1 ham so luong giac

phần I: đại số giải tích chơng hàm số lợng giác phơng trình lợng giác A Kiến thức cần nhớ I hàm số lợng giác Hàm tuần hoàn Hàm số f(x) xác định tập hợp D gọi tuần hoàn tồn mét sè d¬ng T cho víi mäi x ∈ D ta cã: x − T ∈ D vµ x + T ∈ D (1) f(x + T) = f(x) (2) Sè nhá nhÊt (nÕu cã) c¸c sè T có tính chất gọi chu kì sở hàm tuần hoàn f(x) Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) hàm tuần hoàn): Hàm số f(x) hàm tuần hoàn điều kiện sau bị vi phạm: a Tập xác định hàm số tập hữu hạn b Tồn số a cho hàm số không xác định với x > a x < a c Phơng trình f(x) = k có nghiệm nhng số nghiệm hữu hạn d Phơng trình f(x) = k có vô số nghiệm thứ tự: < xn < xn + < mµ |xn − xn + 1| → hay ∞ hµm sè lợng giác biến số thực Hàm số y = sinx Ta cã:  Hµm sè y = sinx lµ hµm số lẻ Ă Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì Xét hàm số y = sinx trªn [0; π] ChiỊu biÕn thiªn: Dùa vào đờng tròn lợng giác ta đợc: x π/2 x −π −π/2 π/2 2.1 y 1 y 0 −1 §å thÞ: −3π y −2π −π −π/2 O π/2 π x Từ đây, ta có nhận xét quan träng lµ sinx ≤ víi mäi x Hµm sè y = cosx Ta cã:  Hµm sè y = cosx hàm số chẵn Ă Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì Xét hàm số y = cosx [0; ] Chiều biến thiên: Dựa vào đờng tròn lợng giác ta ®ỵc: π π x π/2 x −π −π/2 π/2 y 1 y 0 −1 −1 y Đồ thị: /2 /2 O x 2.2 Từ ta cã nhËn xÐt quan träng lµ cosx ≤ víi mäi x Hµm sè y = tanx Ta cã:  Hàm số y = tanx hàm số lẻ Ă \{ + k, k  } Hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì 2.3 Xét hàm số y = tanx [0; y − π / π ) − π − π / O π / π π / x ChiỊu biÕn thiªn: Dựa vào đờng tròn lợng giác ta đợc: x π/2 x −π/2 π/2 +∞ +∞ y y Đồ thị: hình Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy đờng thẳng có phơng trình x = + k, k  đợc gọi đờng tiệm cận đồ thị hµm sè y = tanx Hµm sè y = cotx Ta cã:  Hµm sè y = cotx lµ hµm số lẻ Ă \{k, k  } Hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì π 2.4 y − π / − π − O π / π π π XÐt hµm sè y = cotx trªn (0; ] / 2 Chiều biến thiên: Dựa vào đờng tròn lợng giác ta ®ỵc: x π/2 x −π/2 π/2 + +∞ y y ∞ 0 −∞ π / x Đồ thị: hình Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy đờng thẳng có phơng trình x = k, k  đợc gọi đờng tiệm cận đồ thị hàm số y = cotx II Phơng trình lợng giác Phơng trình sinx = m Ta biện luận theo bớc sau: Bớc 1: Nếu m > phơng trình vô nghiệm Bớc 2: Nếu m 1, đặt m = sin, ta đợc: x = + 2kπ sinx = sinα ⇔  , k ∈  x = + 2k Đặc biệt: Ta có kết quả: sinx = ⇔ x = kπ, k ∈ ¢  sinx = ⇔ x = π π + 2kπ, k ∈ ¢ sinx = −1 ⇔ x = + 2k, k 2  Phơng trình cosx = m Ta biện luận theo bớc sau: Bớc 1: Nếu m > phơng trình vô nghiệm Bớc 2: Nếu m 1, đặt m = cos, ta đợc: x = + 2kπ cosx = cosα ⇔  , k ∈ ¢ x = + 2k Đặc biệt: Ta có kết quả: cosx = x = + kπ, k ∈ ¢  cosx = ⇔ x = 2kπ, k ∈ ¢ cosx = −1 ⇔ x = π + 2kπ, k  Phơng trình tanx = m Ta biện luận theo bớc sau: Đặt điều kiện: cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ, k ∈  Xét hai khả