42 bài tập trắc nghiệm về Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp Toán 11 có đáp án chi tiết

A. Hướng dẫn giải Chọn A. Theo quy tắc cộng thì có tất cả cách lấy. Hướng dẫn giải Chọn A. Gọi số cần tìm là. Thầy chủ nhiệm cần chọn ra một nhóm và cần cử ra một học sinh làm nhóm [r]

Trang | 42 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ QUY TẮC ĐẾM,

HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP TỐN 11 CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Số 6303268125 có ước số nguyên?

A 420. B 630. C 240. D 720 Hướng dẫn giải

Chọn D Cách 1:

Áp dụng cơng thức: Nếu số N phân tích thành thừa số số nguyên tố dạng n

k n k k

p p p

N

2

 số ước nguyên dương kk11k21  kn1 Do số ước nguyên N k

Với N630326812535.54.73.112 có 2.5141 31 21720 ước số ngun Cách 2: Áp dụng hàm sinh

Do N 630326812535.54.73.112 nên

+ Hàm sinh để chọn số là: 1xx x x x

+ Hàm sinh để chọn số là: 1 x x2  x3  x4

+ Hàm sinh để chọn số là: 1xx x

+ Hàm sinh để chọn số 11 là: 1xx

Suy hàm sinh ước nguyên dương 6303268125 có dạng:

   5 4

1

f x   x x x x x  x x x x  3 2 1 x x x 1 x x

Tổng số ước nguyên dương N tổng tất hệ số số hạng khai triển trên, số ước nguyên dương N f 1 360nên số ước nguyên N 720 Câu 2: Đề cương ôn tập chương I môn lịch sử lớp 12 có 30 câu Trong đề thi chọn ngẫu nhiên 10 câu

trong 30 câu Một học sinh nắm 25 câu đề cương Xác suất để đề thi có câu hỏi nằm 25 câu mà học sinh nắm ( Kết làm trịn đến hàng phần nghìn )

A P0, 449 B P0, 448 C P0,34 D P0,339

Trang | Chọn 10 câu từ 30 câu có C1030 cách Vậy số phần tử không gian mẫu là:

  10 30

n  C

Gọi A biến cố “trong đề thi có câu hỏi nằm 25 câu mà học sinh nắm được”

  10

25 25

n A C C C

Vậy xác suất biến cố A là:  

9 10 25 25

10 30

C C C

P A

C



 0, 449

Câu 3: Bé Minh có bảng hình chữ nhật gồm hình vng đơn vị, cố định khơng xoay hình vẽ Bé muốn dùng màu để tơ tất cạnh hình vng đơn vị, cạnh tơ lần cho hình vng đơn vị tơ màu, màu tơ cạnh Hỏi bé Minh có tất cách tô màu bảng?

A 4374 B 139968 C 576 D 15552

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta tô màu theo thứ tự sau:

1) Tô ô vuông cạnh: chọn màu, ứng với màu ta tơ vào sau: chọn cạnh hình vng đơn vị để tơ màu thứ có C42 6 cách (màu thứ tơ cạnh cịn lại) Do đó, có

3

6.C cách tơ

2) Tơ vng cạnh (có cạnh tơ trước đó): ứng với vng có cách tơ màu cạnh theo màu cạnh tơ trước đó, chọn màu cịn lại tơ cạnh cịn lại, có 3.C12 6 cách tơ Do có 63 cách tơ

3) Tơ vng cạnh (có cạnh tơ trước đó): ứng với ô vuông có cách tô màu cạnh (2 cạnh tô trước màu hay khác màu không ảnh hưởng số cách tơ) Do có 22 cách tơ

Vậy có 6.C32.6 155523  cách tơ

Câu 4: Cho đa giác 100 đỉnh nội tiếp đường tròn Số tam giác tù tạo thành từ 100 đỉnh đa giác

Trang |

Chọn C

Đánh số đỉnh A A1, 2, ,A100

Xét đường chéo A A1 51 đa giác đường kính đường trịn ngoại tiếp đa giác chia đường tròn làm phần phần có 49 điểm từ A2 đến A50 A52 đến A100

+ Khi đó, tam giác có dạng A A A1 i j tam giác tù Ai Aj nằm nửa đường trịn, chọn nửa đường trịn: có cách chọn

+ Chọn hai điểm Ai, Aj hai điểm tùy ý lấy từ 49 điểm A2, A3 đến A50, có

49 1176

C  cách chọn Giả sử tam Ai nằm A1 Aj tam giác tù đỉnh Ai + Khi xét đỉnh Aj tam giác A A Aj i 1A A A1 i j

