ch1 tinhvi phan in Tính vi phân trong không gian định chuẩn

PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN ĐỊNH NGHĨA Cho f ánh xạ từ U vào F, e vectơ E x œ U Ta nói É f có đạo hàm riêng phần theo hướng e x giới hạn sau tồn Cho E F hai không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng ||.||E ||.||F , U tập mở E , e vectơ E x œ U Bài tốn Chứng minh có số thực dương α cho khoảng mở (- α, α) chứa tập hợp sau Đặt : Ux,h x É f khả vi theo hướng x f có đạo hàm riêng Ix,h = { t : t œ  x + te œ U } = { y : y = x + te œ U t œ } Ux,h e PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan f ( x  te)  f ( x ) t 0 t f Lúc ta ký hiệu giới hạn ( x) e lim ĐỊNH NGHĨA Cho f ánh xạ từ U vào F x œ U Ta nói phần theo hướng theo hướng E có ánh xạ tuyến tính Df(x) từ E vào F f ( x)  Df ( x)e  e  E PTBP-Ch1-Tinh e vi pnhan É f khả vi Gâteaux x f khả vi theo hướng Bài tốn Cho f ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn (E,||.||E) vào không gian dịnh chuẩn (F,||.||F) Chứng minh f khả vi Gâteaux E x Df(x ) thuộc L(E,F) Hướng dẫn Dùng tính chất tuyến tính liên tục f É f khả vi Gâteaux U f khả vi Gâteaux Bài tốn Cho hai khơng gian định chuẩn (E,||.||E) (F,||.||F), B ánh xạ song tuyến tính liên tục từ E vào F Đặt f(x) = B(x,x) với x E điểm x U Bài toán Cho (H,||.||) không gian Hibert Đặt f(x) = ||x||2  x H Chứng minh f khả vi Gâteaux H Hướng dẫn Cho < , > tích vô hướng H H vi pnhan Để ý ||x||2 =  xPTBP-Ch1-Tinh Chứng minh f khả vi Gâteaux E Hướng dẫn Dùng tính chất song tuyến tính liên tục B PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan Cho E F hai không gian định chuẩn U tập mở E Cho x œ U Có số thực dương r cho B(x,r) Õ U Bài toán Cho (H,||.||) không gian Hibert Đặt f(x) = ||x||2  x H Chứng minh f khả vi Fréchet H ĐỊNH NGHĨA Cho f ánh xạ từ U vào F, x œ U Ta nói Éf khả vi Fréchet x có ánh xạ Df(x) œ L(E,F) f từ B(0,r) E vào F cho (F) f(x+h) - f(x) = Df(x)(h) + || h|| E f(h) " h œ B(0,r) É f khả vi Fréchet U f khả vi Fréchet PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan điểm x U Bài toán Cho f ánh xạ song tuyến tính liên tục từ khơng gian định chuẩn (E,||.||E) vào không gian dịnh chuẩn (F,||.||F) Chứng minh f khả vi Fréchet E Hướng dẫn Dùng tính chất song tuyến tính liên tục f Bài tốn Cho E F hai không gian định chuẩn, U tập mở E x œ U Cho f ánh xạ từ U vào F, khả vi Fréchet x Chứng minh f liên tục x Hướng dẫn Cho < , > tích vơ hướng H Để ý ||x||2 =  x H Bài toán Cho f ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn (E,||.||E) vào không gian dịnh chuẩn (F,||.||F) Chứng minh f khả vi Fréchet E Hướng dẫn Dùng tính chất tuyến tính liên tục f PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan Bài toán Cho U tập mở không gian định chuẩn E , a œ F f g hai ánh xạ từ U vào không gian định chuẩn F Giả sử f g khả vi Gâteaux ( Fréchet) điểm x U Chứng minh f + g af khả vi Fréchet x Hơn D(f + g)(x) = Df(x) + Dg(x) D(af )(x) = a Df(x) Hướng dẫn Dùng định nghĩa Hướng dẫn Dùng định nghĩa PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan Định lý Cho U O tập hợp mở không gian định chuẩn E F Cho f : U Ø O g : O Ø G ánh xạ, G không gian định chuẩn Cho x điểm