Bai tap chuong 1 xác suất thống kê

BÀI TẬP THAM KHẢO CHƯƠNG I Tung đồng xu 10 lần Tìm xác suất biến cố : a) Số lần mặt sấp số lần mặt ngửa; b) Số lần mặt sấp nhiều số lần mặt ngửa a) Có n học sinh ngồi theo bàn dài Tìm xác suất để bạn A, B ngồi cạnh b) Có n học sinh ngồi theo bàn tròn Tìm xác suất để bạn A, B ngồi cạnh Có người vào thang máy để lên lầu Có tất 10 lầu người lên lầu tùy ý Tìm xác suất biến cố sau: a) người lên lầu b) người lên lầu c) người lên lầu khác d) A B lên lầu e) A B lên lầu, ngồi khơng khác lên lầu Người ta xếp ngẫu nhiên sách Tốn , Lý, Hóa, Sinh,Văn, Nhạc, Sử liên tiếp hàng từ trái sang phải Tìm xác suất biến cố sau: a) b) c) d) Sách Tốn sách khác Các sách Tốn – Lý – Hóa cạnh theo thứ tự Sách Văn Nhạc ln cạnh Sách Văn Nhạc bị cách khác Một hộp có 15 viên bi kích cỡ giống hệt nhau, gồm đỏ, xanh vàng a) Lấy ngẫu nhiên bi, tìm xác suất lấy đủ màu b) Lấy ngẫu nhiên bi, tìm xác suất có bi xanh c) Lấy ngẫu nhiên bi, tìm xác suất có bi xanh ( cách) d) Chia số bi vào hộp Tìm xác suất để hộp có bi xanh (1.21) Lấy ngẫu nhiên số điện thoại có chữ số, số đầu khác Tìm XS: a) Cả chữ số khác b) Số điện thoại chia hết cho c) Tổng chữ số số lẻ Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số a) Tìm xác suất số có chữ số lẻ, chữ số chẵn khác đôi b) Tìm xác suất lấy số mà chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt khơng q lần Gieo 20 lần xúc xắc cân đối, đồng chất Tìm xác suất có lần xuất mặt chấm, lần xuất mặt hai chấm, lần xuất mặt ba chấm, lần xuất mặt bốn chấm, lần xuất mặt năm chấm lần xuất mặt sáu chấm Có 12 người lên chuyến tàu Chỉ toa cho hành khách người lên toa toa với xác suất Tìm xác suất biến cố sau: a) Số người lên toa b) Toa thứ có người lên, toa thứ hai có người lên toa thứ khơng có lên c) Hành khách A B lên toa không toa với hành khách C BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 10 Hai người h n gặp địa điểm khoảng thời gian từ đến Người đến trước s chờ người đến sau khoảng thời gian 20 phút, khơng gặp s Tính xác suất để hai người gặp điểm h n, biết người đến chỗ h n khoảng thời gian đ quy định cách ngẫu nhiên không ph thuộc vào người 11 Gieo điểm vào hình tròn nội tiếp hình vng có cạnh m ngoại tiếp tam giác a) Tính xác suất để điểm rơi vào hình tròn ngồi tam giác b) Tính xác suất để điểm nằm cạnh tam giác 12 Một đoạn thẳng có độ dài a bẻ g y ngẫu nhiên thành đoạn Tìm xác suất để đoạn tạo thành tam giác 13 (1.23) Một hệ thống ph c v có máy tự động Xác suất để ngày làm việc, máy thứ cần người đứng 0,7; máy thứ hai cần người đứng 0,8; máy thứ ba cần người đứng 0,9 Tìm xác suất để ngày : a) Cả máy cần người đứng b) Chỉ có máy thứ máy thứ cần người đứng c) Máy thứ máy thứ cần người đứng d) Có máy cần người đứng (làm nhiều cách) 14 Mua ngẫu nhiên vé số có chữ số Tìm XS vé khơng có chữ số số 15 Một lơ hàng có 10 sản phẩm, có phế phẩm mà khơng kiểm tra khơng phân biệt Người ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm để kiểm tra, gặp đủ phế phẩm dừng lại a) Tính xác suất dừng lại sau lần kiểm tra thứ b) Tính xác suất dừng lại sau lần kiểm tra thứ c) Biết đ dừng lại lần kiểm tra thứ 4, h y cho biết khả lần kiểm tra thứ gặp phế phẩm ? 