Giải bài tập chương 3 xác suất thống kê trong sách bài tập

A P (A) = 0, 51 X ∼ B(n = 5; p = 0, 51) P (X = 2) = C 2 5 .0, 51 2 .0, 49 3 = 0, 306 P (X  2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = C 0 5 .0, 49 5 + C 1 5 .0, 51.0, 49 4 + 0, 306 = 0, 481 X ∼ B(n = 12; p = 1/3) X ∼ B(n = 12; p = 1/3) P (X = 4) = C 4 12 (1/3) 4 .(2/3) 8 = 0, 238 P (3  X  6) = P (X = 3) + P (X = 4) + P(X = 5) + P (X = 6) = = 0, 751 X ∼ B(n = k; p = 0, 8) ⇒ E(X) = np = k.0, 8  10 ⇒ k  10/0, 8 = 12, 5 ⇒ k = 13 X ∼ B(n = 5; p = 0, 1) P (X  2) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) =  2 i=0 C i 5 0, 1 i 0, 9 5−i = 0, 99144 E(X) = np = 5.0, 1 = 0, 5 m 0 np + p − 1  m 0  np + p ⇔ 5.0, 1 + 0, 1 − 1  m 0  5.0, 1 + 0, 1 ⇔ m 0 = 0 X ∼ B(n = 10000; p = 0, 85) E(X) = np = 10000.0, 85 = 8500 V (X) = npq = 10000.0, 85.0, 15 = 1275 2 X ∼ B(n = 855; p = 0, 02) m 0 np+p−1  m 0  np+p ⇔ 855.0, 02+0, 02−1  m 0  855.0, 02+0, 02 ⇔ m 0 = 17 ⇒ X ∼ B(n = 5; p = 3/4) P (X = 3) = C 3 5 .(3/4) 3 .(1/4) 2 = 0, 263 P (X  1) = 1 − P (X = 0) = 1 − C 0 5 .(1/4) 5 = 0, 999902 P (X  2) =  2 i=0 C i 5 .(3/4) i .(1/4) 5−i = 0, 1035 X ∼ B(n = 2; p) E(X) = np = 2p = 1, 2 ⇒ p = 0, 6 V (X) = npq = 2.0, 6.0, 4 = 0, 48 ⇒ X ∼ B(n = 3; p) V (X) = npq = 3p(1 − p) = 0, 63 ⇔ p 2 − p + 0, 21 = 0 ⇔ p = 0, 7 p = 0, 3 ⇒ X ∼ B(n = 12; p = 0, 3) m 0 np + p − 1  m 0  np + p ⇔ 12.0, 3 + 0, 3 − 1  m 0  12.0, 3 + 0, 3 ⇔ m 0 = 3 P (X = 3) = C 3 12 .0, 3 3 .0, 7 9 = 0, 2397 X ∼ B(n = 3; p = 0, 7) P () = P (X = 2) + P (X = 3) = C 2 3 .0, 7 2 .0, 3 + C 3 3 .0, 7 3 = 0, 784 → X ∼ B(n = 15; p = 0, 7) P (X  10) = 15  i=10 C i 15 .0, 7 i .0, 3 15−i = 0, 72162 P (X = x) = C x 3 .C 4−x 7 C 4 10 ; x = 0, 1, 2, 3 ⇒ X ∼ M(N = 10; M = 3; n = 4) X ∼ M(N = 20; M = 12; n = 5) P (X  3) = P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = C 3 12 C 2 8 C 5 20 + C 4 12 C 1 8 C 5 20 + C 5 12 C 0 8 C 5 20 = 0, 703818 ⇒ X ∼ M(N = 20; M = 5; n = 3) E(X) = n M N = 3. 5 20 = 0, 75 Y = 2.50.X = 100X E(Y ) = 100E(X) = 100.0, 75 = 75 → X ∼ M(N = 20; M = 3; n = 5) P (X = x) = C x 3 C 5−x 17 C 5 20 ; x = 0, 1, 2, 3 E(X) = np = 5 · 3 20 = 0, 75 V (X) = npq N − n N − 1 = 5 · 3 20 · 17 20 · 15 19 = 0, 5033 → X ∼ M(N = 100; n = 5) P (X = 3) = C 3 40 C 2 60 C 5 100 = 0, 23228 X ∼ B(n = 100; p = 0, 02) E(X) = np = 100.0, 02 = 2 X ∼ P (λ) E(X) = λ = 8 P (X > 4) = 1−P (X  4) = 1−e −8 8 0 0! −e −8 8 1 1! −e −8 