Lý thuyết chuỗi

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em.Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn... Lý thuyế

Khóa luận tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, em đã nhậnđược sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo và bạn bè sinh viên

trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng là người trực tiếp hướng

dẫn em hoàn thành khóa luận

Em xin bày tỏ lòng biết ơn của mình tới các thầy cô trong tổ, trong

khoa và thầy Nguyễn Văn Hùng đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi trong quá

trình nghiên cứu và học tập

Do điều kiện về thời gian và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế,chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót khi khai triển đề tài Vì vậy, em rấtmong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô và bạn bè để luận vănđược hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Bích Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

Nguyễn Văn Hùng, cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình

nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một

số tác giả như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em.Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Bích Thủy

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CHUỖI SỐ 3

1 Định nghĩa 3

2 Sự hội tụ 3

3 Chuỗi số dương 4

4 Chuỗi có số hạng với dấu bất kì 7

CHƯƠNG 2 CHUỖI HÀM SỐ 10

1 Các định nghĩa 10

2 Sự hội tụ của chuỗi hàm 11

3 Các tính chất của tổng chuỗi hàm 12

4 Chuỗi lũy thừa 14

5 Chuỗi hàm lượng giác 19

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP 22

1 Chuỗi số 22

2 Chuỗi hàm 32

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

Hoàng Thị Bích Thủy - 1 K34A - SP Toán

Bởi vậy, việc nắm vững môn học này là yêu cầu rất cần thiết phải đạtđược đối với mỗi sinh viên khoa Toán

Trong quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết

về chuỗi rất được quan tâm Nó gồm 2 phần:

1 Lý thuyết chuỗi số

2 Lý thuyết chuỗi hàm

Lý thuyết về chuỗi số chính là sự mở rộng của lý thuyết tổng đại số phổthông Mặt khác, khi nhận xét chuỗi hàm tại một điểm xác định thì chuỗi hàmtrở thành chuỗi số Vậy mọi tính chất của tổng đại số ở phổ thông có cònđúng với tổng vô hạn các số hạng hay không? Sự hội tụ của một tổng vô hạn(chuỗi số) như thế nào? Đề tài này sẽ giúp chúng ta nghiên cứu và tìm hiểu về

lý thuyết chuỗi

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viênnhững kiến thức về môn giải tích mà nội dung chủ yếu là lý thuyết chuỗi Từ

đó nâng cao năng lực tư duy logic đặc thù của bộ môn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra những kiến thức về lý thuyết chuỗi

- Đưa ra một số bài tập áp dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết chuỗi

- Phạm vi nghiên cứu: những kiến thức cơ bản của lý thuyết chuỗi

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận và đánh giá tổng hợp

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CHUỖI SỐ

Nếu ta thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng của một chuỗi hội tụthì chuỗi mới nhận được cũng hội tụ và có cùng tổng với chuỗi ban đầu.

Định lí 2.2.



Nếu chuỗi a k hội tụ thì lim a n 0

k 1 n

Định lí 2.4 (Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ )

Điều kiện cần và đủ để chuỗi

với mọi n □ *

tồn tại một số

3.1. Định nghĩa: Cho chuỗi

đều dương thì ta gọi chuỗi (1) là chuỗi số dương

Định lí 3.2.1 Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương hội tụ là dãy tổng riêng

của nó bị chặn

Chú ý : Định lí trên có ý nghĩa thực hành lớn Nếu như trước muốn

xét sự hội tụ của chuỗi

Định lí 3.2.4 (Dấu hiệu Cauchy)

Cho chuỗi số dương

i) Nếu C 1thì chuỗi đã cho hội tụ.

ii) Nếu C 1thì chuỗi đã cho phân kỳ.

Định lí 3.2.5 (Dấu hiệu D’Alembert)

Cho chuỗi số dương

i) Nếu d 1thì chuỗi đã cho hội tụ.

ii) Nếu d 1thì chuỗi đã cho phân kỳ.

Chú ý: Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D'Alembert nếu các giới hạn

f (t)dt

Định lí 3.2.7 (Dấu hiệu Raabe)

là đại lượng bị chặn với mọi n Khi đó:

i) Nếu 1thì chuỗi (1) hội tụ, nếu 1thì chuỗi (1) phân kỳ

4 Chuỗi có số hạng với dấu bất kì

4.1 Chuỗi đan dấu

Định nghĩa 4.1.1 Một chuỗi số có dạng

dấu được gọi là chuỗi đan dấu

Đị nh lí 4.1.

1.

