Giải bài tập chương 7 xác suất thống kê trong sách bài tập

Độ hiệu quả trung vị so với trung bình làKhi đầy đủ số liệu thì dùng trung bình mẫu tốt hơn Khi thiếu số liệu thì dùng trung vị để lượng trung bình tổng thể... Trung bình mẫu là X phương

Bài 7.1/146

Tổng thể là biến ngẫu nhiên X E(X)=1065,pV (X) = 500

Xt mẫu W = (X1, X2, , Xn), trong đó X1, X2, , X100 là biến ngẫu nhiên lập

E(Xi) = E(X) = 1065, V (Xi) = V (X) = 5002, ∀i = 1, 100

Tổng thể là biến ngẫu nhiên X V(X)=1000000.

Lấy ra mẫu n: W = (X1, X2, , Xn) thì Xi phân phối với X Khi

Độ hiệu quả trung vị so với trung bình là

Khi đầy đủ số liệu thì dùng trung bình mẫu tốt hơn

Khi thiếu số liệu thì dùng trung vị để lượng trung bình tổng thể.

Trung bình mẫu là X phương sai là V (X)

Khi đó độ hiệu quả Xd so với X là

Dùng trung bình mẫu hiệu quả hơn.

Mà diện thửa ruộng là 10.5=50.

Vậy Z=X.Y là lượng không diện

Rõ ràng V (f2) < V (f1) nên lượng f2 hiệu quả hơn lượng f1

Độ hiệu quả f2 so với f1 là

EF = V (f1)

V (f2) =

p(1−p) 3 p(1−p) 4

= 4

3 ≈ 1, 333

Coi như W1 và W2 là hai mẫu ngẫu nhiên lập Xt lớp lượng tuyến tính

Gọi X là tiêu trung bình.

Theo đề ra ta σ(V ) = 3σ(U ) := 3.σ và U,V lập.

X ∼ P (λ) MÉu n=3, w=(15,8,13) Ta

f (xi, λ) = e−λλ

x i

b L(λ = 5) = e−15 5

36

15!8!13! ≈ 1, 356.10−8L(λ = 10) = e−30 10

36

15!8!13! ≈ 2, 8501.10−4L(λ = 12) = e−36 12

36

15!8!13! ≈ 1, 8328.10−6L(λ = 25) = e−75 25

X ∼ E(λ) Mẫu n=5 là W = (X1, , X5) Hàm mật độ suất là

Trong giá trị trên thì L(λ = 0, 3) là lớn nhất.

b Trong trường hợp với n bất kì ta

Tổng thể với biến ngẫu nhiênX ∼ B(n, p) Khi đó X là số lần xuất hiện biến A trong n php thử lập

L(0, 8) = 0, 83.0, 22 = 2048.10−5L(0, 9) = 0, 93.0, 12 = 729.10−5L(1) = 13.02 = 0

(1 − p)m−P

m i=1 x i

p=x/m

= 2

x 2

m − x − xm2[p(1 − p)]2 = x(

x

m − 1)[p(1 − p)]2 < 0

Đây là bài toán lượng bằng khoảng tin đối xứng giá trị tham sốà phân phối

khi biết σ2 với n 6 30.

Khi đó khoảng tin là

lượng àkhi biết σ2 Khoảng tin là

b Với α = 0, 01 ⇒ u0,005 = 2, 58 Để độ dài khoảng tin đối xứng không vượt quá

Io = 0, 6cm thì mẫu n phải thỏa mãn

n >  4σ

2

I2 o

X là năng suất ngô A vùng, X ∼ N(à, σ2) với à, σ2 biết.

Đây là bài toán lượng bằng khoảng tin bên phải giá trị àkhi biết σ2 và

n < 30 Khi đó khoảng tin bên phải à là

a) Đây là bài toán lượng bằng khoảng tin đối xứng hiệu à1 − à2 khi biết

σ1, σ2 và ràng Khi đó khoảng tin là

(x1 − x2) −

n 1 + s22

n 2

=

2600 3.4 2600 3.4 + 34003.4 =

2600

6000 =

1330

(360 − 330) − r 2600

3.4 +

34003.4 ã 2, 447; (360 − 330) +r 2600

3.4 +

34003.4 ã 2, 447

Gọi X1, X2 tương ứng là thu nhập hàng năm nữ và nam nhân viên Theo giả thiết ta

X1 ∼ N(à1, σ12); X2 ∼ N(à2, σ22), trong đó à1, à2, σ12, σ22 đều biết.