năng: Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua tan góc đặc biệt, giả sử , phơng trình có dạng: tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k  Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua tan góc đặc biệt, đặt m = tan, ta đợc: tanx = tan x = + k, k  sư dơng kÝ hiƯu x = arctanm + kπ, k  Trong hai trờng hợp ta kết luận phơng trình có họ nghiệm Nhận xét: Nh vậy, với giá trị tham số phơng trình có nghiệm Phơng trình cotx = m Ta biện luận theo bớc sau: Đặt điều kiÖn: sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ, k ∈  Xét hai khả năng: 10 Khả 1: Nếu m đợc biểu diễn qua cot góc đặc biệt, giả sử , phơng trình có dạng : cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k  Khả 2: Nếu m không biểu diễn đợc qua cot góc đặc biệt, đặt m = cot, ta đợc cotx = cot ⇔ x = α + kπ, k ∈ ¢ hc sư dơng kÝ hiƯu x = arccotm + kπ, k  Trong hai trờng hợp ta kết luận phơng trình có họ nghiệm Nhận xét: Nh vậy, với giá trị tham số phơng trình có nghiệm III số phơng trình lợng giác đơn giản Phơng trình bậc hàm số lợng giác Chuyển phơng trình dạng phơng trình lợng giác Phơng trình bậc hai hàm số lợng giác Đặt hàm số lợng giác làm ẩn phụ đặt ®iỊu kiƯn cho Èn phơ nÕu cã (thÝ dơ t = sinx t = cosx, điều kiện t 1), giải phơng trình theo ẩn phụ Phơng trình bậc sinx cosx Phơng trình bậc sinx cosx có dạng: asinx + bcosx = c (1) Để giải phơng trình (1) ta cã thĨ lùa chän mét c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: KiĨm tra: NÕu a2 + b2 < c2 ph¬ng trình vô nghiệm Nếu a2 + b2 c2, để tìm nghiệm phơng trình (1) ta thùc hiƯn tiÕp bíc Bíc 2: Chia hai vÕ phơng trình (1) cho a + b , ta đợc: a sinx + b cosx = c a +b a +b a + b2 a b V× ( )2 + ( )2 = nªn tån t¹i gãc α a +b a + b2 a b = cos α, = sin α cho 2 a +b a + b2 Khi ®ã, phơng trình (1) có dạng: 2 2 11 sinx.cosα + sinα.cosx = ⇔ sin(x + α) = c a + b2 c a + b2 Đây phơng trình hàm số sin C¸ch 2: Thùc hiƯn theo c¸c bíc: x Bíc 1: Víi cos = ⇔ x = π + 2kπ, kiểm tra vào phơng trình x x Bớc 2: Víi cos ≠ ⇔ x ≠ π + 2kπ, ®Ỉt t = tan , suy ra: 2 2t 1− t sinx = vµ cosx = 1+ t + t2 Khi đó, phơng trình (1) cã d¹ng: 2t − t2 a =c + b 1+ t + t2 ⇔ (c + b)t2 − 2at + c − b = (2) Bíc 3: Giải phơng trình (2) theo t Cách 3: Với yêu cầu biện luận tính chất nghiệm phơng trình (; ), ta lựa chọn phơng pháp điều kiện cần đủ Nhận xét quan trọng: Cách thờng đợc sử dụng với toán yêu cầu giải ph- ơng trình tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, vô nghiệm giải biện luận phơng trình theo tham số Cách thờng đợc sử dụng với toán yêu cầu giải phơng trình tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiƯm thc tËp D víi D ⊂ [0; 2π] Cách thờng đợc sử dụng với toán yêu cầu biện luận theo tham số để phơng trình k cã nghiƯm thc tËp D víi D∩[0; 2π] ≠ Từ cách giải ta có đợc kết qu¶ sau: − a + b ≤ asinx + bcosx ≤ a + b 12 kÕt gợi ý cho toán giá trị lớn nhỏ hàm số dạng y = a.sinx + b.cosx, y = a.sin x + b.cos x c.sin x + d.cos x phơng pháp đánh