16 Một hệ thống gồm n thành phần riêng r xem hệ nối tiếp hoạt động tất thành phần hoạt động Hệ thống xem hệ song song hoạt động thành phần hoạt động Giả sử thành phần hỏng hóc cách độc lập xác suất hỏng thành phần thứ i p i; i =1,2, ,n Trong trường hợp, h y tìm xác suất để hệ hoạt động Nêu ý nghĩa kết cho n=10; pi = 0,1 ,i 17 Một mạch điện điểm A, B gồm có linh kiện L1 mắc nối tiếp với c m gồm linh kiện mắc song song L2 L3 Biết xác suất hư hỏng linh kiện khoảng thời gian T 0,1 ; 0,2 ; 0,3 Tính xác suất mạch ngưng hoạt động khoảng thời gian T 18 Hỏi tương tự 17, mạch điện gồm linh kiện L1 mắc nối tiếp L2 nối tiếp c m linh kiện mắc song song L3, L4, L5 Xác suất hư hỏng linh kiện Li khoảng thời gian T pi 19 Xét mạch điện hình v Mỗi cơng tắc có khả đóng mở khoảng thời gian T với xác suất Tìm xác suất để có đường dẫn đầu nối A,B khoảng thời gian T BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 20 Có n cặp nhẫn khác loại nhau, dùng cặp ghép với cặp khác Giả sử nhẫn bị để lẫn lộn hộp Bốc ngẫu nhiên 2k nhẫn, ≤ 2k < n Tìm xác suất có cặp nhẫn lấy 21 Giả sử phòng đọc thư viện có loại sách : sách tốn sách kỹ thuật, người đọc mượn đọc chỗ sách Xác suất để người đọc mượn sách kỹ thuật 70% mượn sách tốn 30% Hiện phòng có người đọc a) b) Tìm xác suất người mượn loại sách Tìm xác suất có người mượn sách tốn 22 Một trường có 730 học sinh, giả định học sinh đ chào đời vào ngày năm Tìm xác suất có học sinh sinh vào ngày 02/09 23 Biết tỉ lệ trẻ bị cận thị trường 15% Hỏi cần phải chọn học sinh để chắn không 90% số có em bị cận thị 24 Biết tỉ lệ sống loại non sau trồng 0,85 H y cho biết cần đem trồng để số sống có khả 25 25 Người ta trồng 20 non loại đường dẫn tới trường học Sau đó, chết người ta s trồng thay vào đợt thứ Biết xác suất để non sống sau trồng đợt 80% a) Tìm xác suất sau đợt trồng thứ có 18 sống b) Số non sống sau đợt trồng có khả bao nhiêu? 26 Ba cậu bé chơi trò chơi gieo đồng tiền liên tiếp, gieo mặt sấp s thắng Tìm xác suất thắng cậu bé 27 A B chơi cờ Xác suất thắng A ván 0,3; khơng có ván hòa Trận đấu s kết thúc A thắng ( thắng ván) B thắng (thắng ván) Tìm xác suất A thắng 28 Một người viết thư khác cho người bạn, đ ng trí nên đ bỏ ngẫu nhiên thư vào bao thư đ đề sẵn địa Tìm xác suất : a) Có thư đến địa b) Chỉ có thư đến địa 29 Bài toán GameShow: Một người chơi chọn mở cánh cửa A,B,C để nhận quà, biết có cánh cửa đằng sau có quà Sau người chơi đ chọn cánh cửa người dẫn chương trình mở cánh cửa lại thấy khơng có q Người chơi tiếp t c đề nghị giữ nguyên cánh cửa đ chọn ban đầu hay thay đổi sang cánh cửa thứ Theo bạn người chơi có nên thay đổi hay không? 30 Một nhà máy sản xuất lơ hàng 20.000 sản phẩm, có 300 phế phẩm Một khách hàng quy ước s mua hết lô hàng kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm thấy có khơng q phế phẩm a) Tìm xác suất lô hàng khách hàng mua? b) Nếu nhà máy có 10 lơ hàng vậy, lô hàng khách kiểm tra cách lựa chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm cách xác suất khách chấp nhận từ lô trở lên bao nhiêu? 