+ Vì đa giác có 100 đỉnh nên số tam giác tù 2.1176.100 117600

2  tam giác tù

Câu 5: Cho đa giác 2nn2, n đỉnh nội tiếp đường tròn Số tam giác tù tạo thành

từ 2n đỉnh đa giác

A 2n2n1 2 n2 B  1 2

n n

C n n 1n2 D  1 2

n n n

Hướng dẫn giải Chọn C

Đánh số đỉnh A A1, 2, ,A2n

Xét đường chéo A A1 n1 đa giác đường kính đường trịn ngoại tiếp đa giác chia đường trịn làm phần phần có n1 điểm từ A2 đến An An2 đến A2n

+ Khi đó, tam giác có dạng A A A1 i j tam giác tù Ai Aj nằm nửa đường tròn, chọn nửa đường trịn: có cách chọn

+ Chọn hai điểm Ai, Aj hai điểm tùy ý lấy từ từ n1 điểm A2, A3 đến An, có

  

2

2

2 n

n n

C     cách chọn

+ Giả sử tam Ai nằm A1 Aj tam giác tù đỉnh Ai Khi xét đỉnh Aj tam giác A A Aj i 1 A A A1 i j

+ Vì đa giác có 2n đỉnh nên số tam giác tù 2 2 1.2  1 2 2.2

n n

n n n n

 

  

Câu 6: Cho đa giác 100 đỉnh nội tiếp đường tròn Số tam giác vuông tạo thành từ 100 đỉnh đa giác

A 2450 B 98 C 4900 D 9800 Hướng dẫn giải

Chọn C

Trang | + Mỗi tam giác vuông có cạnh đường kính đường trịn (cũng đường chéo qua tâm đa giác), có 50 đường kính

+ Xét đường kính A A1 51 đường tròn ngoại tiếp đa giác chia đường tròn làm phần phần có 49 điểm từ A2 đến A50 A52 đến A100 Chọn đỉnh cho tam giác vuông

1 i 50

A A A , có 98 cách chọn

+ Vậy số tam giác vuông 50.984900 tam giác

Câu 7: Cho đa giác 2n n2, n  đỉnh nội tiếp đường tròn Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A A1, 2, ,A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n

điểm A A1, 2, ,A2n Số cạnh của đa giác

A 14 B 16 C 18 D 20 Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Số tam giác C23n

+ Mỗi đa giác 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm đường tròn Hai đường chéo qua tâm đường trịn tạo hình chữ nhật thỏa yêu cầu tốn Nên số hình chữ nhật Cn2

+ Theo giả thuyết ta có : C23n 20Cn2 n2

 

   

2 ! !

20

2 !.3! 2! !

n n

n n

 

 

2 2 2  

10

n n n

n n

 

  

2n 15

   do n n    1 0, n 2

8

n

 

Vậy đa giác có 16 cạnh

Câu 8: Có học sinh thầy giáo A, B, C Hỏi có cách xếp chỗ người hàng ngang có chỗ cho thầy giáo ngồi hai học sinh

A 4320 B 90 C 43200 D 720 Hướng dẫn giải

Chọn C

Có 6! cách xếp chỗ cho học sinh

Khi đó, với cách xếp chỗ cho học sinh học sinh có "khoảng trống" để xếp chỗ cho thầy giáo nên có C53.3! cách xếp chỗ cho thầy giáo

Vậy có 6!.C53.3! 43200 cách xếp thỏa mãn

Câu 9: chữ số 0,1,2,3,5,8 lập số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đơi khác phải có mặt chữ số

Trang | Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi số cần lập abcd + TH1:

Chọn d có cách Chọn a có cách Chọn b c, có A42 cách

Vậy có tất 4.A24 48 (số) + TH2:

Chọn d d 1; có cách Chọn a có cách

Chọn b c, có A42 cách

Vậy có tất 2.A24 24 (số)

+) TH3: Chọn d   3 d  1; có cách Chọn a3

*) Có thể giải cách khác:

 xabcd số lẻ: +) Chọn d có cách

+) Chọn a: có cách

+) Chọn b c có , A42 cách

Suy có 3.4.A42 144 số lẻ

 xabcd số lẻ khơng có chữ số

Tương tự ta có

2.3.A 36 Vậy có 14436108 số

Câu 10: Một nhóm người gồm ba đàn ơng, bốn phụ nữ hai đứa trẻ xem phim Hỏi có cách xếp họ ngồi hàng ghế cho đứa trẻ ngồi hai phụ nữ khơng có hai người đàn ơng ngồi cạnh nhau?

