3 day so co gioi han vo cuc

Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới han- 03 DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC P( n) ∞ lim , P n Q n Q( n) Dạng vô định ∞ hay với ( ) ( ) hàm đa thức ta chia tử k mẫu cho n với k lớn Dạng vô định ∞ − ∞ hay ∞ ta nhân với lượng liên hợp đưa dạng ∞ lim  P ( n ) − Q ( n )  Bài 1: Tính giới hạn sau a c ) lim ( n + 4n − n lim ( n2 + n − n2 +1 b ) d lim ( n +1 − n ) lim ( n + 5n + − n − n ) Bài 2: Tính giới hạn sau a c ( lim n − n + lim ( ) lim b n − 2n − n ) d lim n − ( n + − n2 + n +1 − n ) Bài 3: Tính giới hạn sau a c lim ( n − n +1 lim n (  n + − n3  lim  ÷  n2 +1 − n ÷   b ) n +1 − n ) d lim ( n − 3n + − n + 4n ) Bài 4: Tính giới hạn sau a c lim n −2 n + n +1 lim n +2 n +2 +3 b d lim n +1 n +1 lim n2 +1 2n + Bài 5: Tính giới hạn sau lim a lim c Trang | n3 + − n +1 − b ( 2n n ) ( + n ) ( n + 1) ( n + ) d lim lim 2n − − n 3n + 2n n + n 3n + 2n + Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Chuyên đề : Giới han- Bài 6: Tính giơi hạn sau n + n3 + + n n lim n n2 +1 + a c lim ( n +1 + n b n + 2n − 5n + lim ) d lim ( n2 + n3 + n ) Bài 7: Tính giới hạn sau:  1 lim  + + +  1.3 3.5 ( 2n − 1) ( 2n + 1)  a   1 lim  + + + ÷  1.3 2.4 n ( n + ) ÷   b  ÷ ÷  Bài 8: Tính giới hạn sau:  1    lim 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷     n  a  1 lim  + + +  1.2 2.3 n ( n + 1)  b  ÷ ÷  Bài 9: Tính giới hạn sau: a b lim + + + n n + 3n lim + + 22 + + 2n + + 32 + + 3n  1    u ( n ) =  − ÷ − ÷ 1 − ÷ u n     n  với n ≥ Bài 10: Cho dãy số ( ) với a rút gọn un b tính lim un Bài 11: a chứng minh un = b.Rút gọn 1 = − ∀n ∈ N * ) ( n n + + ( n + 1) n n n +1 1 + + + +2 3+3 n n + + ( n + 1) n c Tính lim un Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TOÁN Lớp 11 Chuyên đề : Giới han- u1 =   un +1 = un + 2n ( n ≥ 1) u ( n) Bài 12: Cho dãy số xác định a Đặt = un +1 − un Tính v1 + v2 + + theo n b Tính un theo n c Tính lim un u1 = 0; u2 =  2u = u + u ( n ≥ 1) u ( n) Bài 13: Cho dãy số xác định  n + n +1 n un +1 = − un + 1, ∀n ≥ a Chứng minh = un − Tính theo n Từ tìm lim un b Đặt LỜI GIẢI BÀI TẬP Bài 1: Tính giới hạn sau a c ) lim ( n + 4n − n lim ( n2 + n − n2 +1 b ) d lim ( lim n +1 − n ( ) n + 5n + − n − n ) Lời giải (   n + − n = lim  ÷=  n + 1+ n  (  n2 + n − n2 −    n− n + n − n + = lim  = lim ÷  ÷ ÷  ÷ 2  n + n + n + 1  n + n + n + 1 a lim b lim c ) (  n2 + 4n − n2    4n 1 n2 + 4n − n = lim  = lim = 4lim = =2 ÷  ÷ ÷  ÷ 2 n + n + n n + n + n     1+ + n lim ) 1− = lim 1+ lim d ( Trang | ) n 1 + 1+ n n = ( ) ( )  n2 + 5n + − n2 − n  6n + ÷ = lim n + 5n + − n − n = lim  2  n + 5n + + n − n ÷ n + 5n + + n2 − n   2 ) Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 6+ = lim n 1 1+ + + 1− n n n Chuyên đề : Giới han- =3 Bài 2: Tính giới hạn sau a c ( ) lim ( lim lim n − n + n2 + − n2 + b ) n3 − 2n2 − n d ( lim n − n+ 1− n ) Lời giải ) (  n2 − n2 −  lim n − n2 + = lim  = − 3lim =0 ÷ ÷ 2 n + n + n + n +   a lim n2 + − n2 + b lim ( = lim n2 + + n2 + = −∞ −2 (  n3 − 2n2 − n  n3 − 2n2  ) n3 − 2n2 − n = lim ) c −2n2 = lim ( n − 2n ) ( lim n − d ( ( n − 2n ) 2  − n3 n3 − 2n2 + n2 ÷  − n3 n3 − 2n2 + n2 −2 = lim − n3 n3 − 2n2 + n2 )  2  1− n ÷ − 1− n +   = n− n =1 n + − n = lim = lim n+ 1+ n 1+ + n 1− ) Bài 3: Tính giới hạn sau a c lim (  n + 1− n3  ÷ lim   n2 + − n ÷   b ) n − n+ lim n ( n+ 1− n ) d lim ( n3 − 3n2 + − n2 + 4n ) Lời giải Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 lim ( ) n − n + = lim ( a = lim Chuyên đề : Giới han- ) 2  n − n +  n2 + n( n + 1) + ( n + 1) ÷   2 3 3  n + n( n + 1) + ( n + 1) ÷   −1 2 3 3  n + n( n + 1) + ( n + 1) ÷   =0 ) )( ( ( ) ( 2 3  3 n + − n n − n − n + − n  ÷ n + 1+ n  n + 1− n3    ÷= lim lim   n2 + − n ÷ 2    n2 + − n n2 + + n  n2 − n3 1− n3 + 1− n3 ÷   b = lim n2 + 1+ n  3 3  n − n 1− n + 1− n  ( ( lim n − )  ÷  ) ( ) = lim   1− − +  − 1÷ n n  d ( n + 1+ n ) n3 − 3n2 + − n2 + 4n = lim = lim ( n − 3n ( 1+ 3 ( n − 3n + 1) + ( n − 1) 2 n − 3n + + ( n − 1) +1 n = ) ( ( n − 1) − ( n + lim 2 − 3n = lim =0 n3 − 3n2 + − ( n − 1) + lim n − 1− n2 + 4n 2 = lim ( n − 3n + 1) − ( n − 1) + 1) + ( n − 1) n − 3n + + ( n − 1) = ) c lim ( 1 + + n2 n4 n n n + − n = lim ) 2 ) ) + 4n n − 1+ n2 + 4n + lim −6n + n − 1+ n2 + 4n = − = −3 Bài 4: Tính giới hạn sau lim a lim c n−2 lim n+ n + b n+ n+ + d lim n+ n+1 n2 + 2n + Lời giải Làm tương tự phần ta kết quả: Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 lim a n−2 n+ n + n+ lim n+1 b lim =0 =1 n+2 n+ + c Chuyên đề : Giới han- =2 n2 + 1 lim = 2n + d Bài 5: Tính giới hạn sau lim c lim n + 1− a lim n3 + − ( 2n n 3+ n ( n + 1) ( n + 2) b ) d lim 2n − − n 3n + 2n n2 + n 3n2 + 2n + Lời giải lim n3 + − a Đặt b) lim n3 + − ( n + 1) = t n +1  1 = lim 1 + ÷ = n  n 1 − t2 − n → +∞ ⇒ t → +∞ ⇒ lim = lim = lim t t = = t −2 n3 + − 1− t Khi lim b) 2n − − n 3n + = −1 2n n ) ( + n ) ( lim =1 ( n + 1) ( n + 2) c) n3 + − 2n n + n = 3n + 2n + d) Bài 6: Tính giới hạn sau lim Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 lim a c lim ( Chuyên đề : Giới han- n2 + n3 + + n n n n2 + 1+ n+ 1+ n b ) d n2 + 2n − 5n + lim lim ( ) n2 + n3 + n Lời giải n + n + 1+ n n lim = lim n n2 + + 1+ a) lim n + 2n − = lim 5n + ( n + + n = +∞ − n n2 = 1 5+ n 1+ b) c) d) lim lim ( ) ) n2 + n3 + n = +∞ 1 + 6+ n = 1= n n 1 1+ + n n Bài 7*: Tính giới hạn sau  1 lim  + + +  1.3 3.5 ( 2n − 1) ( 2n + 1)  a  ÷ ÷   1 lim  + + +  1.3 2.4 n( n + 2)  b  ÷ ÷  Lời giải A= a) Xét 1 + + + 1.3 3.5 2n − 2n + ( 2A = Ta có )( ) 2 1 1 + + + = − + − + + − 1.3 3.5 3 2n − 2n + 2n − 2n + ( )( ) = 1− lim A = lim 2n = lim 2n + Suy B= b) Xét Trang | 2+ n 1 + + + 1.3 2.4 n n+2 ( 2n = n + 2n + =1 ) Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 