31 Một vườn hoa lan trồng hai loại Lan Ngọc Điểm chưa nở hoa, loại I có bơng màu BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang trắng điểm hoa cà loại II có bơng màu đỏ lòng trắng Biết số lan loại I 5/3 số lan loại II, tỉ lệ nở hoa tương ứng loại 90%, 80% Người mua chọn ngẫu nhiên a) b) Tìm xác suất để lan s nở hoa Khi nở hoa, tìm xác suất để có màu trắng điểm hoa cà 32 (1.31) Bắn phát đạn vào máy bay địch Xác suất trúng đích phát đạn 0,5; 0,6 ; 0,8 Biết bị trúng phát, máy bay rơi với xác suất 0,3 ; bị trúng phát máy bay rơi với xác suất 0,6 ; bị trúng phát chắn máy bay rơi Tìm xác suất máy bay rơi 33 Tung xúc xắc n lần Tìm xác suất biến cố tổng số chấm mặt xúc xắc lần tung không 6n -1 34 Tỷ lệ phế phẩm dây chuyền sản xuất 5% Người ta dùng thiết bị kiểm tra chất lượng sản phẩm cách tự động, nhiên thiết bị cho kết luận sai sản phẩm tốt tỉ lệ 3% sản phẩm xấu tỉ lệ 1% a) Tìm tỉ lệ sản phẩm mà thiết bị kết luận sai b) Tìm tỉ lệ sản phẩm bị loại sai 35 Trong kho hàng có 16 kiện hàng phân xưởng I kiện phân xưởng II sản xuất Tỉ lệ phế phẩm sản phẩm phân xưởng sản xuất 5% 2% Chọn ngẫu nhiên kiện hàng để kiểm tra a) Xác suất kiện hàng đ chọn phân xưởng II sản xuất ? b) Giả sử mở kiện hàng lấy ngẫu nhiên 15 sản phẩm phế phẩm Khi xác suất kiện hàng đ chọn phân xưởng II sản xuất ? c) Giả sử mở kiện hàng lấy ngẫu nhiên sản phẩm phế phẩm, sau lấy tiếp sản phẩm từ kiện hàng phế phẩm Vậy xác suất kiện hàng đ chọn phân xưởng II sản xuất ? d) Giả sử mở kiện hàng lấy ngẫu nhiên sản phẩm phế phẩm, sau lấy tiếp sản phẩm từ kiện hàng Khả sản phẩm phẩm bao nhiêu? 36 Sản phẩm X bán thị trường nhà máy gồm phân xưởng I, II, III sản xuất, phân xưởng I chiếm 30%, phân xưởng II chiếm 45%, phân xưởng III chiếm 25% số lượng sản phẩm toàn nhà máy Tỉ lệ sản phẩm loại A phân xưởng I, II III sản xuất là: 70%, 50% 90% a) Tính tỷ lệ sản phẩm loại A nhà máy sản xuất b) Chọn mua ngẫu nhiên sản phẩm X thị trường Giả sử đ mua sản phẩm loại A, h y cho biết sản phẩm có khả phân xưởng II sản xuất bao nhiêu? c) Cần mua ngẫu nhiên tối thiểu sản phẩm X thị trường để xác suất gặp phải sản phẩm khơng phải loại A 98% 37 Ba công nhân sản xuất loại sản phẩm Xác suất người thứ người thứ hai làm phẩm 0,9; xác suất người thứ ba làm phẩm 0,8 Một người số làm sản phẩm, thấy có hai phế phẩm Tìm xác suất để sản phẩm người sản xuất s có phẩm BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 38 (1.38) Một tin tức điện báo tạo thành từ tín hiệu (.) vạch (-) Qua thống kê cho biết tạp âm nên truyền tin, bình quân 2/5 tín hiệu chấm 1/3 tín hiệu vạch bị méo Biết tỉ số tín hiệu chấm vạch truyền tin 5: Tính xác suất cho nhận tín hiệu nếu: a) b) Nhận chấm (.) ; Nhận vạch (-) 39 Một thống kê cặp trẻ sinh đôi cho thấy tỉ lệ cặp sinh đôi trứng số p Các cặp sinh đôi trứng giới tính, cặp sinh đơi khác trứng tỉ lệ giới tính 50% Biết với cặp trẻ sinh đơi có giới tính, xác suất chúng sinh đơi trứng 1/3 Hãy tìm số p 40 Trong hộp có n sản phẩm, sản phẩm phẩm phế phẩm với xác suất Lấy ngẫu nhiên k sản phẩm theo phương thức có hồn lại tồn phẩm Tính xác suất để hộp chứa tồn phẩm 41 Hai đấu thủ A B thi đấu vòng 10 hiệp có người thắng trước Mỗi trận A có khả thắng với xác suất p, khơng có kết hòa Sau trận đấu thủ thắng điểm, đấu thủ thua khơng có điểm A coi thắng dẫn trước B