Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)

Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Lời nói đầu 1 3 Một số toán liên quan 1.1 Không gian Hilbert 1.2 1.3 Bài tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert 10 Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 13 1.4 Phương pháp điểm gần kề 18 Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số khơng giới nội tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại 20 2.1 Thuật toán điểm gần kề 20 2.2 2.3 Thuật toán điểm gần kề 25 So sánh hai thuật toán 27 Ứng dụng 30 3.1 Bài toán tối ưu 30 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực Rn H không gian véc tơ n chiều tương ứng không gian Hilbert thực A dom A gra A domf epif zer(A) Jr,T NC ∅ x, y I toán tử đơn điệu không gian Hilbert miền xác định toán tử A đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f tập đồ thị hàm f tập tất không điểm A, A−1 (0) tốn tử giải tốn tử T hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C tập rỗng tích vô hướng hai véc tơ x y ánh xạ đơn vị Lời nói đầu Bài tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert có nhiều ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực khác như: kinh tế, tối ưu hóa tốn liên quan đến vật lý Một phương pháp bật để giải tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề đề xuất nghiên cứu Martinet cho cực tiểu phiếm hàm lồi Rn sau mở rộng Rockafellar Mới Boikanyo Morosanu nghiên cứu hội tụ thuật toán điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A Họ giả thiết tập khơng điểm tốn tử A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Trong đề tài luận văn xét dãy tạo xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n đưa điều kiện cần đủ cho tập không điểm A khác rỗng Chúng dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phép chiếu u lên A−1 (0) không cần giả thiết tính giới nội (en ) Luận văn trình bày thành chương với nội dung sau: I: Trong chương trình bày số kiến thức khái niệm khơng gian Hilbert, số ví dụ minh họa, tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert thuật toán điểm gần kề cổ điển II: Trình bày hai thuật tốn điểm gần kề so sánh tối ưu hai thuật toán III: Trình bày ứng dụng thuật tốn điểm gần kề toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tơi trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K9C (khóa 2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 29 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Vân Chương Một số toán liên quan Chương nhắc lại số kiến thức định nghĩa khơng gian Hilbert, giải tích lồi phương pháp điểm gần kề Kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi không gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X , phần tử X , ta gọi tổng x y , ký hiệu x + y ; với α ∈ R x ∈ X , phần tử X gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: i x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn) ii (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp) iii tồn phần tử không X , ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X iv với x ∈ X , tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X v · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị) vi α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X vii (α + β)x = αx + βx, với α, β ∈ R, với x ∈ X viii α(x + y) = αx + αy , với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng khơng gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu , , thỏa mãn điều kiện sau: i x, y = y, x với x, y ∈ H ii x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H iii αx, y = α x, y với x, y ∈ H α ∈ R iv x, x > x = x, x = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy i x, αy = α y, x với x, y ∈ H α ∈ R ii x, y + z = x, y + x, z với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Định lý 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y (1.1) Chứng minh.Với số thực α với x, y ∈ H ta có: ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y Từ suy ∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ với x, y ∈ H Hay | x, y |2 ≤ x, x y, y với x, y ∈ H Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định x = x, x với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Hàm số x = x, x với x ∈ H chuẩn H Chứng minh.Thật vậy, từ điều kiện (iv) Định nghĩa 1.1.2 ta có x > x = x = x = với x ∈ H Từ điều kiện (i) (iii) Định nghĩa 1.1.2 ta suy αx = |α| x với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có: | x, y | ≤ x y với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có: x + y, x + y = x, x + x, y + y, y ≤ x +2 x y + y = x + y Suy x + y ≤ x + y với x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian ∞ |xn |2 < +∞ l = x = {xn }n ∈ R : n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng ∞ x, y = xn yn , n=1 x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 chuẩn ∞ x = ∞ |2 |xn = x, x = |xn | n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng: b (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a chuẩn b |x(t)|2 dt x = a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng b x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] x, y = a Không gian C[a, b] với chuẩn b |x(t)| dt x = a không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, lim xn , yn = x0 , y0 n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert H Ta chứng minh n→∞ n→∞ lim xn , yn = x0 , y0 n→∞ R ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC... tụ thuật toán điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A Họ giả thiết tập không điểm toán tử A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Trong đề tài luận văn xét dãy tạo xn+1 = Jγn (λn... số khơng giới nội tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại 20 2.1 Thuật toán điểm gần kề 20 2.2 2.3 Thuật toán điểm gần kề 25 So sánh hai thuật toán