CHƯƠNG: LÝ THUYẾT LƯỢNG 1.KHÁI NIỆM : Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật phân phối Fx,, tham
Trang 1CHƯƠNG: LÝ THUYẾT LƯỢNG
1.KHÁI NIỆM :
Xét một tổng thể,trong đó ta quan tâm tới
biến lượng X đo lường một dấu hiệu nào đó
của tổng thể.Giả sử X là ĐLNN có quy luật
phân phối F(x,), tham số chưa biết, cần
xác định , việc tìm giá trị thực sự của khó
khăn, nên người ta chỉ ước lượng dựa trên
các kết quả của mẫu Vấn đề đặt ra là từ
tổng thể, tìm một mẫu ngẫu nhiên
(X1 ,X2 , X n), trong đó X1 ,X2 X n là các
ĐLNN độc lập có cùng phân phối với ĐLNN X
Chúng ta dựa vào đó xây dựng thống kê
) ,
,
( 1 2
^
n
X
X
X
(x1 ,x2 , x n), tìm được giá trị ^ (x1 ,x2 , x n)
đểø ước lượng tham số
ĐỊNH NGHĨA:
) ,
,
tổng thể, (x1 ,x2 , x n)là một mẫu cụ thể
tương ứng.Một hàm ^ (X1 ,X2 , X n) của n giá
trị X1 ,X2 , X n được gọi là một hàm ước lượng của Giá trị ^ (x1 ,x2 , x n) là một ước lượng điểm của
VD: Một công ty A có hàng ngàn công
nhân.Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của công ty nhận thấy thu nhập trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng
Sử dụng trung bình mẫu để ước lương thu nhập trung bình của công nhân công ty A
Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty được ước lượng là 1,5 triệu đồng/tháng,
Đó là ước lượng điểm của trung bình tổng thể
Trong chương này chúng ta quan tâm đên các ước lượng:trung bình tổng thể, phương sai tổng thể, tỷ lệ tổng thể
2.CÁC TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG 2.1 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH
ĐỊNH NGHĨA:
Ước lượng ^ (X1 ,X2 , X n) được gọi là một
Trang 2E(^ )
CHÚ Ý :
E ( X):trung bình mẫu là một ước
lượng không chệch của trung bình
tổng thể
E(S^ 2 )2:phương sai hiệu chỉnh của
mẫu là một ước lượng không chệch
của phương sai tổng thể
S độ lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu ^
là một ước lượng chệch của độ lệch
chuẫn tổng thể
lượng không chệch của tỷ lệ tổng thể
2.2 ƯỚC LƯỢNG VỮNG
ĐỊNH NGHĨA :
của tham số
nếu ^ P
P
Lim n
CHÚ Ýù:
vững của tỷ lệ tỗng thể p
lượng vững của phương sai tổng thể
2.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ ĐỊNH NGHĨA :
^ 1
^
;
^
^
^ 1
^
Var
ĐỊNH NGHĨA:
Nếu
^
là một ước lượng không chệch của
Và không có ước lượng không chệch nào có phương sai nhỏ hơn, thì
^
hiệu quả nhất của
CHÚ Ý :
Trang 3Trung bình mẫu X là một ước lượng hiệu
quả nhất của trung bình tổng thể
3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
3.1 ĐỊNH NGHĨA:
Một khoảng có hai đầu mút là ^ 1 (x1 ,x2 , x n)
và ^ 2 (x1 ,x2 , x n) (phụ thuộc mẫu cụ thể
)
,
,
khoảng đó được gọi là khoảng ước lượng
ĐỊNH NGHĨA:
Giả sử là một tham số chưa biết của tổng
thể Dựa vào mẫu ngẫu nhiên chọn ra từ
tổng thể, ta tìm hai đại lượng ngẫu nhiên A ,
