chơng dãy số, cấp số cộng cấp số nhân A Kiến thức cần nhớ I Phơng pháp quy nạp toán học Việc sử dụng phơng pháp quy nạp toán học để chứng minh f(n) có tính chất K víi n ∈ N ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: (Bíc c¬ së): Chøng tá víi n = f(1) thoả mãn tính chất K Bớc 2: (Bớc quy nạp): Giả sử số hạng f(k) thoả mãn tính chất K Ta chứng minh số hạng f(k + 1) thoả mãn tính chất K Bớc 3: Kết luận II Dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định tập hợp N* số nguyên dơng đợc gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt d·y sè) KÝ hiƯu (un) hay ë d¹ng khai triĨn u1, u2, , un, Cách cho dãy số Một dãy số thờng đợc xác định cách: Cách 1: Dãy số xác định công thức cho số hạng tổng quát un Thí dụ 1: Dãy số (un) xác định un = 2n + Khi ®ã, nÕu viÕt d·y sè dới dạng khai triển, ta đợc 3, 5, 7, …, 2n + 1, … C¸ch 2: D·y sè x¸c định công thức truy hồi (hay nói cho dãy số quy nạp), tức là: Trớc tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trớc Thí dụ 2: Dãy số (vn) xác định bởi: v1 = v2 = vn = vn−2 + vn−1, víi n ≥ Khi ®ã, nÕu viÕt d·y số dới dạng khai triển, ta đợc: v1 = 1, v2 = 1, v3 = 2, v4 = 3, v5 = 5, Dãy số đợc gọi dãy số Phibônaxi 147 Cách 3: Dãy số xác định mệnh đề mô tả số hạng liên tiÕp cđa nã ThÝ dơ 3: Cho d·y sè (un) với un chữ số thứ n cách viết thập phân số , ta có dãy sè: u1 = 3, u2 = 1, u3 = 4, u4 = 1, u5 = 5, … Trong trêng hỵp ta không tìm đợc công thức biểu thị số hạng un qua n dãy số tăng, dãy số giảm Định nghĩa 2: a Dãy số (un) đợc gọi dãy số tăng n N*, un < un+1 b Dãy số (un) đợc gọi dãy số gi¶m nÕu ∀n ∈ N*, un > un+1 VËy, ta thấy: Với dãy số (un) tăng, ta có u1 < u2 < u3 < … < un < … Với dãy số (un) tăng, ta có u1 > u2 > u3 > … > un > … dãy số bị chặn Định nghĩa 3: a Dãy số (un) đợc gọi bị chặn M ∈ R : un ≤ M, ∀n ∈ N* b Dãy số (un) đợc gọi bị chặn dới ∃ m ∈ R : un ≥ m, ∀n ∈ N* c Dãy số (un) đợc gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dới, tøc lµ: ∃ m, M ∈ R : m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N* III CÊp sè céng a định nghĩa Định nghĩa: Dãy số (un) đợc xác ®Þnh bëi: u1 = u un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (u, d lµ hai sè thùc cho trớc) đợc gọi cấp số cộng u số hạng d công sai Đặc biệt d = (un) dãy số tất số hạng 148 tính chất Định lí 1: Ba sè un, un + 1, un + lµ ba số hạng liên tiếp cấp số cộng (un) nếu: un + = (un + un + 2) Định lí 2: Số hạng thứ n cấp số cộng (u n) đợc cho công thức: un = u1 + (n 1)d Định lí 3: Tổng n số hạng (kí hiệu S n) cấp số cộng (un) đợc cho công thøc: n n Sn = u + u + … + u n = (u1 + un) = [2u1 + (n − 2 1)d] IV CÊp sè nhân định nghĩa Định nghĩa: Dãy số (un) đợc xác định bởi: u1 = u un+1 = un.q, n N* (u, q hai số thực khác cho trớc) đợc gọi cấp số nhân u số hạng q công bội Đặc biệt q = (un) dãy số tất số hạng tính chất Định lí 1: Ba sè un, un + 1, un + lµ ba số hạng liên tiếp cấp số nhân (un) nếu: u2n+1 = un.un + Định lí 2: Số hạng thứ n cấp số nhân (u n) đợc cho công thức: un = u1.qn Định lí 3: Tổng n số hạng Sn cấp số nhân (un) đợc cho công thức: qn − Sn = u1 + u2 + … + un = u1 q 149 B Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Phơng pháp quy nạp toán học Thí dụ Chứng minh với số nguyên dơng n, ta có: n(3n + 1) a + + + + (3n – 1) = (1) b 13n − chia hÕt cho 12 Gi¶i a KÝ hiƯu điều cần chứng minh (*), ta giải toán phơng pháp quy nạp Với n = 1, ta cã 13 + 11 = 12 Nh vậy, (*) với n = Giả sử (*) với n = k, tức (k3 + 11k) Ta sÏ ®i chøng minh (*) còng ®óng víi n = k + 1, thËt vËy: (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 V× (k3 + 11k) 6, 3k(k + 1) vµ 12 nªn biĨu thøc trªn chia hÕt cho Từ chứng minh suy (*) với số nguyên dơng n b Ta lần lợt thùc hiƯn: Víi n = 1, ta cã: 1(3.1+ 1) 2= = 2, ®óng Nh vËy (1) ®óng với n = Giả sử (1) với n = k, tøc lµ: k(3k + 1) + + + + (3k – 1) = Ta sÏ ®i chøng minh (1) còng ®óng víi n = k + 1, thËt vËy: k(3k + 1) + + + + (3k – 1) + [3(k + 1) – 1] = + (3k + 2) (k + 1)(3k + 4) 3k2 + k + 6k + 3k2 + 7k + = = = 2 150 (k + 1)[3(k + 1) + 1] , ®pcm Tõ chứng minh suy (1) với số nguyên dơng = n Nhận xét: Nh vậy, ví dụ minh hoạ cách sử dụng phơng pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề Trong thực tế, ta gặp toán với yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) mệnh đề với giá trị nguyên dơng n p, p số nguyên dơng cho trớc Trong trờng hợp này, để giải toán đặt phơng pháp quy nạp toán học, bớc ta cần chứng minh A(n) mệnh đề n = p bớc 2, cần xét giả thiết quy nạp với k số nguyên dơng tuỳ ý lớn p VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2, ta cã 3n > 3n + Giải Kí hiệu điều cần chứng minh (1), ta lần lợt thực hiện: Với n = 2, ta cã: 32 > 3.2 + ⇔ > 7, ®óng Nh vËy (1) ®óng víi n = Giả sử (1) với n = k, tøc lµ: 3k > 3k + Ta sÏ ®i chøng minh (1) còng ®óng víi n = k + 1, thËt vËy: 3k + = 3.3k > 3(3k + 1) = 9k + = 3(k + 1) + 6k > 3(k + 1) + Từ chứng minh suy (1) với mäi sè nguyªn n ≥ VÝ dơ 2: 1 + + + víi n ∈ ¥ * 2.3 n(n + 1) 1.2 a TÝnh S1 , S2 , S3 b Dự đoán công thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp Cho tổng Sn = Giải a Ta lần lợt có: 151 1 =1− =1− , 1.2 1+ 1 1 1 S2 = + =1− + − = =1− , 1.2 2.3 2 3 2+ S3 = =1− 3+ b Dự đoán công thức tính tổng Sn lµ: Sn = − n+ (*) Ta chứng minh dự đoán quy nạp nh sau: Víi n = 1, ta thÊy (*) kết từ câu a) Giả sử (*) ®óng víi n = k, tøc lµ: Sk = − k+1 Ta sÏ ®i chøng minh (*) còng ®óng víi n = k + 1, thËt vËy: 1 Sk + = S k + =1− + (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) k+1 1− k − =1+ =1− , ®pcm (k + 1)(k + 2) (k + 1) + Từ chứng minh suy (*) với số nguyên dơng n S1 = Nhận xét: Ví dụ minh hoạ công việc hay gặp thực toán dãy số, "Đoán nhận công thức tổng quát dãy số chứng minh công thức ®ã" n n+ ThÝ dô Chøng minh r»ng (1+ 22)(1+ 22 )(1+ 22 ) ì ì (1+ 22 ) < 22 Giải Đặt: n Fn = (1+ 22)(1+ 22 )(1+ 22 ) ì ì (1+ 22 ) Ta chứng minh phơng pháp quy nạp toán học rằng: n+1 Fn = (22 − 1) (*) ThËt vËy: Víi n = th×: 152 1 F1 = 1+ 22 = = (22 − 1) nên công thức Giả sử công thức ®óng víi n = k, tøc lµ: k+ Fk = (22 − 1) Ta chøng minh công thức với n = k + 1, ta cã: k +1 k+ ) (22 − 1) = (22 − 1) 3 * Vậy, công thức (*) với n N Từ đó, suy ta cần chứng minh: 2n+1 n+1 (2 − 1) < 