Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ)

Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14Đặc trưng cho tập nghiệm của bài toán quy hoạch lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân (Luận văn thạc sĩ) 14

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VŨ MINH HOÀNG ĐẶC TRƯNG CHO TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH LỒI VÀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2015 Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.2 Bài toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân 11 Đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi toán bất đẳng thức biến phân 14 2.1 Đặc trưng cho tập nghiệm trường hợp f khả vi Gâteaux 14 2.2 Đặc trưng tập nghiệm qua vi phân 21 2.3 Đặc trưng tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Kết luận 28 36 Tài liệu tham khảo 37 i Mở đầu Lý chọn đề tài O L Mangasarian (1988) chứng minh tập nghiệm toán lồi: (P ) M in {f (x) : x ∈ C} , C ⊂ Rn , f : Rn → R Có thể đặc trưng gradient f f khả vi liên tục hai lần tập mở chứa C đặc trưng vi phân f f liên tục phần tương đối tập nghiệm khác rỗng Z L Wu S Y Wu (2006) chứng minh với toán lồi (P) không gian định chuẩn với hàm mục tiêu khả vi Gâteaux nghiệm tối ưu tập nghiệm bao gồm điểm chấp nhận nằm siêu phẳng mà véctơ pháp tuyến đạo hàm Gâteaux Với tốn quy hoạch lồi liên tục, điểm chấp nhận nghiệm nằm siêu phẳng với vectơ pháp tuyến thuộc vi phân hàm mục tiêu điểm Đồng thời đặc trưng tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính em chọn đề tài "Đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi bất đẳng thức biến phân" Mục đích luận văn Luận văn trình bày kết đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi toán bất đẳng thức biến phân Z L Wu S Y Wu đăng J Optim Theory Appl (2006) Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày số kiến thức giải tích lồi như: Phần tương đối, vi phân hàm lồi, phép tính vi phân hàm lồi Chương trình bày tốn quy hoạch lồi, toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu hàm sai khác đối ngẫu toán bất đẳng thức biến phân xét chương Chương 2.Đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi tốn bất đẳng thức biến phân Trình bày tính chất đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi trường hợp hàm mục tiêu khả vi Gâteaux, trường hợp toán quy hoạch lồi liên tục toán bất đẳng thức biến phân Z L Wu S Y Wu ([13], 2006) Trong trường hợp hàm mục tiêu toán quy hoạch lồi khả vi Gâteaux, tập nghiệm nằm siêu phẳng mà vectơ pháp tuyến đạo hàm Gâteaux hàm mục tiêu Trong trường hợp quy hoạch lồi liên tục, điểm chấp nhận nghiệm tối ưu nằm siêu phẳng mà vectơ pháp tuyến thuộc vi phân hàm mục tiêu điểm Trong số trường hợp tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân trùng với tập nghiệm toán quy hoạch lồi với hàm sai khác đối ngẫu hàm mục tiêu Nhân dịp xin chân thành cảm ơn PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp Cao học Tốn K7A ln quan tâm động viên giúp đỡ tơi suốt q trình làm luận văn Thái Nguyên, ngày 20 tháng 05 năm 2015 Tác giả Trần Vũ Minh Hoàng Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi như: Phần tương đối, vi phân hàm lồi, phép toán vi phân hàm lồi, hàm khả vi Gâteaux Chương trình bày tốn quy hoạch lồi, toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu hàm sai khác đối ngẫu xét chương Các kiến thức trình bày chương tham khảo [1], [13] 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi Giả sử X khơng gian tuyến tính trường số thực Định nghĩa 1.1.1 Tập A ⊂ X gọi lồi nếu: ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A, R tập số thực Định nghĩa 1.1.2 a) Tập K ⊂ X gọi nón có đỉnh 0, nếu: ∀x ∈ K, ∀λ > ⇒ λx ∈ K K gọi nón có đỉnh x0 , K − x0 nón có đỉnh b) Nón K có đỉnh gọi nón lồi, K tập lồi có nghĩa là: ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > ⇒ λx + µy ∈ K Định nghĩa 1.1.3 Phần tương đối tập A ⊂ Rn phần A affA; Kí hiệu riA, affA bao affine tập A Như riA = {x ∈ affA :∃ε > 0, (x + εB) ∩ affA ⊂ A}, B hình cầu đơn vị Rn Định nghĩa 1.1.4 Trên đồ thị hàm f : D ⊂ X → R, ký hiệu epif, định nghĩa sau: epif = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r} Định nghĩa 1.1.5 Hàm f : D ⊂ X → R gọi thường nếu: domf = ∅ f (x) > −∞ (∀x ∈ D) , domf = {x ∈ D : f(x) < +∞} Định nghĩa 1.1.6 Hàm f gọi lồi D epif tập lồi X × R Hàm f gọi lõm D −f hàm lồi D Giải sử f hàm xác định không gian lồi địa phương HausdorffX, f X < +∞ Định nghĩa 1.1.7 Đạo hàm hàm f theo phương d x , ký hiệu f (x; d) định nghĩa giới hạn sau: f (x; d) = lim λ↓0 f (x + λd) − f (x) λ Nếu giới hạn tồn (có thể hữu hạn ±∞) Định lí 1.1.1 Giả sử f hàm lồi thường X Khi f có đạo hàm theo phương điểm x ∈ domf Đồng thời, f (x + λd) − f (x) f (x; d) = inf λ λ>0 Nhận xét 1.1.1 Nếu f lồi thường X , x ∈ domf f (x, ) hàm lồi Giả sử f hàm lồi X Định nghĩa 1.1.8 Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ gọi gradient (subgradient) f x ∈ X nếu: f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x (∀x ∈ X) Định nghĩa 1.1.9 Tập tất gradient f x gọi vi phân (subdifferential) f x, ký hiệu ∂f (x), tức là: ∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x , ∀x ∈ X} Định lí 1.1.2 Giả sử f hàm lồi thường X x ∈ domf Khi đó, x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ f (x; d) ≥ x∗ , d (∀d ∈ X) Chứng minh Nếu x∗ ∈ ∂f (x) ∀d ∈ X, λ > 0, ta có: f (x + λd) − f (x) ≥ λ x∗ , d Theo Định lý 1.1.1, f có đạo hàm x theo phương d, cho nên: f (x; d) ≥ x∗ , d (1.1) Ngược lại, (1.1) đúng, ta lấy x ∈ X, d = x − x, từ Định lý 1.1.1, ta nhận được: x∗ , x − x ≤ f (x; x − x) ≤ f (x + (x − x)) − f (x) Do đó, x∗ ∈ ∂f (x) Định lí 1.1.3 Giả sử f hàm lồi thường X x ∈ domf Khi đó, x∗ ∈ ∂f (x) ⇔ f (x) + f ∗ (x∗ ) = x∗ , x Chứng minh Giả sử x∗ ∈ ∂f (x) Khi đó, f (x) − f (x) ≥ x∗ , x − x (∀x ∈ X) ⇒ x∗ , x − f (x) ≥ x∗ , x − f (x)(∀x ∈ X) ⇒ x∗ , x − f (x) ≥ sup{ x∗ , x − f (x)}(∀x ∈ X) = f ∗ (x∗ ) (1.2) Mặt khác, theo bất đẳng thức Young-Fenchel x∗ , x − f (x) ≤ f ∗ (x∗ ) (1.3) Từ (1.2) (1.3) suy ra: f (x) + f ∗ (x∗ ) = x∗ , x (1.4) Giả sử (1.4)đúng Từ bất đẳng thức Young-Fenchel với λ > 0, d ∈ X , ta có: f (x + λd) ≥ x∗ , x + λd − ( x∗ , x − f (x)) x∗ , λd f (x + λd) − f (x) ≥ = x∗ , d ⇒ λ λ ∗ ⇒ f (x; d) ≥ x , d (∀d ∈ X) ⇒ x∗ ∈ ∂f (x) Ví dụ 1.1.1 Cho hàm affine f (x) = x∗ , x + α (x∗ ∈ X ∗ , α ∈ R) Khi đó, ∂f (x) = {x∗ } (∀x ∈ X) Ví dụ 1.1.2 Cho hàm f (x) = δ (.| A), A tập lồi khác ∅ Khi đó, với x ∈ A, x∗ ∈ ∂δ (x| A) ⇔ δ (x| A) ≥ δ (x| A) + x∗ , x − x (∀x ∈ X) ⇔ x∗ , x − x ≤ (∀x ∈ A) Điều có nghĩa x∗ véctơ pháp tuyến A x Như vậy, ∂δ (x| A) nón pháp tuyến A x, ∂δ (x| A) = N (x| A) / A, ∂δ (x| A) = ∅ Chú ý: Với x ∈ Ví dụ 1.1.3 X = R, f (x) = |x| Với x = 0: f hàm khả vi, : ∂f (x) = |x|−1 x Với x = 0: ∂f (0) = {ξ ∈ R : |z| ≥ ξ, z , ∀z ∈ R} = {ξ ∈ R : |ξ| ≤ 1} = [−1, 1] Định nghĩa 1.1.10 Hàm f gọi khả vi Gâteaux x ∈ X , ∃x∗ ∈ X ∗ cho với d ∈ X , f (x + td) = f (x) + t x∗ , d + o (t) (1.5) Khi đó, ta gọi x∗ đạo hàm Gâteaux f x: f G (x) = x∗ Định lí 1.1.4 Giả sử f hàm lồi X Khi đó, a)Nếu f khả vi Gâteaux x với đạo hàm Gâteaux x x∗ ... đề tài "Đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi bất đẳng thức biến phân" Mục đích luận văn Luận văn trình bày kết đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi toán bất đẳng thức biến phân Z... Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức giải tích lồi 1.2 Bài toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân 11 Đặc trưng cho tập nghiệm toán quy hoạch lồi toán bất đẳng thức biến phân. .. vi phân hàm lồi Chương trình bày tốn quy hoạch lồi, toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu hàm sai khác đối ngẫu toán bất đẳng thức biến phân xét chương Chương 2.Đặc