điểm, Tìm xác suất A thắng 42 Có n hộp bi, hộp chứa m bi trắng k bi đỏ Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp thứ bỏ sang hộp thứ hai, sau lấy ngẫu nhiên bi từ hộp thứ hai bỏ sang hộp thứ ba, … làm hộp thứ n Tìm xác suất viên bi cuối rút từ hộp thứ n bi trắng 43 (1.41) Trong thành phố nọ, người ta thống kê sau: Số gia đình ( n) Tỉ lệ phần trăm gia đình có n ( tổng số gia đình) 15 20 30 20 10 5 Cho xác suất đứa trẻ sinh trai hay gái 0,5 a) Chọn ngẫu nhiên gia đình thành phố Tìm xác suất gia đình có gái b) Chọn ngẫu nhiên đứa Tìm xác suất đứa thuộc gia đình có gái câu a) 44 (1.42) Có hộp bi cỡ, hộp I chứa bi trắng bi xanh, hộp II chứa bi trắng bi xanh Lấy ngẫu nhiên hộp, từ hộp lấy ngẫu nhiên bi bi trắng, trả bi trắng vào hộp đ lấy Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, lấy từ hộp ra, bi trắng 45 Có cầu đ đánh dấu, có khả hộp cầu I với xác suất p khả hộp cầu II với xác suất 1- p Nếu chọn hộp chứa cầu đánh dấu xác suất để rút từ hộp d Rút liên tiếp có hồn lại n cầu từ hộp Hỏi cần rút từ hộp cầu để xác suất rút cầu đ đánh dấu, dù lần, lớn nhất? BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN Đáp số: a)  0,24609 b)  0,37695 Hướng dẫn giải: Dùng định nghĩa XS công thức Becnoulli a) Số trường hợp đồng khả tung 10 lần đồng xu n= 210 Số trường hợp mặt ngửa mặt sấp m= C510 C55 XS cần tìm m/n  0,24609 Cách khác, coi tốn có dạng tốn Becnoulli với n=10, p=1/2, XS cần tìm C510.(1/2)5(1/2)5 b) Có thể áp d ng cách làm câu a) cho trường hợp số lần mặt sấp 6,7,8,9,10 cộng lại ĐS:  0,37695 Tuy nhiên toán mở rộng với số lần tung đồng xu số lớn việc tính tổng khó khăn Ta lưu ý gọi A biến cố số mặt sấp số mặt ngửa; B biến cố số mặt sấp lớn số mặt ngửa C biến cố số mặt sấp nhỏ số mặt ngửa, A, B, C nhóm biến cố đầy đủ P(B)=P(C) Suy P(B) = [1- P(A)]: 2 a) (n  1)! 2  n! n 10 a) 10 7! b) 10 b) (n  1)!  (n  2)! 2   n! n n(n  1) C107  7! c) 107 106 d) 10 10  95 e) 107 Đáp số: a) 1/7 b)1/42 c) 2/7 d) 5/21 Hướng dẫn giải: Số trường hợp đồng khả số cách có thứ tự sách, nên n = 7! a) Cố định sách Tốn vị trí ( tức vị trí thứ từ bên trái qua), lại ngẫu nhiên vào vị trí xung quanh, m = 6! cách Xác suất cần tìm: 1/7 b) Coi Tốn - Lý - Hóa theo thứ tự ghép thành sách Xếp với lại, coi xếp tùy ý m = 5! Xác suất cần tìm 1/42 c) Trường hợp sách Văn bên trái sách Nhạc Ta coi sách ghép lại Vậy xếp lại với ghép xếp cách tùy ý số cách xếp m1 = 6! Trường hợp thứ ngược lại, sách Nhạc nằm bên trái sách Văn, tương tự ta có m2=6! m = m1+m2 = 2.(6!) nên xác suất cần tìm 2/7 d) Trường hợp 1: Xếp Văn - Sách khác - Nhạc theo thứ tự Có cách chọn sách xen Văn Nhạc Sau coi ghép thành cuốn, xếp với sách lại theo thứ tự tùy ý m1 = 5.(5!) Trường hợp 2: Xếp Nhạc - Sách khác - Văn theo thứ tự Tương tự m2 = 5.(5!) m = m1 + m2 = 10.