Đây là bài toán lượng hiệu à1 − à2 khi biết phương sai và không sở

để rằng bằng nhau Do đó khoảng tin (1 − α) à1 − à2 là



(X1 − X2) −

s

S2 1

n1

+ S

2 2

n2

t(k)α/2; (X1− X2) +

s

S2 1

n1

+ S

2 2

5 + 21,55 = 0, 3175

k = (n1 − 1)(n2− 1)

(n2 − 1)c2 + (n1 − 1)(1 − c)2 =

4.44.0, 31752+ 4.0, 68252 = 7, 1

Với 1 − α = 0, 95 ⇒ α/2 = 0, 025 ⇒ t(k)α/2 = t(8)0,025 = 2, 306

Vậy với độ tin 95%, khoảng lượng đối xứng à1 − à2 là



(x1− x2) −

s

s2 1

n1

+ s

2 2

n2

t(k)α/2; (x1 − x2) +

s

s2 1

n1

+ s

2 2

X1 ∼ N(à1, σ12) là số thông minh 1 đưa trẻ mẹ uống rượu

X2 ∼ N(à1, σ22) là số thông minh một đứa trẻ mẹ không uống rượu Bài toán lượng bằng khoảng tin đối xứng khi biết σ2

n1

+ S

2 2

n2

t(k)α/2; (X1− X2) +

s

S2 1

n1

+ S

2 2

45 ã 11520 = 256s

s2 1

n1

+ s

2 2

n 1

s 2

n 1 + ns21 =

257,875 8 257,875

8 + 25646 = 0, 8528

k (n1 − 1)(n2− 1)(n2 − 1)c2 + (n1 − 1)(1 − c)2 = 9, 58 ≈ 10

t(k)α/2 = t(10)0,025 = 2, 228

Khoảng tin đối xứng à1 − à2 là

(x1 − x2) −

s

s2 1

n1 +

s2 2

n2t

(k) α/2; (x1 − x2) +

s

s2 1

n1 +

s2 2

n2t

(k) α/2



= (78 − 99) − 6, 148.2, 228; (78 − 99) + 6, 148.2, 228

= (−34, 7; −7, 3)

Vậy với độ tin 95% ta 7, 3 < à2 − à1 < 34, 7.

Bài 7.32/159

Gọi X, Y lần lượt là doanh số ty và sau quảng Theo giả thiết X, Y phân phối và à1, à2 là doanh số trung bình tương ứng tăng doanh số trung bình là àD = à1 − à2

Khi đó khoảng tin đối xứng àD với độ tin 95% là



D − √SD

nt

(n−1) α/2 ; D + √SD

nt

(n−1) α/2

nt

(n−1) α/2

X là số lượng sâu bắt khi phun 1 thửa ruộng

Y là số sâu bắt sau khi phun

Mẫu gồm số liệu theo

Đặt D=Y-X ⇒ àD = à2 − à1 là số sâu giảm đi trung bình sau khi dùng

Đây là bài toán lượng giá trị àD bằng khoảng tin đối xứng khi biết σ2 và n<30 Khi đó khoảng lượng àD là



D − √S

nt

(n−1) α/2 ; D + √S

nt

(n−1) α/2

nt

(n−1) α/2

Gọi X1, X2 lần lượt là thời gian dừng máy và sau khi tiến kỹ thuật.

Đây là bài toán lượng hiệu hai kì vọng toán à1 − à2 phân phối khi biết σ1, σ2 và ràng Khi đó khoảng tin đối xứng à1 − à2



(X1 − X2) −

s

S2 1

n1

+ S

2 2

n2

t(k)α/2; (X1− X2) +

s

S2 1

n1

+ S

2 2

n2

t(k)α/2



n 1

s 2

n 1 + ns22 =

49 30 49

σ21

n1

+ σ

2 2

Khoảng tin đối xứng à1 − à2 với độ tin 95% là



(x − y) −

s

s2 1

n1 +

s2 2

n2t

(k) α/2; (x − y) +

s

s2 1

n1 +

s2 2

n2t

(k) α/2

s21

n1

+ s

2 2

n2

= 0, 3363

c =

s 2 1

n 1

s 2

n 1 + ns22 =

0,4547 6 0,4547

6 + 0,29848 = 0, 67

k = (n1 − 1)(n2− 1)

(n2 − 1)c2 + (n1 − 1)(1 − c)2 =

5.77.0.672+ 5.0.332 = 79, 5

n1 +

s2 2

n2t

(k) α/2; (x − y) +

s

s2 1

n1 +

s2 2

n2t

(k) α/2

Đây là bài toán lượng tham số p quy luật A(p) bằng khoảng tin đối xứng.