giá cho số phơng trình lợng giác Dạng đặc biệt: Ta có kết quả: sinx + cosx = ⇔ x = −  sinx − cosx = ⇔ x = π + kπ, k ∈ ¢ π + kπ, k ∈  4 Phơng trình bậc hai sinx cosx Phơng trình bậc hai sinx cosx có dạng: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d (1) Để giải phơng trình (1) ta cã thĨ lùa chän mét c¸c c¸ch sau: C¸ch 1: Thùc hiƯn theo c¸c bíc: π Bíc 1: Víi cosx = ⇔ x = + kπ, k  Khi đó, phơng trình (1) cã d¹ng a = d π - NÕu a = d, (1) nhận x = + k làm nghiệm - Nếu a d, (1) không nhËn x = + kπ lµm nghiƯm π Bíc 2: Víi cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ, k  Chia hai vế phơng trình (1) cho cos2x 0, ta đợc: a.tan2x + b.tanx + c = d(1 + tan2x) Đặt t = tanx, phơng trình có dạng: (a d)t2 + bt + c − d = (2) Bíc 3: Gi¶i phơng trình (2) theo t Cách 2: Sử dụng c«ng thøc: − cos 2x + cos 2x sin2x = , cos2x = vµ sinx.cosx = sin2x 2 ta đợc: b.sin2x + (c a)cos2x = d c a (3) Đây phơng trình bậc sin cos 13 Nhận xét quan trọng: Cách thờng đợc sử dụng với toán yêu cầu giải phơng trình tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm thuộc tập D Cách thờng đợc sử dụng với toán yêu cầu giải phơng trình tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, vô nghiệm giải biện luận phơng trình theo tham số Phơng trình đối xứng sinx cosx Phơng trình đối xứng sinx cosx có dạng: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = (1) hc a(sinx − cosx) + bsinx.cosx + c = (1') Để giải phơng trình (1) ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t ⇒ sinx.cosx = t2 −1 Khi ®ã, phơng trình có dạng: t2 at + b + c = ⇔ bt2 + 2at + 2c − b = (2) Bíc 2: Gi¶i (2) theo t chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện t Với t = t0, ta đợc: sinx + cosx = t0 ⇔ sin(x + ) = t0 ⇔ sin(x + ) = 4 t0 Đây phơng trình hàm sè sin  Chó ý: Ta cã thĨ gi¶i (1) cách đặt ẩn phụ z = có: sinx + cosx = 14 cos( π − x) = cosz π − x, ®ã ta sinx.cosx = 1 π π 1 sin2x = sin2( − z) = sin( − 2z)= cos2z = 2 2 2 (2cos2z − 1) Khi đó, phơng trình ban đầu đợc đa dạng phơng trình bậc cosz Phơng trình (1') đợc giải tơng tự nh (1) với ẩn phụ: t = sinx − cosx, ®iỊu kiƯn t ≤ sinx.cosx = B Phơng pháp giải dạng toán liên quan t2 Đ1 hàm số lợng giác Dạng toán 1: Tập xác định hàm số lợng giác Phơng pháp áp dụng Muốn tìm tập xác định D hàm số y = f(x) ta lựa chọn hai phơng pháp sau: Phơng pháp Tìm tập D x để f(x) có nghĩa, tức tìm: D = {x Ă | f(x) có nghĩa} Phơng pháp Tìm tập E x để f(x) nghĩa, tập xác định cđa hµm sè lµ: D = ¡ \E  Chó ý: Với hàm số lợng giác cần biết thêm: Hàm số y = sinx xác định Ă sinx với x Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì hàm số lẻ nên có sinx = sinα ⇔ x = α + 2kπ hc x = π − α + 2kπ, k ∈ ¢ sinx = ⇔ x = kπ, k ∈ ¢ π π sinx = ⇔ x = + 2kπ, k ∈ ¢ ; sinx = −1 ⇔ x = + 2k, k 2  Hàm số y = cosx xác định Ă cosx với x Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì hàm số chẵn nên có: cosx = cos x = α + 2kπ hc x = −α + 2kπ, k ∈ ¢ π cosx = ⇔ x = + kπ cosx = ⇔ x = 2kπ, k ∈ ¢ ; cosx = −1 ⇔ x = π + 2kπ, k ∈ ¢ 15 π + k, k  } Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên có: tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈  Hàm số y = cotx xác định Ă \{k, k  } Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên có: cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k  Hàm số y = tanx xác định Ă \{ Thí dụ Tìm tập xác định hàm số sau: a y = 1− cosx sinx b y = 1− sinx 1+ cosx Giải a Điều kiện: sinx x k, k  Vậy, ta đợc tập xác định hàm số D = Ă \{k, k  } b Điều kiện: + cosx ≠ ⇔ cosx ≠ −1 ⇔ x ≠ + 2k, k  Vậy, ta đợc tập xác định hàm số D = Ă \{π + 2kπ, k ∈ ¢ } ThÝ dơ Tìm tập xác định hàm số sau: a y =  − sin x b y = cos x Giải a Điều kiƯn: − sinx ≥ V× sinx ≤ nªn − sinx ≥ víi mäi x VËy, ta đợc tập xác định hàm số D = ¡ b §iỊu kiƯn: − cosx > ⇔ cosx < ⇔ cosx ≠ ⇔ x 2k, k  Vậy, ta đợc tập xác định hàm số D = Ă \{2k, k  } Thí dụ Tìm tập xác định hàm số sau: a y = tan(2x + Giải a Điều kiện: 16 ) b y = cot(3x − π ) cos x = ⇔ (cos7x − cos3x).cosx = ⇔  cos 7x = cos3x π  π   x = + kπ x = + k π kπ    x=   k π ⇔ 7x = 3x + 2kπ ⇔  x = ⇔ , k ∈ ¢ k π  7x = −3x + 2kπ x=   kπ  x = Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm b Biến đổi phơng trình d¹ng: 1 1 (1 + cos2x) + (1 + cos4x) + (1 + cos6x) + (1 + 2 2 cos8x) = ⇔ cos2x + cos4x + cos6x + cos8x = ⇔ 2cos3x.cosx + 2cos7x.cosx = cos x = ⇔ (cos7x + cos3x).cosx = ⇔  cos 7x = − cos3x = cos(π − 3x) π  π   x = + kπ  x = + kπ   π kπ  7x = π − 3x + 2k π ⇔ ⇔  x = 10 + , k ∈ ¢ 7x = −π + 3x + 2kπ    x = − π + k Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 9: Giải phơng trình tan2x − sin2x + cos2x − = Gi¶i §iỊu kiƯn: cos2x ≠ ⇔ 2x ≠ 80 π π kπ + kπ ⇔ x ≠ + , k  (*) Biến đổi phơng trình dạng: sin2x sin2x + cos2x = ⇔ ( − 1)sin2x + cos2x − = cos2x cos2x ⇔ (1 − cos2x)sin2x + (cos2x − 1)cos2x = cos2x − 1= ⇔ (1 − cos2x)(sin2x − cos2x) = ⇔  sin2x − cos2x = 2x = 2kπ x = kπ cos2x =  ⇔ ⇔ ⇔ , k ∈ ¢ π  x = π + kπ tan x = x = + k π   Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm Ví dụ 10: Giải phơng trình 4tan2x + = cos x Giải Điều kiện: + k, k  Viết lại phơng trình dới dạng: 4 4( 1) − +5=0⇔ − +1=0 2 cos x cos x cos x cos x Đặt t = , ®iỊu kiƯn | t | ≥ 2, ®ã ph¬ng trình có cos x dạng: t2 2t + = t = (loại) Vậy, phơng trình v« nghiƯm cosx ≠ ⇔ x ≠ VÝ dơ 11: (Đề thi ĐH khối D B 2009): Giải phơng trình sau: a cos5x 2sin 3x.cos 2x − sin x = b sin x + cos x.sin 2x + cos3x = 2(cos 4x + sin x) Giải a Biến đổi phơng trình dạng: cos5x ( sin 5x + sin x ) − sin x = ⇔ cos5x − sin 5x = 2sin x π π ⇔ cos5x − sin 5x = sin x ⇔ cos cos5x − sin sin 5x = sin x 6 2 π  π  ⇔ cos  5x + ÷ = cos  − x ÷ 6  2  π π π kπ   5x + = − x + 2kπ  x = 18 + ⇔ ⇔ , k ∈ ¢ 5x + π = − π + x + 2kπ  x = − π + kπ   6 Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm b Biến đổi phơng trình dạng: (1 2sin x)sin x + cos x.sin 2x + cos3x = 2cos 4x ⇔ cos 2x.sin x + cos x.sin 2x + cos3x = 2cos 4x 81 sin 3x + cos3x = cos 4x 