A 288 B 864 C 24 D 576

Trang | Kí hiệu T ghế đàn ông ngồi, N ghế cho phụ nữ ngồi, C ghế cho trẻ ngồi Ta có

các phương án sau: PA1: TNCNTNCNT

PA2: TNTNCNCNT

PA3: TNCNCNTNT

Xét phương án 1: Ba vị trí ghế cho đàn ơng có 3! cách Bốn vị trí ghế cho phụ nữ có 4! cách

Hai vị trí ghế trẻ ngồi có 2! cách Theo quy tắc nhân ta có 2! ! !288 cách Lập luận tương tự cho phương án phương án Theo quy tắc cộng ta có 288 288 288 864   cách

Câu 11: Với chữ số 5, , , , , lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần?

A 6720 số B 40320 số C 5880 số D 840 số Hướng dẫn giải

Chọn C

Giả sử số tự nhiên gồm chữ số tương ứng với ô

Do chữ số có mặt lần nên ta coi tìm số số thỏa mãn đề tạo nên từ số 1 5, , , , , , ,

Số hoán vị số 1 5, , , , , , , ô 8!

Mặt khác chữ số lặp lại lần nên số cách xếp

3 !

! kể trường hợp số đứng đầu Xét trường hợp ô thứ chữ số 0, số cách xếp

3 !

!

Câu 12: Một thầy giáo có 10 sách khác có sách Tốn, sách Lí, sách Hóa Thầy muốn lấy tặng cho em học sinh A B C D E, , , , em Hỏi thầy giáo có cách tặng cho em học sinh cho sau tặng xong, ba loại sách cịn

A 204 cách B 24480 cách C 720 cách D 2520 cách Hướng dẫn giải

Chọn B

Trang | TH1: Mơn Tốn hết sách:

Số cách chọn sách Toán cách

Số cách chọn lại cách Vậy có cách chọn sách

Số cách tặng sách cho em học sinh A55 120 cách Vậy có 6.120720 cách

TH2: Mơn Lí hết sách:

Số cách chọn sách Lí cách

Số cách chọn lại C72 cách Vậy có 21 cách chọn sách

Số cách tặng sách cho em học sinh A55 120 cách Vậy có 21.1202520 cách

TH3: Mơn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp có 2520 cách

Số cách chọn 10 tặng cho em C A105 55 30240 cách

Vậy số cách chọn cho sau tặng xong, loại sách cịn lại 30240 720 2520 2520   24480 cách

Câu 13: Trong kì thi tuyển nhân viên chun mơn cho cơng ty cổ phần Giáo dục trực tuyến VEDU, khối A có 51 thí sinh đạt điểm giỏi mơn Tốn, 73 thí sinh đạt điểm giỏi mơn Vật lí, 73 thí sinh đạt điểm giỏi mơn Hóa học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi hai mơn Tốn Vật lí, 45 thí sinh đạt điểm giỏi hai mơn Vật lí Hóa học, 21 thí sinh đạt điểm giỏi hai mơn Tốn Hóa học, 10 thí sinh đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lí Hóa học Có 767 thí sinh mà ba mơn khơng có điểm giỏi Hỏi có thí sinh tham dự tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty?

A 867 B 776 C 264 D 767 Hướng dẫn giải

Chọn A

Kí hiệu A B C, , tương ứng tập hợp thí sinh đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lý, Hóa học

51; 73; 64; 32; 45; 21; 10

A  B  C  A B BC  AC  A B C 

Lúc ta có A B C tập hợp học sinh đạt điểm giỏi ba mơn Tốn, Vật lý, Hóa học Ta có:

51 73 64 32 45 21 10 100

A  B C A  B C         A B B C A C A B C

       

Trang | Câu 14: Người ta vấn 100 người ba phim A B C, , chiếu thu kết sau:

Bộ phim A: có 28 người xem Bộ phim B: có 26 người xem Bộ phim B: có 14 người xem Có người xem hai phim A B Có người xem hai phim B C Có người xem hai phim A C

Có người xem ba phim A, B C

Số người không xem phim ba phim A B C, , là:

A 55 B 45 C 32 D 51 Hướng dẫn giải

Chọn B

Theo quy tắc tính số phần tử ba tập hợp hữu hạn bất kì, ta có số người xem phim 28 26 14 2      55 người

Vậy số người không xem phim 100 55 45 người

Câu 15: Sắp xếp học sinh lớp A học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, dãy ghế cho học sinh ngồi đối diện khác lớp Khi số cách xếp là:

A 460000 B 460500 C 460800 D 460900 Hướng dẫn giải

Chọn C Cách 1:

Bước 1: Học sinh đầu tiên, giả sử học sinh lớp A có 10 cách chọn ghế Bước 2: Có cách chọn học sinh lớp B ngồi vào ghế đối diện Bước 3: Có cách chọn học sinh lớp A vào ghế Bước 4: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện Bước 5: Có cách chọn học sinh lớp A

