trắc nghiệm chương 3 dãy số cấp số NHÂN cấp số CỘNG 4 mức độ có đáp án chi tiết từng câu (file word)

Câu 1: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 cơng sai d = Tìm số hạng u10 A u10 = −2.3 B u10 = 25 C u10 = 28 D u10 = −29 Lời giải Chọn B Ta có u10 = u1 + 9d = −2 + 9.3 = 25 Câu 2: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = , u8 = 26 Tìm cơng sai d 11 10 A d = B d = 3 C d = 10 D d = 11 Lời giải Chọn A 11 u8 = u1 + 7d ⇔ 26 = + 7d ⇔ d = 3 Câu 3: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = , u8 = 26 Tìm cơng sai d 11 10 A d = B d = 3 C d = 10 D d = 11 Lời giải Chọn A 11 u8 = u1 + 7d ⇔ 26 = + 7d ⇔ d = 3 n Câu 4: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) với un = Tính un +1 ? n A un +1 = + n B un +1 = 3.3 n C un +1 = + D un +1 = ( n + 1) Lời giải Chọn B n +1 n Ta có un +1 = = 3.3 Câu 5: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) : 2, a, 6, b Tích ab bằng? A 32 B 40 C 12 Lời giải D 22 Chọn A  + = 2a a = ⇔ ⇒ ab = 32 Ta có   a + b = 2.6 b = Câu 6: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Trong dãy số sau dãy số cấp số nhân? A Dãy số −2 , , −2 , , …, −2 , , −2 , , … n B Dãy số ( un ) , xác định công thức un = + với n ∈ ¥ * u1 = C Dãy số ( un ) , xác định hệ:  * un = un −1 + ( n ∈ ¥ : n ≥ ) D Dãy số số tự nhiên 1, , , … Lời giải Chọn A Dãy số −2 , , −2 , , …, −2 , , −2 , , … cấp số nhân với số hạng đầu u1 = −2 , công bội q = −1 Dãy số ( un ) n xác định công thức un = + có u1 = + = , u2 = + = 10 , u3 = 33 + = 28 Nhận xét: u3 u2 ≠ nên ( un ) không cấp số nhân u2 u1 u1 = Dãy số ( un ) , xác định hệ:  có u1 = , u1 = , u3 = Nhận * un = un −1 + ( n ∈ ¥ : n ≥ ) xét: u3 u2 ≠ nên ( un ) không cấp số nhân u2 u1 Dãy số số tự nhiên 1, , , … có u1 = , u1 = , u3 = Nhận xét: u3 u2 ≠ nên không u2 u1 cấp số nhân Câu 7: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Tính giới hạn I = lim A I = B I = +∞ C I = 2n + n +1 D I = Lời giải Chọn C 2+ 2n + n = = lim Ta có I = lim n +1 1+ n Câu 8: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có u4 = , u2 = Hỏi u1 bao nhiêu? A u1 = B u1 = Chọn C Theo giả thiết ta có u4 = u + 3d = u = ⇔ ⇔   d = −1 u2 = u1 + d = C u1 = Lời giải D u1 = −1 Câu 1: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng tổng quát un = 3n − Tìm công sai d cấp số cộng A d = B d = C d = −2 Lời giải Chọn A Ta có un +1 − un = ( n + 1) − − 3n + = D d = −3 Suy d = công sai cấp số cộng 1 Câu 2: (THPT Triệu Thị Trinh-lần năm 2017-2018) Tổng S = + + ×××+ n + ××× có giá 3 trị là: 1 1 A B C D Lời giải Chọn D 1 1 Ta có S = + + ×××+ n + ××× tổng cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) với un = n có số hạng 3 3 1 đầu u1 = , công sai q = 3 u1 = = Do S = 1− q 1− Câu 3: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Trong phát biểu sau, phát biểu sai? A Dãy số có tất số hạng cấp số nhân B Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số dương C Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số tăng D Dãy số có tất số hạng cấp số cộng Lời giải Chọn B Một phản ví dụ: dãy số ( un ) , với un = n − cấp số cộng có cơng sai d = > Nhưng dạng khai triển −1 ; ; 1… dãy số dương Câu 4: (THPT Lê Hồn-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có  u1 = 11 công sai d = Hãy tính u99 A 401 B 403 C 402 Lời giải Chọn B Ta có : u99 = u1 + 98d = 11 + 98.4 = 403 D 404 Câu 5: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Dãy số sau cấp số cộng ? u1 = u1 =   A ( un ) :  B ( un ) :  un +1 = un + 2, ∀n ≥ un +1 = 2un + 1, ∀n ≥ C ( un ) : 1; ; ; 10 ; 15 ; K D ( un ) : −1 ; 1; −1 ; 1; −1 ; K Lời giải Chọn A Dãy số đáp án A thỏa un +1 − un = với n ≥ nên cấp số cộng Câu 6: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD , điểm M , N trung điểm AB , CD Không thể kết luận G trọng tâm tứ diện ABCD trường hợp uuuu r uuur r A GM + GN = B GM = GN uuu r uuur uuur uuur r C GA + GB + GC + GD = uuur uuu r uuu r uuur uuur D 4PG = PA + PB + PC + PD với P điểm Lời giải Chọn B Theo giả thiết ta có GM = GN chưa thể kết luận G trung điểm MN uuur uuu r uuu r uuur uuur GV GIẢI đề xuất sửa đáp án D đề gốc, từ 4PG = PA + PB + PC + PC uuur uuu r uuu r uuur uuur thành 4PG = PA + PB + PC + PD với P điểm Các phương án lại ta kết luận G trọng tâm tứ diện ABCD Câu 7: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần năm 2017-2018) Một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = , công bội q = Biết S n = 765 Tìm n ? A n = B n = C n = D n = Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức cấp số nhân ta có: S n = u1 ( − q n ) 1− q = ( − 2n ) 1− = 765 ⇔ n = Câu 1: (THPT Lê Quý Đơn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , SA ⊥ ( ABCD ) Gọi I trung điểm SC Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ABCD ) độ dài đoạn thẳng nào? A IO B IA C IC Lời giải D IB Chọn A Do I trung điểm SC O trung điểm AC nên IO //SA Do SA ⊥ ( ABCD ) nên IO ⊥ ( ABCD ) , hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ABCD ) độ dài đoạn thẳng IO Câu 2: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Cho I = lim 4n + + n 4n − n + Khi giá trị I B I = A I = C I = −1 D I = Lời giải Chọn A +1 4n + + n n = lim Ta có I = lim =1 4n − n + − 1+ n 4+ Câu 3: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có u1 = −3 , d = Chọn khẳng định khẳng định sau? A u5 = 15 B u4 = C u3 = D u2 = Lời giải Chọn C Ta có u3 = u1 + 2d = −3 + 2.4 = Câu 4: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Từ chữ số , , , , , , lập số có ba chữ số đơi khác nhau, chia hết cho A 35 số B 52 số C 32 số D 48 số Lời giải Chọn A Số chia hết cho số chẵn có tổng chữ số chia hết cho Gọi a1a2 a3 số tự nhiên có ba chữ số đơi khác nhau, chia hết cho lập từ chữ số , , , , , , • Trường hợp 1: a3 = Khi chữ số a1 , a2 lập từ tập { 1; 2} , { 1;5} , { 1;8} , { 2; 4} , { 4;5} , { 4;8} Trường hợp có 6.2! = 12 số • Trường hợp 2: a3 = Khi chữ số a1 , a2 lập từ tập { 1;0} , { 4;0} , { 1;3} , { 3; 4} , { 5;8} Trường hợp có + 3.2! = số • Trường hợp 3: a3 = Khi chữ số a1 , a2 lập từ tập { 2; 0} , { 2;3} , { 3;5} , { 3;8} Trường hợp có + 3.2! = số • Trường hợp 4: a3 = Khi chữ số a1 , a2 lập từ tập { 0;1} , { 0; 4} , { 1;3} , { 2;5} , { 3; 4} Trường hợp có + 3.2! = số Vậy có tất 12 + + + = 35 số cần tìm Câu 5: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = −2 công bội q = Số hạng u2 A u2 = −6 B u2 = C u2 = Lời giải D u2 = −18 Chọn A Số hạng u2 u2 = u1.q = −6 Câu 6: (THPT Lê Q Đơn-Hải Phịng lần năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn un = 2n −1 + Tìm số hạng thứ 10 dãy số cho n A 51, B 51,3 C 51,1 Lời giải D 102,3 Chọn B 210−1 + = 51,3 Ta có: u10 = 10 Câu 7: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần năm 2017-2018) Cho dãy số u1 = Tìm số hạng thứ dãy số  un +1 = un + n A 16 B 12 C 15 D 14 Lời giải Chọn D Ta có u2 = u1 + = ; u3 = u2 + = ; u4 = u3 + = 10 Do số hạng thứ dãy số u5 = u4 + = 14 Câu 8: (THPT Chun Thái Bình-lần năm 2017-2018) Tính lim x →+∞ A −1 Chọn D B C Lời giải x +1 x −1 2018 D 1 + x +1 x x =0 lim = lim 2017 x →+∞ x 2018 − x →+∞ x 1 − 2017 x Câu 9: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần năm 2017-2018) lim A 11 B 2 n − 2n + 4n + 2n + C +∞ D Lời giải Chọn B 2 2− + n − 2n + n n =1 = lim Ta có lim 4n + 2n + 4+ + n n Câu 10: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần - năm 2017 – 2018) Trong dãy số sau, dãy số dãy số giảm? 2n + A un = n B un = 2n C un = n − D un = n −1 Lời