22 , ®iỊu 3 k +1 k +1 Fk+1 = (1+ 22 )Fk = (1+ NhËn xét: Lời giải đợc xây dựng dựa việc dự đoán đợc đẳng thức cho Fn chứng minh đẳng thức phơng pháp quy nạp toán häc theo bíc n = 1, n = k n = k + Các em học sinh khác, sau tham khảo lời giải thấy không dự đoán đợc công thøc cho Fn th× còng cã thĨ chøng minh bÊt đẳng thức phơng pháp quy nạp cách trực tiếp Thí dụ Giả sử a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh với số nguyên n > thì: anb(a – b) + bnc(b – c) + cna(c – a) ≥ Gi¶i Chóng ta chøng minh bÊt đẳng thức đầu phơng pháp quy nạp toán học Với n = 2, đặt: 2x = b + c – a > 0; 2y = a – b + c > 0; 2z = a + b – c > suy ra: a = y + z, b = z + x, c = x + y Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: xy3 + yz3 + zx3 – xyz(x + y + z) ≥ x2 y2 z2 + − (x + y + z) ≥ ⇔ xyz + (*) z x y ¸p dơng bÊt đẳng thức Côsi cho số dơng, ta có: 153 y+ x2 x2 ≥ y = 2x y y z2 y2 ≥ 2z vµ z + ≥ 2y x z Từ bất đẳng thức (*) đợc chứng minh, hay bất đẳng Tơng tự x + thức: anb(a b) + bnc(b – c) + cna(c – a) ≥ đợc chứng minh Giả sử bất đẳng thức tới n Không tính tổng quát, ta giả sư c ≤ b ≤ a Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, ta cã: bnc(b – c) ≥ – anb(a – b) – cna(c – a) ⇒ bn + 1c(b – c) ≥ – anb2(a – b) – cnab(c – a) Do ®ã: an + 1b(a – b) + bn + 1c(b – c) + cn + 1a(c – a) ≥ an + 1b(a – b) – anb2(a – b) – cnab(c – a) + cn + 1a(c – a) = anb(a – b)2 + cna(c – a)(c – b) ≥ Vậy bất đẳng thức với n + Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức cho với n > Đẳng thức xảy vµ chØ khi: a = b = c hay ABC Đ2 Dãy số Dạng toán 1: Mở đầu dãy số Phơng pháp áp dụng Với giả thiết cho dãy số (u n) dới dạng công thức tổng quát biểu thức truy hồi câu hỏi thờng đợc đặt là: a Hãy viết k số hạng đầu dãy số tìm u k Câu hỏi đợc thực phép b Xác định xem a số hạng thứ dãy số Câu hỏi đợc thực việc giải phơng tr×nh Èn n … ThÝ dơ Cho d·y sè (un) víi un = (−1)n + n a T×m u9, u12, u2n, u2n + b T×m xem số hạng thứ dãy số ? 154 Gi¶i a Ta cã: (−1)9 + (−1)12 + = 0; u12 = = 12 2n 2n+1 (−1) + (−1) +1 u2n = = ; u2n + = = n 2n 2n + b Từ kết câu a) ta thấy số hạng lẻ dãy số nhận giá trị u9 = Thí dụ Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 = 15, u2 = un = un− − un−1, n ≥ a H·y viÕt số hạng đầu dãy số b Tìm xem số hạng thứ dãy số ? Giải a Ta lần lợt có: u1 = 15; u2 = 9; u3 = − 6; u4 = − 15; u5 = − 9; u6 = b DÔ thÊy số hạng dãy số không nhận giá trị Dạng toán 2: Xác định công thức dãy số (un) Phơng pháp áp dụng Ta có thĨ lùa chän mét c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn đơn giản biểu thức un Cách 2: Sử dụng phơng pháp quy nạp việc thực theo bớc: Bớc 1: Viết vài số hạng đầu dãy, từ dự đoán công thức cho un Bớc 2: Chứng minh công thức dự đoán phơng pháp quy n¹p ThÝ dơ Cho d·y sè (un), biÕt: u1 = −1 , un + = un + với n a Viết năm số hạng đầu dãy số b Chứng minh phơng pháp quy nạp un = 3n (*) Giải a Ta lần lợt có: u1 = 1, u2 = 2, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 11 155 b Ta lần lợt thực hiện: Víi n = 1, ta thÊy (*) kÕt qu¶ từ câu a) Giả sử (*) với n = k, tøc lµ uk = 3k − Ta sÏ ®i chøng minh (*) còng ®óng víi n = k + 1, thËt vËy: uk + = uk + = 3k − + = 3(k + 1) 4, đpcm Từ chứng minh suy (*) với số nguyên dơng n NhËn xÐt: Nh vËy, ë thÝ dơ trªn chóng ta không cần thực việc dự đoán công thức cho un Thí dụ Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 = un = un−1 + 2, n Xác định công thức tính un theo n Giải Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Từ giả thiết ta cã: u1 = u2 = u + u3 = u + … un = u n + Cộng theo vế đẳng thức trên, ta đợc: un = + 2(n 1) = 2n − VËy, ta cã un = 2n − C¸ch 2: Ta cã: u1 = = 2.1 − u2 = + = = 2.2 − u3 = + = = 2.3 Dự đoán un = 2n (1) Ta chứng minh dự đoán phơng pháp quy nạp, thật vậy: u1 = 2.1 = 1, tức công thức (1) với n = Giả sử công thức (1) ®óng víi n = k, tøc lµ u k = 2k − Ta ®i chøng minh nã còng ®óng víi n = k + ThËt vËy: uk + = uk + = 2k − + = 2(k + 1) − 1, tøc lµ (1) ®óng víi n = k + 156 ThÝ dơ Cho ba sè 2 , , lËp thµnh mét cÊp sè céng b− a b b− c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c lËp thµnh cấp số nhân Giải Từ giả thiết ba số đợc: 2 , , lập thành cÊp sè céng, ta b− a b b− c 2 + = ⇔ b(b − c + b − a) = (b − a)(b − c) ⇔ b2 = ac b− a b− c b VËy, ba sè a, b, c lập thành cấp số nhân Dạng toán 3: Tìm điều kiện tham số để ba số lập thành cấp số nhân Phơng pháp áp dụng a Để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, điều kiện là: ac = b2, toán đợc chuyển việc giải phơng trình b Để sè a, b, c, d lËp thµnh cÊp sè nhân, điều kiện là: ac= b2 , bd= c2 toán đợc chuyển việc giải hệ phơng trình Thí dụ Tìm x để ba số x 2, x − 4, x + lËp thµnh mét cấp số nhân Giải Ba số x 2, x − 4, x + lËp thµnh mét cÊp số nhân, điều kiện là: (x 4)2 = (x − 2)(x + 2) ⇔ 8x = 20 ⇔ x = VËy, víi x = thoả mãn điều kiện đầu Chú ý: Một toán quen thuộc phơng trình bậc ba là: " Tìm điều kiện tham số cho phơng trình: ax3+ bx2 + cx + d = 0, víi a ≠ (1) 173 cã nghiƯm x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân " Ta thực nh sau: Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, đó: x1x3 = x22 , x1 + x + x = − b , a c c ⇔ x1x2 + x2x3 + x22 = a a c c ⇔ x2(x1 + x2 + x3) = ⇔ x2 = − b a c Víi x2 = thay vào (1) ta đợc: b c c c a(− ) + b(− )2 + c(− ) + d = ⇔ ac3 = b3d b b b x1 x2 + x x3 + x x1 = (2) Đó điều kiện cần để (1) có nghiệm lập thành cấp số nhân c b Điều kiện đủ: Từ (2) suy phơng trình có nghiƯm x2 = − Khi ®ã: c b b a x2(x1 + x2 + x3) = (− )(− ) = c = x x2 + x x3 + x x1 a ⇔ x1x3 = x22 ⇔ x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân Vậy, điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm lập thành cấp số nhân ac3 = b3d Với toán tham số m, điều kiện đủ ta khẳng định việc nghiệm cụ thể phơng trình Hãy nhớ điều quan trọng ta phải khẳng định phơng trình cho có nghiệm phân biệt Thí dụ Xác định m để phơng trình: x3 + 2x2 + (m + 1)x + 2(m + 1) = (1) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Giải Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, ®ã: x1x3 = x22 , x1 + x2 + x3 = − 2, x1x2 + x2x3 + x3x1 = m + ⇔ x1x2 + x2x3 + x22 = m + 174 ⇔ x2(x1 + x2 + x3) = m + ⇔ x2 = − m+ m+ thay vào (1) ta đợc: m+ m+ m+ (− ) + 2( − ) + (m + 1)( − ) + 2(m + 1) = 2 m = −1 ⇔ (m + 1)(m + 2m − 15) = ⇔ m = m = Với x2 = Đó điều kiện cần để (1) có nghiệm lập thành cấp số nhân Điều kiện đủ: Ta lần lợt: Với m = 1, ta đợc: x = (1) x3 + 2x2 = không thoả mãn x = Với m = 3, ta đợc: (1) ⇔ x3 + 2x2 + 4x + = ⇔ (x + 2)(x2 + 4) = ⇔ x = 2, không thoả mãn Với m = 5, ta đợc: (1) x3 + 2x2 4x − = ⇔ (x − 2)(x2 + 4) = x = 0, không thoả mãn Vậy, không tồn m thoả mãn điều kiện đầu Dạng toán 4: Tìm phần tử cấp số nhân (un) Phơng pháp áp dụng Thông thờng toán đợc chuyển xác định u1 công bội q Thí dụ Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân (un), biÕt: u4 − u2 = 72 u5 − u3 = 144 Giải Ta biến đổi: u1.q3 u1.q = 72 ⇔ u1.q4 − u1.q2 = 144 u1.q(q2 − 1) = 72 144 ⇒q = = ⇒ u1 = 2 72 u1.q (q − 1) = 144 12 VËy, cÊp sè nh©n (un) cã u1 = 12 vµ q = 175 ThÝ dơ Cho cấp số nhân (un) thoả mãn u4 u2 = 72 vµ u5 − u3 = 144 a Tìm số hạng công bội b Tính tổng số 10 số hạng c Tính tæng S’ = u3 + u6 + … + u12 Giải a Gọi q công bội cấp sè nh©n (un), ta cã: u4 − u2 = 72 ⇔ u5 − u3 = 144 ⇒ u1.q3 − u1.q = 72 ⇔ u1.q4 − u1.q2 = 144 u1.(q3 − q) = 72 u1.(q4 − q2) = 144 q3 − q ⇔ q = ⇒ u1 = 12 = q −q VËy, cấp số nhân (un) có u1 = 12 q = b Ta cã: S20 = u1 + u2 + … + u10 q10 − 210 − = u1 = 12 = 12276 q− 2− c Ta cã: S’ = u3 + u6 + … + u12 = u3 q10 − 210 − = 12.22 = 49104 q− 2− ThÝ dô Cho ba sè a, b, c lËp thµnh mét cÊp sè nh©n Chøng minh r»ng: (a + b + c)(a − b + c) = a2 + b2 + c2 áp dụng: Tìm ba số liên tiếp cấp số nhân biết tổng chúng 21 tổng bình phơng chúng 189 Giải Từ giả thiết ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, ta đợc: ac = b2 Khi đó: (a + b + c)(a − b + c) = (a + c)2 − b2 = a2 + 2ac + c2 − b2 = a2 + 2b2 + c2 − b2 = a2 + b2 + c2, đpcm áp dụng: Với ba số a, b, c thoả mãn điều kiện đầu ta đợc: a + b + c = 21 vµ a2 + b2 + c2 = 189 Suy ra: 176 b = b = 189 a −b + c = =9⇒ ⇒a + c = 15 ⇔ 21 a + c = 15 2 a + c = 153 VËy, ba sè cÇn tìm 3, 6, 12 a = b = c = 12 ThÝ dô BiÕt r»ng ba sè x, y, z lËp thµnh mét cấp số nhân ba số x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng Tìm công bội cấp số nhân Giải Gọi q công bội cấp số nhân Các số x, 2y, 3z lập thành mét cÊp sè céng, suy ra: q = x = lo¹ i x + 3z = 4y ⇔ x + 3xq = 4xq ⇔ ⇔ q = q − q + = VËy, cÊp sè nh©n cã công bội q = q = Dạng toán 5: Tính tổng Phơng pháp áp dụng Thông thờng toán đợc chuyển tính tổng cấp số nhân Thí dụ Tính tổng sau: a S = + + 18 + … + 13122 b S = + 2.2 + 3.22 + … + 100.299 (1) Gi¶i a XÐt cấp số nhân (un) có u1 = công bội q = 3, ta đợc: 13122 = un = u1.qn − = 2.3n − ⇔ n = q9 − 39 − S = S9 = u1 = = 19682 q− 3− b Ta cã ngay: 2S = 1.2 + 2.22 + 3.23 + … + 100.2100 (2) LÊy (2) trõ (1), ta đợc: 2100 S = 100.2100 (1 + + 22 + … + 299) = 100.2100 − = 2− 99.2100 + 177 11 ThÝ dơ TÝnh tỉng S = + 11 + 111 + … + nch sè Giải Xét hai dãy số: Cấp số nhân (un) có u1 = công bội q = 10 11 D·y sè (sn) = {1, 11, 111, …, } nch sè Suy sn tổng n số hạng đầu cấp số nhân (un), tức là: 10n sn = = (10n − 1) 10− Khi ®ã, ta nhận đợc: n n 1 n k n k S = s1 + s2 + … + sn = ∑ sk = ∑ (10 − 1) = ∑ 10 − 9 k=1 k =1 k =1 1 10n − n = 10 − = (10n + − 