(5!) Suy xác suất cần tìm 5/21 BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang HD: C51.C31.C71 a) C153 Đáp số: HD: a) C32 C121 b) C153 a) 0,018144 C31.C122  C32 C121  C33 C123 c)  1 C153 C15 b) 1/5 C74 A54 A53  C64 A54 A42 106 b) C31.C124 C21 C84 d) C153 C105 c) 1/2 C72 C53 A82  C62 C43 9.106 Có thể dùng XS cổ điển hay định lý Becnoulli mở rộng C20 C163 C135 C82 C62 C44 620 Hướng dẫn giải: a) Số cách xếp ngẫu nhiên 12 người lên toa n = 312 Số cách xếp để toa có người m = C412.C48 Xác suất cần tìm: C124 C84 312 C128 C44 b) Tương tự câu a), xác suất cần tìm 12 c) Để tìm m, tiến hành bước: xếp toa cho hành khách A,B; sau xếp toa cho hành khách C xếp cho người lại Sử d ng quy tắc nhân Xác suất cần tìm: 3.2.39  312 10 Đáp số: 5/9 Gọi thời điểm người thứ đến chỗ h n + x phút Gọi thời điểm người thứ hai đến chỗ h n + y phút;  x,y  60 Miền trường hợp đồng khả G =[0; 60][0; 60] Theo giả thiết, người gặp | x – y|  20  -20  x-y  20 Miền S miền tô màu hình v  y  x+ 20 y  x – 20 11 HD: a) Diện tích hình tròn – Diện tích tam giác 12 Đáp số: ¼ b) Độ dài đoạn thứ x; 0< x< a Độ dài đoạn thứ hai y-x; x< y< a Độ dài đoạn thứ ba a-y Miền G = OAB Miền S = BMN ( dùng tính chất tổng độ dài cạnh tam giác ln lớn độ dài cạnh lại, miền S  miền G) BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 13 Hướng dẫn giải: Gọi A1 biến cố ngày làm việc máy thứ cần người đứng A2 biến cố ngày làm việc máy thứ hai cần người đứng A3 biến cố ngày làm việc máy thứ ba cần người đứng Kiểm tra theo định nghĩa để thấy biến cố A1, A2, A3 độc lập toàn thể a) Gọi A biến cố máy cần người đứng ngày Ta có biểu diễn: A = A1.A2.A3, suy P(A) = P(A1.A2.A3) = P(A1).P(A2).P(A3) tính độc lập = 0,7.0,8.0,9 = 0,504 b) Gọi B biến cố có máy thứ thứ cần người đứng ngày, suy B = A1 A2.A3 , nên P(B) = P( A1 ).P(A2).P(A3) = 0,3.0,8.0,9 = 0,216 c) Gọi C biến cố máy thứ máy thứ hai cần người đứng ngày C = A1.A2 , P(C) = P( A1.A2) = P( A1).P(A2) = 0,7.0,8 = 0,56 d) Gọi D biến cố có máy cần người đứng ngày Ta thấy D biến cố không máy cần người đứng ngày D = A1.A A3 Vậy P(D) = – P( D ) = – P( A1.A A3 ) = – 0,3.0,2.0,1 = 0,994 14 Gọi A biến cố tờ vé số khơng có số 0; B biến cố tờ vé số không chứa số Xác suất cần tìm P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 15 Xem giải VD 1.22 trang 18, sách LT Đáp số: a) 1/120 16 98 98 88   108 108 108 ĐS: Mắc nối tiếp: b) 1/40 n  (1-pi ) i1 c) 2/3 n Mắc song song:   pi i1 17 Hướng dẫn giải: Gọi Ai biến cố linh kiện Li bị hỏng, i = 1,2,3 Gọi B biến cố mạch ngưng hoạt động khoảng thời gian T Ta thấy B = A1 + A2A3 Theo công thức xác suất thì: P(B) = P(A1 + A2A3) = P(A1) + P(A2A3 ) - P(A1A2A3 ) = P(A1) + P(A2)P(A3) - P(A1)P(A2)P(A3) (do Ai độc lập toàn thể) = 0,1 + 0,2 0,3 - 0,1 0,2 0,3 = 0,154 18 XS mạch hoạt động tốt khoảng thời gian T là: P = (1-p1)(1- p2)( 1- p3.p4.p5) XS mạch ngưng hoạt động thời gian T 1- P 19 ĐS: 0,6875 20 Cn2 Cn2k24 22 k 4 C22nk BÀI TẬP HD: Dùng XS cổ điển n= C2k2n Tìm m cách sử d ng Các định lý xác suất Trang quy tắc nhân theo bước sau: + Trước tiên ta chọn ngẫu nhiên cặp nhẫn từ n cặp nhẫn: C2n Như ta phải lấy 2k-4 nhẫn từ n-2 cặp nhẫn lại Do 2k-4 < n-2 ứng với cặp nhẫn lại ta lấy tối đa nhẫn, nên ta lấy sau: + Lựa 2k-4 cặp nhẫn n-2 cặp lại, có C2k-4n-2 cách + Từ cặp nhẫn chọn, lấy ngẫu nhiên Như bước ta có 22k-4 cách chọn nhẫn 21 Bài tốn có dạng Becnoulli với n = Xác suất độc giả mượn sách kỹ thuật p = 70%, xác suất độc giả mượn sách Toán q = 30% a) Xác suất cần tìm xác suất người mượn sách kỹ thuật hay người mượn sách Toán: C55 (0,7)5 + C05 (0,3)5 b) Gọi