2 π π π  ⇔ sin sin 3x + cos cos3x = cos 4x ⇔ cos  3x − ÷ = cos 4x 6 6  π π    4x = 3x − + 2kπ  x = − + 2kπ ⇔ ⇔ , k ∈ ¢  4x = π − 3x + 2kπ  = π + 2kπ   42 Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm sin 3x + cos3x = 2cos 4x ⇔  NhËn xÐt: Nh vậy, với phơng trình thực giải theo bớc sau: Bớc 1: Sử dụng công thức biến đổi để chuyển phơng trình dạng mở rộng bậc sin cos Và dễ thấy phơng trình b) cần có đánh giá tốt để định hởng đắn phép biến đổi Bớc 2: Giải tiếp phơng trình phơng pháp ®É biÕt VÝ dơ 12: (1)  (§HKTCN TPHCM − 98): Cho phơng trình: sin2x + 2(m 1)sinx.cosx (m + 1)cos2x = m a Giải phơng trình với m = b Tìm m để phơng trình có nghiệm Giải Ta lựa chọn cách giải sau: Cách 1: Xét hai trờng hợp: Trêng hỵp 1: Víi cosx = ⇔ x = + k, k  Khi đó, phơng trình có dạng: = m a Nếu m = 1, phơng trình nhận x = + k làm nghiƯm (*) π b NÕu m ≠ 1, ph¬ng trình không nhận x = + k làm nghiệm π Trêng hỵp 2: Víi cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ, k ∈ ¢ Chia hai vế phơng trình cho cos2x 0, ta đợc tan2x + 2(m − 1)tanx − (m + 1) = m(1 + tan2x) 82 ⇔ (m − 1)tan2x − 2(m 1)tanx + 2m + = Đặt t = tanx, phơng trình có dạng: (m 1)t2 2(m − 1)t + 2m + = (2) a Với m = 2, ta đợc: 3t2 + 6t − = ⇔ t = ⇔ tanx = ⇔ x = + kπ, k∈ ¢ Vậy, với m = phơng trình có họ nghiệm b Phơng trình (1) có nghiệm (2) cã nghiÖm ⇔ ∆’ ≥ ⇔ (m − 1)2 − (m − 1)(2m + 1) ≥ ⇔ (m − 1)(m + 2) ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ VËy, víi −2 ≤ m ≤ phơng trình có nghiệm Cách 2: Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng: − cos 2x + cos 2x + (m − 1)sin2x − (m + 1) =m 2 ⇔ 2(m − 1)sin2x − (m + 2)cos2x = 3m (3) a Với m = 2, ta đợc: π sin2x = ⇔ 2x = + 2kπ ⇔ x = + kπ, k∈ ¢ VËy, với m = phơng trình có họ nghiệm b Phơng trình (1) có nghiệm (3) có nghiệm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 ⇔ 4(m − 1)2 + (m + 2)2 ≥ 9m2 ⇔ m2 + m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Vậy, với m phơng trình có nghiệm Ví dụ 13: Giải phơng trình cos3x + sin3x = − sin4x (1)  Gi¶i Ta cã nhËn xÐt: sin4x ≤ ⇒ VP = − sin4x ≥ cos3 x ≤ cos x ⇒ VT = cos3x + sin3x≤ cos2x + sin2x =  sin x ≤ sin x ®ã: sin x =   VP = π (1) ⇔  ⇔ cos x = cos x ⇔ sinx = 1⇔ x = + kπ, k∈ ¢  VT =  sin x = sin x 83 Vậy, phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 14: (ĐHD 2000): Giải phơng trình: cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + Giải Biến đổi phơng trình dạng: cos2x + cos4x + cos6x = (cos3x + cosx).cos3x + 2 ⇔ 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x = cos23x + cosx.cos3x + 1 ⇔ 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x = (1 + cos6x) + (cos4x + 2 cos2x) + ⇔ cos2x + cos4x + cos6x = (*) Ta cã nhËn xÐt: cos 2x ≤  cos 4x ≤ ⇒ VT = cos2x + cos4x + cos6x ≤ cos 6x ≤ phơng trình tơng đơng với: cos 2x = cos 2x =   ⇔ cos2x = ⇔ x = kπ, k∈ ¢ cos 4x = ⇔  2cos 2x − = cos 6x =    4cos 2x 3cos 2x = Vậy, phơng trình có mét hä nghiƯm  84 NhËn xÐt: Trong vÝ dơ phơng pháp biến