1.KHÁI NIỆM : LÝ THUYẾT LƯỢNG Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật phân phối F x , θ , tham số
Trang 11.KHÁI NIỆM :
LÝ THUYẾT LƯỢNG
Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật phân phối F ( x , θ ), tham số θ chưa biết, cần xác định θ , việc tìm giá trị thực sự của θ khó khăn, nên người ta chỉ ước lượng θ dựa trên các kết quả của mẫu Vấn đề đặt ra là từ tổng thể, tìm một mẫu ngẫu nhiên
(X1, X2, Xn), trong đó X1, X2 Xn là các ĐLNN độc lập có cùng phân phối với ĐLNN
X Chúng ta dựa vào đó xây dựng thống kê ( 1, 2, )
^
n X X X
θ sao cho với mẫu cụ thể (x1, x2, xn), tìm được giá trị ( 1, 2, )
^
n x x x
đểø ước lượng tham số θ
ĐỊNH NGHĨA:
) ,
,
( X1 X2 Xn là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể, ( x1, x2, xn)là một mẫu cụ thể tương ứng.Một hàm ( 1, 2, )
^
n X X X
θ của n giá trị X1, X2, Xn được gọi là một hàm ước lượng của θ Giá trị ( 1, 2, )
^
n x x x
θ là một ước lượng điểm của θ
VD
Sử dụng trung bình mẫu để ước lương thu nhập trung bình của công nhân công ty A
: Một công ty A có hàng ngàn công nhân.Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của công ty nhận thấy thu nhập trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng
Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty được ước lượng là 1,5 triệu đồng/tháng,
Đó là ước lượng điểm của trung bình tổng thể
Trong chương này chúng ta quan tâm đên các ước lượng:trung bình tổng thể, phương sai tổng thể, tỷ lệ tổng thể
2.CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG
2.1 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH
ĐỊNH NGHĨA:
Ước lượng ( 1, 2, )
^
n X X X
θ được gọi là một ước lượng không chệch của tham số θ nếu : ( θ = ) θ
^
E
CHÚ Ý
•
:
µ
=
)
( X
E :trung bình mẫu là một ước lượng không chệch của trung bình tổng
thể
Trang 2• 2 2
)
( S = σ
E :phương sai hiệu chỉnh của mẫu là một ước lượng không chệch của phương sai tổng thể
• S^ độ lệch chuẩn của mẫu là một ước lượng chệch của độ lệch chuẫn của tổng thể σ
• E ( f ) = p:tỷ lệ của mẫu là một ước lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể
2.2 ƯỚC LƯỢNG VỮNG
ĐỊNH NGHĨA :
Ước lượng θ^ được gọi là ước lượng vững của tham số θ
nếu θ^ →P θ hay (| | ) 1
^
=
<
−
+∞
→
ε θ θ
P
Lim
n
CHÚ Ýù
• Trung bình mẫu
:
X là một ước lượng vững của trung bình tổng thể µ
• Tỷ lệ của mẫu f là một ước lượng vững của tỷ lệ tỗng thể p
• Phương sai mẫu
^ 2 2
; S
S là một ước lượng vững của phương sai tổng thể
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ
ĐỊNH NGHĨA :
^
1
^
; θ
θ là hai ước lượng không chệch của tham số θ , được xây dựng trên cùng một mẫu quan sát Thì 1
^
θ được gọi là hiệu quả hơn 2
^
θ nếu ( ) ( 2)
^ 1
^
θ
Var <
ĐỊNH NGHĨA:
Nếu
^
θ là một ước lượng không chệch của θ
Và không có ước lượng không chệch nào có phương sai nhỏ hơn, thì
^
θ là một ươc
lượng hiệu quả nhất của θ
CHÚ Ý
Trung bình mẫu
:
X là một ước lượng hiệu quả nhất của trung bình tổng thể µ
3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
3.1 ĐỊNH NGHĨA:
Một khoảng có hai đầu mút là ( 1, 2, )
^
1 x x xn
θ và ( 1, 2, )
^
2 x x xn
thể ( x1, x2, xn)) mà tham số θ thuộc vào khoảng đó được gọi là khoảng ước lượng
ĐỊNH NGHĨA:
Trang 3Giả sử θ là một tham số chưa biết của tổng thể Dựa vào mẫu ngẫu nhiên chọn ra từ tổng thể, ta tìm hai đại lượng ngẫu nhiên A , B sao cho
P ( A < θ < B ) = 1 − α ; 0 ≤ α ≤ 1
Nếu dựa vào một mẫu cụ thể A và B được biểu thị là a và b , thì khoảng (a,b) được gọi là khoảng tin cậy của θ ; ( 1 − α ) được gọi là độ tin cậy ( 0 ≤ α ≤ 1 )
Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy tuổi thọ trung bình là 1000 giờ Sử dụng tuổi thọ trung bình của 50 bóng đèn trên để ước lượng cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn
do công ty trên sản xuất với sai số là 100 giờ
VD:
Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên sản xuất từ: 900 giờ – 1100 giờ Đó là ước lượng khoảng
3.2 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ
µ là trung bình của tổng thể (chưa biết ),
x là trung bình của mẫu
Sử dụng x để ước lượng µ
Dựa trên mẫu cụ thể ( x1, x2, xn)tìm khoảng:
( x − x ε , + ε )
Sao cho : P (| x − µ | < ε ) = 1 − α
Thì :
• Khoảng ( x − x ε , + ε ) được gọi là
khoảng tin cậy của trung bình tổng thể µ
• (1 − α) là độ tin cậy
• ε được gọi là độ chính xác (hay sai số)
NHẬN XÉT:
Sự tương quan giửa độ tin cậy và độ chính xác
i) Độ tin cậy càng cao thì độ chính xác kém (sai số lớn)
ii) Độ chính xác tốt (sai số nhỏ) thì độ tin cậy thấp
3.2.1 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ KÍCH THƯỚC MẪU ≥ 30
X ~ N ( µ , σ2)
i) Trường hợp σ đã biết
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình µ và phương sai σ2 Nếu σ2 đã biết và trung bình của mẫu cụ thể là x Thì với độ tin cậy ( 1 − α ), khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là:
Trang 4
n
z x n
z x
σ µ
α
2
2 < < +
−
Chứng minh:
Ta có : Z ( X ) n ~ N ( 0 , 1 )
σ
µ
−
=
Thì :
α
α σ
ε σ
µ
α ε
µ
α = −
<
⇔
⇔
−
=
<
−
⇔
⇔
−
=
<
−
1 )
| (|
1 )
|
| (
1 )
| (|
2
z Z P
n n
X P
X P
Từ đó suy ra
2
α
z
Với
σ
ε
α
n
⇒
z σ
ε = α2 ⇒
n
z x
α
ε
Vậy khoảng tin cậy là
z x n
z x x
x
σ µ
σ ε
µ
ε < < + ⇔ − α2 < < + α2
−
• Z ~ N ( 0 , 1 ) :
2 ) (
2
α
α =
> z Z P
ii) Trường hợp σ chưa biết thay thế bởi ^s
Lập luận tương tự như trên
Suy ra
n
s z x
^
2
α
µ = ±
Hay nói khác hơn với độ tin cậy là ( 1 − α ) ,
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là:
n
z x n
s z
^
2
α α
µ < +
<
HÌNH VẼ
CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ
Trang 5i) Cho độ tin cậy ( 1 − α ); kích thước mẫu n Tìm khoảng tin cậy
ii) Cho độ chính xác; kích thước mẫu Tìm độ tin cậy
iii) Cho độ chính xác; độ tin cậy.Tìm kích thước mẫu
Thu nhập của công nhân công ty A có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,2 triệu đồng.Thăm dò 100 công nhân của công ty trên thấy thu nhập trung bình là 2 triệu đồng/tháng
VD:
a/ với độ tin cậy là 90%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của công nhân công ty trên b/ Nếu độ chính xác là 40 ngàn đồng thì độ tin cậy là bao nhiêu?