B sao cho
P(A B)1 ; 0 1
Nếu với một mẫu cụ thể A và B được biểu
thị là a và b , thì khoảng (a,b) được gọi là
khoảng tin cậy của ; ( 1) được gọi là độ
tin cậy ( 0 1 )
VD:
Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy
tuổi thọ trung bình là 1000 giờ Sử dụng tuổi
thọ trung bình của 50 bóng đèn trên để ước lượng cho tuổi thọ trung bình của bóng đèn
do công ty trên sản xuất với sai số là 100 giờ
Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên sản xuất từ: 900 giờ – 1100 giờ Đó là ước lượng khoảng
3.2 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ
Chúng ta xét một tổng thể có trung bình là
(chưa biết ), phương sai 2
x là trung bình của mẫu một mẫu cụ thể có
kích thước n
Sử dụng x để ước lượng
Dựa trên mẫu cụ thể (x1 ,x2 , x n)tìm khoảng: (x x, )
Sao cho : P (| x|)1
Thì :
Khoảng (x x, ) được gọi là khoảng tin cậy của trung bình tổng thể
( 1) là độ tin cậy
Trang 4 được gọi là độ chính xác (hay sai số)
NHẬN XÉT:
Sự tương quan giửa độ tin cậy và độ chính
xác
xác kém (sai số lớn)
tin cậy thấp
3.2.1 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ
KÍCH THƯỚC MẪU ≥ 30
X ~ N(,2 ) ,
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
của n quan sát từ một tổng thể có phân
2
Nếu đã biết và trung bình của mẫu 2
cụ thể là x Thì với độ tin cậy ( 1), khoảng
tin cậy của trung bình tổng thể là:
n
z x n
z x
2
Chứng minh:
Từ Z (X ) n ~ N( 0 , 1 )
Ta có
1 )
| (|
1 )
|
| (
1 )
| (|
2
z Z P
n n
X P
X P
Từ đó suy ra
2
z
Với
n
z
z
2
n
z x
Vậy khoảng tin cậy là
n
z x n
z x x
x
2 2
Z ~ N( 0 , 1 ) :
2 ) (
2
z
Z P
Trang 5i) Trường hợp chưa biết thay thế
bởi
^
s
Lập luận tương tự như trên
Suy ra
n
s z x
^
2
Hay nói khác hơn với độ tin cậy là ( 1) ,thì
khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là:
n
z x n
s z
^
2
HÌNH VẼ
CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯỢNG TRUNG
BÌNH TỔNG THỂ
mẫu n Tìm khoảng tin cậy
Tìm độ tin cậy
kích thước mẫu
VD:
Thu nhập của công nhân công ty A có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 0,2 triệu đồng.Thăm dò 100 công nhân của công ty trên thấy thu nhập trung bình là 2 triệu đồng/tháng
a/ với độ tin cậy là 90%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của công nhân công ty trên b/ Nếu độ chính xác là 40 ngàn đồng thì độ tin cậy là bao nhiêu?
GIẢI:
Gọi X(triệu đồng) là thu nhập của công nhân công ty trên
là thu nhập trung bình của công nhân
công ty ( chưa biết)
theo mẫu = 2 (triệu đồng)
=0,2 (triệu đồng)độ lệch chuẩn của tổng
thể n=100 :kích thước mẫu
% 90
Sử dụng x để ước lượng
Trang 6Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin
cậy
a/
2
( tra bảng hoặc sử dụng EXCEL )
suy ra
100
2 , 0 65 , 1
n
z
x 20 , 033
vậy thu nhập trung bình của công nhân
công ty trên là:
(1,967 triệu đồng - 2,033 triệu đồng)
b/ Trường hợp độ chính xác là 0 , 040 triệu
đồng
2 , 0
100 04 , 0
2
n z
Suy ra độ tin cậy là:
1 2 ( ) 0 , 9544 95 , 44 %
2
3.2.2 TỔNG THỂ KHÔNG CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU n30
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể không có phân phối chuẩn,có trung bình
Với trung bình và độ lệch chuẩn hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là
^
; s
x Nếu n lớn ( n≥ 30 ) øsử dụng định lý giới hạn trung tâm ,
ta có Z (X ) n ~ N( 0 , 1 )
i)Trường hợp đã biết 2
Thì Z (X ) n ~ N( 0 , 1 )
Với độ tin cậy là ( 1), thì khoảng tin cậy của trung bình tỗng thể là :
n
z x n
z x
2
ii)Trường hợp chưa biết thay thế bởi 2 ^ 2
s
Trang 7Thì ( ^ ) ~ N( 0 , 1 )
s
n X
Suy ra :
s z x n
s z x
^
2
^
2
VD:
Trong một hội chợ việc làm dành cho sinh
viên sắp tốt nghiệp
Chọn ngẫu nhiên 256 sinh viên dự tuyển vào
một công ty liên doanh,đã được phỏng vấn
và được ban phỏng vấn đánh giá theo
thang điểm 0-5.Kết quả điểm trung bình của
các sinh viên trên là 3,92 với độ lệch chuẩn
của mẫu hiệu chỉnh là 1,57 Hãy ước lượng
điểm trung bình của sinh viên dự tuyển vào
công ty trên với độ tin cậy là 99%
GIẢI:
Gọi X là điểm của mỗi sinh viên
là điểm trung bình của sinh viên dự tuyển
vào công ty trên (chưa biết)
theo mẫu = 3,92
^
s độ lệch chuẩn của mẫu hiệu chỉnh = 1,57
n kích thước mẫu = 256 Độ tin cậy 1 99 %
sử dụng x để ước lượng
Nhận xét: n>30 dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
2
Suy ra
256
57 , 1 58 , 2 92 , 3
^
n
s z x
Vậy diểm trung bình của sv dự tuyển là : ( 3,67 – 4,17 ) điểm
3.2.4 TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN,KÍCH THƯỚC MẪU < 30
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên của n quan sát từ một tổng thể có phân phối chuẩn với trung bình , phương sai 2
Trung bình và phương sai hiệu chỉnh của mẫu cụ thể lần lượt là
^ 2
; s
Trang 8i)Trường hợp đã biết
Thì Z (X ) n ~ N( 0 , 1 )
Với độ tin cậy là
) 1 (
thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :
z x n
z x
2
ii)Trường hợp chưa biết thay thế bởi
^
s
Thì ( ^ ) ~T(n1 )
s
n X
hay
) 1 (
~ 1 ) (
s
n X
(T có phân phối STUDENT với bậc do là
k=n-1)
Suy ra :
n
s t x
^
2
Hay nói khác hơn với độ tin cậy ( 1), thì khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là :
n
s t x n
s t x
^
2
^
2
Chứng minh:
Từ
) 1 (
~ ) (
s
n X
Ta có
1 )
| (|
1 )
|
| ( 1
)
| (|
2
^
^
t T P
s
n s
n X
P X
P
Từ đó suy ra
2
t
( tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL )
Với
n
s t s
n t
^
2
^ 2
Trang 9n
s t x x
^
2
Vậy khoảng tin cậy của trung bình tổng thể
là :
n
s t x n
s t x
^
2
^
2
CHÚ Ý: T ~T(n1 ) thì
2 ) (
2
t
T P
HÌNH VẼ
VD:
Một hãng xe hơi thử nghiệm mức tiêu hao
nhiên liệu của một loại xe đời mới
( số km/lít).Chọn ngẫu nhiên 6 xe cho chạy
