Dãy số có giới hạn vô cực

Ngày soạn: 14/01/2009 Người soạn: Đào Quang Bình. Tiết 62: D y số có giới hạn vô cựcã I. Mục tiêu: + Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được dãy số có giới hạn là + ;- và các quy tắc tìm + Về kĩ năng:Giúp học sinh vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn vô cực để từ một số giới hạn đơn giản đã biết tìm giới hạn vô cực. II. Chuẩn bị của thầy và trò: + Thầy: Giáo án, sách giáo khoa, hình ảnh minh họa cho bài dạy. + Trò: Đọc trước bài mới, sách giáo khoa, dụng cụ học tập. III: Néi dung vµ ph­¬ng ph¸p: A. KiÓm diÖn: + Líp 11TN1: Ngµy d¹y:………………… Häc sinh v¾ng: .……………… B. KiÓm tra bµi cò: ( Kh«ng cã) C. Bµi míi: 1.D·y sè cã giíi h¹n + ∞ • Cho d·y sè (u n ) víi 2 3 n u n = − TiÕt 62: D y sè cã giíi h¹n v« cùc· NhËn xÐt vÒ ®Æc ®iÓm cña d·y sè trªn? 1 u 3 u n u 6 u 5 u 4 u 1 2 3n − . 3 5 6 8 10 1 − 0 2 4 7 9 . 2 u b. áp dụng định nghĩa hãy chứng minh: 3 lim ;lim ;limn n n= + = + = + Khi n tăng thì u n trở lên lớn bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn. Tức là mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi đều lớn hơn số dương lớn tuỳ ý cho trước. Khi đó ta nói dãy số ( 2n 3) có giới hạn là + + Định nghĩa.Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là Nếu với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Khi đó ta viết ( ) lim ;lim ; n n n u u u= + = + + Vậy ta viết được: ( ) lim 2 3n = + Xét dãy số (u n ) : Chứng minh: + Theo định nghĩa về dãy số có giới hạn thì ta có lim n =+ n u n= Tương tự ta dễ dàng chứng minh được: 3 lim ;limn n= + = + Với số dương tuỳ ý, giả sử lấy giá trị 100. Xét 100 n u > 100n > 10000n > Như vậy mọi số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 10001 trở đi đều lớn hơn giá trị cho trước 100. Tổng quát với mọi số dương lớn tuỳ ý cho trước ta hoàn toàn có thể chỉ ra mọi số hạng của dãy sẽ lớn hơn giá trị dương cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi. 2. Dãy số có giới hạn là có giới hạn là ( ) n u a. Định nghĩa : Ta nói rằng dãy số Nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Khi đó ta viết: ( ) lim ;lim ; n n n u u u = = b. Ví dụ 1: Với kết quả phần 1 ta có : ( ) lim 2 3n = + Nhận thấy: ( ) lim lim n n u u = = + Em hãy kết luận về: ( ) lim 2 3n + c. Chú ý: Các dãy số có giới hạn ; + được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. d. Nhận xét:Nếu lim u n =+ thì u n lớn bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn, do đó 1 1 n n u u = nhỏ bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Ta có định lý sau: Nếu lim n u = + thì 1 lim 0 n u = 3. Mét vµi quy t¾c t×m giíi h¹n v« cùc. +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ lim n v lim n u ( ) lim n n u v a. Quy t¾c 1: ®­îc cho trong b¶ng sau: th× lim ;lim n n u v = ±∞ = ±∞ ( ) lim n n u v NÕu CC KS 2 * lim ;lim ; k n n k∀ ∈ ¥ V Ý d ô 2 : T × m V× lim n = +∞ Vµ 2 .n n n= Nªn: 2 lim n = +∞ T­¬ng tù: * lim ; k n k= +∞ ∀ ∈ ¥ VÝ dô 3:T×m giíi h¹n sau: ( ) 2 lim n n− + VÝ dô 2: T×m Gi¶i [...]