GIẢI:
Gọi X(triệu đồng) là thu nhập của công nhân công ty trên
µ là thu nhập trung bình của công nhân công ty ( chưa biết)
x là thu nhập trung bình của công nhân theo mẫu = 2 (triệu đồng)
σ =0,2 (triệu đồng)độ lệch chuẩn của tổng thể
n=100 :kích thước mẫu
%
90
1 − α = :độ tin cậy
Sử dụng x để ước lượng µ
Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
a/
từ độ tin cậy : ( 1 ) 0 , 90 1 , 65
2
=
⇒
=
− α zα
suy ra
0 , 033
100
2 , 0 65 , 1
=
n
z σ ε
α
⇒ µ = x ± ε = 2 ± 0 , 033
vậy thu nhập trung bình của công nhân công ty trên là:
(1,967 triệu đồng - 2,033 triệu đồng)
b/ Trường hợp độ chính xác là ε = 0 , 040 triệu đồng
2 , 0
100 04 , 0
2
= Φ
⇒
=
=
=
σ
ε
α
n z
Suy ra độ tin cậy là:
1 2 ( ) 0 , 9544 95 , 44 %
2
=
= Φ
=
CHÚ Ý:
Sử dụng EXCEL
Trang 6a/Từ
2 1 ( )
| (|
1
2 2
α
Suyra
1 0 , 90 ( 0 , 95 ) 1 , 65
2
=
=
⇒
=
2 , 0
100 04 , 0
2
=
=
=
σ
ε
α
n z
suy ra
9545 , 0 1 ) 2 (
2 )
| (|
1
2
=
−
=
<
=
3.2.2 TỔNG THỂ KHÔNG CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU n ≥ 30
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể không có phân phối chuẩn,có trung bình µ
Với trung bình và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là x ; s^
Nếu n lớn ( n≥ 30 ) øsử dụng định lý giới hạn trung tâm ,
ta có Z ( X ) n ~ N ( 0 , 1 )
σ
µ
−
=
i)Trường hợp σ2 đã biết
Thì Z ( X ) n ~ N ( 0 , 1 )
σ
µ
−
=
Với độ tin cậy là ( 1 − α ), thì khoảng tin cậy của trung bình tỗng thể là :
n
z x n
z x
σ µ
α
2
2 < < +
−
ii)Trường hợp σ2chưa biết thay thế bởi ^ 2
s
Thì ( ^ ) ~ N ( 0 , 1 )
s
n X
=
Suy ra :
s z x n
s z x
^
2
^
2
α α
µ < +
<
−
Trong một hội chợ việc làm dành cho sinh viên sắp tốt nghiệp
VD:
Trang 7Chọn ngẫu nhiên 256 sinh viên dự tuyển vào một công ty liên doanh,đã được phỏng vấn và được ban phỏng vấn đánh giá theo thang điểm
0-5 Kết quả điểm trung bình của các sinh viên trên là 3,92 với độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 1,57
Hãy ước lượng điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên với độ tin cậy là 99%
GIẢI:
Gọi X là điểm của mỗi sinh viên
µ điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào công ty trên (chưa biết)
x điểm trung bình theo mẫu = 3,92
^
s độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh = 1,57
n kích thước mẫu = 256
Độ tin cậy 1 − α = 99 %
sử dụng x để ước lượng µ
Nhận xét: n>30 dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
Từ 1 0 , 99 2 , 58
2
=
⇒
=
− α zα
Suy ra
256
57 , 1 58 , 2 92 , 3
^
±
=
n
s z x
α
µ
Vậy diểm trung bình của sv dự tuyển là :
( 3,67 – 4,17 ) điểm
3.2.4 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU < 30
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình µ, phương sai σ2
Trung bình và phương sai hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là
^ 2
; s
x i)Trường hợp σ đã biết
Thì Z ( X ) n ~ N ( 0 , 1 )
σ
µ
−
=
Với độ tin cậy là ( 1 − α )
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :
z x n
z x
σ µ
α
2
2 < < +
−
Trang 8
ii)Trường hợp σ chưa biết thay thế bởi ^s
Thì = ( −^ ) ~ T ( n − 1 )
s
n X
Hay
) 1 (
~ 1 ) (
−
−
−
s
n X
(T có phân phối STUDENT với bậc do là k=n-1
Suy ra :
n
s t x
^
2
α
Hay nói khác hơn với độ tin cậy ( 1 − α ),
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :
n
s t x n
s t x
^
2
^
2
α α
µ < +
<
−
CHỨNG MINH:
α
α ε
µ α
ε µ
α = −
<
⇔
⇔
−
=
<
−
⇔
−
=
<
−
1 )
| (|
1 )
|
| ( 1
)
| (|
2
^
^
t T P