( D ấ u h

iệu Leibniz)





n1

b)b n là dãy đơn điệu giảm và lim b n 0

b) Nếu chuỗi



a n hội tụ nhưng chuỗi

Khi đó với số L cho trước (hữu hạn hay vô hạn), ta có thể hoán vị các

số hạng của chuỗi số để nhận được một chuỗi có tổng bằng L

Hoàng Thị Bích Thủy - 10 K34A - SP Toán

được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm số ấy nếu dãy số

f n (x0 )hội tụ Tập hợp những điểm hội tụ của dãy hàm số

f nđược gọi là tập hợp hội tụ của nó

Như vậy, nếu dãy hàm số f n hội tụ tới hàm số f trên tập hợp X ,

cho trước, luôn tìm được một số

n0 □ sao cho với

Hoàng Thị Bích Thủy - 10 K34A - SP Toán

gồm tất cả các điểm hội tụ của (1) gọi là miền hội tụ của

Giả sử (1) hội tụ trên miền

Hoàng Thị Bích Thủy - 11 K34A - SP Toán

k n1

với mọi x X

Từ định nghĩa suy ra rằng nếu chuỗi hàm hội tụ đều trên tập X thì nó

cũng hội tụ trên tập đó, điều ngược lại chưa chắc đúng

2 Sự hội tụ của chuỗi hàm

Định lí 2.1 (Điều kiện cần và đủ Cauchy)

trước tồn tại số tự nhiên

n0 n0 () (không phụ thuộc vào x ) sao cho với

Hoàng Thị Bích Thủy - 12 K34A - SP Toán

Định lí 2.3 (Dấu hiệu Dirichlet)

Cho 2 dãy hàm a n,b n cùng xác định trên tập X Giả thiết

a) Dãy tổng riêng A n (x) của chuỗi

Định lí 2.4 (Dấu hiệu Abel)

Cho 2 dãy hàm a n,b ncùng xác định trên tập X Giả thiết

a)Chuỗi hàm a n (x) hội tụ đều trên X

n là các hàm liên tục trên tập X

 b) Chuỗi hàm u n (x) hội tụ đều trên X

đến tổng

n1

Khi đó S là một hàm liên tục trên X

S (x)

Từ định lí ta thấy: Nếu chuỗi hàm số có các số hạng liên tục mà hội tụ đến

một hàm số gián đoạn trên X thì chuỗi hàm số ấy hội tụ không đều trên X

Hệ quả : Nếu dãy f nlà dãy hàm đơn điệu các hàm liên tục hội tụ đến

một hàm f liên tục trên a,bthì dãy hàm đó hội tụ đều trên a,b

3.2 Tính khả tích



Định lí 3.2.1 Cho chuỗi hàm u n (x) Giả sử rằng:

n1 a) u

n là các hàm khả tích trên a,bn 1, 2,



b) Chuỗi hàm u n (x) hội tụ đều trên a,bvà

chuỗi có tâm tại t 0

4.2 Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa

a n x phân kỳ.

Chú ý : Số thực R 0 tồn tại theo định lí trên được gọi là bán kính hội tụ

củachuỗi lũy thừa, còn khoảng R,

Nếu R thì ta nói chuỗi lũy thừa hội tụ khắp nơi.

Cho chuỗi lũy thừa





n 0

na n x nhận được bằng cách

đạo hàm từng số

hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R

b) Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ R, Rvà

a n x thì S (x) phải là hàm có đạo hàm mọi cấp trên

miền hội tụ của chuỗi

Định lí 4.4.1.





n 0

khai triển được

Được gọi là chuỗi Mac-Laurin của hàm f (x)

4.5 Khai triển Taylor của một số hàm

5.2 Định lí về sự hội tụ của chuỗi Fourier

Nếu f là hàm xác định trên toàn trục số, tuần hoàn với chu kì 2

và trơn từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn bất kì thì chuỗi Fourier tương ứng với

f hội tụ tại mọi điểm x0 và có tổng

Hoàng Thị Bích Thủy - 20 K34A - SP Toán

Hoàng Thị Bích Thủy - 21 K34A - SP Toán

l n 1, 2,

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP

1 Chuỗi số

1.1 Xét sự hội tụ của chuỗi

Để giải quyết bài toán khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số

ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau dựa trên định nghĩa, tính chất

và các dấu hiệu hội tụ

1.1.1 Dựa vào định nghĩa, tính chất

Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi

Với n □ * ta có :1

Vì dãy S nbị chặn trên bởi 1 nên chuỗi đã cho hội tụ.

Bài 3: Dùng nguyên lí hội tụ Cauchy khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Theo nguyên lí hội tụ Cauchy, chuỗi đã cho hội tụ.

1.1.2 Dựa vào các dấu hiệu hội tụ

Bài 4: Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:



n1

n

Do đó: 0

n2

4 1 x4 0





n

 1

do đó hội tụ tuyệt đối

Bài 8: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau

an n

Suy ra chuỗi hội tụ khi 0 x e

Chuỗi phân kỳ khi x e

Bài 9: Xét sự hội tụ của chuỗi số

Bài 10: Xét sự hội tụ của chuỗi số

x 1, phân kỳ nếu x 1 Với x 1ta có chuỗi

Do đó chuỗi đã cho phân kỳ.