giải Chọn D ∀n ∈ ¥ * ta có: n < ( n + 1) nên A sai; 2n < ( n + 1) nên B sai; n − < ( n + 1) − nên C sai Với un = −3 2n + < nên dãy un = 2n + giảm un +1 − un = ( n − 1) n n −1 n −1 Câu 11: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần - năm 2017 – 2018) Cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = , công sai d = −2 số hạng thứ A u5 = B u5 = C u5 = −5 Lời giải D u5 = −7 Chọn C Ta có: u5 = u1 + 4d = + ( −2 ) = −5 Câu 12: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018)Cho dãy số ( un ) cấp số cộng có u1 = cơng sai d = Biết tổng n số hạng đầu dãy số ( un ) S n = 253 Tìm n A Chọn B Ta có S n = B 11 n ( 2u1 + ( n − 1) d ) ⇔ C 12 Lời giải n ( 2.3 + ( n − 1) )  n = 11 ⇔ 4n + 2n − 506 = ⇔   n = − 23 ( L )  2 = 253 D 10 Câu 1: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Có tập gồm phần tử tập hợp X = { 1; 2;3; 4;7;8;9} ? A A7 B C9 C C7 Lời giải D A9 Chọn C Số tập gồm phần tử tập hợp X = { 1; 2;3; 4;7;8;9} số tổ hợp chập phần tử Vậy có C7 tập hợp Câu 2: lim x →−∞ 3x + 2x − A − B − C.1 D B − C.1 D 3x + x →−∞ x − Câu 3: lim A − Lời giải Chọn D 3+ 3x + x =3 = lim Ta có: lim x →−∞ x →−∞ x − 4 2− x u4 = 10 Câu 4: Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn  có cơng sai u4 + u6 = 26 A d = −3 B d = C d = D d = Câu 5: Dãy số sau cấp số nhân? A 1; 2; 3; 4; B 1; 2; 4; 8; 16 C 1; − 1; 1; − 1; D 1; − 2; 4; − 8; 16 u4 = 10 Câu 6: Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn  có cơng sai u4 + u6 = 26 A d = −3 B d = C d = D d = Lời giải Chọn B Gọi d công sai u4 = 10 u + 3d = 10 u = ⇔ ⇔ Ta có:  d = 2u1 + 8d = 26 u4 + u6 = 26 Vậy công sai d = Câu 7: Dãy số sau cấp số nhân? A 1; 2; 3; 4; B 1; 2; 4; 8; 16 C 1; − 1; 1; − 1; Lời giải Chọn A Dãy 1; 2; 4; 8; 16 cấp số nhân với công bội q = D 1; − 2; 4; − 8; 16 Dãy 1; − 1; 1; − 1; cấp số nhân với công bội q = −1 Dãy 1; − 2; 4; − 8; 16 cấp số nhân với công bội q = −2 Dãy 1; 2; 3; 4; cấp số cộng với công sai d = Câu 8: Cho dãy số ( un ) với un = 2n − Dãy số ( un ) dãy số A.Bị chặn C Bị chặn B Giảm D Tăng Câu 9: Cho dãy số ( un ) với un = 2n − Dãy số ( un ) dãy số A.Bị chặn B Giảm C Bị chặn D Tăng Lời giải Chọn D ∀n ∈ ¥ * ta có: un +1 − un = ( n + 1) − − ( 2n − 1) = > nên un +1 > un dãy số ( un ) tăng Câu 10: Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = công bội q = −2 Số hạng thứ sáu ( un ) là: A u6 = 160 B u6 = −320 C u6 = −160 D u6 = 320 Câu 11: Biết bốn số ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức x + y A 50 B 70 C 30 D 80 Câu 12: Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = công bội q = −2 Số hạng thứ sáu ( un ) là: A u6 = 160 B u6 = −320 C u6 = −160 D u6 = 320 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có u6 = u1q = ( −2 ) = −160 Câu 13: Biết bốn số ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức x + y A 50 B 70 C 30 D 80 Hướng dẫn giải Chọn B + 15 = 10 ⇒ y = 20 Vậy x + y = 70 Câu 14: Số cách xếp học sinh vào bàn dài có 10 chỗ ngồi là: Ta có: x = A 6.A10 B C10 C A10 D 10P6 Câu 15: Số cách xếp học sinh vào bàn dài có 10 chỗ ngồi là: A 6.A10 B C10 C A10 D 10P6 Lời giải Chọn C Số cách xếp học sinh vào bàn dài có 10 chỗ ngồi số chỉnh hợp chập 10 phần tử Vậy số cách xếp là: A106 Câu 16: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 4; u2 = Giá trị u10 A u10 = 31 B u10 = −23 C u10 = −20 D u10 = 15 Câu 17: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 4; u2 = Giá trị u10 A u10 = 31 B u10 = −23 C u10 = −20 Hướng dẫn giải D u10 = 15 Chọn B u1 = 4; u2 = ⇒ d = −3 Vậy u10 = u1 + 9d = + ( −3) = −23 Câu 18: Cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = , cơng sai d = , số hạng thứ tư A u4 = 23 B u4 = 18 C u4 = D u4 = 14 Câu 19: Cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = , công sai d = , số hạng thứ tư A u4 = 23 B u4 = 18 C u4 = Lời giải D u4 = 14 Chọn B u4 = u1 + 3d = + 5.3 = 18 Câu 20: Khẳng định sai? A Số hạng tổng quát cấp số nhân ( un ) un = u1 q n −1 , với công bội q số hạng đầu u1 B Số hạng tổng quát cấp số cộng ( un ) un = u1 + ( n − 1) d , với công sai d số hạng đầu u1 C Số hạng tổng quát cấp số cộng ( un ) un = u1 + nd , với công sai d số hạng đầu u1 D Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un +1 = un + un + ∀n ∈ ¥ * Câu 21: Khẳng định sai? n −1 A Số hạng tổng quát cấp số nhân ( un ) un = u1 q , với công bội q số hạng đầu u1 B Số hạng tổng quát cấp số cộng ( un ) un = u1 + ( n − 1) d , với công sai d số hạng đầu u1 C Số hạng tổng quát cấp số cộng ( un ) un = u1 + nd , với công sai d số hạng đầu u1 D Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un +1 = u n + un + ∀n ∈ ¥ * Lời giải Chọn C Câu 22: Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = cơng sai d = Tính u5 Chọn D Gọi I = AC ′ ∩ CO′ ta có I = AC ′ ∩ ( CB′D′ ) Gọi H hình chiếu C ′ lên CO′ Khi d ( C ′; ( CB′D′ ) ) = C ′H = CC ′.C ′O′ CC ′ + C ′O′ 2 = a 3 2a Mặt khác, ta có AI = 2C ′I nên d ( A; ( CB′D′ ) ) = 2d ( C ′; ( CB′D′ ) ) = Câu 10: Người ta trồng 3003 theo dạng hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây, …, tiếp tục trồng hết số Số hàng trồng A 77 B 79 C 76 D 78 Câu 11: Người ta trồng 3003 theo dạng hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây, …, tiếp tục trồng hết số Số hàng trồng A 77 B 79 C 76 D 78 Lời giải Chọn A Gọi số hàng thứ n un Ta có: u1 = , u2 = , u3 = , … S = u1 + u2 + u3 + + un = 3003 Nhận xét dãy số ( un ) cấp số cộng có u1 = , công sai d = n  2u + ( n − 1) d  = 3003 Khi S =  Suy n  2.1 + ( n − 1) 1  n = 77 = 3003 ⇔ n ( n + 1) = 6006 ⇔ n + n − 6006 = ⇔   n = −78 ⇔ n = 77 (vì n ∈ ¥ ) Vậy số hàng trồng 77 Câu 12: Trong tủ đồ chơi bạn An có thú bơng gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi Bạn An muốn lấy số thú Xác suất để thú An lấy vịt A 16 31 B C 15 32 D 15 31 Câu 13: Trong tủ đồ chơi bạn An có thú bơng gồm: vịt, chó, mèo, gấu, voi Bạn An muốn lấy số thú Xác suất để thú An lấy vịt A 16 31 B 15 32 Lời giải C D 15 31 Chọn D Trường hợp 1: Bạn An lấy thú bơng ⇒ có cách Trường hợp 2: Bạn An lấy thú ⇒ có C5 cách Trường hợp 3: Bạn An lấy thú bơng ⇒ có C5 cách Trường hợp 4: Bạn An lấy thú ⇒ có C5 cách Trường hợp 5: Bạn An lấy thú bơng ⇒ có C5 cách Do đó, số phần tử không gian mẫu n ( Ω ) = + C5 + C5 + C5 + C5 = 31 Gọi A biến cố: “trong thú bơng An lấy khơng có vịt” Do đó, số kết thuận lợi cho biến cố A n ( A ) = + C4 + C4 + C4 = 15 Vậy xác suất cần tìm P ( A ) = n ( A ) 15 = n ( Ω ) 31 Câu 14: Một bóng cao su thả từ độ cao 81m Mỗi lần chạm đất bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao lần rơi trước Tổng khoảng cách rơi nảy bóng từ lúc thả bóng lúc bóng không nảy A 234 B 567 C 162 D 405 Câu 15: Một bóng cao su thả từ độ cao 81m Mỗi lần chạm đất bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao lần rơi trước Tổng khoảng cách rơi nảy bóng từ lúc thả bóng lúc bóng khơng nảy A 234 B 567 C 162 D 405 Lời giải Chọn D Gọi ri khoảng cách lần rơi thứ i n −1 2 Ta có r1 = 81 , r2 = 81 ,…, rn =  ÷ 81 ,… 3 Suy tổng khoảng cách rơi bóng từ lúc thả bóng lần rơi thứ n n 2 1−  ÷ 81   1− Gọi ti khoảng cách lần nảy thứ i n −1 2 2 Ta có t1 = 81 , t2 =  ÷ 81 ,…, tn =  ÷ 81 ,… 3 3 Suy tổng khoảng cách nảy bóng từ lúc thả bóng đến lần nảy thứ n n−1 2 1−  ÷ 81   1− Vậy tổng khoảng cách rơi nảy bóng từ lúc thả bóng lúc bóng khơng nảy n n−1  2 2  1−  ÷ ÷  1−  ÷ 3   + 81   ÷ = 405 S = lim 81 2 ÷  1− 1−  3 ÷   765 Câu 16: Cho dãy ( un ) : u1 = e , un +1 = un , k ∈ ¥ * thỏa mãn