Lý thuyết chuỗi

Khóa luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN HỒNG THỊ BÍCH THỦY LÝ THUYẾT CHUỖI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI - 2012 Hồng Thị Bích Thủy K34A - SP Tốn LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực hồn thành khóa luận này, em nhận hướng dẫn, bảo tận tình thầy cô giáo bạn bè sinh viên khoa Toán, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô tổ, khoa thầy Nguyễn Văn Hùng tạo điều kiện thuận lợi giúp trình nghiên cứu học tập Do điều kiện thời gian nguồn tài liệu tham khảo hạn chế, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót khai triển đề tài Vì vậy, em mong nhận góp ý, bổ sung thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hồng Thị Bích Thủy LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo số tài liệu số tác nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu riêng em Trong q trình làm khóa luận, em kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Hồng Thị Bích Thủy MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CHUỖI SỐ Định nghĩa Sự hội tụ 3 Chuỗi số dương 4 Chuỗi có số hạng với dấu CHƯƠNG CHUỖI HÀM SỐ 10 Các định nghĩa .10 Sự hội tụ chuỗi hàm 11 Các tính chất tổng chuỗi hàm 12 Chuỗi lũy thừa 14 Chuỗi hàm lượng giác 19 CHƯƠNG BÀI TẬP 22 Chuỗi số 22 Chuỗi hàm 32 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích tốn học mơn học chương trình khoa Tốn Nó đóng vai trò quan trọng việc học tập ngành Tốn Giải tích Tốn học có nhiều ứng dụng nghiên cứu Toán học ngành khoa học khác Bởi vậy, việc nắm vững môn học yêu cầu cần thiết phải đạt sinh viên khoa Tốn Trong q trình học mơn Giải tích tốn học trường Đại học, lý thuyết chuỗi quan tâm Nó gồm phần: Lý thuyết chuỗi số Lý thuyết chuỗi hàm Lý thuyết chuỗi số mở rộng lý thuyết tổng đại số phổ thông Mặt khác, nhận xét chuỗi hàm điểm xác định chuỗi hàm trở thành chuỗi số Vậy tính chất tổng đại số phổ thơng có với tổng vơ hạn số hạng hay không? Sự hội tụ tổng vô hạn (chuỗi số) nào? Đề tài giúp nghiên cứu tìm hiểu lý thuyết chuỗi Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viên kiến thức mơn giải tích mà nội dung chủ yếu lý thuyết chuỗi Từ nâng cao lực tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa kiến thức lý thuyết chuỗi - Đưa số tập áp dụng Hồng Thị Bích Thủy -1 - K34A - SP Toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết chuỗi - Phạm vi nghiên cứu: kiến thức lý thuyết chuỗi Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận đánh giá tổng hợp PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CHUỖI SỐ Định nghĩa n An a1 a2  an Cho dãy số a1, a2 , , an Đặt a k  k 1  n Ký hiệu: A a k lim An  lim a k gọi a k k 1 n   chuỗi số n k 1   k 1 Nếu dãy hội tụ lim An  A  An  ta nói chuỗi  hội tụ có  ak n k 1 tổng A  Nếu dãy  An khơng có giới hạn hữu hạn ta nói chuỗi số a k Ta gọi an số hạng chuỗi số, phân kỳ k 1 n An  tổng riêng thứ n , a k k 1 dãy  An là dãy tổng riêng chuỗi số Sự hội tụ Định lí 2.1 Nếu ta thêm vào bớt số hữu hạn số hạng chuỗi khơng làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi Nếu ta thay đổi thứ tự số hữu hạn số hạng chuỗi hội tụ chuỗi nhận hội tụ có tổng với chuỗi ban đầu Định lí 2.2  Nếu chuỗi a k 1 k hội tụ lim an 0 n Nếu lim an không tồn tồn khác khơng chuỗi n  phân kỳ  ak k 1 Định lí 2.3  Giả sử chuỗi   a  n n1 hội tụ có tổng A B , bn n1 và là số thực  (  Khi đó, n  có tổng A B n  a  b ) Định lí 2.4 (Điều kiện cần đủ để chuỗi hội tụ )  Điều kiện cần đủ để chuỗi a tụ là: n hội chuỗi hội tụ 0, n0 n0 () n1 cho n n * ,p □ ta có: an 1  Từ suy chuỗi  an  n  p 2  a phân kỳ tồn số  0 0 để an n1 với n □ số * tồn p0 nguyên dương cho An p Chuỗi số dương   A 0 n 3.1 (1) Định nghĩa: Cho chuỗi a n Nếu số hạng an n1 dương ta gọi chuỗi (1) chuỗi số dương 3.2 Sự hội tụ Định lí 3.2.1 Điều kiện cần đủ để chuỗi số dương hội tụ dãy tổng riêng bị chặn Chú ý : Định lí có ý nghĩa thực hành lớn Nếu trước muốn  xét hội tụ chuỗi phải hội tụ dãy tổng  an n1 ... Đại học, lý thuyết chuỗi quan tâm Nó gồm phần: Lý thuyết chuỗi số Lý thuyết chuỗi hàm Lý thuyết chuỗi số mở rộng lý thuyết tổng đại số phổ thông Mặt khác, nhận xét chuỗi hàm điểm xác định chuỗi. .. tượng nghiên cứu: lý thuyết chuỗi - Phạm vi nghiên cứu: kiến thức lý thuyết chuỗi Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận đánh giá tổng hợp PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CHUỖI SỐ Định nghĩa... viên kiến thức mơn giải tích mà nội dung chủ yếu lý thuyết chuỗi Từ nâng cao lực tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu - Đưa kiến thức lý thuyết chuỗi - Đưa số tập áp dụng Hồng Thị Bích Thủy