8 2 2! −e −8 8 3 3! −e −8 8 4 4! = 0, 90037 → X ∼ B(n = 150; p = 0, 04) np = 150.0, 04 = 6 ≈ np(1 − p) X ∼ P (λ = 6) P (X  2) = P (X = 0)+P (X = 1)+P (X = 2) = e −6 6 0 0! +e −6 6 1 1! +e −6 6 0 2 2! = 0, 06197 ⇒ X ∼ P (λ = 2) P a = P (X  6) = 6  i=0 P (X = i) = 6  i=0 e −2 2 i i! = 0, 9947 P b = P (X  12) = 1 − P (X < 12) = 1 − 12  i=0 e −2 2 i i! = 0, 0000013646 P (X > 7) > 0, 1 P (X > 7) = 1−P (X  7) = 1−P (X  6)−P (X = 7) = 1−0, 99547−e −2 2 7 7! = 0, 0011 → X ∼ B(n = 1800; p = 1/5000) np = 1800.1/5000 = 0, 36 ≈ np(1 − p) X ∼ P (λ = 0, 36) ⇒ P (X  2) = e −0,36 0, 36 0 0! + e −0,36 0, 36 1 1! + e −0,36 0, 36 2 2! = 0, 99405 X ∼ U[30; 50] f(x) =    1 20 ; x ∈ [30; 50] 0 ; x /∈ [30; 50] F (x) = x  −∞ f(t)dt =          0 ; x < 30 x − 30 20 ; x ∈ [30; 50] 1 ; x > 50 E(X) = 30 + 50 2 = 40; V (X) = (50 − 30) 2 12 = 33, 333 P (X  45) = F (45) = 45 − 30 20 = 0, 75 X ∼ U(a, b)      E(X) = a + b 2 = 30 σ X =  (b − a) 2 12 = 5 ⇔    a + b = 60 b − a = 10 √ 3 ⇔    a = 30 − 5 √ 3 b = 30 + 5 √ 3 f(x) =      1 10 √ 3 x ∈ (30 − 5 √ 3; 30 + 5 √ 3) 0 ; x /∈ (30 − 5 √ 3; 30 + 5 √ 3) P (X  32) = +∞  32 f(x)dx = 30+5 √ 3  32 1 10 √ 3 dx = 30 + 5 √ 3 − 32 10 √ 3 = 0, 6155 f(x) =    0 ; x < 0 1 1500 e −x/1500 F (x) =    0 ; x < 0; 1 − e −x/1500 ; x  0 P (X < 1500) = F (1500) = 1 − e −1500/1500 = 1 − e −1 = 0, 632 f(x) =    5e −5x ; x  0 0 ; x < 0 ⇒ λ = 5 P (0, 4 < X < 1) = 1  0,4 f(x)dx = 1  0,4 5e −5x dx = −e −5x   1 0,4 = 0, 1286 E(X) = 1 λ = 1 5 = 0, 2 f(x) =    2e −2x ; x > 0 0 ; x < 0 ⇒ λ = 2 E(X) = 1 λ = 1 2 = 0, 5 → X ∼ E(λ) E(X) = 1/λ = 3 ⇒ λ = 1/3 P (X  2) = +∞  2 f(x)dx = +∞  2 (1/3)e −(1/3)x dx = −e −(1/3)x   +∞ 2 = 0, 51342 P (−2, 33 < U < 2, 33) = P (U > −2, 33) − P (U > 2, 33) = 1 − α − α = 1 − 2.0, 0099 = 0, 9802 α u α = 2, 33 ⇒ α = 0, 0099 P (−2 < U < 1) = P (U > −2)−P(U > 1) = 1−α 1 −α 2 = 1−0, 0228 −0, 1587 = 0, 8185 α 1 u α 1 = 2 ⇒ α 1 = 0, 0228 α 2 u α 2 = 1 ⇒ α 2 = 0, 1587 P (−0, 89 < U < 2, 5) = P (U > −0, 89) − P (U > 2, 5) = 1 − α 1 − α 2 = 1 − 0, 1867 − 0, 0062 = 0, 8071 u α 1 = 0, 89 ⇒ α 1 = 0, 1867; u α 2 = 2, 5 ⇒ α 2 = 0, 0062 P (U > 3, 02) = 0, 0013 u α = 3, 02 ⇒ α = 0, 0013 P (U < 2, 5) = 1 − P (U > 2, 5) = 1 − 0, 0062 = 0, 9938 → X ∼ N(µ, σ 2 ) E(X) = µ = 100(g); σ = 1(g) P (98 < X < 102) = P  98 − 100 1 < X −100 1 < 102 − 100 1  = P (−2 < U < 2) = P (U > −2) − P (U > 2) = 1 − 2α α P (U > 2) = α ⇒ u α = 2 ⇒ α = 0, 0228 ⇒ P (98 < X < 102) = 1 − 2α = 1 − 2.0, 0228 = 0, 9544 P b = 1 − P a = 1 − 0, 9544 = 0, 0456 ⇒ X ∼ N(µ = 15000, σ 2 = 500 2 ) P (X > 16000) = P  X−15000 500 > 16000−15000 500  = P (U > 2) = 0, 0228 P (X < 14500) = P  X−15000 500 < 14500−15000 500  = P(U < −1) = P (U > 1) = 0, 1587 P (14500 < X < 16500) = P (−1 < U < 3) = P (U > −1) − P (U > 3) = 1 − α 1 − α 2 α 1 , α 2 u α 1 = 1 → α 1 = 0, 1587; u α 2 = 2 → α 2 = 0, 0013 ⇒ P (14500 < X < 16500) = 1 − 0, 1587 − 0, 0013 = 0, 84 → X ∼ N(µ = 200; σ 2 = 40 2 ) P (X > 250) = P  X −200 40 > 250 − 200 40  = P (U > 1, 25) = 0, 1056 P (X < 180) = P (U < 180 − 200 40 ) = P (U < −0, 5) = P (U > 0, 5) = 0, 3085 → X ∼ N(µ = 160; σ 2 = 6 2 ) P (X < 155) = P (U < 155 − 160 6 ) = P (U < −5/6 = −0, 83) = P (U > 0, 83) = 0, 2033 0, 2033 4 P b = 1 − 0, 2033 4 = 0, 9983 → X ∼ N(µ = 50; σ 2 ) P (32  X  68) = 1 ⇔ P ( 32 − 50 σ < U < 68 − 50 σ ) = 1 ⇔ 1 = P (− 18 σ < U < 18 σ ) = 1 − 2P (U > 18 σ ) ⇔ P (U > 18 σ ) = 0 ⇔ 18 σ ≈ 5 ⇔ σ = 3, 6 P (X > 55) = P (U > 55 − 50 3, 6 ) = P (U > 1, 39) = 0, 0823 P (X < 40) = P (U < 40 − 50 3, 6 ) = P (U < −2, 78) = P (U > 2, 78) = 0, 0027 X = 1 n  n i=1 X i → E( X) = 1 n n  i=1 E(X i ) = 1 n n  i=1 m = m V ( X) = 1 n 2 n  i=1 V (X i ) = σ 2 n → σ X = σ √ n ⇒ X ∼ N(m, σ 2 n ) P (| X −m| < ε) = 2Φ 0 ( ε σ X ) = 2Φ 0 ( ε √ n σ ) X ∼ B(n = 1000; p = 0, 75) X ∼ N(µ = np = 750; σ 2 = np(1 − p) = 187, 5) f = X n E(f) = p = 0, 75; V (f) = p(1 − p) n = 0, 75.0, 25 1000 = 0, 0001875 = σ 2 P (|f − p| < 0, 02) = 2φ 0  0, 02 √ 0, 0001875  = 2Φ 0 (1, 46) = 2.0, 4279 = 0, 8558 X ∼ B(n = 900; p = 0, 9) E(X) = µ = np = 900.0, 9 = 810 V (X) = σ 2 = npq = 810.0, 1 = 81 (a, b) = (|X −µ| < 2σ) = (µ − 2σ < X < µ + 2σ) ⇒ a = µ − 2σ = 810 − 2.9 = 792; b = µ + 2σ = 810 + 2.9 = 828 f ∼ N(µ = p; σ 2 = p(1 − p) n ) P (|f − p|  0, 02) = 0, 7698 P (|f − p|  0, 02) = 2Φ 0 ( 0, 02 σ ) = 0, 7698 ⇔ Φ 0 ( 0, 02 σ ) = 0, 3849 ⇒ 0, 02 σ = 1, 2 ⇒ σ = 0, 02 12 = 0, 01667 n = p(1 − p) σ 2 = 0, 5.0, 5 0, 01667 2 = 89964 → X ∼ N(µ = d 1 + d 2 2 ; σ 2 = (d 2 − d 1 ) 2 4 2 ) d 1 < X < d 2 P () = 1 − P (d 1 < X < d 2 ) = 1 − P  d 1 − d 1 + d 2 2 d 2 − d 1 4 < U < d 2 − d 1 + d 2 2 d 2 − d 1 4  = 1 − P (−2 < U < 2) = 1 − [P (U > −2) − P (U > 2)] = 1 − [1 − 2P (U > 2)] = 2P (U > 2) = 2.0, 0228 = 0, 0456 P (A) = 0, 01 X ∼ B(n = 365; p = 0, 01) ⇒ E(X) = np = 365.0, 01 = 3, 65 • E(X).1000 = 3, 65.1000 = 3650 • E(X) 2 .1000 + 12.120 = 3265 [...]