u1.u2 uk = e Giá trị k là: A B C D 765 Câu 17: Cho dãy ( un ) : u1 = e , un +1 = un , k ∈ ¥ * thỏa mãn u1.u2 uk = e Giá trị k là: A B C D Hướng dẫn giải Chọn C v n −1 Ta có un = e n , với = 3.2 , n ∈ ¥ * v1 + v2 + + vk = 2k − = ( 2k − 1) −1 u1.u2 uk = ev1 + v2 + + vk k k Suy ( − 1) = 765 ⇔ − = 255 ⇔ 2k = 256 ⇔ k = Câu 18: Cho dãy số ( un ) có u1 = uk 52018 − S =∑ < 4.52018 k =1 k A n > 2019 n +1 un , ∀n ≥ Tìm tất giá trị n để un +1 = 5n n B n < 2018 Câu 19: Cho dãy số ( un ) có u1 = uk 52018 − < 4.52018 k =1 k A n > 2019 C n < 2020 D n > 2017 n +1 un , ∀n ≥ Tìm tất giá trị n để un +1 = 5n n S =∑ Chọn B Ta có un +1 = B n < 2018 C n < 2020 Lời giải D n > 2017 u n +1 u un ⇔ n +1 = × n 5n n +1 n un 1 , ∀n ≥ Suy ( ) cấp số nhận có cơng bội q = v1 = n 5 n 1 1−  ÷ n n n u 1− q 1 5n − Ta có S = ∑ k = ∑ vk = v1 = ×   = × n = Tn 1− q 1− k =1 k k =1 52018 − Do > , ∀n ≥ nên ( Tn ) dãy tăng Suy Tn < = T2018 ⇔ n < 2018 4.52018 Đặt = Câu 20: Xét số thực dương a , b cho −25 , 2a , 3b cấp số cộng , a + , b − cấp số nhân Khi a + b − 3ab : A 59 B 89 C 31 D 76 Câu 21: Xét số thực dương a , b cho −25 , 2a , 3b cấp số cộng , a + , b − cấp số nhân Khi a + b − 3ab : A 59 B 89 C 31 Lời giải D 76 Chọn A Vì −25 , 2a , 3b cấp số cộng nên −25 + 3b = 4a ⇒ 3b − = 4a + 16 Vì , a + , b − cấp số nhân nên ( b − 3) = ( a + ) Suy ( 4a + 16 ) = ( a + ) ⇒ ( 4a + 16 ) = ( a + ) ⇒ 3a + 4a − 20 = 2 Vì a > nên a = suy b = 11 Vậy a + b − 3ab = + 121 − 66 = 59 Câu 22: Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… cho A1 B1C1 tam giác cạnh với số nguyên dương n ≥ , tam giác An Bn Cn tam giác trung bình tam giác An −1 Bn −1Cn −1 Với số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An Bn Cn Tính tổng S = S1 + S + + S n + ? A S = 15π C S = B S = 4π 9π D S = 5π Câu 23: Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 ,… cho A1 B1C1 tam giác cạnh với số nguyên dương n ≥ , tam giác An Bn Cn tam giác trung bình tam giác An −1 Bn −1Cn −1 Với số nguyên dương n , kí hiệu Sn tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An Bn Cn Tính tổng S = S1 + S + + S n + ? A S = 15π C S = B S = 4π 9π D S = 5π Lời giải Chọn B 2   3  3π  3  3π 3 = π S = π = = S S = π = S Ta có S1 = π  ; ; ÷  ÷  ÷ ÷ 2 ÷ ÷ = 4       16 Ta có S1 , S2 , S3 , …, S n tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu S1 = 3π công bội q = Suy S = S1 + S + + S n + = S1 3π = = 4π 1− q 1− Câu 24: Bạn An chơi trò chơi xếp que diêm thành tháp theo qui tắc thể hình vẽ Để xếp tháp có 10 tầng bạn An cần que diêm? A 210 B 39 C 100 D 270 Câu 25: Bạn An chơi trò chơi xếp que diêm thành tháp theo qui tắc thể hình vẽ Để xếp tháp có 10 tầng bạn An cần que diêm? A 210 B 39 C 100 Lời giải D 270 Chọn A Số que tầng u1 = Tổng số que tầng u1 + u2 = + Tổng số que tầng u1 + u2 + u3 = + + 11 Ta có cấp số cộng u1 = , d = , tính S10 ? Để cần có 10 tầng cần tổng S10 = 10 ( 2.3 + 9.4 ) = 210 que Câu 26: Cho a < b < c ba số nguyên Biết a , b , c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng a , c , b theo thứ tự tạo thành cấp số nhân Tìm giá trị nhỏ c A −2 B C −1 D Câu 27: Cho a < b < c ba số nguyên Biết a , b , c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng a , c , b theo thứ tự tạo thành cấp số nhân Tìm giá trị nhỏ c A −2 B C −1 D Lời giải Chọn B c = a ( L )  2b = a + c 2 Ta có  Suy ra: 2c = a ( a + c ) ⇒ 2c − ac − a = ⇒  a a c c=− ⇒b= =− c = ab >  a < Suy a , b trái dấu với c ⇒  c > Do a , b , c nguyên nên c chia hết cho Do c nhỏ a = −4 , b = −1 (thỏa mãn) Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân · A , BAC = 120° , AB = BB′ = a Gọi I trung điểm CC ′ Tính cosin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′I ) B′ C′ A′ B I C A A 70 