10 − 9n) 9 81 10− C Các toán chọn lọc Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 = un−1 + , n≥ un = a Chøng minh r»ng (un) bÞ chặn dới b Chứng minh (un) giảm Suy (un) bị chặn Giải a Ta chøng minh un > víi ∀n ∈ N* b»ng phơng pháp quy nạp Ta có: u1 = > 1, tức công thức với n = Giả sử công thức với n = k, tức uk > 1, ta ®i chøng minh uk + > ThËt vËy: u +1 1+ uk + = k > = 1, ®pcm 2 VËy, ta lu«n cã un > 1, ∀n ∈ N*, tøc (un) bị chặn dới b Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Xét hiÖu: u +1 1− un 1− H = u n + − un = n − un = < = 2 178 VËy, d·y (un) giảm Cách 2: Xét tỉ số: un + un+1 1 1 P= = = + < + =1 un 2un 2un 2 VËy, d·y (un) giảm Từ đó, suy < un với n N*, (un) bị chặn Ví dụ 2: *Tìm tất số dơng n để 5n + chia hÕt cho 72000 Gi¶i Ta thực theo phần sau: a Đặt ak = 6.7k – (k ≥ 1), ®ã 5ak chia hết cho 7k nhng không hoàn toàn chia hÕt cho 7k + 1, ta ®i chøng minh nhận định phơng pháp quy nạp nh sau: Với k = Giả sử víi k, ®ã ta cã: 5ak+1 – = 57ak – = ( 5ak – 1)A ®ã: A = 56ak + 55ak + … + 5ak + = u6 + u5 + … + u + víi u = 5ak ≡ (mod 7) Suy ra: A= ∑ (7t + 1) i ≡ (mod 72) i=0 Từ giả thiết quy nạp suy ra: k+1 không chia hết cho 7k + 5ak+1 – b NhËn xÐt r»ng "nÕu 5n ≡ (mod 7k) th× n ak", ta chứng minh điều phơng pháp quy n¹p theo k nh sau: Víi k = ®óng Ta chøng minh ®óng víi k + NÕu: 5n ≡ (mod 7k + 1) ⇒ 5n ≡ (mod 7k) ⇒ n = tak (t ∈ N*) quy n¹p Ta cã: 5n – = ( 5ak – 1)B ®ã: 179 ( ) t−1 a B= ∑5k i=0 i ≡ t (mod 7) v× 5ak ≡ (mod 7) Theo a), ta ph¶i cã: B ≡ (mod 7) ⇔ t ⇔ n ak + = 7ak n c Gi¶ sö ≡ – (mod 7k) ⇒ 52n ≡ (mod 7k) Theo b), ta cã: 2n ak ⇔ n = 3.7k – 1t (t ∈ Z) V×: (5 ) 3.7k −1 = 5ak ≡ (mod 7k) vµ 53.7 k −1 ≠ (mod 7k) b) nªn: k −1 k 53.7 ≡ – (mod ), thµnh thư: 5n ≡ ( – 1)t ≡ – (mod 7k) ⇔ ( – 1)t ≡ – (mod 7k) t lẻ Đảo lại, n = 3.7k 1t với t lẻ 5n ( – 1)t ≡ – (mod 7k) VËy, ta ®ỵc n = 3t.7k – = 3t.71999 víi t lỴ, t ∈ N* VÝ dơ 3: *Cho x1, x2, , xn n số thực thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh ta có bất đẳng thức: n x1(1 – x2) + x2(1 – x3) + …+ xn(1 – x1) ≤ 2 (1) Giải Ta xét trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu n = 2k, k N* (1) đợc chun vỊ d¹ng: x1(1 – x2) + x2(1 – x3) + …+ x2k(1 – x1) ≤ k (2) NhËn xÐt r»ng, víi a, b ∈ [0, 1] ta lu«n cã: (1 − a)(1 − b) ≥ ⇔ a + b ≤ + ab suy ra: x1 + x2 ≤ 1+ x1x2 x2 + x3 ≤ 1+ x2x3 x2k + x1 ≤ 1+ x2k x1 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đợc: x x + x2x3 + + x2k x1 x1 + x2 + …+ x2k ≤ k + 2 180 < k + x1x2 + x2x3 + … +x2kx1, ⇔ x1(1 – x2) + x2(1 – x3) + …+ x2k(1 – x1) ≤ k, ®pcm Trêng hỵp 2: NÕu n = 2k + 1, k ∈ N (1) đợc chuyển dạng: x1(1 x2) + x2(1 – x3) + …+ x2k+1 (1 - x1) < k ⇔ k + x1x2 + x2x3 + x3x1 > x1 + x2 + x2k+1 (3) Ta chøng minh (3) phơng pháp quy nạp theo k Bạn đọc tự làm Chú ý: Đối với bất đẳng thức chứa toán tử tổ mang tính đặc thù nhiều trờng hợp sử dụng tính đơn ®iƯu cđa d·y sè ®Ĩ chøng minh, thĨ víi d·y sè {un} ®Ĩ chøng minh uk≤ u0 ta ®i chứng minh dãy {un} đơn điệu giảm Ví dụ 4: Chøng minh r»ng víi ≤ k ≤ n vµ k, n ∈ Z lu«n cã: C 2nn+ k C 2nn− k ≤ ( C 2nn )2 Gi¶i Cố định n, ta xét dãy số: uk = C2nn+ k C2nn− k víi ≤ k ∈ Z, đó, bất đẳng thức đợc biểu diễn dới dạng: uk ≤ u0 víi ≤ k ∈ Z Ta chứng minh dãy {uk} đơn điệu giảm, thật vậy: (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! (2n + k)! (2n − k)! uk + < u k ⇔ < n!.