Bước 6: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện Bước 7: Có cách chọn học sinh lớp A vào ghế tiếp Bước 8: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện Bước 9: Có cách chọn học sinh lớp A vào ghế Bước 10: Có cách chọn học sinh lớp B vào ghế đối diện

Theo quy tắc nhân có 10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 5! 22 460800 cách Cách 2:

Vì học sinh ngồi đối diện khác lớp nên cặp ghế đối diện xếp

Trang | Số cách xếp học sinh lớp A vào cặp ghế 5! cách Số cách xếp học sinh lớp B vào cặp ghế 5! cách Số cách xếp chỗ cặp ghế cách

Theo quy tắc nhân có  2

5! 460800 cách

Câu 16: Trong mặt phẳng cho n điểm, khơng có điểm thẳng hàng tất đường thẳng nối hai điểm khơng có hai đường thẳng song song, trùng vuông góc Qua điểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng xác định n1 điểm lại Số giao điểm đường thẳng vng góc giao nhiều bao nhiêu?

A 2  

1 2

2Cn n n n C( n  1) 5Cn B     

2

1

2

2Cn n n 2n Cn  1 5Cn C 2  

1

2

3Cn n n 2nCn  1 5Cn D     

2

1

2

1

n n

n n n

C   n C   C 

Hướng dẫn giải Chọn D

*Gọi n điểm cho A A1, 2, ,An Xét điểm cố định, có Cn21 đường thẳng xác định n1 điểm cịn lại nên có Cn21 đường thẳng vng góc qua điểm cố

định

*Do có tất   

1

2 n

n n n

nC     đường thẳng vng góc nên có 2  

2 n n n

C   giao điểm

(tính giao điểm trùng nhau) *Ta chia điểm trùng thành loại - Qua điểm có 21  1 2

2 n

n n

C     đường thẳng vng góc nên ta phải trừ   1 n

n C  

điểm

- Qua ba điểm ,A A A1 2, 3của tam giác có đường thẳng vng góc với A A4 5 đường thẳng song song với nên ta giao điểm, TH ta phải loại

3 3Cn

- Trong tam giác ba đường cao có giao điểm, nên ta điểm cho tam giác, trường hợp ta phải trừ

2Cn

Vậy số giao điểm nhiều có là: 2    

1 2

1

n n

n n n

C   n C   C 

Câu 17: Cho tập hợp A 2;5 Hỏi lập số có 10 chữ số cho khơng có chữ số đứng cạnh nhau?

A 144 số B 143 số C 1024 số D 512 số Hướng dẫn giải

Trang | 10 TH1: Số có 10 chữ số5 : chi có số

TH2: Số có chữ số chữ số2

Xếp số thành hàng có cách Khi tạo nên 10 "vách ngăn" đế xếp số2 Xếp số có C101 cách Vậy có C101 số

TH3: Số có chữ số chữ số2

Tưong tự sử dụng phương pháp tạo vách ngăn TH2 tìm

C số TH4: Số có chữ số chữ số2: có C83số

TH5: Số có chữ số chữ số2: có C74 số TH6: Có chữ số chữ số2: có C65 số

Vậy theo quy tắc cộng có 1C101 C92C3C74C65 144 số

Câu 18: Cho đa giác A A1 2 A2n nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh

3 2n điểm

1; 2; ; 2n

A A A gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm

1; 2; ; 2n

A A A Vậy giá trị n là:

A n10 B n12 C n8 D n14 Hướng dẫn giải

Chọn C

Số tam giác có đỉnh 2n điểm A A1; 2; ;A2n C2n3

Ứng với hai đường chéo qua tâm đa giác A A1 2 A2ncho tương ứng hình chữ nhật có đỉnh

là điểm 2n điểm A A1; 2; ;A2nvà ngược lại hình chữ nhật cho

đường chéo qua tâmO đa giác

Mà số đường chéo qua tâm đa giác 2n đỉnh n nên số hình chữ nhật có đỉnh

trong 2n điểm Cn2

Theo đề ta có:     

2 2 20

20

3!

n n

n n n n n

C  C       n

Câu 19: Biển đăng kí xe tơ có chữ số hai chữ số 26 chữ (không dùng chữ I )

O Chữ khác Hỏi số tơ đăng kí nhiều bao nhiêu?

A 5184 10 B 576 10 C 33384960 D 4968 10

Hướng dẫn giải Chọn A

Theo quy tắc nhân ta thực bước Chữ có 24 cách chọn

Trang | 11 Chữ số có cách chọn

Chữ số thứ hai có 10 cách chọn Chữ số thứ ba có 10 cách chọn Chữ số thứ tư có 10 cách chọn Chữ số thứ năm có 10 cách chọn Chữ số thứ sau có 10 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân ta có 5

24 24 10 5184 10 số tơ nhiều đăng kí

Câu 20: Từ bơng hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hồng gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ?