10 B C 30 10 D 15 Câu 29: Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 = un +1 = + un với n ≥ Tìm u2018 A u2018 = cos π 2017 B u2018 = cos π 2019 C u2018 = cos π 22018 D u2018 = · Câu 30: Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cân A , BAC = 120° , AB = BB′ = a Gọi I trung điểm CC ′ Tính cosin góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( AB′I ) B′ C′ A′ I B C A A 70 10 B C 30 10 D 15 Lời giải Chọn C Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ độ dài đơn vị trục a ta có: BC = a , OA =       3   ;0;1÷ ;0;0 ÷ ;0;1÷ nên A  0; ;0 ÷, B′  , C  − , C ′  − ÷ ÷ ÷,          1 I  − ;0; ÷ 2÷   z x O y uuur   ⇒ AB′ =  ; − ;1÷ // ÷   uur  1 3; −1; ; AI =  − ;− ; ÷ = − 3; −1;1 2÷   ur r Mặt phẳng ( ABC ) có véc tơ pháp tuyến n1 = k = ( 0;0;1) ( ) ( ) a uu r uuur uur Mặt phẳng ( AB′I ) có véc tơ pháp tuyến n2 =  AB′; AI  = 1; −3 3; −2 ur uu r n1.n2 30 ⇒ cos ( ( ABC ) ; ( AB′I ) ) = ur uu r = 10 n1 n2 ( Cách 2: Dùng cơng thức hình chiếu: cos ( ( ABC ) ; ( AB′I ) ) = ) S ABC S AB′I Câu 31: Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 = un +1 = + un với n ≥ Tìm u2018 A u2018 = cos π 2017 B u2018 = cos π 2019 C u2018 = cos π 22018 D u2018 = Lời giải Chọn B Ta có: π π = cos π π u2 = − = cos = cos π Dự đoán: un = cos n +1 Chứng minh theo quy nạp ta có π u1 = cos = , công thức ( 1) với n = Giả sử công thức ( 1) với n = k , k ≥ u1 = = cos ta có uk = cos π 2k +1 Ta có: uk +1 = + uk = + cos π π  π   π  = 1 + cos k +1 ÷ = cos  k + ÷ = cos k + k +1 2   2  π π < với k ≥ ) k +2 2 Công thức ( 1) với n = k + (vì < Vậy un = cos π π ∀n ∈ N Suy u2018 = cos 2019 n +1 , 2    Câu 32: Cho dãy ( xn ) thỏa lim xn = +∞ Tính giới hạn lim  xn  cos − 1÷ xn     A Không tồn B C D −1    Câu 33: Cho dãy ( xn ) thỏa lim xn = +∞ Tính giới hạn lim  xn  cos − 1÷ xn     A Khơng tồn B C D −1 Lời giải Chọn C      sin  1       − 2 x  n   = lim  lim  xn  cos − 1÷ = lim   −2sin ÷  = 0.1 = x x x   n n  n      ÷   xn    xn   Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh Cắt hình lập phương mặt phẳng qua đường chéo BD′ Tìm giá trị nhỏ diện tích thiết diện thu A B C D Lời giải Chọn A A′ B′ D′ I C′ M A O H N D K C B Gọi O tâm hình lập phương Vì mặt bên hình lập phương mặt phẳng song song nên mặt phẳng qua đường chéo BD′ cắt mặt bên theo giao tuyến song song Thiết diện hình bình hành BMD′N Ta có S BMD′N = S BMD′ = BD′.MH Có BD′ = nên diện tích đạt GTNN MH nhỏ Do AA′ BD′ chéo nên MH đoạn vng góc chung AA′ BD′ hay MH = OI = Vậy S BMD ' N = 2S BMD ' = BD′.MH = 2 = 2 Câu 2: (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Trong dịp hội trại hè 2017, bạn Anh thả bóng cao su từ độ cao ( m ) so với mặt đất, lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao ba phần tư độ cao lần rơi trước Biết bóng ln chuyển động vng góc với mặt đất Tổng quãng đường bóng bay (từ lúc thả bóng lúc bóng khơng nảy nữa) khoảng: A 44 ( m ) B 45 ( m ) C 42 ( m ) D 43 ( m ) Lời giải Chọn C Ta có quãng đường bóng bay tổng quảng đường bóng nảy lên quãng đường bóng rơi xuống Vì lần bóng nảy lên 3 lần nảy trước nên ta có tổng quãng đường bóng nảy lên n 3 3 3 S1 = +  ÷ +  ÷ + +  ÷ + 4 4 4 Đây tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1 = = công bội q = Suy 4 S1 = = 18 1− Tổng quãng đường bóng rơi xuống khoảng cách độ cao ban đầu tổng quãng đường n 3 3 3 bóng nảy lên nên S = +  ÷+  ÷ + +  ÷ + 4 4 4 Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = công bội q = S2 = Suy = 24 1− Vậy tổng quãng đường bóng bay S = S1 + S = 18 + 24 = 42 Câu 3: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn u1 =  u = un + − , ∀n ∈ ¥ * Tính u2018  n +1 − − u n  A u2018 = + B u2018 = ( ) C u2018 = − Lời giải Chọn A