... < 80 )3 = 1 0, 71 233 = 0, 638 6 Bài 3. 51 Gọi X là thời gian điền xong ô chữ của báo A X N (à1 = 25, 2; 12 = 3, 92) Gọi Y là thời gian điền xong ô chữ của báo A X N (à1 = 25, 2; 12 = 1, 92) Khả năng điền xong ô chữ của báo A là P (X 30 ) = P (U 30 25, 2 = 1, 23) = 1P (U > 1, 23) = 10, 10 93 = 0, 8907 3, 9 Khả năng điền xong ô chữ của báo B là P (Y 30 ) = P (U Nên chọn mua báo B 30 25, 2 = 2, 53) =... 0, 6664 4, 717 Bài 3. 57 ; X và Y độc lập 2 2 X N (àx = 8; x = 0, 32 ); Y N (ày = 4; y = 0, 22 ) a) Xác suất 1 chi tiết đạt tiêu chuẩn là Pa = P (|X àx | 0, 1; |Y ày | 0, 1) = P (|X àx | 0, 1)P (|Y ày | 0, 1) 0, 1 0, 1 = 20 )20 ) = 40 (0, 33 )0 (0, 5) = 4.0, 12 93. 0, 1915 = 0, 099044 0, 3 0, 2 b) Xác suất 1 chi tiết không đạt tiêu chuẩn là 1-0,099044=0,900956 Xác suất để khi gia công 3 chi tiết thì... U A1 A2 Xác suất để cầu bị trúng bom là P (B) = 1 P (A1 A2 ) = 1 P (A1 )P (A2 ) = 1 0, 8095722 = 0, 34 45 93 Bài 3. 61 Gọi X là số khách bỏ chuyến trên 1 chuyến bay p là xác suất để 1 khách hủy vé pf = 120 = 0, 0 83 72.20 16 4) Dễ dàng kiểm tra bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n=72; p=0,0 83 X B(n = 72; p = 0, 0 83) 1 P (X = 1) = C72 0, 0 831 0, 91771 = 0, 0127 2 P (X = 2) = C72 0, 0 832 0, 91770... đúng sự thật Bài 3. 56 Gọi X (%) là lãi suất đầu tư vào công ty X N (à; 2) Theo đề ra ta có 20 à 20 à ) = 0, 84 10 à à 10 à 10 0, 1 = P (X < 10) = P (U < = P (U > ) = 1, 28 0, 2 = P (X > 20) = P (U > Ta có hệ phương trình 20à = 0, 84 à10 = 1, 28 Xác suất được lãi suất ít nhất 14% là P (X 14) = P (U = 10 = 4, 717 2,12 à = 16, 038 14 16, 038 = 0, 43) = 1P (U > 0, 43) = 10, 33 36 = 0, 6664... E(Z 4 ) = 2 + z 4 ez 2 2 /2 dz 2 + z 4 ez 0 2 2 /2 dz = 2 4 4 3 =3 = (5/2) = 4 + (2t )3/ 2 et dt 0 (t := z 2 /2) V (X) = 3 2 + 2 2 = 2 + 2 2 + Chú ý: Hàm Gamma: (a) = xa1 ex dx 0 (a + 1) = a(a); (1/2) = (5/2) = (3/ 2) (3/ 2) = (3/ 2).(1/2)(1/2) = (3/ 4) Tính chất: Bài 3. 53 Gọi X là mức tăng giá nhà thì X N (à = 8%; 2 = 102) Lãi suất gửi tiết kiệm là 12% Nếu người đó gửi tiết kiệm (chờ mua nhà)... tiết kiệm được 36 50 32 65 = 38 5 (ngàn) Bài 3. 47 Gọi X là tuổi thọ của sản phẩm thì X N (à = 4, 2; 2 = 1, 82 ) a) Xác suất sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành là P (X 3) = P (U < 3 4, 2 ) = P (U < 0, 67) = P (U > 0, 67) = 0, 2514 1, 8 do u = 0, 67 = 0, 2514 Gọi Y là tiền lãi nhận được khi bán 1 sản phẩm Y = 150 khi sản phẩm không bị hỏng trong thời gian bảo hành Y = 150 500 = 35 0 khi sản phẩm... b) c) E(X) = np = 72.0, 0 83 = 5, 976 Bài 3. 