A 10 cách B 20 cách C 120 cách D 150 cách Phân tích

Ta thấy chọn bơng hồng mà có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ nên có trường hợp sau:

TH1: Chọn hồng vàng hồng đỏ TH2: Chọn hồng vàng hồng đỏ

TH3: Chọn hồng vàng, hồng đỏ hồng trắng Hướng dẫn giải

Chọn D

TH1: Số cách chọn hồng vàng

C cách Số cách chọn hồng đỏ

4

C cách Theo quy tắc nhân có

5 10

C C  cách TH2: Tương tự TH1 ta có

5 20

C C  cách TH3: Tương tự có 3

5 120

C C C  cách

Vậy theo quy tắc cộng có 10 20 120 150   cách

Câu 21: Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy?

A 120 B 90 C 270 D 255

Hướng dẫn giải Chọn D

Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh C124 495 cách

Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau:  TH1: Lớp A có hai học sinh, lớp B C, lớp có học sinh: Chọn học sinh học sinh lớp A có C52 cách

Chọn học sinh học sinh lớp B có C41 cách Chọn học sinh học sinh lớp C có

3

C cách Suy số cách chọn C C C52 14 31 120 cách

Trang | 12 Tương tự ta có số cách chọn

5 90

C C C  cách

 TH3: Lớp C có học sinh, lớp A B, lớp có học sinh: Tương tự ta có số cách chọn 1

5 .4 60

C C C  cách

Vậy số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh 120 90 60  270 cách Số cách chọn học sinh thuộc không lớp 495 270 225 cách Câu 22: Có cách xếp viên bi đỏ khác viên bi đen khác thành dãy

sao cho hai viên bi màu khơng cạnh nhau?

A 3251404800 B 1625702400 C 72 D 36 Hướng dẫn giải

Chọn A

Nhận xét: Bài toán kết hợp quy tắc cộng quy tắc nhân Do hai viên bi màu không cạnh nên ta có trường hợp sau:

Phương án 1: Các bi đỏ ở vị trí lẻ Có 8 cách chọn bi đỏ vị trí số1 Có 7 cách chọn bi đỏ vị trí số3

…

Có 1 cách chọn bi đỏ vị trí số15

Suy có 8.7.6 3.2.1 cách xếp 8 bi đỏ.Tương tự có 8.7.6 3.2.1 cách xếp 8 bi xanh

Vậy có

8.7 3.2.1

( ) cách xếp

Phương án 2: Các bi đỏ ở vị trí chẵn ta có cách xếp tương tự Vậy theo quy tắc cộng ta có(8!)2( )8! 3251404800

Câu 23: Trong túi đựng 10 viên bi đỏ, 20 viên bi xanh, 15 viên bi vàng Các viên bi có kích cỡ Số cách lấy viên bi xếp chúng vào cho bi có viên bi đỏ

A 146611080 B 38955840 C 897127 D 107655240

Hướng dẫn giải Chọn D

Bước 1:Chọn bi

- Số cách chọn viên bi C455 cách

- Số cách chọn viên bi khơng có viên bi đỏ C355 cách

- Số cách chọn viên bi có viên bi màu đỏ C455 C355 cách Bước 2: Sắp xếp viên bi

Số cách xếp viên bi vào ô 5!

Trang | 13 Câu 24: Một có lá, có loại: cơ, rơ, chuồn, bích loại có Muốn lấy phải

có cơ, rô không bích Hỏi có cách chọn?

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Xét trường hợp sau:

- Lấy cờ, rơ chuồn có cách lấy

Theo quy tắc cộng có tất cách lấy

Câu 25: Có số tự nhiên có chữ số chữ số cách chữ số đứng giống nhau?

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi số cần tìm Có cách chọn a

Có 10 cách chọn b Có 10 cách chọn c

Vậy có tất số

Câu 26: Một lớp có học sinh ( ) Thầy chủ nhiệm cần chọn nhóm cần cử học sinh làm nhóm trưởng Số học sinh nhóm phải lớn nhỏ Gọi số cách chọn, lúc này:

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi phương án: Chọn nhóm có học sinh định nhóm trưởng nhóm

Thầy chủ nhiệm có phương án Ta tính xem có cách thực

Phương án có hai cơng đoạn:

- Cơng đoạn 1: Chọn học sinh có cách chọn

- Cơng đoạn 2: Chỉ định nhóm trưởng: có cách chọn

Theo quy tắc nhân phương án có cách thực

Vậy theo quy tắc cộng

52 13

1

39102206 22620312 36443836 16481894

1 3

3 13 13 13 22620312

C C C C 

22620312 13823524 2658370  39102206

5

900 9000 90000 27216

abcab

9.10.10900

n n3

1 n T

1

2 n

k n k

T kC

 