2B = Ta có Chun đề : Giới han- 2 1 1 1 + + + = − + − + − + − 1.3 2.4 n n+2 n n+2 ( ) = 1+ 1 − = − n+2 n+2   3 ÷ lim B = lim  − n ÷ =  1+ ÷ n  suy Bài 8*: [ĐVH] Tính giới hạn sau  1  lim  + + + ÷ n(n + 1)   1.2 2.3 b)  1    A = lim 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷     n  a) Lời giải:   S = ln 1 − ÷1 −   a) Xét  1 1       ÷ 1 − ÷ = ln 1 − ÷+ ln 1 − ÷+ + ln 1 − ÷   n       n  n −1 n +1 n +1 n +1 S = ln + ln + ln + ln + ln + ln + + ln + ln = ln + ln = ln 2 3 4 n n n 2n Suy n +1 n = ln limS=limln = lim ln 2n 2 Suy 1+ Suy b) Đặt A=e P= lnS =e ln = = 1 1 1 1 n + + + = − + − + + − = 1− = 1.2 2.3 n(n + 1) 2 n n +1 n +1 n +1  1  n lim  + + + = lim =1 ÷ = lim = lim P = lim n(n + 1)  n +1  1.2 2.3 1+ n Khi Bài 9: [ĐVH] Tính giới hạn sau a) lim + + + n n + 3n b) lim + + 22 + + 2n + + 32 + + 3n Lời giải: Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới han- 1+ + + + n n2 + n n =1 lim = lim = lim 2 n(n + 1) n + n n + 3n 2n + 6n + + + n = = 2+ n 2 a) Ta có Suy    n +1   ÷ − n +1 + + 22 + + 2n 2n +1 − 3 lim = lim n +1 = lim    n  −1 + + + + − n +1   b) Ta có  ÷ ÷= ÷ ÷   1    u n =  − ÷1 − ÷ 1 − ÷,     n  với n ≥ Bài 10*: [ĐVH] Cho dãy số (un) với a) Rút gọn un b) Tìm limun Lời giải:  1   (2 − 1)(32 − 1) (n − 1) 1.3.2.4.3.5 (n − 1)(n + 1)  u n = 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷ = = (2.3 n)2 (2.3 n)     n  a) Ta có = (1.3.3.5 (n − 1)(n + 1)).(2.4.2 (n − 2).n n + = (2.3 n) n lim b) n +1  1 = lim 1 + ÷ = n  n Bài 11: a Chứng minh: un = b Rút gọn 1 = − ( ∀n ∈ ¥ *) n n + + ( n + 1) n n n +1 1 + + + +2 +3 n n + + ( n + 1) n c Tìm lim un Lời giải Trang | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 a Ta có = Chuyên đề : Giới han- ( n + 1) − n = = n n + + ( n + 1) n n ( n + 1) n + n + ( n +1 − n n ( n + 1) = ) ( n +1 − n n ( n + 1) ( )( n +1 + n n + n +1 ) ) 1 − n n +1 b Áp dụng đẳng thức chứng minh câu a, ta có: un = 1 1 1 1 − + − + + − + − ⇒ un = − 2 n −1 n n n +1 n +1   lim un = lim 1 − ÷= n +   c Bài 12: Cho dãy số ( un ) u1 =   un +1 = un + 2n ( n ≥ 1) xác định bởi: a Đặt v n = un+1 − un Tính v1 + v2 + + theo n b Tính un theo n c Tìm lim un Lời giải  = un +1 − un =  un + n  a Ta có Khi ⇒ A = v1 + v2 + + = A 1 1 =  + + + n 2 2  ÷− un = n  1 A 11 1  + + + ⇒ =  + + + n ÷ 2 2 22 2   1   1 ÷−  + + + n +1 ÷ = − n +1 ⇒ A = − n  2  2 b Từ câu a, suy A = v1 + v2 + + = u2 − u1 + u3 − u2 + + un − un −1 + un +1 − un n ⇔ A = ∑ vi = un +1 − u1 = un +1 − = un + i =1 1 1 − ⇒ − n = un + n − ⇒ un = − n −1 n 2 2   lim un = lim  − n −1 ÷ = 2   c Bài 13 Cho dãy số Trang 10 | ( un ) u1 = 0; u2 =  2u = un +1 + un , ( n ≥ 1) xác định bởi:  n + Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới han- un +1 = − un + 1, ∀n ≥ a Chứng minh rằng: b Đặt = un − Tính theo n Từ tìm lim u n Lời giải 2un +1 + un = 2un + un −1 = 2un −1 + un − = = 2u3 + u2 = 2u2 + u1 = ⇒ un +1 = − un + a Ta có: b = un − ⇒ 3vn = 3un − ⇒ 3vn = 2un + ( un − ) = 2un − 2un +1 = 2un − ( un + un −1 ) = un − un −1 3 1 1 2 3vn = un − un −1 = − un −1 + − un −1 = − un −1 + ⇒ = − un −1 + = −  un −1 − ÷ = − −1 2 2 3 n −1 n −1 1   1  1 = − −1 = −  − − ÷ =  − ÷ v1 =  − ÷ 2   2  2 Từ đó, ta suy n −1 n −1  1 2 2  1  ⇒ un = + =  − ÷ − + = 1 −  − ÷ ÷  2 3    ÷     n −1   lim un = lim   −  − ÷ ÷÷ =     ÷÷    Suy ra, Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: a Chứng minh: un = b Rút gọn Trang 11 | 1 = − ∀n ∈ ¥* ) ( n n + + ( n + 1) n n n +1 1 + + + + 2 +3 n n + + ( n + 1) n Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Chun đề : Giới han- c Tìm lim un Lời giải ( n + 1) − n = = n n + + ( n + 1) n n ( n + 1) n + n + ( a) Ta có: = n +1 − n n ( n + 1) = 1 − n n +1 ) ( n + n +1 n ( n + 1) ( )( n − n +1 n + n +1 ) ) b) Áp dụng đẳng thức chứng minh câu a, ta có: un = Bài 2: 1 1 1 − + − + + − ⇒ un = − 2 n n +1 n +1   lim un = lim 1 − ÷= n +1   c) Ta có: u1 =   un +1 = un + n ( n ≥ 1)  u Cho dãy số ( n ) xác định bởi:  a Đặt = un +1 − un Tính v1 + v2 + + theo n b Tính un theo n c Tìm lim un Lời giải a) Ta có: Khi đó: ⇒ = un+1 − un = 2n A = v1 + v2 + + = 1 A 1 + + + n ⇒ = + + n +1 2 2 2 A 1 1   1  1 =  + + + n ÷−  + + n +1 ÷ = − n +1 ⇒ A = − n 2 2  2  2 b) Từ câu a, suy ra: A = v1 + v2 + + = u2 − u1 + u3 − u2 + + un+1 − un = un+1 − ⇒ A = un + 1 1 − ⇒ − n = un + n − ⇒ un = − n −1 n 2 2   lim un = lim  − n −1 ÷ = 2   c) Ta có: Trang 12 | Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN Lớp 11 Bài 3: Cho dãy số ( un ) Chuyên đề : Giới han- u1 = 0; u2 =  2u = u + u ( n ≥ 1) xác định bởi:  n + n +1 n un +1 = − un + 1, ∀n ≥ a Chứng minh rằng: b Đặt = un − Tính theo n Từ tìm lim un Lời giải 2un +1 + un = 2un + un −1 = 2un −1 + un −2 = = 2u2 + u1 = ⇒ un +1 = − un + a) Ta có: = un − ⇒ 3vn = 3un − ⇒ 3vn = 2un + ( un − ) = 2un − 2un +1 = 2un − ( un + un −1 ) = un − un −1 b) 1 1 2 3vn = un − un −1 = − un −1 + − un −1 = − un −1 + ⇒ = − un −1 + = −  un −1 − ÷ = − −1 2 2 3 n −1 n −1  1  1 = − −1 =  − ÷ v1 =  − ÷  2  2 Từ đó, suy ra: Suy ra, Trang 13 | n −1   1  lim un = lim 1 −  − ÷  =     n −1 2   1  ⇒ un = + = 1 −  − ÷  3     Nhóm WORD HĨA TÀI LIỆU TỐN ... n2 + = −∞ −2 (  n3 − 2n2 − n  n3 − 2n2  ) n3 − 2n2 − n = lim ) c −2n2 = lim ( n − 2n ) ( lim n − d ( ( n − 2n ) 2  − n3 n3 − 2n2 + n2 ÷  − n3 n3 − 2n2 + n2 −2 = lim − n3 n3 − 2n2 + n2 ) ... n  d ( n + 1+ n ) n3 − 3n2 + − n2 + 4n = lim = lim ( n − 3n ( 1+ 3 ( n − 3n + 1) + ( n − 1) 2 n − 3n + + ( n − 1) +1 n = ) ( ( n − 1) − ( n + lim 2 − 3n = lim =0 n3 − 3n2 + − ( n − 1) + lim... 1 .3 3.5 ( 2n − 1) ( 2n + 1)  a  ÷ ÷   1 lim  + + +  1 .3 2.4 n( n + 2)  b  ÷ ÷  Lời giải A= a) Xét 1 + + + 1 .3 3.5 2n − 2n + ( 2A = Ta có )( ) 2 1 1 + + + = − + − + + − 1 .3 3.5 3