A biến cố độc giả có người mượn sách Tốn Khi biến cố đối lập A biến cố độc giả khơng có mượn sách Toán Suy P(A) = – P( A ) = 1- C55 (0,7)5 22 Đáp số:  0,18069 23 Đáp số: ≥ 15 Gọi n số học sinh chọn Gọi A biến cố có học sinh bị cận thị Bài tốn u cầu tìm n để P(A)  90% Do P(A)=1–XS khơng có học sinh bị cận thị =1–C0n(0,15)0(0,85)n = 1-(0,85)n, nên YCBT trở thành tìm n để (0,85)n  0,1 ; suy n  (ln 0,1) : (ln 0,85) 24 Đáp số: 29 25 Hướng dẫn giải: Trước tiên xem xét hố trồng cây: Gọi A1 biến cố trồng sau đợt sống Nếu chết phải trồng thay vào hố khác, ta gọi A biến cố trồng lần sau sống Gọi B biến cố sau đợt trồng có sống hố B = A1 + A1 A2 P(B) = P(A1) + P( A1 ).P(A2| A1 ) = 0,8 + 0,2 0,8 = 0,96 a) Bài tốn có dạng Becnoulli với n =20, p = 0,96 , q = 0,06 , k1= 18, k2 = 20 18 19 19 20 20 Xác suất cần tìm : C18 20 (0,96) (0, 04)  C20 (0,96) (0, 04) +C20 (0,96) b) Dùng cơng thức tìm k0 = 20 26 Gọi Si biến cố lần tung đồng tiền thứ i mặt sấp, i=1,2,3 Gọi Ni biến cố lần tung đồng tiền thứ i mặt ngửa, i=1,2,3 A biến cố cậu bé thứ thắng A = S1 + N1N2N3S4 + N1N2N3N4N5N6S7 + … P(A) = P(S1) + P(N1N2N3S4) + P( N1N2N3N4N5N6S7) + … = BÀI TẬP 1 1      ( tổng cấp số nhân vô hạn) 2 2 1 23 Các định lý xác suất Trang Tương tự, xác suất để cậu bé thứ thứ thắng 27 7 Xác suất A thắng tổng XS biến cố liệt kê trường hợp sau: 1) A thắng sau ván chơi: nghĩa A thắng ván P1  C55 (0,3)5 2) A thắng sau ván chơi: đồng nghĩa với biến cố tích “Trong ván đầu A thắng ván, B thắng ván” “ ván thứ A thắng” P2  C54 (0,3) (0, 7)  (0,3)  C54 (0,3)5 (0, 7) 3) A thắng sau ván chơi: đồng nghĩa với biến cố tích “Trong ván đầu A thắng ván, B thắng ván” “ở ván thứ A thắng” P3  C64 (0,3)4 (0,7)2  (0,3)  C74 (0,3)5 (0,7)2 4) … 5)…… 6)… 7)… 8) A thắng sau 12 ván chơi: nghĩa 11 ván A thắng 4, B thắng 7; ván thứ 12 A thắng P8  C114 (0,3)4 (0,7)7  (0,3)  C114 (0,3)5 (0,7)7 Vậy xác suất cần tìm: C k 0 4 k (0,3)5 (0, 7) k 28 Gọi Ai biến cố thư thứ i đến địa ; i = 1,2,3,4 Gọi B biến cố có thư đến địa a) B = A1 + A2 + A3 + A4 Theo ct cộng xác suất tổng quát cho tổng biến cố không xung khắc, ta : P(B) =  P( A )   P( A A )   P( A A A )  P( A i 1 = 4*  C42 i i j i j i j k i j k A2 A3 A4 ) 11 1 1 11 1  C43  1    43 4 21 2! 3! 4! b) Gọi C biến cố có thư đến địa C = A1 A2 A2 A3  A1 A2 A2 A3  ( n trường hợp) Suy P(C) = 4* P( A1 A2 A2 A3 ) = 4*P(A1)* P( A2 A3 A4 / A1 ) = 4* * P( A2 A3 A4 / A1 ) P( A2 A3 A4 / A1 ) xác suất gửi thư khơng có thư địa ( thư đầu đc rồi, ko ảnh hưởng thêm nên coi không xét ) = – XS có thư đến địa = – [  1 ] =  2! 3! (Tính XS có thư đến địa độc lập, tương tự câu a)) Lưu ý: SV tự tìm cơng thức tổng qt cho toán gửi n thư 29 ( tham khảo) Giả thiết người chơi đ chọn cánh cửa A, người dẫn chương trình đ chọn mở cánh cửa B Ta giả thiết thêm người dẫn chương trình đ KHƠNG thực chọn cánh cửa B cách ngẫu nhiên ( tức người dẫn chương trình cố ý chọn cánh cửa khơng có q) Khi xác suất cánh cửa C có giải thưởng s 2/3, nên người chơi nên đổi lựa chọn BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 10 30 100 99 C19700  C19700 C300 a) Hướng dẫn:  0,5562 100 C20000 Trong trường hợp số sản phẩm 20.000 lớn, số sản phẩm lấy n=100 nhỏ so