2YA = S ∑ YAi2n Ai − Y A =(6, 0858)2 n a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A độ tin cậy 95% Đây toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p sản phẩm loại A với độ tin caäy γ = 1- α = 95% = 0,95 Từ bảng số liệu cho ta tính được: • Cỡ mẫu: n = 134 • Trong n = 134 sản phẩm có m = + + + + = 27 sản phẩm có tiêu X ≥ 15% nên có m = 27 sản phẩm loại A Do tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A là: Vì nA < 30, YA có phân phối chuẩn, σ2YA= D(XA) chưa biết, nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng: 25 26 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com • Phương sai mẫu hiệu chỉnh YA là: S2YA = nA  S YA = (6, 2017)2 nA − https://fb.com/tailieudientucntt (Y A − t αk ñoù S YA S ; Y A + t αk YA ) , nA nA tαk xác định từ bảng phân phối Student với k = nA–1=26 α = 1- γ = 1–0,95 = 0,05 Tra bảng phân phối Student ta t αk = 2, 056 Vậy ước lượng khoảng là: 6, 2017 6, 2017 ; 153, 3333 + 2, 056 ) = (150, 8794; 155, 7872) 27 27 Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, giá trị trung bình tiêu Y sản phẩm loại A từ 150,8794kg/mm2 đến 155,7872kg/mm2 (153, 3333 − 2, 056 c) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình tiêu Y với độ xác 1,6 kg/mm2 đảm bảo độ tin cậy bao nhiêu? Đây toán xác định độ tin cậy γ = 1- α ước lượng kỳ vọng tiêu Y với độ xác ε = 1,6kg/mm2 Từ bảng số liệu cho ta tính được: • Cỡ mẫu: n = 134 • Kỳ vọng mẫu Y ∑ Yjn Yj = 142, 0149 n Y= • Phương sai mẫu Y laø:  2Y = S ∑ Yi2n Yi − Y =(10, 4224)2 n • Phương sai mẫu hiệu chỉnh Y là: S2Y = n 2 SY = (10, 4615)2 n −1 Vì n ≥ 30, σ2Y= D(Y) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα SY n , ϕ(zα) = γ /2 Suy zα = ε n 1, 134 = = 1, 77 SY 10, 4615 Tra bảng giá trị hàm Laplace ta độ tin cậy là: γ = 2ϕ(zα ) = 2ϕ(1, 77) ≈ 2.0, 4646 = 92, 92% Vậy độ tin cậy đạt 92,92% 27 CuuDuongThanCong.com Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Lời giải Ta có: b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 99% độ xác 4cm cần phải điều tra thêm nữa? Đây toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε... 44,35% e) Nếu ước lượng tỉ lệ những “cao” với độ xác 10% đạt độ tin cậy bao nhiêu? Đây toán xác định độ tin cậy lượng tỉ lệ cao với độ xác ε = 10% = 0,1 Ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε =... toán xác định cỡ mẫu ước lượng kỳ vọng tiêu X với độ xác ε = 0,1 độ tin cậy γ = 1- α = 99% = 0,99 Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ xác ước lượng: ε = zα • Phương sai mẫu