(n + k + 1)! n!.(n − k − 1)! n!.(n + k)! n!.(n − k)! 2n − k 2n + k + < n + 2nk > n+ k + n− k Suy ra: uk ≤ u0 víi ≤ k ∈ Z ⇔ C2nn+ k C2nn− k ≤ ( C2nn )2, ®pcm VÝ dơ 5: *Cho số tự nhiên n k thỏa mãn điều kiện n = ab với a + b = 10 dãy số thập phân (hữu hạn hay vô hạn): k = 0, a1a2a3 n có mäi ch÷ sè (i = 1, 2, 3, …) khác Chứng minh hai chữ số thập phân kề ai, + không thĨ b»ng 181 Gi¶i k = 0, a1a2a3 víi mäi ch÷ sè (i = 1, 2, 3, ) khác n Ta chứng minh b»ng ph¶n chøng Theo gi¶ thiÕt, ta cã: n = ab = 10a + b = 10(10 – b) + b = 100 – 9b (1) 100k = cc, a3 nªn: XÐt a1 = a2 = c > th× n 100k 11cn (11c + 1)n 11c ≤ < 11c + ⇔ ≤ k< n 100 100 (2) Tõ (1), ta cã: 11cn = 11c(100 – 9b) = 100c(11 – b) + bc (3) (11c + 1)n = 100c(11 – b) + bc + 100 – 9b = 100c(11 – b) + 100 (v× – c ≥ 0) (4) Thay (3), (4) vµo (2), ta ®ỵc: bc c(11 – b) + ≤ k < c(11 b) + 100 Điều không xảy k số nguyên dơng Giả sử = + > víi chØ sè i 1, đó: Giả sử k.10i1 = a1a2 1, ai +1 n Đặt h = k.10i – – n a1a2 − th×: h = 0, ai +1 víi sè tù nhiªn h > ⇒ h ≥ n ¸p dơng kết ta có điều phải chứng minh Ví dơ 6: Cho d·y sè (un) víi un = sè (Sn) xác định nh sau: S1 = u1 Sn = Sn−1 + un , n ≥ 182 2 n + 4n + víi mäi n N* dãy Xác định công thức tính Sn theo n Gi¶i Ta cã ngay: Sn = u1 + u2 + + un Mặt khác, ta có biĨu diƠn: 2 1 − un = = = ( n + )( n + ) n+ n+ n + 4n + Từ đó, ta nhận đợc: 1 1 1 1 − u1 = − , u2 = − , u3 = − , …, un = n+ n+ Cộng theo vế đẳng thức trên, ta đợc: 1 1 5n2 + 13n Sn = u + u + … + u n = + − − = n+ n+ (n + 2)(n + 3) VÝ dô 7: Cho dãy số (un) xác định nh sau: u1 = un = + un−1 , n ≥ Xác định công thức tính un theo n Gi¶i Ta cã: π π = 2cos = 2cos 1+1 , 2 π π π π u2 = + 2cos = 2(1+ cos ) = 4cos2 = 2cos 2+1 , 2 2 Từ đó, ta dự đoán un = 2cos n+1 (1) Ta ®i chøng minh dù đoán phơng pháp quy nạp, thật vậy: (1) với n = Giả sử (1) với n = k, tức uk = 2cos k+1 π Ta ®i chøng minh uk+1 = 2cos k+ , thËt vËy: u1 = = uk+1 = 2+ uk = π + 2cos k+1 = π 2 1+ cos k+1 183 π π π cos k+ = 2cos k+ , = k+ 2 2 π π π < k+ < nªn cos k+ > 2 π VËy, ta lu«n cã un = 2cos n+1 2.2cos2 = VÝ dô 8: Tìm k cho số C 7k , C 7k+1 , C 7k+ theo thø tù lËp thµnh cấp số cộng Giải Điều kiện k N Các số kiện là: C 7k , C 7k+1 , C 7k+ (*) theo thø tù lËp thành cấp số cộng điều C 7k + C 7k+ = C 7k+1 ⇔ 7! 7! 2.7! + = (k + 2)!.(5 − k)! (k + 1)!.(6 − k)! k!.(7 − k)! ⇔ 1 + = (7 − k)(6 − k) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(6 − k) k = ⇔ k2 − 5k + = ⇔ , tho¶ mãn điều kiện (*) k = Vậy, phơng trình cã hai nghiƯm k = hc k = Ví dụ 9: Cho phơng trình: x3 + ax + b = (1) Chứng minh không tồn giá trị a, b để phơng trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Giải Ta chứng minh phản chứng Giả sử trái lại (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 lập thành cấp số nhân Khi đó: 184 x1 + x2 + x3 = x1x2 + x2x3 + x3x1 = a ⇒ x12 + x22 + x32 =0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0, lo¹i