  

2n

T n   Tn2n1

1 n

k n k

T kC





k

A k

2, 3, 4, , n

A A A A

k

A

k Cnk

k

k

A k

n

kC

1

2 n

k n k

T kC

 

Trang | 14 Câu 27: Trong phịng có người có người họ Nguyễn, người họ Trần Trong

số người họ Nguyễn có cặp anh em ruột (anh trai em gái), người lại (gồm nam nữ) khơng có quan hệ họ hàng với Trong người họ Trần, có cặp anh em ruột (anh trai em gái), người lại (gồm nam nữ) khơng có quan hệ họ hàng với Chọn ngẫu nhiên người

a) Hỏi có cách chọn hai người họ khác giới tính?

A B C D

b) Hỏi có cách chọn hai người cho khơng có cặp anh em ruột nào?

A B C D

Hướng dẫn giải a) Chọn C

Chọn C

* Có nam họ Nguyễn có nữ họ Nguyễn Vậy có cặp họ Nguyễn mà khắc giới tính

* Tương tự có cách chọ cặp họ Trần mà khác giới tính Vậy có cách chọn hai người họ khác giới tính b) Chọn A

Ta có cặp anh em cặp họ Nguyễn cặp họ Trần

Chọn người số 36 người có cách chọn

Vậy có tất cách chọn cặp cho khơng có cặp anh em

Câu 28: Một bữa tiệc bàn tròn câu lạc trường Đại học Sư Phạm Hà Nội có thành viên từ câu lạc Máu Sư Phạm, thành viên từ câu lạc Truyền thông thành viên từ câu lạc Kĩ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho người câu lạc ngồi cạnh nhau?

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Do thành viên câu lạc ngồi cạnh nên ta sử dụng phương pháp “buộc” phần tưt để giải toán

Lúc ta có phần tử câu lạc Theo cơng thức hốn vị vịng quanh giới thiệu phần ví dụ ta có cách xếp câu lạc vào bàn tròn Với cách xếp có:

cách xếp thành viên CLB Máu Sư phạm cách xếp thành viên CLB Truyền thông cách xếp thành viên CLB Kỹ

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: cách xếp

36 25 11

8

4 11

5

2

156 30 186 126

619 630 11 25

8 4 12 13  12.13 156

5.630

156 30 186 

8 11 

2

36 630

C 

630 11 619

3

5

7257600 7293732 3174012 1418746

3

2!

3! 5! 7!

Trang | 15 Câu 29: Có bơng hồng đỏ, hồng vàng, hồng trắng, hồng khác

đơi Hỏi có cách lấy bơng hồng có đủ ba màu?

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Cách 1: Số cách lấy bơng hồng bất kì:

Số cách lấy bơng hịng có màu:

Số cách lấy bơng hồng có hai màu:

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán

Cách 2: Có cách chọn bơng hồng màu đỏ Có cách chọn bơng hồng màu vàng Có cách chọn bơng hồng màu trắng Có cách

Câu 30: Hỏi có tất số tự nhiên chia hết cho mà số chữ số có hai chữ số

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt số tự nhiên thỏa yêu cầu toán

{ số tự nhiên không vượt 2011 chữ số chia hết cho 9}

Với số thuộc A có chữ số ta bổ sung thêm số vào phía trước số có khơng đổi chia cho Do ta xét số thuộc A có dạng

mà khơng có chữ số 9}

mà có chữ số 9}

Ta thấy tập A có phần tử

Tính số phần tử

Với với

Từ ta suy có phần tử

Tính số phần tử

Để lập số thuộc tập ta thực liên tiếp hai bước sau

7 10

3

560 310 3014 319

3 C253 2300

3 3

7 10 211

C C C 

3 C153 C173 C183 2C73C83C103 1529

2300 211 1529  560

7 10

 7.8.10560

9 2011

9 2011 2010 2019.9

9

  2011 2010

9 2.9

9

  2011 2010

9

9

  2011 2010 19.9

9

 

X



A

m (m2008) 2011m

 

1 2011; i 0,1, 2,3, ,9

a a a a



0   |

A a A a



1  |

A a A a



2011

9

1

 

 A0

 

0 2011; 0,1, 2, ,8 1, 2010

   i 

x A x a a a i a2011 9 r  

2010

1 1;9 ,



   i

i

r r a

0

A 2010

9

 A1

1

Trang | 16

Bước1: Lập dãy gồm chữ số thuộc tập tổng chữ số chia hết cho Số dãy

Bước2: Với dãy vừa lập trên, ta bổ sung số vào vị trí dãy trên, ta có 2010 bổ sung số