s
n s
n X
P X
P
Từ đó suy ra
2
α
t
(tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL)
Với
n
s t s
n t
^
2
^ 2
α
α = ε ⇒ ε =
s t x x
^
2
α
ε
⇒
Vậy khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :
n
s t x n
s t x
^
2
^
2
α α
µ < +
<
−
Trang 9• CHÚ Ý: T ~ T ( n − 1 ) thì
2 ) (
2
α
α =
> t T P
HÌNH VẼ
VD
Một hãng xe hơi thử nghiệm mức tiêu hao nhiên liệu của một loại xe đời mới ( số km/lít).Chọn ngẫu nhiên 6 xe cho chạy thử được số liệu như sau:
:
7,83 8,17 7,75 8,08 8,63 8,76
Với độ tin cậy là 90% Hãy tìm khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe trên
Cho biết mức tiêu hao nhiên liêu có phân phối chuẩn
GIẢI:
µ mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của loại xe trên (chưa biết)
x mức tiêu hao trung bình theo mẫu =8,20
41
,
0
^
=
s
n=6
%
90
1 − α =
Nhận xét:
Tổng thể có phân phối chuẩn , chưa biết σ kích thước mẫu n=6 < 30 Do đó sử dung phân phối STUDENT bậc tự do k= n-1 =5, để tìm khoảng tin cậy
Từ 1 0 , 90 2 , 015
2
=
⇒
=
− α tα
(tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL)
) (
)
| (|
)
| (|
1
2 2
2
α α
Suy ra
6
41 , 0 015 , 2 20 , 8
^
±
=
n
s t x
α
µ
Vậy khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của lại xe trên là :
( 7,86 - 8,54 ) km/ lít
3.3 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ TỔNG THỂ
Trường hợp kích thước mẫu n≥30
p: tỷ lệ của tổng thể (chưa biết )
f : tỷ lệ của mẫu
Trang 10Sử dụng f để ước lượng p
Dựa trên mẫu cụ thể, tìm khoảng
( f − ε , f + ε )
Sao cho
P (| f − p | < ε ) = 1 − α
Thì
i) Khoảng ( f − ε , f + ε ) được gọi là khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể p
ii) (1 − α) là độ tin cậy
iii) ε là độ chính xác (sai số)
Giả sử f là tỷ lệ thành công trong một mẫu gồm n quan sát từ một tổng thể có tỷ lệ thành công là p Trường hợp n lớn (n≥ 30 )
Với độ tin cậy ( 1 − α ), thì khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :
n
f f z f p n
f f z
2 2
− +
<
<
−
CHÚ Ý:
Trường hợp kích thước mẫu n ≥ 30
Với điều kiện
>
−
>
5 ) 1 (
5
p n np
Thì
) 1 , 0 (
~ ) 1 (
) (
N p p
n p f Z
−
−
=
Vì
n
k
f =
là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn với kỳ vọng
p f
E ( ) =
Và phương sai
n
p p f Var ( ) ( 1 − )
=
Nhưng vì p chưa biết nên thay thế bởi f
• Điều kiện
Trang 11
>
−
>
10 ) 1
(
10
f n
nf
Thì
) 1 , 0 (
~ ) 1 (
) 1 (
N f
f
n f f Z
−
−
=
Từ đó suy ra
α
α
ε α
ε
α = −
<
⇔
⇔
−
=
−
<
−
−
⇔
−
=
<
−
1 )
| (|
1 ) ) 1 ( )
1 (
|
| ( 1
)
| (|
2
z Z P
f f
n f
f
n p f P p
f
P
Tra bảng hàm hoặc dùng EXCELù suy ra
2
α
z
Với
n
f f z f
f
n
) 1
2
−
=
⇒
−
n
f f z f
2
−
±
=
Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :
n
f f z f p n
f f z
2 2
− +
<
<
−
i) Cho ,độ tin cậy, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy
CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ
ii) Cho độ chính xác, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy
iii) Cho độ tin cậy,độ chính xác.Tìm kích thước mẫu
Tại một địa phương thăm dò 400 người dân về mức độ hài lòng của người dân về các dịch vụ công,có 160 người không hài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt
VD:
a/ Với độ tin cậy 95%.Hãy ước lượng tỷ lệ người dân địa phương không hài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt
b/ Nếu độ chính xác là 3% thì độ tin cậy là bao nhiêu?
c/ Nếu độ tin cậy là 90% và độ chính xác là 3% thì cần thăm dò bao nhiêu người ?