π un + tan π Đặt tan α = Ta có tan = − Suy un +1 = π − tan un π tan α + tan = tan  α + π  Có u2 =  ÷ π 8  − tan tan un π  Bằng quy nạp, ta chứng minh un = tan α + ( n − 1)  8  π tan α + tan 2017 π π     = 7+5 Vậy u2018 = tan  α + ÷ = tan  α + ÷ =   − tan α tan π   D u2018 = + Câu 1: (THPT Triệu Sơn 1-lần năm 2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Gọi M , N trung điểm cạnh AB , AD ; H giao điểm CN DM Biết SH = 3a vng góc với mặt đáy ( ABCD ) Khoảng cách hai đường thẳng MD SC A 12a 15 61 B a 61 61 12a 61 61 Lời giải C D 6a 61 61 Chọn C Cách 1: Dựng đường thẳng d qua C song song với DM d ∩ AB = E Dựng HK ⊥ SC , K ∈ SC Ta có ∆DMA = ∆CDN (c.c.c ) · Suy NCD = ·ADM · · · · Lại có NCD + CND = 90° ⇒ ·ADM + CND = 90° ⇒ CHD = 90° ⇒ MD ⊥ CN H CE ⊥ CH ⇒ CE ⊥ ( CSH ) ⇒ CE ⊥ HK (1) Suy  CE ⊥ SH  HK ⊥ CE (1) ⇒ HK ⊥ ( CSE ) Suy ta   HK ⊥ CS d ( DM , SC ) = d ( DM , ( CSE ) ) = d ( H , ( CSE ) ) = HK Ta có NC = DC + DN = 4a + a = a DC 4a 5a = = Xét tam giác vng NCD ta có HC = NC a 5 Suy ta HK = HS HC = 12 61 a 61 HS + HC Cách 2: Dễ thấy CN ⊥ DM ⇒ CH ⊥ DM Tam giác ADM vng A có: DM = AD + AM = a CH ⊥ DM ⇒ DM ⊥ ( SHC ) Ta có :   SH ⊥ DM 4a S ∆DCM = CH DM = 2a ⇒ CH = Trong ∆SHC hạ HK ⊥ SC ⇒ d ( DM , SC ) = HK Tam giác SHC vuông H có: 1 12a 61 = + ⇒ HK = 2 HK SH HC 61 Câu 2: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , cho A1B1C1 tam giác cạnh với số nguyên dương n ≥ , tam giác An Bn Cn tam giác trung bình tam giác An −1 Bn −1Cn −1 Với số nguyên dương n , kí hiệu S n tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn Tính tổng S = S1 + S + + S n + ? A S = 15π B S = 4π C S = 9π D S = 5π Lời giải Chọn B Vì dãy tam giác A1 B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , tam giác nên bán kính đường trịn Với n = tam giác A1 B1C1 có cạnh nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1 ngoại tiếp tam giác cạnh ×  3 ⇒ S1 = π  có bán kính R1 = ÷ ÷   Với n = tam giác A2 B2C2 có cạnh nên đường tròn ngoại tiếp tam giác 2  3 A2 B2C2 có bán kính R2 = ⇒ S = π   ÷ ÷   Với n = tam giác A3 B3C3 có cạnh nên đường trịn ngoại tiếp tam giác  3 A2 B2C2 có bán kính R3 = ⇒ S3 = π   ÷ ÷   n−1 1 Như tam giác An Bn Cn có cạnh  ÷ 2 nên đường trịn ngoại tiếp tam giác n −1    n −1  1  An BnCn có bán kính Rn =  ÷ ⇒ S n = π   ÷ ÷  2 3 ÷ 2   Khi ta dãy S1 , S , S n cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = S1 = 3π công bội q = u1 = 4π Do tổng S = S1 + S + + S n + = 1− q Câu 1: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần năm 2017-2018) Cho dãy số xác định u1 = 1 n −1  * , un +1 =  2un + ÷; n ∈ ¥ Khi u2018 3 n + 3n +  22016 + 2017 2019 22017 = 2018 + 2019 22018 + 2017 2019 22017 = 2018 + 2019 A u2018 = B u2018 = C u2018 D u2018 Lời giải Chọn A 1 n −1    2 − − Ta có: u n +1 =  2u n + ÷ =  2un + ÷ = un + 3 n + 3n +   n + n +1  n + n +1 2  ⇔ un +1 − =  un − ÷ ( 1) n+2 3 n +1  Đặt = un − , từ ( 1) ta suy ra: +1 = n +1 1 Do ( ) cấp số nhân với v1 = u1 − = , công bội q = 2 n −1 Suy ra: = v1.q 2 =  ÷ 3 n −1 2017 Vậy u2018 2 =  ÷ 3 + n −1 1 2 ⇔ un − =  ÷ n +1   n −1 2 ⇔ un =  ÷ + 3 n +1 22016 1 = 2017 + 2019 2019 Câu 2: HẾT (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) xác định u1 = ; un = 2un−1 + 3n − Công thức số hạng tổng quát dãy số cho biểu thức có dạng a.2n + bn + c , với a , b , c số nguyên, n ≥ ; n ∈ ¥ Khi tổng a + b + c có giá trị A −4 B C −3 D Lời giải Chọn C Ta có un = 2un−1 + 3n − ⇔ un + 3n + = un−1 + ( n − 1) + 5 , với n ≥ ; n ∈ ¥ Đặt = un + 3n + , ta có = 2vn−1 với n ≥ ; n ∈ ¥ n −1 n Như vậy, ( ) cấp số nhân với công bội q = v1 = 10 , = 10.2 = 5.2 n n Do un + 3n + = 5.2 , hay un = 5.2 − 3n − với n ≥ ; n ∈ ¥ Suy a = , b = −3 , c = −5 Nên a + b + c = + ( −3) + ( −5 ) = −3 Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) sau: un = A n + n + n4 ( u1 + u2 + + un ) , ∀n = , , Tính giới hạn xlim →+∞ B C D Lời giải Chọn C Ta có un = n (1+ n ) 2 −n = 1 1  =  − ( n + n + 1) ( n − n + 1)  n − n + n + n + ÷ n 2 1 1 1 1 1  − Ta có u1 + u2 + + un = 1 − + − + − + − + + ÷  3 7 13 13 21 n − n +1 n + n +1  1  n +n = 1 − ÷=  n + n +  n2 + n + Suy lim ( u1 + u2 + + un ) = 1+ n 1 lim = 1 1+ + 2 n n Câu 4: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng-lần năm 2017-2018) Trong năm làm, anh A nhận lương 10 triệu đồng tháng Cứ hết năm, anh A lại tăng lương, tháng năm sau tăng 12% so với tháng năm trước Mỗi lĩnh lương anh A cất phần lương tăng so với năm trước để tiết kiệm mua tơ Hỏi sau năm anh A mua tô giá 500 triệu biết anh A gia đình hỗ trợ 32% giá trị xe? A 11 B 12 C 13 D 10 Lời giải Chọn C Số tiền anh A cần tiết kiệm 500 − 500.0,12 = 340 (triệu) Gọi số tiền mà anh A nhận tháng năm u1 = 10 (triệu) Thì số tiền mà anh A nhận tháng năm thứ hai u2 = u1 ( + 0,12 ) = u1.1,12 (triệu) Số tiền mà anh A nhận tháng năm thứ ba u3 = u1 ( + 0,12 ) = u1 ( 1,12 ) (triệu) 2 … Số tiền mà anh A nhận tháng năm thứ n un = u1 ( + 0,12 ) n −1 = u1 ( 1,12 ) n −1 (triệu) Vậy số tiền mà anh A tiết kiệm sau n năm n −1 12 ( u2 − u1 + u3 − u2 + ×××+ un −1 − un − + un − un−1 ) = 12 ( un − u1 ) = 12 u1 ( 1,12 ) − u1    n −1 23 23 n−1 ⇔ n = log1,12 + ⇒ n = 13 Cho 12 u1 ( 1,12 ) − u1  = 340 ⇔ ( 1,12 ) = 6 Vậy sau 13 năm anh A tiết kiệm đủ tiền để mua ô tô Câu 5: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018)Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có AB = a M điểm di động đoạn AB Gọi H hình chiếu A′ đường thẳng CM Tính độ dài đoạn thẳng BH tam giác AHC có diện tích lớn A a B a C a ( ) −1   − 1÷ D a  ÷   Lời giải Chọn C Ta có AA′ ⊥ ( ABC ) nên AA′ ⊥ CM Mặt khác A′H ⊥ CM Do CM ⊥ ( AA′H ) Suy CM ⊥ AH Vậy H hình chiếu A CM 1 AC a 2 Ta có S AHC = AH HC ≤ ( AH + HC ) = Dấu xảy = 2 4 AH = HC , tức ·ACM = 45° Vậy tam giác AHC có diện tích lớn a · HCB M vị trí cho ·ACM = 45° Khi HC = = 15° · Trong tam giác HBC : BH = HC + BC − HC.BC.cos HCB ( ) ( ) − a2 a −1 a2 a 2+ = + a − .a = ⇒ BH = 2 4 Câu 6: (THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – Lần năm 2017 – 2018) Cho dãy số ( un ) 2 thỏa mãn ln ( u1 + u2 + 10 ) = ln ( 2u1 + 6u2 ) un + + un = 2un +1 + với n ≥ Giá trị nhỏ n để un > 5050 A 100 B 99 C 101 Lời giải Chọn D D 102 2 2 Ta có: ln ( u1 + u2 + 10 ) = ln ( 2u1 + 6u2 ) ⇔ u1 + u2 + 10 = 2u1 + 6u2 u1 = 2 ⇔ ( u1 − 1) + ( u2 − 3) = ⇔  u2 = Đặt = un +1 − un với n ≥ ⇒ v1 = u2 − u1 = Theo giả thiết: un + + un = 2un +1 + ⇔ un + − un+1 = un +1 − un + ⇔ +1 = + , ∀n ≥ Suy ( ) cấp số cộng có cơng sai d = ⇒ = v1 + ( n − 1) d = n − Ta có: un +1 = un +1 − un + un − un−1 + + u3 − u2 + u2 − u1 + u1 = S n + u1 14 43 14 43 12 vn−1 v2 v1 n ( n − 1) n ( v1 + ) = 2 n ( n − 1) ( n − 1) ( n − ) + Suy ra: un +1 = + ⇒ un = 2 ( n − 1) ( n − ) + > 5050 ⇔ n2 − 3n − 10096 > ⇔ n > 101,99 Ta có: un > 5050 ⇔ Vậy số n nhỏ thỏa yêu cầu 102 Với S n = v1 + v2 + + = ... phát biểu sai? A Dãy số có tất số hạng cấp số nhân B Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số dương C Một cấp số cộng có cơng sai dương dãy số tăng D Dãy số có tất số hạng cấp số cộng Lời giải Chọn... B2C2 D2 có độ dài nên cạnh hình vng A3 B3C3 D3 có độ dài Đường chéo hình vng A3 B3C3 D3 có độ dài A4 B4C4 D4 có độ dài 2 nên cạnh hình vng Cứ độ dài cạnh hình vng tạo thành cấp số nhân có u1... nghiệm: q1 = , q2 = −7 + 33 −7 − 33 , q3 = , q4 = 4 Vậy có cấp số nhân thỏa yêu cầu toán Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 9 03 lần 1-năm 2017-2018) Trong sân vận động có tất 30 dãy ghế, dãy có