Do có phần tử Vậy số số cần lập là:

Câu 31: Từ số lập số tự nhiên, số có chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng số sau đơn vị

A 104 B 106 C 108 D 112

Hướng dẫn giải Chọn C

Cách1: Gọi số cần lập

Theo ta có: (1)

Mà đơi khác nên

(2)

Từ (1), (2) suy ra:

Phương trình có nghiệm là: Với ta có số

Vậy có số cần lập

Cách2: Gọi số cần lập

Ta có:

Do

Suy ta có cặp sau:

Với ta có cách chọn cách chọn

Do có: số thỏa u cầu tốn

2010 0,1, ,8

2009

9

1

A 2009

2010.9

2011 2011 2010

2010 2009

9 2019.9

1 2010.9

9

  

   

1, 2,3, 4,5,

 

1 , 1, 2,3, 4,5,

 i

x a a a a

1     2

a a a a a a

 

1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2,3, 4,5,

a a a a a a

1           2 6 21

a a a a a a

1  2 10

a a a

1

( ,a a a, )(1,3,6); (1, 4,5); (2,3,5) 3!.3! 36

3.36 108



x abcdef

1 21

            

       

a b c d e f

a b c d e f

11

   a b c a b c, , 1, 2,3, 4,5, 6

( , , )a b c (1, 4, 6); (2,3, 6); (2, 4,5)

3! a b c, , 3! d e f, ,

Trang | 17 Câu 32: Có m nam n nữ Có cách chọn k người có a nam

nữ ( ) với số cách chọn có nam, số cách chọn có nữ

A Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: B Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: C Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là: D Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là:

Hướng dẫn giải ChọnD

Số cách chọn người người là:

*Số cách chọn có nam là:

*Số cách chọn có nữ là:

Số cách chọn thoả mãn điều kiện toán là:

Câu 33: Nếu đa giác có đường chéo, số cạnh đa giác là:

A B . C D

Hướng dẫn giải ChọnA

Cứ hai đỉnh đa giác đỉnh tạo thành đoạn thẳng (bao gồn cạnh đa giác đường chéo)

Khi số đường chéo là:

(vì )

Câu 34: Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Hỏi đa giác có cạnh?

A B C D

Hướng dẫn giải ChọnC

Đa giác có cạnh Số đường chéo đa giác là:

b k m n a b, ;  k a b; , 1

1

S a S2

b 2( )    k m n

C S S

1 2Cm nk (S S )

1 3Cm nk 2(S S )

1

( )

  

k m n

C S S

k m n k

m n

C

a -1 1

1 0

      



a a i k a i

S Cm Cn

i b 1       

b b i k b i n m i

S C C

1

( )

  

k m n

C S S

44

11 10

n n ,n3

  ! 44 44 !.2! n n

C n n

n

     

 1 88 11 11

8

n

n n n n

n

 

        

 n

5

n n ,n3

2 n

Trang | 18

Ta có:

Câu 35: Cho đa giác n đỉnh, n n3 Tìm n biết đa giác cho có 135 đường chéo

A B C D

Hướng dẫn giải ChọnD

+ Tìm cơng thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo đỉnh , có cạnh, suy số đường chéo

+ Đa giác cho có đường chéo nên

+ Giải PT: ,

Câu 36: Trong mặt phẳng cho điểm, khơng có điểm thẳng hàng tất đường thẳng nối hai điểm bất kì, khơng có hai đường thẳng song song, trùng vng góc Qua diểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng xác định điểm lại Số giao điểm đường thẳng vng góc giao bao nhiêu?

A . B .

C . D

Hướng dẫn giải ChọnD

Gọi điểm cho Xét điểm cố định, có đường thẳng nên có đường thẳng vng góc qua điểm cố định

Do có đường thẳng vng góc nên có giao điểm (tính giao điểm trùng nhau)

Ta chia điểm trùng thành loại:

* Qua điểm có nên ta phải trừ điểm

   

2 !

2

0 !.2!

n

n n

C n n n n n n n

n n                15

n n27 n8 n18

n

n

C n

2 n

C n

135 Cn2 n 135

nn2 !2!!  n 135 n ,n2 n1n2n270 n23n2700     18 15        n nhan

n loai  n 18

n

2 n1

2

( 1)( 2)

2Cn n n n C( n  1) 5Cn 2( 1)( 2) 21

2

2 ( 1)

       

n n n n n

C n C C

2

( 1)( 2)

3Cn n n 2n C( n  1) 5Cn 2( 1)( 2) 21

2

( 1)

      

n n n n n

C n C C

n A A1, 2, ,An

2  n C  n C

( 1)( 2)



  

n

n n n

nC

2 ( 1)( 2)