đổi tích thành tổng chuyển phơng trình ban đầu dạng để đánh giá, điều khẳng định hầu hết phơng trình lợng giác dạng ban đầu cha thể khẳng định đợc có thuộc loại đánh giá hay không Tất đợc khẳng định sau biến đổi lợng giác mà biÕt Ngoµi ra, chóng ta còng cã thĨ sư dơng cách đánh giá cách biến đổi tiếp phơng trình (*) vỊ d¹ng: (1 − cos2x) + (1 − cos4x) + (1 − cos6x) = ⇔ sin2x + sin22x + sin23x = sin x =  ⇔ sin 2x = ⇔ sinx = ⇔ x = kπ, k∈ ¢ sin 3x =  Vậy, phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 15: (ĐHNT Hà Nội 95): Giải phơng trình: 4cosx 2cos2x cos4x = Giải Biến đổi phơng trình dạng: 4cosx 2cos2x (2cos22x 1) = ⇔ 2cosx − (1 + cos2x)cos2x = ⇔ 2cosx − 2cos2x.cos2x = ⇔ (1 − cosx.cos2x)cosx = (1) cos x = ⇔ (2 − cos3x − cosx)cosx = ⇔  cos 3x + cos x = (2) Giải (1): Ta đợc x = + k , k  Giải (2): Ta cã nhËn xÐt: cos3x ≤ ⇒ VT = cos3x + cosx ≤  cos x ≤ ®ã:  4cos3 x − 3cos x = cos3x = (2) ⇔  ⇔ ⇔ cosx = ⇔ x = 2kπ , k∈ cos x = cos x =  Vậy, phơng trình cã hai hä nghiƯm VÝ dơ 16: (HVCNBCVT − 98): Giải phơng trình: sin4x cos4x = + 4(sinx cosx) Giải Biến đổi phơng trình dạng: sin4x − (1 + cos4x) = 4(sinx − cosx) ⇔ 2sin2x.cos2x − 2cos22x = 4(sinx − cosx) ⇔ 2(sin2x − cos2x)(cos2x − sin2x) = 4(sinx − cosx) ⇔ (cosx − sinx)[(sin2x − cos2x)(cosx + sinx) + 2] = (1) cos x − sin x = ⇔ (sin 2x − cos 2x)(cos x + sin x) + = (2) Giải (1): Ta đợc: sinx = cosx ⇔ tanx = ⇔ x = + kπ , k  85 Giải (2): Ta có: π π 2sin(2x − ).cos(x + ) = −2 ⇔ sin3x + sin(x − ) = −2 4 ⇔ sin3x − cosx = −2 Ta cã nhËn xÐt: sin 3x ≥ −1 ⇒ VT = sin3x − cosx ≥   − cos x ≥ −1 ®ã: sin 3x = −1 sin 3x = −1 (2) ⇔  ⇒ v« nghiƯm  − cos x = sin x = Vậy, phơng trình có hä nghiƯm  Chó ý Cã thĨ gi¶i (2) b»ng c¸ch: | sin x + cos x | ≤ ⇒ (sinx + cosx)(cos2x − sin2x) ≤  | cos 2x − sin 2x | ≤ Do ®ã, phơng trình có nghiệm khi: sin x + cos x =   cos 2x − sin 2x = ⇔ , v« nghiƯm  sin x + cos x = −   cos 2x − sin 2x = − VÝ dô 17: (HVKTQS − 98): Giải phơng trình: cos2x sin2x sinx − cosx + = (1)  86 Gi¶i Ta cã: cos 2x − sin 2x ≥ −2 ⇒ VT(1) ≥   − sin x cos x Do đó, phơng trình cã nghiƯm vµ chØ khi: 1 sin 2x = −1  cos 2x − cos 2x − sin 2x = −2 2 VT(1) = ⇔  ⇔  − sin x − cos x = −2  sin x + cos x =  2 π π   cos(2x + ) = −1 cos(2x + ) = −1 ⇔ ⇔ ⇔ cos(x − π ) =  x − π = 2kπ   3 π ⇔x = + 2kπ, k∈ ¢ VËy, phơng trình có họ nghiệm cos( + 4kπ + ) = −1   x = π + 2kπ  VÝ dô 18: Giải phơng trình: cot3x + cot2x + = sin 3x.sin 2x.sin x (1) Giải Điều kiện: k  sin 3x ≠ x≠  sin 3x ≠ 3x ≠ kπ   ⇔ ⇔ , k∈ ¢ (I) sin 2x ≠ ⇔  sin 2x ≠  2x ≠ kπ sin x ≠  x ≠ kπ   BiÕn đổi phơng trình dạng: sin 5x + = ⇔ sin5x.sinx + = sin 3x.sin 2x sin 3x.sin 2x.sin x (2) Ta cã: | sin 5x |≤ ⇒ sin5x.sinx ≤ 1⇒ sin5x.sinx ≥ −1 ⇔ sin5x.sinx +  | sin x |≤ 1≥ Do đó, phơng trình có nghiệm khi: sin 5x = & sin x = −1 sin5x.sinx = −1 ⇔  ⇒ cosx = vi ph¹m (I) sin 5x = −1 & sin x = Vậy, phơng trình vô nghiệm Ví dụ 19: (ĐHNT Hà Nội 2000): Giải phơng trình: sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) +  