GIẢI:
a/
p: tỷ lệ người dân địa phương không hài lòng (chưa biết)
Trang 12% 40
400
160 =
=
f : tỷ lệ người dân không hài lòng theo mẫu
%
95
1 − α = độ tin cậy
n=400
sử dụng f để ước lượng p
Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
Từ
0 . 95 (| | )
)
| (|
1 )
| (|
1
2
2
α
α
α ε
α
z Z P
z Z P p
f P
<
=
⇔
⇔
<
=
−
⇔
<
−
=
−
Tra bảng hoặc dùng EXCEL suy ra 1 , 96
2
=
α
z
Ta có
( 1 ) 0 , 40 1 , 96 0 , 400 4 . 0 , 6
2
±
=
−
±
=
n
f f z
f
Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ người dân địa phương không hài lòng là: ( 35,199% - 44,801%)
b/ Trường hợp độ chính xác ε = 3 %
từ ( 1 ) ( 1 ) 0 , 03 0 400 , 24 1 , 23
2 2
=
=
−
=
⇒
−
=
f f
n z
n
f f
suy ra độ tin cậy là
% 24 , 78 1 ) (
2 ) ( 2 1
2 2
=
−
= Φ
=
c/
%
90
1 − α =
%
3
=
ε
Tìm kích thước mẫu n
Phương pháp 1
Trong trường hợp này ,ta sử dụng f=40% làm ước lượng ban đầu cho p
:
Từ : 1 0 , 90 1 , 65
2
=
⇒
=
− α zα
Mà
726 )
03 , 0 (
6 , 0 4 , 0 ) 65 , 1 ( )
1 (
) 1
2 2
2
=
=
⇒
−
=
⇒
−
f f z n f
f
n z
ε
α
Trang 13Vậy: n= 726
Phương pháp 2
Ta có :
:
1 = p + ( 1 − p ) ≥ 2 p ( 1 − p ) (BĐT Cauchy)
⇔
4
1 ) 1 ( − p ≤
p
−
<
−
−
⇔
−
=
<
) 1 ( )
1 (
|
| ( 1
)
| (|
p p
n p
p
n p f P p
f
P
Suy ra
2
2 2
) 1 (
ε
z n
−
vậy 4 ( ( 1 0 , , 65 03 ) )2 756 , 25
2
=
≥
Kết luận n=757
3.4 KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI TỔNG THỂ
Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn
X ~ N ( µ , σ2)
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối chuẩn với phương sai là σ2 (chưa biết)
Phương sai mẫu hiệu chỉnh là
^ 2
s
Sử dụng
^
2
s để ước lượng σ2
Với độ tin cậy ( 1 − α ), thì khoảng tin cậy của phương sai tổng thể là :
2 1
^ 2 2
2 2
^ 2
) 1 ( )
1 (
α
χ
−
−
<
<
n
Hay
2 2 1
2 2 2
2
2
α
α σ χ
χ
−
<
ns
Trang 14Sử dụng phân phối chi bình phương,bậc tự do k=n-1 để tìm khoảng tin cậy của phương sai tổng thể
CHÚ Ý:
^ 2
2 = n − s χ n −
σ χ
ii) χ2 ~ χ2( n − 1 )
•
2 )
2
P
•
2 )
2 1
−
P
Tại một siêu thị ,thăm dò 30 khách hàng về số tiền dùng để mua hàng ,thì thấy số tiền trung bình là 180 ngàn đồng,độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh là 14 ngàn đồng.Với độ tin cậy là 95%, hãy tìm khoảng tin cậy của độ lệch chuẩn của số tiềân khách hàng sử dụng Cho biết số tiềân khách hàng sử dụng để mua hàng có phân phối chuẩn
VD:
GIẢI:
x :số tiền trung bình một khách hàng sử dụng = 180 (ngàn đồng)
^
s = 14 (ngàn đồng)
%
95
1 − α = độ tin cậy
Sử dụng
^
s để ước lượng σ
Dùng phân phối chi bình phương bậc tự do k=n-1=29
Sử dụng EXCEL, ta có
72 , 45 ) 29
; 025 , 0 (
2 025 , 0 2
2
=
=
χα
05 , 16 ) 29
; 975 , 0 (
2 975 , 0 2
2
1
=
=
=
(có thể tra bảng phân phối chi bình phương bậc tự do n=k-1=29
72 , 45 025
, 0 ) ( χ2 > χ0 2 , 025 = ⇒ χ0 2 , 025 =
P
P ( χ2 > χ0 2 , 975) = 0 , 975 ⇒ χ0 2 , 975 = 16 , 05 )
Khoảng ước lượng của σ là;
2 1
^ 2 2
2
^ 2
) 1 ( )
1 (
α
χ
−
−
<
<
n