Bài 13: Xét tính hội tụ của chuỗi

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ

Bài 14: Xét sự hội tụ của chuỗi

x

Vì thế chuỗi đã cho hội tụ nếu

n(n 1)(n

2)2



1)]

Hoàng Thị Bích Thủy - 30 K34A - SP Toán

Hoàng Thị Bích Thủy - 31 K34A - SP Toán

Hoàng Thị Bích Thủy - 32 K34A - SP Toán

Hoàng Thị Bích Thủy - 33 K34A - SP Toán

Vậy chuỗi đã cho hội tụ và có tổng bằng 1  2

Bài 18: Tính tổng của chuỗi

nn(n  1)

Vì thế trong trường hợp này dãy tổng riêng S n

(x)tức là chuỗi không hội tụ đều

không hội tụ đều

1sin x2

1n



2

Còn dãy b n (x)  đơn điệu giảm và hội tụ đều về 0 khi n

 .Vìthế theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi hàm hội tụ đều trên đoạn  , 

Bài 25: Khảo sát sự hội tụ đều trên các tập cho tương ứng

Vì với x 0 ,1

x



n

đơn điệu giảm dần về 0 khi n

, nên theo dấu

hiệu Leibniz chuỗi đan dấu

(1)

hội tụ

 n

Vậy chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trong miền 0 x 

Bài 26:Xét sự hội tụ của chuỗi

Vì thế theo dấu hiệu Dirichlet chuỗi đã cho hội tụ

Bài 27: Xét sự hội tụ của chuỗi

cos x cos x cos(n



1

0,  Tuy nhiên ta sẽ chỉ ra rằng trong khoảng đó chuỗi không hội tụđều.

Ký hiệu S n (x) là tổng riêng thứ n của chuỗi Ta thấy:

Khi đó với mọi n ta chọn 1

x n 

n

3thì:

Theo nguyên lý Cauchy, chuỗi hội tụ không đều trong 0, 

Bài 32: Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm

Leibniz trong đoạn 0, 2 

Xét phần dư thứ n của chuỗi:

Hoàng Thị Bích Thủy - 40 K34A - SP Toán

r n (x) 0

Do đó chuỗi hàm đã cho hội tụ đều trong 0, 2 

Bài 33: Khảo sát sự hội tụ đều của chuỗi hàm

Hoàng Thị Bích Thủy - 41 K34A - SP Toán

Do đó với mỗi x cố định , khi n :

Bài 36: Xác định tập hội tụ tuyệt đối và bán hôi tụ của chuỗi hàm:

x hội tụ nếu ln x 1 hay x

Vậy tập hội tụ (tuyệt đối) của chuỗi đã cho là x : x 1

Bài 37: Xác định tập hội tụ tuyệt đối và bán hôi tụ của chuỗi hàm:

x





 khi

n(2n 1)2 3n1

Vậy tập hội tụ tuyệt đối của chuỗi là: x : x 1x 3

Bài 38: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

hội tụ tuyệt đối.

1,

u n (1) n không dần đến 0 khi n 

Theo điều kiện cần trong cả 2 trường hợp, chuỗi đã cho phân kỳ

Vậy miền hội tụ của chuỗi là (1,1)

Để tính tổng ta sử dụng khai triển Maclaurin sau

(1



x

)

2

, x 1,1

Bài 40: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

x

n

Do đó số hạng tổng quát a n không dần về 0 khi n nên

x 1 chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibniz.

Trong khoảng hội tụ

Vậy R 1, khoảng hội tụ là 1,1.

Tại x 1 chuỗi phân

1



n1 (2n 1)3 6

2.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

Bài 44: Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

Hoàng Thị Bích Thủy - 50 K34A - SP Toán

n

Hoàng Thị Bích Thủy - 51 K34A - SP Toán

 4 

 n0  4

b) f (x)

1

x tại điểm x 2

Từ đó lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi vừa nhận được, ta có :

Ta biến đổi hàm đã cho như sau:

(x 2) 4 24

Vậy ta có khai triển



Bài 56: Khai triển hàm

f (x) thành chuỗi Fourier với

KẾT LUẬN

Khóa luận đã đưa ra những kiến thức tổng quan về lý thuyết chuỗi baogồm chuỗi số, chuỗi hàm Trong đó là các dạng chuỗi như chuỗi số dương,chuỗi đan dấu, chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier cùng với các tính chất, dấu hiệuhội tụ… Một số bài tập áp dụng cũng được đưa ra để qua đó có thể hiểu vàkhắc sâu hơn những kiến thức về chuỗi

Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế và trình độ kiến thức còn hạn hẹpnên đây chỉ là kết quả nghiên cứu ban đầu, chắc chắn không tránh khỏi nhữngthiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và cácbạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích tập 2, NXBGD

2 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, 2002,

Giáo trình giải tích (tập 2), NXBĐHQG Hà Nội

3 Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, 2002,

Bài tập giải tích (tập 2), NXBĐHQG Hà Nội

4 Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thành, 2001, Lý thuyết chuỗi và

phương trình vi phân, NXBDHQG Hà Nội

5 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2003, Toán

cao cấp (tập 2), NXBGD

6 Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn, Giải tích toán học

(tập 2), NXBGD

3