cos2x Gi¶i BiÕn đổi phơng trình dạng: (1 2sin2x)sin8x (2cos2x − 1)cos8x = ⇔ cos2x.sin8x − cos2x.cos8x = cos2x cos2x 87 (1) cos 2x =  ⇔ (sin x − cos x)cos2x = cos2x ⇔ sin x − cos8 x = (2) k Giải (1): Ta đợc 2x = + kπ ⇔ x = + , k∈ ¢ Gi¶i (2): Ta cã nhËn xÐt: VT = sin8x − cos8x ≤ sin8x ≤ (2) vô nghiệm Vậy, phơng trình có họ nghiệm 8 Ví dụ 20: Tìm m để phơng tr×nh sinx + m.cosx = cã hai 2π nghiÖm x1, x2 ∈ [0; 2π) cho x1 + x2 = Giải Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có nghiệm x = [0; ], 2π ®ã x = − α còng lµ nghiƯm, nh vËy:  sin α + m cos α =   2π 2π  sin( − α) + m cos( − α) = 3   m cos α = − sin α  ⇔ 3 sin α) = − 3( cos α + sin α)  m(− cos α +  2 2 cos α − sin α ⇒ = − cos α + sin α − 3cos α − sin α ⇔ (2 − 3cosα − sinα)cosα = ( − cosα + sinα)(1 − sinα) ⇔ 3cos2α + sin2α = 3cosα − sinα 1 3 ⇔ cos2α + sin2α = cosα − sinα 2 2 π π π π ⇔ cos2α.cos + sin2α.sin = cosα.cos − sinα.cos 6 6 π π ⇔ cos(2α − ) = cos(α + ) 6 π π π   α = π /  2α − = α + + 2kπ α = + 2kπ  ⇔ ⇔ ⇔ α = π π 2k π  2α − = −α − + 2kπ α = α = 2π /   6 88 , thay vào phơng trình ta đợc: sin + mcos = ⇔ m = − 3  Víi = 0, thay vào phơng trình ta đợc: sin0 + mcos0 = ⇔ m = 2π Với = , thay vào phơng trình ta ®ỵc: 2π 2π + mcos = ⇔ m = sin 3 VËy, víi m = điều kiện cần Điều kiện đủ: Ta lần lợt xét: Với m = 1, thay vào phơng trình ta đợc: 1 sinx + cosx = sinx + cosx = ⇔ 2 π π  x + = + 2kπ  π π 6 ⇔ sin(x + ) = sin ⇔  π 6  x + = π − π + 2kπ  6  x = 2kπ  x1 = x∈[0,2 π )   ⇔  x = 2π + 2kπ ⇔  x = 2π   3 2π NhËn xÐt r»ng ®ã x1 + x2 = , ®ã m = tho¶ m·n  Víi m = Đề nghị bạn đọc tự làm Với = Ví dụ 21: (ĐHY Hà Nội tanx 2000): Giải phơng trình sin4x = Giải + kπ, k ∈ ¢ Ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch sau: C¸ch 1: Sư dơng phơng pháp đặt ẩn phụ Đặt t = tanx, suy phơng trình có dạng: 2t t 2sin2x.cos2x = tanx ⇔ = t ⇔ 4t(1 − t2) = t(1 + + t2 + t2 t3)2 t =  tan x = ⇔ t(t4 + 6t2 − 3) = ⇔  ⇔  t = −3 ± 12  tan x = 12 − §iỊu kiƯn x ≠ 89  tan x =  x = kπ ⇔ ⇔ , k ∈ ¢  tan x = ± 12 − = ± tan α  x = + k Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm Cách 2: Sử dụng phơng pháp phân tích Biến đổi phơng trình dạng: sin x sin4x = 2sin2x.cos2x.cosx = sinx cos x ⇔ 4sinx.cosx.cos2x.cosx = sinx ⇔ (4cos2x.cos2x − 1)sinx = ⇔ [2(1 + cos2x).cos2x − 1]sinx = ⇔ (2cos22x + 2cos2x − 1)sinx = sin x = sin x =   ⇔ −1 ± ⇔  −1 cos 2x = cos 2x = = cos 2α   2  x = kπ  x = kπ ⇔ ⇔ , k ∈ ¢  2x = ±2α + 2kπ  x = ±α + kπ VËy, ph¬ng trình có ba họ nghiệm Ví dụ 22: Giải phơng tr×nh | cotx| = tanx +  sin x Giải Điều kiện: sin x k x ≠ , k ∈ ¢  cos x ≠ Ta lựa chọn hai cách biến đổi sau: Cách 1: Ta biến đổi phơng trình dạng:  (1)  tan x + sin x ≥  cot x = (tan x + ) (2)  sin x  Gi¶i (2): 1 cot2x = tan2x + + ⇔ − 1= − 1+ + 2 cos x sin x sin x cos x cos x sin x 1 ⇔ + =0 ⇔ + = ⇔ cosx = − cos x cos x cos x 90  2π   x = + 2kπ ⇔  x = − 2π + 2kπ  KiĨm tra ®iỊu kiƯn (1) 2π - Víi x = + 2kπ , ta đợc: 1 2 tanx + = tan( + 