với 20000, ta tính xấp xỉ với cơng thức toán Becnoulli n=100; p= 300/20000= 0,015 ( Xem lý thuyết Phân phối siêu bội, chương II) 100 99 KQ :  C100 (1  0,015)100  C100 (1  0,015)99 (0,015)  0,5566 b) Bài tốn có dạng Becnoulli với n=10; p= 0,5566; k từ đến 10 KQ  10 C k 8 k 10  0,5562k (1  0,5562)10k 31 Gọi H1 biến cố lan mua lan loại I Gọi H2 biến cố lan mua lan loại II { H1, H2} nhóm biến cố đầy đủ Gọi A biến cố lan s nở hoa Do số lan loại I = 5/3 số lan loại II , nên số lan loại I chiếm 5/8 tổng số hoa lan Theo cơng thức xác suất tồn phần: P(A) = P(H1).P(A|H1) + P(H2).P(A|H2) b) Xác suất cần tìm là:  90%  80%  86, 25% 8 90% P(H1 ).P(A/H1 ) 15 P(H1|A) = = = P(A) 86,25% 23 32 Hướng dẫn: Gọi F biến cố máy bay rơi Gọi Hi biến cố máy bay bị trúng i phát đạn, i=0,1,2,3 Dễ thấy { H0 , H1 , H2 , H3 } nhóm biến cố đầy đủ Để tính giá trị P(Hi) , i=0, , ta đặt thêm biến cố sau: Gọi Ti biến cố phát đạn thứ i trúng đích, i = 1,2,3 Suy H0 = T1.T2 T3 , tính P(H0) ( Bài khơng cần tính P(H0)) Tương tự ta tính P(H1) , P(H2 ), P(H3) Tính F theo công thức xác suất đầy đủ Đáp số: 0,594 33 n 1 6n 34 a) HD: 95%  3% + 5%  1% = 2,9% b) Lưu ý u cầu tốn hiểu tìm tỉ lệ sản phẩm bị loại sai sản phẩm bị loại, tức tìm xác suất sản phẩm bị loại sản phẩm tốt P( sản phẩm tốt| sản phẩm bị loại) = 95%  3%  0,3654 95%  3%  5%  99% 35 Đáp số: a) 4/20 36 a) Giả sử lấy ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy BÀI TẬP b) 1/11 c) 1/26 Các định lý xác suất d) 13/275 Trang 11 Gọi A1,A2,A3 biến cố sản phẩm lấy phân xưởng I,II,III sản xuất Gọi F biến cố sản phẩm lấy loại A Tỷ lệ cần tìm P(F) Ta thấy {A1 , A2 ,A3 } nhóm biến cố đầy đủ nên áp d ng cơng thức xác suất tồn phần : P(F) = P(A1)P(F|A1) + P(A2)P(F|A2) + P(A3)P(F|A3) = 30% 70% + 45%.50% + 25%.90% = 66% b) Sử d ng công thức Bayes: P(A2|F) = 45%.50% P(A )P(F|A ) =  0,3409 66% P(F) c) Gọi n số sản phẩm cần mua Xác suất để gặp sản phẩm khơng phải loại A – (0.66)n Theo giả thiết – (0.66)n > 98% , suy n > [ln 0.02 : ln 0.66 ]  9,415 Ta lấy giá trị n tối thiểu 10 37 Cách 1: Gọi F1 biến cố lần đầu người sản xuất sản phẩm có phế phẩm Gọi F2 biến cố lần sau người sản xuất sản phẩm có phế phẩm C8  0,9   0,1  P1 P(CN1/F1)= P(CN2/F1) = 2 6 C8  0,9   0,1  C8  0,8   0,  3 C8  0,8   0,   P2 P(CN3/F1) = 2 6 C8  0,9   0,1  C8  0,8   0,  3 6 2 P(F2/F1) =  P1  C8  0,9   0,1  P2  C82  0,8  0,  Cách 2:  2 2 C8  0,9   0,1   C82  0,8   0,       2 6 C8  0,9   0,1  C82  0,8   0,  3 38 Giả sử người ta phát tín hiệu Gọi C1 biến cố tín hiệu truyền tín hiệu chấm (.) V1 biến cố tín hiệu truyền tín hiệu vạch (-) Như P(C1) = 5/8 P(V1) = 3/8 Gọi C2 biến cố nhận tín hiệu chấm V2 b/c nhận tín hiệu vạch Theo giả thiết: 2/5 tín hiệu chấm truyền s bị méo, tức bên nhận tin s nhận nhầm thành tín hiệu vạch; tương tự 1/3 số tín hiệu vạch sau truyền s bị nhận nhầm thành tín hiệu chấm {C1, V1} nhóm biến cố đầy đủ Các xác suất cần tìm: P(C1.C2 ) P(C1 ).P(C2 |C1 ) =    75% a) P  C1 | C2   P(C2 ) P(C1 ).P(C2 |C1 )+P(V1 ).P(C2 |V1 )  8 3 P(V1.V2 ) P(V1 ).P(V2 |V1 ) =    50% b) P  V1|V2   P(V2 ) P(C1 ).P(V2 |C1 )+P(V1 ).P(V2 |V1 )  2 8 BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 12 Như nhận tín hiệu