U, giả sử f khả vi Fréchet x g khả vi Fréchet f(x) Lúc gof khả vi Fréchet x Bài toán 10 (Định lý giá trị trung bình) Cho f ánh xạ khả vi Gâteaux từ tập mở U không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F Cho a b U cho tập hợp [a,b] ª {a + t(b-a) : t œ [0,1]} chứa U Giả sử f liên tục [a,b] Chứng minh || f (b)  f ( a ) ||F || b  a ||E sup{|| Df ( y ) ||: y  [a, b]} D(gof )(x) = Dg(f(x)) o Df(x) Hướng dẫn Cho T L(E, ) với ||T|| =1 cho || f (b) - f (a)||F = T(f (b) - f (a)) PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan Bài toán 11 (Định lý giá trị trung bình) Cho f ánh xạ khả vi Gâteaux từ tập mở U không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F Giả sử ánh xạ x # Df(x)(h) ánh xạ liên tục U với h E Cho a b U cho tập hợp [a,b] ª {a + t(b-a) : t œ [0,1]} chứa U Chứng minh f (b)  f ( a )   Df ( a  t (b  a ))(b  a )dt || (T  f )(b)  (T  f )(a ) ||F || b  a ||E sup{|| D (T  f )( y ) ||: y  [a , b]} Bài toán 12 Cho f ánh xạ khả vi Gâteaux từ tập mở U không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F Giả sử ánh xạ x # Df(x) ánh xạ liên tục từ U vào L(E, F) Chứng minh f khả vi Fréchet U Hướng dẫn Cho x œ U số thực dương r cho B(x,r) Õ U Đặt  (h )   ( Df ( x  th )  Df ( x ))(h )dt Hướng dẫn Cho T L(E, ), chứng minh D (T  f )( a  t (b  a ))  T ( Df (a  t (b  a ))) Đặt g(s) = T(f(a+s(b-a))) với s [0,1] Chứng minh PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 10 t  [0,1], Chứng minh h  B(0, r ) lim || h ||1  ( h )  h 0 Dùng định lý giá trị trung bình T ( f (b)  f ( a ))  T (  Df (a  t (b  a ))(b  a )dt ) PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 11 PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 12 ĐỊNH NGHĨA Cho f ánh xạ từ U vào F Ta nói Dùng qui nạp tốn học ta định nghĩa khái niệm khả vi Fréchet n lần U ký hiệu D(Dn-1f ) Dnf với D0f = f với số nguyên dương n, gọi đạo hàm bậc n f É f liên tục khả vi Gâteaux U f khả vi Gâteaux U ánh xạ x # Df(x) liên tục từ U vào L(E,F) Ta ký hiệu Cr(U,F ) tập hợp hàm số f khả vi Fréchet r lần U cho Dnf liên tục U với n § r Nếu f thuộc lớp Cr(U,F ), ta nói f liên tục khả vi Fréchet r lần U Ta đặt É f liên tục khả vi Fréchet U f khả vi Fréchet U ánh xạ x # Df(x) liên tục từ U vào L(E,F) Lúc ta nói f thuộc lớp C1(U) ĐỊNH NGHĨA Cho E F hai không gian định chuẩn, U mở E f thuộc lớp C1(U) Lúc Df ánh xạ từ U vào khơng gian định chuẩn L(E,F) Nếu Df khả vi Fréchet U , ta nói f khả vi Fréchet hai lần U ký hiệu D(Df ) D2f PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 13 gọi đạo hàm bậc hai f Banach E , u C2(U,F), x œ U h k thuộc E PTBP-Ch1-Tinh 14 gtpt1 vi pnhan D2u(x)(k,h) Lúc D2u(x)(h,k) = 14 Bài toán 13 Cho A tập đo bị chặn n Cho µ độ đo Lebesgue n Đặt Bài toán 14 Cho A tập đo bị chặn n Cho µ độ đo Lebesgue n Đặt f (u )   u 3d  A  C  (U , F )   r 1 C r (U , F ) ĐỊNH LÝ Cho U tập mở không gian f (u )   u 3d  u  L3 ( A) u  L3 ( A) A Chứng minh f thuộc lớp C1(L3(A), ) Chứng minh f thuộc lớp C2(L3(A), ) Hướng dẫn Cho u v L3(A) t  (-1,1)\{0} Chứng minh f (u  tv )  f (u )   (3u 2v  3tuv  tv )d  Hướng dẫn Cho u,v w L3(A) Chứng minh t A Suy f khả vi Gâteaux L3(A) Df (u )( v )  3 u vd  u, v  L3 ( A) A Cho