Day so co gioi han vo cuc

1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG1. GV: Nguyễn Thị Phương Anh.[r]

1

1 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG

GV: Nguyễn Thị Phương Anh

Xét dãy số (vn) với vn = 2n – Tìm lim vn Xét dãy số (vn) với vn = 2n – Tìm lim vn

KIỂM TRA BÀI CŨ

Tìm giới hạn dãy sau:

Tìm giới hạn dãy sau:

1) Dãy số (un) với un =

2) Dãy số (un) với

1) Dãy số (un) với un =

2) Dãy số (un) với

2

2

n - 3n + 5

2n  1

n

1 u

2n 3



 Đáp số: 1)

Đáp số: 1)

2

2

n 3n 1

lim

2n 1 2

 



 2)2)

1

lim 0

Giáo viên: Nguyễn Thị Phương Anh Ngày dạy: 23/11/2010

Dãy số có giới hạn +∞

1

Dãy số có giới hạn - ∞

2

Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

VD1:

Cho dãy số (un): un= 2n - 3

VD1:

Cho dãy số (un): un= 2n - 3 Cho M= 2010. Tìm n để un > M

Cho M= 2010. Tìm n để un > M M số dương Ta tìm n để un > M

hay khơng?

M số dương Ta tìm n để un > M

hay khơng?

Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞

Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞

Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn +∞ nếu với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương

1 Dãy số có giới hạn +∞

1 Dãy số có giới hạn +∞

Ta viết: lim un= +∞ un→ +∞

Ta viết: lim un= +∞ un→ +∞

1 Dãy số có giới hạn +∞

1 Dãy số có giới hạn +∞

Lấy M số dương tùy ý

Lấy M số dương tùy ý

2 Dãy số có giới hạn – ∞

2 Dãy số có giới hạn – ∞

Nhận xét: Nhận xét:

Hướng dẫn:

Hướng dẫn:

Nếu chọn n > M2 ta có u

n > M

Nếu chọn n > M2 ta có u

n > M

Vậy

Vậy *) Định nghĩa

*) Định nghĩa

Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn +∞ nếu với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương

Ta viết: lim un= +∞ hoặc un→ +∞

Ta viết: lim un= +∞ hoặc un→ +∞

(sgk)

(sgk)

Ta viết lim un= – ∞ hoặc un→ – ∞

Ta viết lim un= – ∞ hoặc un→ – ∞

VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng minh lim

VD2: Áp dụng định nghĩa để chứng minh lim n 

Xét dãy số (un) với un = Xét dãy số (un) với un = n

Xét un > M  > M  n > M2

Xét un > M  > M n  n > M2

 

 

 

lim lim lim

n n n

lim n 

1 Dãy số có giới hạn +∞

1 Dãy số có giới hạn +∞

Nếu lim |un|= +∞ lim

Nếu lim |un|= +∞ lim

un

u1n1 =0=0

*) Các dãy số có giới hạn +∞ –∞ gọi chung dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực

*) Các dãy số có giới hạn +∞ –∞ gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vô cực

Nếu lim|un|= +∞ lim

Nếu lim|un|= +∞ lim

|un| |un1|

1

=? =?

VD4: Chọn đáp án đúng: VD4: Chọn đáp án đúng:

Dãy số (un) với un= (-1)n có giới

hạn là:

Dãy số (un) với un= (-1)n có giới hạn là:

a)

a)

c) + ∞

c) + ∞

b) – ∞

b) – ∞

d) Khơng có giới hạn

d) Khơng có giới hạn *) lim un= + ∞  lim(– un) = – ∞

*) lim un= + ∞  lim(– un) = – ∞

Vì lim (2n-3) = + ∞

nên lim(-2n+3) = – ∞

Vì lim (2n-3) = + ∞ nên lim(-2n+3) = – ∞

VD3: lim (-2n + 3)= ?

VD3: lim (-2n + 3)= ?

2 Dãy số có giới hạn – ∞

2 Dãy số có giới hạn – ∞

*) Định nghĩa (sgk)

*) Định nghĩa (sgk)

Ta viết lim un= – ∞ hoặc un→ – ∞

Ta viết lim un= – ∞ hoặc un→ – ∞

Định nghĩa: Dãy số (un) có giới hạn +∞ với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương

Ta viết: lim un= +∞ hoặc un→ +∞

Ta viết: lim un= +∞ hoặc un→ +∞

Hướng dẫn

Hướng dẫn

*) Định lí

*) Định lí

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

 lim un , lim( )vn 

a, Quy tắc 1: Nếu Thì ta có

lim un lim vn lim(u vn n) 

 



 

   

   

 

 

Ví dụ 5: Cho hai dãy số: un = 2n,vn = n, ta có

 lim un lim(2n)=+

 lim(u vn n) lim(2n.n) = lim(2n ) = + 2   lim vn lim n  +

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

Nếu lim un= ± ∞ và limvn= ± ∞ lim(unvn) cho bởi:

Nếu lim un= ± ∞ và limvn= ± ∞ lim(unvn) cho bởi:

lim un lim vn lim(unvn)