... G4: Tìm 4 1 Ta có 3 2 1+ 4 5 5 4 n + n 3n 2 n n n = 3 2 4 6 9 4n + 6n + 9 2+ 3+ 5 n n n 1 3 2 lim(1 + ) = 1; n n 4 n5 4 6 9 lim( + + ) = 0; n 2 n3 n5 Vì 4 6 9 + + >0 2 n3 n5 n n + n 3n 2 lim = + 3 2 4n + 6n + 9 5 Nên: 4 IV Củng cố: + Khái niệm về dãy số có giới hạn vô cực ; + không phải là những số thực nên không áp + dụng được các định lý trong bài 2 + Ba quy tắc tìm giới hạn vô cực + Nội dung... 51 2 2 n 2) Ta có 3n 101n 51 = (3 n n 101 51 2 2) = 3 > 0 Vì lim n = +;lim(3 n n Vậy: lim (3n2 101n 51 ) + = Có thể sử dụng quy tắc 1 được không? G 2 Vì lim (3n2 101n 51 ) = + Theo định lý trong mục 2 thì ta có 1 lim 2 =0 3n 101n 51 ĐL G3: Tìm lim(n.sin n 2n3 ) 3 3 sin n Ta có : n.sin n 2n = n ( 2 2) sin n n 3 Mà lim n = +;lim( 2 2) = 2 < 0 n Vậy lim(n.sin n 2n3 ) = Có thể sử dụng quy... giải như sau: 2 Vì: n + n = n ( n + 1) Mặt khác: lim n = +;lim ( n + 1) = 2 Vậy theo quy tắc 1: lim ( n + n ) = Bạn Sửu có phần nháp như sau: 1 2 2 Vì n + n = n 1 + ữ n 1 Ta có lim n = +;lim 1 + ữ = 1 n Đối chiếu với quy tắc 1, bạn Sửu không kết luận được kết quả của giới hạn trên Vậy phải chú ý điều gì ở quy tắc 1? 2 QT1 b Qui tắc 2 Nếu lim un = ;lim vn = L; L 0 thì lim(unvn) được cho bởi bảng... các định lý trong bài 2 + Ba quy tắc tìm giới hạn vô cực + Nội dung ba quy tắc, hình thức sử dụng trong từng trường hợp qt1 qt2 qt3 V Hướng dẫn học ở nhà + Xem lại bài cũ, luyện tập ba quy tắc tìm giới hạn vô cực qua bài tập sách giáo khoa + Đọc trước bài mới ... 0;lim vn = 0 và vn> 0 hoặc vn< 0 kể từ một un số hạng nào đó trở đi thì lim được cho bởi bảng sau : vn un Dấu của L Dấu của vn lim vn + + + + + + 3n3 + 2n 1 G 1 Tìm lim 2n 2 + n 2n3 + n G 2 Tìm lim 3n 2 3 6 3 n 7 n 5n + 8 G 3.Tìm lim n + 12 n5 + n 4 3n 2 G 4 Tìm lim 4n3 + 6n 2 + 9 QT3 3n3 + 2n 1 G 1 Tìm lim 2n 2 + n 2 1 3+ 2 3 3n3 + 2n 1 n n = Ta có : 2 1 2n 2 + n + 2 n n 2 1 Vì lim(3 + 2... 2 1 lim( + 2 ) = 0; + 2 > 0 n n n n 3n3 + 2n 1 Nên lim = + 2 2n + n Ta có thể sử dụng một trong hai quy tắc đầu không? 2n3 + n G 2 Tìm lim 3n 2 1 2 + 2 2n3 + n n = Ta có : 3 2 3n 2 2 3 n n 1 Vì lim(2 + 2 ) = 2 < 0 n 3 2 3 2 lim( 2 3 ) = 0; 2 3 > 0 n n n n 2n3 + n Nên lim = 3n 2 3 6 3 n 7 n 5n + 8 G3: Tìm lim n + 12 Ta có 3 6 3 n 7 n 5n + 8 n + 12 = 7 5 8 23 n 1 3 5 + 6 n n n n + 12 7 5 . số có giới hạn là có giới hạn là ( ) n u a. Định nghĩa : Ta nói rằng dãy số Nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng. về: ( ) lim 2 3n + c. Chú ý: Các dãy số có giới hạn ; + được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực. d. Nhận xét:Nếu lim u n =+ thì