u,v w L3(A) Chứng minh A Cho u,v, w z APTBP-Ch1-Tinh vi pnhan A A L3(A) Chứng minh | [ Df (u )  Df ( w)](v ) | 3(  | u  w | p d  ) (  | u  w | p d  ) (  | v | p d  ) [ Df (u  tw)  Df (u )]( v )  3 (2uwv  tw2v )d  A t D f (u )(v, w)   uvwd  Suy 15 3 | [ D f (u )  D f ( z )]( v, w)  6(  | u  z | d  ) (  | v | d  ) (  | w | d  ) A PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan A 1 A 16 Bài toán 15 Cho A tập đo bị chặn n Cho µ độ đo Lebesgue n Đặt f (u )   u 3d  A Chứng minh f thuộc lớp f (u )   sin(u(t ))d  u  L3 ( A) C3(L3(A), A [ D f (u  tz )  D f (u )](v, w)  t Suy u  L5 ( A) Chứng minh f thuộc lớp C1(L5(A), ) ) Hướng dẫn Cho u,v, w z L3(A) Chứng minh D3f Bài toán 16 Cho A tập đo bị chặn n Cho µ độ đo Lebesgue n Đặt Hướng dẫn Cho u v L5(A) t  (-1,1)\{0} Chứng minh f (u  tv )  f (u ) sin(u( s )  tv ( s ))  s(u( s ))  d  A t t (u) = Dùng định lý hội tụ bị chặn, chứng minh lim t 0 PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 17 ĐỊNH NGHĨA Cho f hàm số thực từ tập A không gian định chuẩn E a điểm A Ta nói : É f đạt cực đại a f (x ) § f(a) với x œ A Lúc a gọi điểm cực đại f É f đạt cực tiểu a f (x ) ¥ f(a) với x œ A Lúc a gọi điểm cực tiểu f É f đạt cực trị a f đạt cực đại cực tiểu a Lúc a gọi điểm cực trị f É f đạt cực đại địa phương a có số thực dương r cho f (x ) § f(a) với x œ A… B(a,r) Lúc a gọi điểm cực đại địa phương PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 19 f f (u  tv )  f (u )   cos(u )vd  A t PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 18 É f đạt cực tiểu địa phương a có số thực dương r cho f (x ) ¥ f(a) với x œ A … B(a,r) Lúc a gọi điểm cực tiểu địa phương f É f đạt cực trị địa phương a f đạt cực đại cực tiểu a Lúc a gọi điểm cực trị địa phương f É a điểm tới hạn f A tập mở f khả vi theo hướng a Df(a)(h) = với h œ E PTBP-Ch1-Tinh gtpt1 vi pnhan 20 20 Bài toán 17 Cho f hàm số thực tập mở U không gian định chuẩn E đạt cực trị a U Cho h E cho f khả vi theo hướng h a Chứng minh f (a )  h Bài toán 18 Cho A tập đo bị chặn n Cho µ độ đo Lebesgue n Đặt f (u )   sin(u(t )) d  A ĐỊNH LÝ (Nhân tử Lagrange) Cho f g hai hàm số thực liên tục khả vi Fréchet tập mở U không gian định chuẩn E f g hai hàm số thực liên tục khả vi Fréchet U Đặt M = {x œU : g(x) = 0} Giả sử có a M cho f(a) cực trị f(M ) Dg(a) T Lúc có số thực l cho Df(a) = l Dg(a) u  L7 ( A) Chấp nhận f thuộc lớp C1(L7(A), ) Tìm số điểm tới hạn f mà khơng cần tính đạo hàm f PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan Hướng dẫn Tìm cực trị f 21 PTBP-Ch1-Tinh vi pnhan 22 ... Dùng định nghĩa Hướng dẫn Dùng định nghĩa PTBP -Ch1- Tinh vi pnhan PTBP -Ch1- Tinh vi pnhan Định lý Cho U O tập hợp mở không gian định chuẩn E F Cho f : U Ø O g : O Ø G ánh xạ, G không gian định chuẩn. .. tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn (E,||.||E) vào không gian dịnh chuẩn (F,||.||F) Chứng minh f khả vi Fréchet E Hướng dẫn Dùng tính chất tuyến tính liên tục f PTBP -Ch1- Tinh vi pnhan... khả vi Fréchet x g khả vi Fréchet f(x) Lúc gof khả vi Fréchet x Bài toán 10 (Định lý giá trị trung bình) Cho f ánh xạ khả vi Gâteaux từ tập mở U không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn