Xác suất thống kê - Lý thuyết ước lượng pdf

CHƯƠNG: 1.KHÁI NIỆM : LÝ THUYẾT LƯNG Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật phân phối ),( θ xF , tham số θ chưa biết, cần xác đònh θ , việc tìm giá trò thực sự của θ khó khăn, nên người ta chỉ ước lượng θ dựa trên các kết quả của mẫu. Vấn đề đặt ra là từ tổng thể, tìm một mẫu ngẫu nhiên ( n XXX , , 21 ), trong đó n XXX , 21 là các ĐLNN độc lập có cùng phân phối với ĐLNN X. Chúng ta dựa vào đó xây dựng thống kê ), ,( 21 ^ n XXX θ sao cho với mẫu cụ thể ( n xxx , , 21 ), tìm được giá trò ), ,( 21 ^ n xxx θ đểø ước lượng tham số θ . ĐỊNH NGHĨA: ), ,( 21 n XXX là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể, ), ,( 21 n xxx là một mẫu cụ thể tương ứng.Một hàm ), ,( 21 ^ n XXX θ của n giá trò n XXX , , 21 được gọi là một hàm ước lượng của θ .Giá trò ), ,( 21 ^ n xxx θ là một ước lượng điểm của θ . VD Sử dụng trung bình mẫu để ước lương thu nhập trung bình của công nhân công ty A. : Một công ty A có hàng ngàn công nhân.Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của công ty nhận thấy thu nhập trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng. Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty được ước lượng là 1,5 triệu đồng/tháng, Đó là ước lượng điểm của trung bình tổng thể. Trong chương này chúng ta quan tâm đên các ước lượng:trung bình tổng thể, phương sai tổng thể, tỷ lệ tổng thể. 2.CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯNG 2.1 ƯỚC LƯNG KHÔNG CHỆCH ĐỊNH NGHĨA: Ước lượng ), ,( 21 ^ n XXX θ được gọi là một ước lượng không chệch của tham số θ nếu : θθ = )( ^ E CHÚ Ý • : µ =)(XE :trung bình mẫu là một ước lượng không chệch của trung bình tổng thể. • 2 ^ 2 )( σ =SE :phương sai hiệu chỉnh của mẫu là một ước lượng không chệch của phương sai tổng thể. • ^ S độ lệch chuẩn của mẫu là một ước lượng chệch của độ lệch chuẫn của tổng thể σ • pfE =)( :tỷ lệ của mẫu là một ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể. 2.2 ƯỚC LƯNG VỮNG ĐỊNH NGHĨA : Ước lượng ^ θ được gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu θθ → P ^ hay 1)|(| ^ =<− +∞→ εθθ P Lim n CHÚ Ýù • Trung bình mẫu : X là một ước lượng vững của trung bình tổng thể µ • Tỷ lệ của mẫu f là một ước lượng vững của tỷ lệ tỗng thể p • Phương sai mẫu ^ 22 ;SS là một ước lượng vững của phương sai tổng thể 2.3 ƯỚC LƯNG HIỆU QUẢ ĐỊNH NGHĨA : Cho 2 ^ 1 ^ ; θθ là hai ước lượng không chệch của tham số θ , được xây dựng trên cùng một mẫu quan sát. Thì 1 ^ θ được gọi là hiệu quả hơn 2 ^ θ nếu )()( 2 ^ 1 ^ θθ VarVar < ĐỊNH NGHĨA: Nếu ^ θ là một ước lượng không chệch của θ Và không có ước lượng không chệch nào có phương sai nhỏ hơn, thì ^ θ là một ươc lượng hiệu quả nhất của θ . CHÚ Ý Trung bình mẫu : X là một ước lượng hiệu quả nhất của trung bình tổng thể µ 3. ƯỚC LƯNG KHOẢNG 3.1 ĐỊNH NGHĨA: Một khoảng có hai đầu mút là ), ,( 21 ^ 1 n xxx θ và ), ,( 21 ^ 2 n xxx θ (phụ thuộc mẫu cụ thể ), ,( 21 n xxx ) mà tham số θ thuộc vào khoảng đó được gọi là khoảng ước lượng. ĐỊNH NGHĨA: Giả sử θ là một tham số chưa biết của tổng thể. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên chọn ra từ tổng thể, ta tìm hai đại lượng ngẫu nhiên A , B sao cho αθ −=<< 1)( BAP ; 10 ≤≤ α Nếu dựa vào một mẫu cụ thể A và B được biểu thò là a và b , thì khoảng (a,b) được gọi là khoảng tin cậy của θ ; )1( α − được gọi là độ tin cậy ( 10 ≤≤ α ). Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Sử dụng tuổi thọ trung bình của 50 bóng đèn trên để ước lượng cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên sản xuất với sai số là 100 giờ. VD: Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên sản xuất từ: 900 giờ – 1100 giờ. Đó là ước lượng khoảng. 3.2 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ µ là trung bình của tổng thể (chưa biết ), x là trung bình của mẫu Sử dụng x để ước lượng µ Dựa trên mẫu cụ thể ), ,( 21 n xxx tìm khoảng: ),( εε +− xx Sao cho : αεµ −=<− 1)|(| xP Thì : • Khoảng ),( εε +− xx được gọi là khoảng tin cậy của trung bình tổng thể µ • ( α −1 ) là độ tin cậy • ε được gọi là độ chính xác (hay sai số) NHẬN XÉT: Sự tương quan giửa độ tin cậy và độ chính xác i) Độ tin cậy càng cao thì độ chính xác kém (sai số lớn) ii) Độ chính xác tốt (sai số nhỏ) thì độ tin cậy thấp 3.2.1 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ KÍCH THƯỚC MẪU ≥ 30 ),(~ 2 σµ NX i) Trường hợp σ đã biết Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình µ và phương sai 2 σ . Nếu 2 σ đã biết và trung bình của mẫu cụ thể là x . Thì với độ tin cậy )1( α − , khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là: n z x n z x σ µ σ αα 22 +<<− Chứng minh: Ta có : )1,0(~ )( N nX Z σ µ − = Thì : α α σ ε σ µ αεµ α −=<⇔ ⇔−=< − ⇔ ⇔−=<− 1)|(| 1) || ( 1)|(| 2 zZP nnX P XP Từ đó suy ra 2 α z Với σ ε α n z = 2 ⇒ n z σ ε α 2 = ⇒ n z xx 2 α εµ ±=±= Vậy khoảng tin cậy là n z x n z xxx σ µ σ εµε αα 22 +<<−⇔+<<− • )1,0(~ NZ : 2 )( 2 α α => zZP ii) Trường hợp σ chưa biết thay thế bởi ^ s Lập luận tương tự như trên Suy ra n sz x ^ 2 α µ ±= Hay nói khác hơn với độ tin cậy là )1( α − , thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là: n z x n sz x 2 ^ 2 αα µ +<<− HÌNH VẼ CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ i) Cho độ tin cậy )1( α − ; kích thước mẫu n . Tìm khoảng tin cậy ii) Cho độ chính xác; kích thước mẫu. Tìm độ tin cậy. iii) Cho độ chính xác; độ tin cậy.Tìm kích thước mẫu Thu nhập của công nhân công ty A có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,2 triệu đồng.Thăm dò 100 công nhân của công ty trên thấy thu nhập trung bình là 2 triệu đồng/tháng. VD: a/ với độ tin cậy là 90%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của công nhân công ty trên b/ Nếu độ chính xác là 40 ngàn đồng thì độ tin cậy là bao nhiêu? GIẢI: Gọi X(triệu đồng) là thu nhập của công nhân công ty trên. µ là thu nhập trung bình của công nhân công ty ( chưa biết). x là thu nhập trung bình của công nhân theo mẫu = 2 (triệu đồng). σ =0,2 (triệu đồng)độ lệch chuẩn của tổng thể . n=100 :kích thước mẫu %901 =− α :độ tin cậy Sử dụng x để ước lượng µ Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy a/ từ độ tin cậy : 65,190,0)1( 2 =⇒=− α α z suy ra 033,0 100 2,0.65,1 2 === n z σ ε α 033,02±=±=⇒ εµ x vậy thu nhập trung bình của công nhân công ty trên là: (1,967 triệu đồng - 2,033 triệu đồng) b/ Trường hợp độ chính xác là 040,0= ε triệu đồng. Ta có: 4772,0)2(2 2,0 100.04,0 2 =Φ⇒=== σ ε α n z Suy ra độ tin cậy là: %44,959544,0)( 21 2 == Φ=− α α z CHÚ Ý: Sử dụng EXCEL a/Từ ) 2 1()|(|1 22 α α αα −=⇒<=− NORMSINVz zZP Suyra 65,1)95,0(90,01 2 ==⇒=− NORMSINVz α α b/ Từ 2 2,0 100.04,0 2 === σ ε α n z suy ra 9545,01)2(.2)|(|1 2 =−=<=− NORMSINVzZP α α 3.2.2 TỔNG THỂ KHÔNG CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU 30≥n Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể không có phân phối chuẩn,có trung bình µ . Với trung bình và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là ^ ;sx . Nếu n lớn ( n≥ 30 ) øsử dụng đònh lý giới hạn trung tâm , ta có )1,0(~ )( N nX Z σ µ − = i)Trường hợp 2 σ đã biết Thì )1,0(~ )( N nX Z σ µ − = Với độ tin cậy là )1( α − , thì khoảng tin cậy của trung bình tỗng thể là : n z x n z x σ µ σ αα 2 2 2 +<<− ii)Trường hợp 2 σ chưa biết thay thế bởi ^ 2 s Thì )1,0(~ )( ^ N s nX Z µ − = Suy ra : n sz x n sz x ^ 2 ^ 2 αα µ +<<− Trong một hội chợ việc làm dành cho sinh viên sắp tốt nghiệp. VD: Chọn ngẫu nhiên 256 sinh viên dự tuyển vào một công ty liên doanh,đã được phỏng vấn và được ban phỏng vấn đánh giá theo thang điểm 0-5. Kết quả điểm trung bình của các sinh viên trên là 3,92 với độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 1,57. Hãy ước lượng điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên với độ tin cậy là 99%. GIẢI: Gọi X là điểm của mỗi sinh viên µ điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên (chưa biết). x điểm trung bình theo mẫu = 3,92 ^ s độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh = 1,57 n kích thước mẫu = 256 Độ tin cậy %991 =− α sử dụng x để ước lượng µ Nhận xét: n>30 dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy. Từ 58,299,01 2 =⇒=− α α z Suy ra 25,092,3 256 57,1.58,2 92,3 ^ 2 ±=±=±= n sz x α µ Vậy diểm trung bình của sv dự tuyển là : ( 3,67 – 4,17 ) điểm 3.2.4 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU < 30 Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình µ , phương sai 2 σ . Trung bình và phương sai hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là ^ 2 ;sx . i)Trường hợp σ đã biết Thì )1,0(~ )( N nX Z σ µ − = Với độ tin cậy là )1( α − thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là : n z x n z x σ µ σ αα 22 +<<− ii)Trường hợp σ chưa biết thay thế bởi ^ s Thì )1(~ )( ^ − − = nT s nX T µ Hay )1(~ 1)( − −− = nT s nX T µ (T có phân phối STUDENT với bậc do là k=n-1 Suy ra : n st x ^ 2 α µ ±= Hay nói khác hơn với độ tin cậy )1( α − , thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là : n st x n st x ^ 2 ^ 2 αα µ +<<− CHỨNG MINH: α α εµ αεµ α −=<⇔ ⇔−=< − ⇔−=<− 1)|(| 1) || (1)|(| 2 ^^ tTP s n s nX PXP Từ đó suy ra 2 α t (tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL) Với n st s n t ^ 2 ^ 2 α α ε ε =⇒= n st xx ^ 2 α εµ ±=±=⇒ Vậy khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là : n st x n st x ^ 2 ^ 2 αα µ +<<− • CHÚ Ý: )1(~ −nTT thì 2 )( 2 α α => tTP HÌNH VẼ VD Một hãng xe hơi thử nghiệm mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe đời mới ( số km/lít).Chọn ngẫu nhiên 6 xe cho chạy thử được số liệu như sau: : 7,83 8,17 7,75 8,08 8,63 8,76 Với độ tin cậy là 90% .Hãy tìm khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe trên. Cho biết mức tiêu hao nhiên liêu có phân phối chuẩn. GIẢI: µ mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe trên (chưa biết). x mức tiêu hao trung bình theo mẫu =8,20 41,0 ^ =s n=6 %901 =− α Nhận xét: Tổng thể có phân phối chuẩn , chưa biết σ kích thước mẫu n=6 < 30 .Do đó sử dung phân phối STUDENT bậc tự do k= n-1 =5, để tìm khoảng tin cậy. Từ 015,290,01 2 =⇒=− α α t (tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL) 2 )()|(|)|(|1 222 α αα ααα =>⇔=>⇔<=− tTPtTPtTP Suy ra 34,020,8 6 41,0.015,2 20,8 ^ 2 ±=±=±= n st x α µ Vậy khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của lại xe trên là : ( 7,86 - 8,54 ) km/ lít 3.3 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ TỔNG THỂ Trường hợp kích