chấm khả nhận 75% ; nhận tín hiệu vạch khả nhận 50% 39 Lấy ngẫu nhiên cặp sinh đôi Gọi A biến cố cặp sinh đôi từ trứng Gọi B biến cố cặp sinh đơi có giới tính Theo giả thiết ta đ có xác suất sau: P(A) = p chưa biết P(B/A) =1 P(B/ A ) =1/2 Áp d ng ct XSTP : P(A/B) = P(A/B) = 1/3 P(A).P(B|A) p.1 =  P(A).P(B|A)+P(A).P(B|A) p.1  (1  p ) Giải phương trình cuối s p = 1/5 40 ( Xem lời giải chi tiết m c đề thi cũ) Đề cho biết xác suất sản phẩm hộp tốt 0,5 nghĩa nửa số sản phẩm hộp tốt nửa lại phế phẩm ( Sử d ng phân phối nhị thức, phân phối siêu bội, xem chương ) 1 P  Hi   Cni   2 Gọi Hi biến cố hộp có i phẩm, i=0, ,n n { Ho, H1, …,Hn } nhóm biến cố đầy đủ Gọi F biến cố k sản phẩm lấy phẩm Xác suất cần tìm: P( H n | F )     n 1  2 n2 n2   n 1    Cn1    Cn     Cn    Cn    n   n  n n k k k k nk nk  Cn1  n  1  Cn2  n     Cnn 2 2k  Cnn 1 k k 41 C20 p  C31 p3q  C52 p q  C73 p5q3  C94 p 6q 42 43 (1.41 – Sách LT – Lời giải bạn Hoàng Dũng) a) Ai biến cố chọn gia đình có i i= 0,…,5 { Ai , i=1, ,5} nhóm biến cố đầy đủ F biến cố chọn gia đình có gái P(F) = P(A0).P(F/A0) + P(A1).P(F/A1) + P(A2).P(F/A2) + P(A3).P(F/A3) + + P(A4).P(F/A4) + P(A5).P(F/A5) P(F/A0) = P(F/A1) = P(F/A2) = C22 (0,5)2.(0,5)0 = 0,25 P(F/A3) = C32 (0,5)2.(0,5)1 = 0,375 P(F/A4) = C42 (0,5)2.(0,5)2 = 0,375 P(F/A5)= C52 (0,5)2.(0,5)3 = 0,3125 BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 13  P(F) = 15%.0 + 20%.0 + 30%.0,25 + 20%.0,375 + 10%.0,375 + 5%.0,3125 = 0,203125 b) Khơng tính tổng qt, ta xét 100 gia đình, có 15 gia đình con, 20 gia đình con, 30 gia đình con, 10 gia đình con, gia đình Loại gia đình Số đứa con 20 60 60 40 Tổng 205 25 Bi biến cố lấy đứa thuộc loại gia đình có i H biến cố lấy đứa thuộc gia đình có gái P(H) = P(B0).P(H/B0) + P(B1).P(H/B1) + P(B2).P(H/B2) + P(B3).P(H/B3) + + P(B4).P(H/B4) + P(B5).P(H/B5) P(H/B0) = P(F/A0) = P(H/B1) = P(F/A1) = P(H/B2) = P(F/A2) = 0,25 P(H/B3) = P(F/A3) = 0,375 P(H/B4) = P(F/A4) = 0,375 P(H/B5) = P(F/A5) = 0,3125  P( H )  44 20 60 60 40 25   0, 25  0,375  0,375  0,3125 =0,2942 205 205 205 205 205 205 (1.42 – Sách LT- Lời giải bạn Hoàng Dũng) A1 biến cố lấy hộp 1; A2 biến cố lấy hộp F1 biến cố lấy bi trắng lần 1; F2 biến cố lấy bi trắng lần P(F1) = P(A1).P(F1/A1) + P(A2).P(F1/A2) = 49   10 12 120 Cách 1: P(F1F2) = P(A1).P(F1F2/A1) + P(A2).P(F1F2/A2) = P( F2 / F1 )  4 5 1201   10 10 12 12 7200 P( F2 F1 ) 1201/ 7200 = 0,4085  P( F1 ) 49 /120 Cách 2: P(A1/F1) = P  A1  P  F1 / A1  24  P( F1 ) 49 P(F2/F1) = 45 P(A2/F1) = P  A  P  F1 / A  25  P( F1 ) 49 24 25  = 0,4085 49 10 49 12 BÀI TẬP Các định lý xác suất Trang 14 ... a) C32 C1 21 b) C153 a) 0, 018 144 C 31. C122  C32 C1 21  C33 C123 c)  1 C153 C15 b) 1/ 5 C74 A54 A53  C64 A54 A42 10 6 b) C 31. C124 C 21 C84 d) C153 C105 c) 1/ 2 C72 C53 A82  C62 C43 9 .10 6 Có... lần 1; F2 biến cố lấy bi trắng lần P(F1) = P(A1).P(F1/A1) + P(A2).P(F1/A2) = 49   10 12 12 0 Cách 1: P(F1F2) = P(A1).P(F1F2/A1) + P(A2).P(F1F2/A2) = P( F2 / F1 )  4 5 12 01   10 10 12 12 ... F1 ) 12 01/ 7200 = 0,4085  P( F1 ) 49 /12 0 Cách 2: P(A1/F1) = P  A1  P  F1 / A1  24  P( F1 ) 49 P(F2/F1) = 45 P(A2/F1) = P  A  P  F1 / A  25  P( F1 ) 49 24 25  = 0,4085 49 10 49 12