Do mẫu kiểm tra khá lớn nên khoảng tin p là

Đây là bài toán lượng hiệu hai tham số p hai biến ngẫu nhiên phân phối không

- một Do n1 = 1500, n2 = 1000là lớn nên khoảng tin đối xứng p1− p2 với độ tin 1 − α = 0, 95là

Gọi p1, p2 tỷ lệ gia đình phí tang lễ trên 2 triệu trong số gia đình nhân

và trong số gia đình thương nhân Sự giữa 2 nhóm là p1− p2 Khoảng tin

p1 − p2 với độ tin 1 − α là

(f1 − f2) − Sfuα/2; (f1 − f2) + Sfuα/2

Đây là bài toán lượng σ2

khi biết à Khi đó khoảng tin σ2

Gọi X là lãi suất phiếu

bài toán lượng σ2 khi biết à.

khoảng tin σ2 với độ tin 1 − α là

Gọi X là lượng sữa một bò trong một kì vắt sữa

bài toán lượng σ2 khi biết à.

khoảng tin σ2 với độ tin 1 − α là

Với độ tin 95%, khoảng lượng σ22/σ12 là

 S2 2

S12f

(n 1 −1,n 2 −1)

2 2

S12f

(n 1 −1,n 2 −1) α/2

s21f

(n 1 −1,n 2 −1) α/2



=

3400 3 2600 3

ã 0, 065;

3400 3 2600 3

S12f

(n 1 −1,n 2 −1)

2 2

S12f

(n 1 −1,n 2 −1) α/2



f(n1 −1,n 2 −1) 1−α/2 = f1−0,025(6−1,6−1) = 1

f0,025(5,5) =

1

7, 15 = 0, 14

f(n1 −1,n 2 −1) α/2 = f0,025(5,5) = 7, 15

S12f

(n 1 −1,n 2 −1) α/2

s21f

(n 1 −1,n 2 −1) α/2

Bài toán lượng bằng khoảng tin đối xứng giá trị tham số à phân phối

khi biết phương sai và n<30 Khi đó khoảng tin 1 − α à là



X − √S

nt

(n−1) α/2 ; X + √S

nt

(n−1) α/2



+ S

2 2

n2

t(k)α/2; (X2− X1) +

s

S2 1

n1

+ S

2 2

n2

= 41, 905; c =

s 2 1

a) Gọi X là khối lượng gỗ mỗi , X ∼ N(à, σ2)

Đây là bài toán lượng giá trị tham số àkhi biết σ2 Khoảng lượng

nt

(n−1) α/2

m > f (1 − f)

ε20 u

2 α/2 = 4n = 4.400 = 1600

a) Gọi X1, X2 lần lượt là tỷ lệ thu hồi vốn dự án 1 và dự án 2 Khi đó

lượng tỷ lệ thu hồi vốn trung bình là



X − √S

nt

(n−1) α/2 ; X − √S

nt

(n−1) α/2

nt

(n−1) α/2

nt

(n−1) α/2

nt

(n−1) α/2



n = 144; x = 190; s = 30

1 − α = 0, 95 ⇒ t(n−1)α/2 = t(143)0,025 ≈ u0,025 = 1, 96KQ



x − √s

nt

(n−1) α/2 ; x + √s

nt

(n−1) α/2



(X1 − X2) −

s

S2 1

n1 +

S2 2

n2t

(k) α/2; (X1− X2) +

s

S2 1

n1 +

S2 2

n2t

(k) α/2

Gọi X là số vốn đầu tư vào dự án , X ∼ N(à, σ2)

Bài toán lượng à khi biết σ2 Công là



X − √S

nt

(n−1) α/2 ; X + √S

nt

(n−1) α/2



n = 15; x = 11, 32; s = 4, 4; 1 − α = 0, 95 ⇒ t(n−1)α/2 = t(14)0,025 = 2, 145KQ

Gọi X là tuổi thọ quy, X ∼ N(à, σ = 4, 5).

Muốn sai không quá ε0 = 1 với độ tin 1 − α = 0, 95 thì mẫu phải thỏa mãn

n >  σ

2

ε2 0

nt

(n−1) α/2



n = 128; x = 25500; s = 6500

1 − α = 0, 99 ⇒ t(n−1)α/2 = t(127)0,005 ≈ u0,005 = 2, 575KQ

n1 +

S2 2

n2t

(k) α/2; (X2− X1) +

s

S2 1

n1 +

S2 2

n2t

(k) α/2

s21

n1

+ s

2 2

n 1

s 2

n 1 + ns22 =

28,6381 15 28,6381

15 + 25,266716 = 0, 5313

k = (n1− 1)(n2 − 1)

(n2 − 1)c2 + (n1 − 1)(1 − c)2 =

14.1515.0, 53132 + 14.0, 46872 = 28, 73

Sè mµn h×nh khuyÕt tËt tèi ®a lµ 0, 04457.10000 = 445, 7 ≈ 446.