thước mẫu n≥30 p : tỷ lệ của tổng thể (chưa biết ) f : tỷ lệ của mẫu Sử dụng f để ước lượng p Dựa trên mẫu cụ thể, tìm khoảng ),( εε +− ff Sao cho αε −=<− 1)|(| pfP Thì i) Khoảng ),( εε +− ff được gọi là khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể p ii) ( α −1 ) là độ tin cậy iii) ε là độ chính xác (sai số) Giả sử f là tỷ lệ thành công trong một mẫu gồm n quan sát từ một tổng thể có tỷ lệ thành công là p . Trường hợp n lớn (n≥ 30 ). Với độ tin cậy )1( α − , thì khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là : n ff zfp n ff zf )1()1( 22 − +<< − − αα CHÚ Ý: Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30 Với điều kiện    >− > 5)1( 5 pn np Thì )1,0(~ )1( )( N pp npf Z − − = Vì n k f = là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng pfE =)( Và phương sai n pp fVar )1( )( − = Nhưng vì p chưa biết nên thay thế bởi f. • Điều kiện [...]... DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯNG TỶ LỆ i) ii) iii) Cho ,độ tin cậy, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy Cho độ chính xác, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy Cho độ tin cậy,độ chính xác. Tìm kích thước mẫu VD: Tại một đòa phương thăm dò 400 người dân về mức độ hài lòng của người dân về các dòch vụ công,có 160 người không hài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt a/ Với độ tin cậy 95%.Hãy ước lượng tỷ lệ... tin cậy ^ Sử dụng để ước lượng s σ Dùng phân phối chi bình phương bậc tự do k=n-1=29 Sử dụng EXCEL, ta có 2 χ α = χ 02,025 = CHIINV (0,025;29) = 45,72 2 χ 2 α = χ 02,975 = CHIINV (0,975;29) = 16,05 1− 2 (có thể tra bảng phân phối chi bình phương bậc tự do n=k-1=29 2 2 P ( χ 2 > χ 0 , 025 ) = 0,025 ⇒ χ 0 , 025 = 45,72 2 2 P ( χ 2 > χ 0 , 975 ) = 0,975 ⇒ χ 0 , 975 = 16,05 Khoảng ước lượng của σ ^ ( n −... người dân đòa phương không hài lòng là: ( 35,199% - 44,801%) b/ Trường hợp độ chính xác f (1 − f ) ⇒ zα = ε n 2 ε = zα từ ε = 3% 2 n 400 = 0,03 = 1,23 f (1 − f ) 0,24 suy ra độ tin cậy là 1 − α = 2.Φ( z α ) = 2 NORMSDIST ( z α ) − 1 = 78,24% 2 2 c/ 1 − α = 90% ε = 3% Tìm kích thước mẫu n Phương pháp 1: Trong trường hợp này ,ta sử dụng f=40% làm ước lượng ban đầu cho p Từ : 1 − α = 0,90 ⇒ z α = 1,65... thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt b/ Nếu độ chính xác là 3% thì độ tin cậy là bao nhiêu? c/ Nếu độ tin cậy là 90% và độ chính xác là 3% thì cần thăm dò bao nhiêu người ? GIẢI: a/ p : tỷ lệ người dân đòa phương không hài lòng (chưa biết) f = 160 = 40% : tỷ lệ người dân không hài lòng theo mẫu 400 1 − α = 95% độ tin cậy n=400 sử dụng f để ước lượng p Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy Từ... chuẩn với phương sai là σ 2 (chưa biết) ^ s2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh là ^ s 2 để ước lượng σ 2 Sử dụng Với độ tin cậy (1 − α ) , thì khoảng tin cậy của phương sai tổng thể là : ^ ( n − 1) s 2 χα 2 ^ . ước lượng chệch của độ lệch chuẫn của tổng thể σ • pfE =)( :tỷ lệ của mẫu là một ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể. 2.2 ƯỚC LƯNG VỮNG ĐỊNH NGHĨA : Ước lượng ^ θ được gọi là ước. là một ước lượng vững của tỷ lệ tỗng thể p • Phương sai mẫu ^ 22 ;SS là một ước lượng vững của phương sai tổng thể 2.3 ƯỚC LƯNG HIỆU QUẢ ĐỊNH NGHĨA : Cho 2 ^ 1 ^ ; θθ là hai ước lượng. một ước lượng không chệch của θ Và không có ước lượng không chệch nào có phương sai nhỏ hơn, thì ^ θ là một ươc lượng hiệu quả nhất của θ . CHÚ Ý Trung bình mẫu : X là một ước lượng