2

 

n n n

C

2

( 1)( 2)     n n n

Trang | 19 * Qua có đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với nhau, nên ta giao điểm, TH ta phải loại đi:

* Trong tam giác ba đường cao có giao điểm, nên ta điểm cho tam giác, trường hợp ta phải trừ

Vậy số giao điểm nhiều có là:

Câu 37: Cho đa giác đỉnh, Tìm biết đa giác cho có đường chéo

A B C D

Hướng dẫn giải ChọnD

+ Tìm cơng thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo đỉnh , có cạnh, suy số đường chéo

+ Đa giác cho có đường chéo nên + Giải PT:

Câu 38: Cho đa giác đỉnh, Tìm biết đa giác cho có đường chéo

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D

+ Tìm cơng thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo đỉnh , có cạnh, suy số đường chéo

+ Đa giác cho có đường chéo nên + Giải PT:

Câu 39: Tìm tất số nguyên dương cho , ước nguyên tố

A n=1 B n=2 C n=3 D n=4

Hướng dẫn giải: 1, 2,

A A A A A4

3 3Cn

3 2Cn

2

( 1)( 2)

( 1)

      

n n n n n

C n C C

n n n3 n 135

15

n n27 n8 n18

n

n

C n

2 n

C n

135 Cn2 n 135

nn2 !2!!  n 135 ,n ,n2 n1n2n270 n23n2700

   

18 15

n nhan

n loai

     

  n 18

n n n3 n 135

15

n n27 n8 n18

n

n

C n

2 n

C n

135 Cn2 n 135

nn2 !2!!  n 135 ,n ,n2 n1n2n270 n23n2700

 

 

18 15

n nhan

n loai

     

  n 18

n C2nn  2n k k

2 n n

Trang | 20

Chọn A

Giả sử ước nguyên tố số mũ phân tích tiêu chuẩn

Ta chứng minh:

Giả sử

Và

Mặt khác:

Do đó: vơ lí

Từ suy

Câu 40: Cho tập hợp A có n phần tử Biết số tập A có phần tử nhiều gấp 26 lần số tập A có phần tử Hãy tìm cho số tập gồm k phần tử

A là nhiều

A B C D

Hướng dẫn giải: Ta có

Số tập gồm k phần tử A là: nhỏ

Câu 41: Cho khối lập phương gồm 27 khối lập phương đơn vị Một mặt phẳng vng góc với đường chéo khối lập phương lớn trung điểm Mặt phẳng cắt ngang (không qua đỉnh) khối lập phương đơn vị?

A B C D

Hướng dẫn giải

Đưa vào hệ tọa độ , xét mặt phẳng qua trung điểm vng góc với Mặt phẳng cắt hình lập phương đơn vị điểm

nằm hai phía Vậy

p C2nn m p C2nn

2



m

p n

2  

     m m n p n p

2 1

2 2

2  

           

            

           

     m m 

n n n n n n

m

p p p p p p

2[ ] 2x  2x[2 ]x [2 ] 2[ ] 1x  x 

1 sô

1 1

       m m m   2 1 2            k n n n n k k C n n C n

n4

1, 2,3, , 

k n

20

k  k11 k14 k10

        

8 ! !

26 26 13.14.15.16

8! ! 4!

n n

n n

C C n n n n

n n

        

 

7 13 20

n n

     k

20

C  k 10 Ck20 3 3 

16 17 18 19

Oxyz OA OA

3;3;3

A  :

2

P x   y z

i j k; ;  i1; j1;k1  P

9

3

2

9 2

1 1

2

i j k

i j k

i j k

    

     



Trang | 21 Các họ không thỏa mãn tức

Vậy có khối lập phương bị cắt Chọn D

Câu 42: Cho S tập số nguyên đoạn T tập hợp tập khác rỗng S

Với , kí hiệu trung bình cộng phần tử X Tính

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn B

Với ta đặt lấy tổng theo mà

Xét phần tử ta có thuộc vào tập mà

Do đó: Suy

Mặt khác , đó:

i  j k

2

i  j k

               

 0;0;0 , 0;0;1 , 0;1;0 , 1;0;0 , 1; 2; , 2;1; , 2; 2;1 , 2; 2; 

S 

27 19 

1; 2002



X T m X( )

( )



 X T

m X m

T

3003



m 2003

21



m 4003

2



m 2003

2



m

1, 2, , 2002



k mk m X( ) XT X k

a a

2001



k

C XT X k

  1

2001 2001

1 2002  2001.2001 

    k  k

k

km C C

 2002 

1

2002 2002

2001

1

2003

( ) 1001.2003

2 

  



  

  k  k

X T k k

C

m X m

k

2002

2

 

T 2003

2