2kπ) + = − + sin( + 2kπ) sin x 3 = 0 sin(− + 2kπ) sin x 3 họ nghiệm thoả mãn (1) Vậy, phơng trình có họ nghiƯm x = − + 2kπ, k ∈ ¢ Cách 2: Ta xét hai trờng hợp: Trờng hợp 1: Nếu cotx > (3) Phơng trình đợc biến ®ỉi vỊ d¹ng: 1 cotx = tanx + ⇔ cotx − tanx = sin x sin x cos 2x cos x − sin x ⇔ = ⇔ =1 sin x cos x sin x.cos x ⇔ cos2x = cosx ⇔ 2cos2x − = cosx ⇔ 2cos2x − cosx − = 2π  cos x = (lo¹ i)  x = + 2kπ ⇔ ⇔ , k ∈ ¢ cos = −  x = − 2π + 2kπ    KiĨm tra ®iỊu kiƯn (3) − Gièng cách sử dụng đờng tròn đơn vị Trờng hợp 2: Nếu cotx < (4) 91 Phơng trình đợc biến đổi dạng: 1 cotx = tanx + ⇔ cotx + tanx + =0 sin x sin x 1 cos x + sin x ⇔ + =0 ⇔ + = ⇔ cosx = − vi sin x cos x sin x.cos x phạm Vậy, phơng trình có họ nghiƯm x = − + 2kπ, k ∈ ¢ Ví dụ 23: Giải phơng trình | sinx + cosx| + | sinx − cosx| =  Gi¶i Biến đổi phơng trình dạng: | sin(x + )| + | cos(x + )| = 4 π π π ⇔ (| sin(x + )| + | cos(x + )| )2 = ⇔ + 2| sin(x + ).cos(x 4 π + )| = π ⇔ | sin(2x + )| = ⇔ | cos2x| = kπ ⇔ sin2x = ⇔ 2x = kπ ⇔ x = , k  Vậy, phơng trình có họ nghiệm Chú ý: Nhiều phơng trình lợng giác chứa dấu trị tuyệt đối đợc minh hoạ dới dạng thức biết | A| = A Chóng ta ®i xem xÐt vÝ dụ sau: Ví dụ 24: (ĐHTM 2000): Giải phơng tr×nh: sin2x − 2cos2x = 2 + 2cos 2x Giải Biến đổi phơng trình dạng: sinx.cosx − 2cos2x = 4cos x | cosx| 92 ⇔ 2( sinx − cosx)cosx = 4| cosx| ⇔ 4( sinx − cosx)cosx = 4| cosx| 2 ⇔ sin(x − )cosx =  cos x >  cos x >      x = 2π + 2kπ  sin(x − π ) =      π π ⇔ cos x = ⇔  x = + kπ ⇔x = + kπ , k ∈ ¢   cos x <  cos x <    sin(x − π ) = −1 π       x = − + 2k Vậy, phơng trình có họ nghiệm Ví dụ 25: (HVQY 97): Giải phơng trình: sin82x + cos82x = (1)  Gi¶i Ta trình bày theo cách: Cách 1: Sử dụng phơng pháp giải phơng trình lợng giác hỗn hợp chứa biểu thức đối xứng với sin2nx cos2nx, ta cã: sin82x + cos82x = (sin42x + cos42x)2 − 2sin42x.cos42x = [(sin22x + 2 2 4 cos 2x) − 2sin 2x.cos 2x] − 2sin 2x.cos 2x 1 = (1 − sin24x)2 − sin44x = sin44x − sin24x + 8 Do phơng trình đợc biến đổi dạng: 1 sin44x − sin24x + = ⇔ sin44x − 8sin24x + = 8 sin 4x = π π kπ ⇔  ⇔ cos4x = ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = + , sin 4x = lo¹ i k  Vậy phơng trình có họ nghiệm Cách 2: (Sử dụng bất đẳng thức Côsi): Ta cã nhËn xÐt: 4        C«si cos 2x +  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ cos 2x  2  2 2  4        C«si +  ÷ +  ÷ ≥ sin 2x sin 2x +  ÷  2 2  93 1 2 ⇒ sin 2x + cos 2x +  ÷ ≥ (sin 2x + cos 2x) ⇔ sin 2x + 2 cos82x ≥ ®ã:  1 cos 2x =  ÷  2 (1) ⇔  ⇔ sin22x = cos22x = ⇔ cos4x =  1 sin 2x =  ÷  2  π π kπ ⇔ 4x = + kπ ⇔ x = + , k∈ ¢ VËy, phơng trình có họ nghiệm + 94 8 ... nghiÖm x1 = 12 + π = 12 7π 7π 7π 0< + kπ < π ⇔ − < kπ < − + π ⇔− < k < 12 12 12 12 12 7π 7π k∈Z ⇒ k = ⇒ nghiÖm x2 = 12 + 0. = 12 11 Vậy, phơng trình cã hai nghiƯm x1 = vµ x2 = 12 12 b Trớc... + kπ   π 12 sin2x = sin(− ) ⇔  ⇔ , k ∈ ¢  2x = π + π + 2kπ  x = π + kπ   12 Víi điều kiện < x < , ta lần lợt cã: π π π 13 < − + kπ < π ⇔ < kπ < +π⇔