x x x = b x2 = x x VËy, kh«ng tån giá trị a, b để phơng trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Ví dụ 10: Cho phơng trình: x4 2(m + 1)x2 + 2m + = (1) Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Giải Đặt t = x2, điều kiện t Khi đó, phơng trình đợc biến ®ỉi vỊ d¹ng: t2 − 2(m + 1)t + 2m + = (2) Phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng < t1 < t2 (m+ 1)2 − 2m− > ∆ '> ⇔ − b/ a > ⇔ 2(m+ 1) > ⇔ − < m ≠ 0, 2m+ > c / a > bốn nghiệm (1) t2 , − t1 , t1 , Bèn nghiƯm trªn lËp thµnh cÊp sè céng : − t2 + t1 = −2 t1 ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 − t1 + t2 = t1 Theo định lí Viét ta có: t1 + t2 = 2(m + 1) t1t2 = 2m + Thay (3) vào (I) đợc : t2 (3) (I) 5t1 = m + t1 + 9t1 = 2(m + 1) ⇔ ⇔ 9m2 −32m −16 = ⇔ 9t1 = 2m + t1.(9t1) = 2m + VËy, víi m = hc m = − m = m = − thoả mãn điều kiện đầu 185 Ví dụ 11: Cho số nguyên a, b, tháa m·n a2 = b + XÐt d·y sè (un) đợc xác định u0 = 0, un+1 = aun + bu2n + c2 , ∀n∈ N Chøng minh dãy (un) dãy số nguyên Giải Ta trình bày theo hai cách sau: Cách 1: Từ giả thiết, ta có: un = aun − + bu2n−1 + c2 ⇒ u2n − 2aun−1un + a2u2n−1 = bu2n−1 + c2 2 2 ⇒ (a − b)un − 2aun−1un + un−1 = c a2 = b + nên: (aun un-1)2 = bun2 + c2 Do ®ã, víi ∀n ∈ N* ta cã: un+1 = aun + aun – un -1 (1) Vì u0 = nên: u1 = au0 = au0 + bu20 + c2 = c nªn tõ (1) suy un Z, n N, đpcm Cách 2: Từ giả thiết ta đợc: un+22 2aun+2.un+1 + un+12 – c2 = ∀n ∈ N (2) un2 – 2aun+2.un + un+12 – c2 = ∀n ∈ N (3) LÊy (2) trõ (3), vÕ theo vÕ, ta đợc: (un+2 un)(un+2 + un 2a.un+1) = ∀n ∈ N Suy ra, víi ∀n ∈ N ta cã nÕu un ∈ Z vµ un+1 ∈ Z th× un+2 ∈ Z (*) V× u0 = ∈ Z u1 = c Z nên từ (*) suy un ∈ Z víi ∀n ∈ N VÝ dụ 12: *Với số tự nhiên k > 0, chøng minh r»ng ( + )2k lu«n viÕt đợc dạng ak + bk với ak, bk nguyên dơng Tìm hệ thức xác định dãy (ak), dãy (bk) víi k = 1, 2, 3, … Chøng minh r»ng víi mäi k ≥ th× ak – 1.ak + – b2k lµ mét h»ng sè 186 Gi¶i a Ta chøng minh: ( + )2k = ak + bk phơng pháp quy nạp Với k = 1, mệnh đề Giả sư mƯnh ®Ị ®óng víi k Ta cã: ( + )2(k + 1) = ( + )2k( + )2 = (ak + bk ) (5 + ) Do lµ sè vô tỉ nên suy ra: ak + = 5ak + 12bk + = 5ak + + 12(2ak + 5bk) ak+1 − 5ak = 10ak + – ak víi a1 = 5ak + + 12 2ak + 12 = 5, a2 = 49 T¬ng tù, ta cã: bk + = 10bk + – bk víi b1 = 2, b2 = 20 Từ đó, hệ thức truy hồi xác định (ak), (bk) b Từ (1) (2), ta cã: ak – = 5ak – 12bk VËy, ta lu«n cã: ak – 1.ak + – b2k = (5ak – 12bk)( 5ak + 12bk) – b2k = 25( a2k – b2k ) = 25(ak – = 25( – bk)(ak + )2k( + bk) 3) 2k = 12k = Nh vËy ak – 1.ak + – b2k = 25, ∀k ≥ 187 ... k, tøc lµ (k3 + 11k) Ta sÏ ®i chøng minh (*) còng ®óng víi n = k + 1, thËt vËy: (k + 1 )3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 V× (k3 + 11k) 6, 3k(k + 1) ... 1, thËt vËy: 3k + = 3. 3k > 3( 3k + 1) = 9k + = 3( k + 1) + 6k > 3( k + 1) + Tõ c¸c chøng minh suy (1) với số nguyên n ≥ VÝ dô 2: 1 + + + víi n ∈ ¥ * 2 .3 n(n + 1) 1.2 a TÝnh S1 , S2 , S3 b Dự đoán... uk 6, tøc (k3 + 11k) Ta chứng minh uk + 157 ThËt vËy: uk + = (k + 1 )3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 suy uk + bëi (k3 + 11k) 6, 3k(k + 1) vµ