+∞ +∞ +∞

+∞ – ∞ – ∞ – ∞ +∞ – ∞ – ∞ – ∞ +∞

Nhận xét: Nhận xét: a) Quy tắc 1:

a) Quy tắc 1:

lim nk = với k*

lim nk = với k*

+∞ +∞

3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

Ví dụ 6: Cho hai dãy số: un = 2n, , ta có

 lim lim(1 ) 1

n

v

n

 1

n

v

n

 lim   

lim

(2

+ )

n

u n

lim( ) lim[2 (1 )] lim(2  3) =+

2

n n

u v n n

n

D·y sè cã giíi hạn vô cực

* Vớ d 7: Cho cỏc dãy số vn 1

n

, ta có

 

+ lim lim(2- ) n

n

u

 

n

u

+ lim lim(2n-3)=+

n

v

 

+ limvn lim =0, vn

n

3

, 2un

b, Quy tắc 2: Nếu limun , lim vn  L 0 Thì ta có Dấu L

limun lim(u vn n)

 





 

 

   









3 Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

DÃy số có giới hạn vô cực

c, Quy tắc 3:lim  0, lim 0

n n

u L v vn 

hạng trở

kể từ số vn 

Dấu L Dấu của

n

v lim n n

u v



 

  

 

 





3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực

a, Quy tắc 2:

b,Quy tắc 3:

lim n n u v                      

limun

   

 

lim(u vn n)



  

 

Ví dụ 8: Tính

limun  L 0, limvn 0

limun , lim( )vn  L 3 2

1

) lim( 12 1)

a I   n  n 

Dấu L

Dấu L

Dấu L

Dấu L Dấu v

n

Dấu vn

3

2

3

2

) lim ) lim n n b I n n n c I n        

? Nêu phương pháp chung tính giới hạn dạng:

? Nêu phương pháp chung tính giới hạn dạng:

1 *

1 lim( 0), k k

k k

I  a n a  n   a n a kN

1

*

1

2

1

lim ,

k k k k

m m m m

a n a n a n a

I m k N

b n b n b n b

             

1 * lim( 0),

k k k k

I  a n a  n   a n a kN





    

1

lim[n ak( k ak ak ak )]

n n n

Nếu

1 )ak I

   

1 )ak I

    

* Chú ý 2: Phương pháp tìm:

* Chú ý 2: Phương pháp tìm:

1

* 1

2

1

lim ,

k k k k

m m m m

a n a n a n a

I m k N

b n b n b n b

             

* Chú ý 1: Phương pháp tìm:

* Chú ý 1: Phương pháp tìm:

Nếu

2

)k m I

   

2

) k

m

a k m I

b                   k m k m a

voi

b )

a

voi

b

I k m

I

Chia tử mẫu phân thức cho l thõa cao nhÊt cđa n

Chia tư vµ mÉu cđa ph©n thøc cho l thõa cao nhÊt cđa n

Nếu

*Chú ý 1: Phương pháp tìm:

*Chú ý 1: Phương pháp tìm:

Nếu )   

k m

a

k m I

b

 

lim( k k  k 1 k   1  0),  *

I a n a n a n a k N





lim[n ak( k  ak   ak11  a0k )]

n n n

)ak   I 

)ak   I  

*Chú ý 2: Phương pháp tìm:

*Chú ý 2: Phương pháp tìm:

              *

1

1

1

lim ,

k k

k k

m m

m m

a n a n a n a

I m k N

b n b n b n b

              k m k m a

víi

b )

a

víi

b

I k m

I

 ) k  m  I 

2) d·y sè cã giíi h¹n   1) d·y sè cã giíi h¹n 

Định lý:

Nếu lim|un| = + lim =

Định lý:

Nếu lim|un| = +

thì lim =

n u

Bµi học cần nắm đ ợc



  5  

) ; ) ; ) ; )

2

A B C D

–

–

2 – ∞ – ∞ + ∞ + ∞ A)

A) B)B) C)C) D)D) 105 105

2

2

1 Kết

1 Kết ––3n3n2 + 105n + 42 + 105n + 4

2n + 1 2n + 1

lim

lim là:là:

– ∞

– ∞

+ ∞

+ ∞

A)

A) B)B) C)C) 11 D)D) –– 1 1

2 Kết

2 Kết ––3n3n3 + 3n - 23 + 3n - 2

2 – 3n 2 – 3n

lim

lim

là:

là:

Bµi tËp cđng cè

 

 

2

1

3 Kết lim :

3 2

n n

n n

5

3

5

4 KÕt qu¶ cđa lim lµ :

3 2

n n n n      - ∞ - ∞ A)

A) B)B) C)C) 00 D)D) + + ∞∞

Bµi tËp cđng cè

 

 

 

     



3 1

5 T ì m giới hạn d·y ( ) víi

2 1

1 6 T ì m giới hạn dÃy ( ) víi

1 2

7 T × m giíi h¹n cđa d·y ( ) víi 1

8 CMR nÕu > th × lim

n

n n n

n n

n n

n

u u

u u

n n

u u n n n

Làm tập từ 11 đến 20 Sách giáo khoa, trang 142 - 143

18