62 Gọi XA, XB tương ứng là lãi suất cổ phiếu của 2 công ty A và B 2 2 XA N (àA = 11; A = 42 ); XB N (àB = 10, 4; B = 2, 62 ) a) Nếu mua cổ phiếu của công ty A thì xác suất được lãi suất tối thiểu 10% là P (XA 10) = P (U 10 11 = 0, 25) = 1P (U > 0, 25) = 10, 40 13 = 0, 5987 4 Nếu mua cổ phiếu của công ty B thì xác suất được lãi suất tối thiểu 10% là P (XB... Cần quy định thời gian bảo hành là 8,44 năm Bài 3. 50 Gọi X là độ dài chi tiết X N (à; 2 = 92) Theo đề bài ta có 0, 84 13 = P (X 84) = P (U 84 à 84 à 84 à ) P (U > ) = 0, 1587 =1 9 9 9 à = 75 Xác suất để 1 chi tiết có độ dài không vượt qua 80 cm là P (X 80) = P (U > 80 75 ) = P (U > 5/9) = 0, 2877 P (X < 80) = 0, 71 23 9 Xác suất để lấy ngẫu nhiên ra 3 chi tiết thì có ít nhất 1 chi tiết có độ... chi tiết đạt tiêu chuẩn là Pb = 1 0, 90095 63 = 0, 268674 Bài 3. 58 Gọi X là thời gian hoạt động tốt của tivi X N (à = 430 0; 2 = 2502) a) Thời gian bảo hành quy định là 10 .36 0 = 36 00 giờ 14 Tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là P (X 36 00) = P (U 36 00 430 0 ) = P (U 250 2, 8) = P (U > 2, 8) = 0, 0026 b) Nâng thời gian bảo hành lên 2 năm thì thời gian bảo hành là 2 .36 00 = 7200 giờ Gọi à1 là thời gian hoạt động... (X>12) Xác suất gặp rủi ro nếu gửi tiết kiệm là P (X > 12) = P (U > 12 8 ) = P (U > 0, 4) = 0, 34 46 10 Bài 3. 54 Gọi X là thời gian cần thiết để hoàn thành công việc X U [5; 9] a) 1 f (x) = 4 0 ; x [5; 9] ; x [5; 9] / b) P (X < 8) = 1 dx = 8 5 = 0, 75 4 8 4 5+9 c) E(X) = 2 = 7 (phút) 9 Bài 3. 55 Theo quảng cáo thì xác suất 1 bác sỹ chỉ định cho bệnh nhân dùng thuốc của hàng là 2/5 = 0, 4 13 Giả . 10 √ 3 ⇔    a = 30 − 5 √ 3 b = 30 + 5 √ 3 f(x) =      1 10 √ 3 x ∈ (30 − 5 √ 3; 30 + 5 √ 3) 0 ; x /∈ (30 − 5 √ 3; 30 + 5 √ 3) P (X  32 ) = +∞  32 f(x)dx = 30 +5 √ 3  32 1 10 √ 3 dx = 30 . E(λ) E(X) = 1/λ = 3 ⇒ λ = 1 /3 P (X  2) = +∞  2 f(x)dx = +∞  2 (1 /3) e −(1 /3) x dx = −e −(1 /3) x   +∞ 2 = 0, 5 134 2 P (−2, 33 < U < 2, 33 ) = P (U > −2, 33 ) − P (U > 2, 33 ) = 1 − α − α =. 12.0, 3 + 0, 3 ⇔ m 0 = 3 P (X = 3) = C 3 12 .0, 3 3 .0, 7 9 = 0, 239 7 X ∼ B(n = 3; p = 0, 7) P () = P (X = 2) + P (X = 3) = C 2 3 .0, 7 2 .0, 3 + C 3 3 .0, 7 3 = 0, 784 → X ∼ B(n = 15; p = 0,