thử được số liệu như sau:
7,83 8,17 7,75 8,08 8,63 8,76
Với độ tin cậy là 90% Hãy tìm khoảng tin cậy
của mức tiêu hao nhiên liệu trung bình của
loại xe trên Cho biết mức tiêu hao nhiên liêu
có phân phối chuẩn
GIẢI:
loại xe trên (chưa biết)
41 , 0
^
n=6 kích thước mẫu
% 90
Nhận xét:
kích thước mẫu n=6 < 30 Do đó sử dung phân phối STUDENT bậc tự do k= n-1 =5, để tìm khoảng tin cậy
2
( tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL )
2 ) (
)
| (|
)
| (|
1
2 2
2
Suy ra
6
41 , 0 015 , 2 20 , 8
^
n
s t x
Trang 10Vậy khoảng tin cậy của mức tiêu hao nhiên
liệu trung bình của lại xe trên là :
( 7,86 - 8,54 ) km/ lít
3.3 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ TỔNG THỂ
Trường hợp kích thước mẫu n≥30
Chúng ta xét một dãy n các phép thử độc
lập, trong đó p được ký hiệu là xác suất
thành công ở mỗi phép thử và f là tỷ lệ
thành công của n phép thử.Trong trường hợp
n lớn thì ĐLNN
) 1 (
) (
p p
n p f Z
có phân phối xấp xỉ chuẩn
Tuy nhiên trong trường hợp p chưa biết có
thể thay thế bởi f và với kích thước mẫu lớn
chúng ta có ĐLNN
) 1 (
) (
f f
n p f Z
có phân phối xấp xỉ chuẩn
Giả sử f là tỷ lệ thành công trong một mẫu gồm n quan sát từ một tổng thể có tỷ lệ thành công là p Trường hợp n lớn (n≥ 30 )
Với độ tin cậy ( 1), thì khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :
n
f f z f p n
f f z
2 2
Chứng minh:
Từ
) 1 , 0 (
~ ) 1 (
) 1 (
N f
f
n f f Z
Ta có
1 )
| (|
1 ) ) 1 ( )
1 (
|
| ( 1
)
| (|
2
z Z P
f f
n f
f
n p f P p
f P
( Tra bảng hoăc dùng EXCEL )
suy ra
2
z
Trang 11
Với
n
f f z f
f
n
) 1
2
f f z f
2
Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là :
n
f f z f p n
f f z
2 2
CÁC DẠNG TOÁN CỦA ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ
khoảng tin cậy
mẫu.Tìm khoảng tin cậy
kích thước mẫu
VD:
Tại một địa phương thăm dò 400 người dân
về mức độ hài lòng của người dân về các
dịch vụ công,có 160 người không hài lòng
về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt
a/ Với độ tin cậy 95%.Hãy ước lượng tỷ lệ người dân địa phương không hài lòng về thái độ ứng xử của các tiếp viên xe buýt
b/ Nếu độ chính xác là 3% thì độ tin cậy là bao nhiêu?
c/ Nếu độ tin cậy là 90% và độ chính xác là 3% thì cần thăm dò bao nhiêu người ?
GIẢI:
a/
lòng (chưa biết)
% 40 400
160
theo mẫu
% 95
n=400 sử dụng f để ước lượng p
Dùng phân phối chuẩn để tìm khoảng tin cậy
Từ
Trang 12| (|
95
.
0
)
| (|
1 )
| (|
1
2
2
z Z P
z Z P p
f
P
( Tra bảng hoặc dùng EXCEL )
2
z
Ta có
6 , 0 4 , 0 96 , 1 40 , 0 ) 1 (
2
n
f f z
f
Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ người dân địa
phương không hài lòng là:
( 35,199% - 44,801%)
b/ Trường hợp độ chính xác 3 %
từ
23 , 1 24 , 0
400 03 , 0 ) 1 (
) 1
(
2 2
f f
n z
n
f f
suy ra độ tin cậy là
% 24 , 78 1 ) (
2 ) (
.
2
1
2 2
c/
%
90
1
%
3
Tìm kích thước mẫu n Phương pháp 1:
Trong trường hợp này ,ta sử dụng f=40% làm ước lượng ban đầu cho p
2
Mà
726 )
03 , 0 (
6 , 0 4 , 0 ) 65 , 1 ( )
1 ( )
1
2 2
2
f f z n f
f
n z
Vậy: n= 726 Phương pháp 2:
Ta có :
1 p( 1p)2 p( 1 p) (BĐT Cauchy)
1 ) 1 ( p
p
Từ
) 1 ( )
1 (
|
| ( 1
)
| (|
p p
n p
p
n p f P p
f P
Suy ra
Trang 132
2 2
) 1 (
p p z
n
) 03 , 0 ( 4
) 65 , 1 (
2
2
Kết luận n=757
3.4 KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI TỔNG
THỂ
Trường hợp tổng thể có phân phối chuẩn
X ~ N(,2 )
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên
của n quan sát từ một tổng thể có phân
phối chuẩn với phương sai là (chưa biết) 2
Phương sai mẫu hiệu chỉnh là
^ 2
s
Sử dụng
^
2
s để ước lượng 2
Với độ tin cậy ( 1), thì khoảng tin cậy của
phương sai tổng thể là :
2 1
^ 2 2
2 2
^
) 1 (
n
Hay
2 2 1
2 2 2 2
2
ns
CHÚ Ý:
Sử dụng phân phối chi bình phương,bậc tự
do k=n-1 để tìm khoảng tin cậy của phương sai tổng thể
2
^ 2
2 n s n
ii) 2 ~ 2 (n1 )
2 )
2
2 )
2 1
P
VD:
Tại một siêu thị ,thăm dò 30 khách hàng về số tiền dùng để mua hàng ,thì thấy số tiền trung bình là 180 ngàn đồng,độ lệch chuẩn
Trang 14của mẫu hiệu chỉnh là 14 ngàn đồng.Với độ
tin cậy là 95%, hãy tìm khoảng tin cậy của
độ lệch chuẩn của số tiềân khách hàng sử
dụng Cho biết số tiềân khách hàng sử dụng
để mua hàng có phân phối chuẩn
GIẢI:
dụng = 180 (ngàn đồng)
^
%
95
Sử dụng
^
s để ước lượng
Dùng phân phối chi bình phương bậc tự do
k=n-1=29
( Sử dụng EXCEL hoặc tra bảng phân phối
chi bình phương bậc tự do n= k-1 )
suy ra
025
,
0
2
2
05 , 16
2 975 , 0
2
2
Khoảng tin cậy của độ lệch chuẩn tổng thể
là
2 1
^ 2 2
2
^
) 1 (
n
11 , 15 18 , 82 ( ngàn đồng) 3.5 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU HAI TRUNG BÌNH
3.5.1 TRƯỜNG HỢP MẪU GỒM CÁC CẶP SỐ
Giả sử chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n cặp quan sát(x1 ,y1 ), (x2 ,y2 ), (x n,y n) từ một tổng thể vớiù các trung bình lần lượt là
Y
X
; Gọi d và s lần lượt là trung bình và độ d
lệch chuẩn của n giá trị d i x i y i i1 ,n
Nếu tổng thể của hiệâu hai trung bình có phân phối chuẩn
Thì với độ tin cậy ( 1) økhoảng tin cậy của
hiệu hai trung bình (X Y) là
n
s t d n
s t d
d Y
X
d
2 2
Trang 15CHÚ Ý:
Trường hợp này sử dụng phân phối STUDENT
để tìm khoảng tin cậy
T ~T(n1 )
( T có phân phối STUDENT , bậc tự do k=n-1 )
( ) 2
2
t
t P
VD:
Chọn một mẫu ngẫu nhiên 6 người bán hàng
đã tham gia một khóa học về nghiệp vụ kỹ
thuật bán hàng.Theo dõi trong vòng 3 tháng
trước và 3 tháng sau khi tam dự khóa học,ta
có bảng sau đây về số tiền bán được hàng
cuả 6 người bán hàng trên (đơn vị ngàn
đôla) theo cùng một chu kỳ
Cho biết tổng thể cóù phân phối chuẩn
Với độ tin cậy 80% tìm khoảng tin cậy của
hiệu hai trung bình của tổng thể
Thứ tự người bán hàng
Trướckhi tham dự khóa học
Sau khi tham dự khóa học
GIẢI:
d =7.5 là trung bình của các giá trị
d i x i y i;i1 , 6
6
6
i i
d
96 , 18 5
, 359 5
) ( 1
)
1
2 1
2
d i
i n
i i
d d n
d d
2
(dùïng phân phối STUDENT bậc tự do k=n-1=5 Tra bảng hoặc dùng EXCEL)
