bài giảng lý thuyết chuỗi hay, dành cho sinh viên các trường đại học, khối ngành kinh tế. Nội dung bài giảng ngắn gọn ví dụ dễ hiểu . Đây là bài giảng hay. Các bạn tham khảo và góp ý thêm để bài giảng hoàn thiện hơn.
Chương CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất thường sử dụng vế chuỗi số Một số tính chất chuối số dương, chuỗi đan dấu tiêu chuẩn Leibnitz giới thiệu Chúng đưa khái niệm mang tính chất giới thiệu chuỗi hàm, phần quan trọng mà muốn nhấn mạnh khảo sát hội tụ khai triển số hàm thường gặp thành chuỗi lũy thừa 6.1 Chuỗi số 6.1.1 Các khái niệm Định nghĩa Cho dãy số vô hạn (un ) n∈Z , tổng vô hạn + ∞ u1 + u2 + u3 + + un + gọi chuỗi số, ký hiêu là: ∑ un n =1 un gọi số hạng thứ n Dãy tổng riêng ∞ Đặt sn = u1 + u2 +u + + un gọi tổng riêng thứ n chuỗi số ∑ un n =1 ∞ ( sn ) n∈Z + gọi dãy tổng riêng chuỗi số ∑ un n =1 Chuỗi số hội tụ, phân kỳ ∞ Chuỗi số ∑ un gọi hội tụ tồn giới hạn Lim s n = s s gọi tổng n→∞ n =1 ∞ Ta viết: ∑ u n = s n =1 ∞ s n không tồn hay ∞ chuỗi số ∑ un gọi phân kỳ Nếu giới hạn Lim n→∞ n =1 chuỗi số khơng có tổng Phần dư thứ n ∞ Trong trường hợp chuỗi số ∑ un hội tụ có tổng S thí hiệu S-Sn gọi phần n =1 ∞ dư thứ n chuỗi số ∑ un , ký hiêu là: rn n =1 Vậy, dạng ngôn ngữ “ε-N”, ta có: 122 ∞ Chuỗi số ∑ un hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃ N : n > N ⇒ s − sn < ε n =1 ⇔ ∀ε > 0, ∃N : n > N ⇒ rn < ε Các ví dụ 1) ∞ ∑q n =1 + q + + q n + (tổng cấp số nhân vơ hạn) n=0 Ta có tổng riêng S n = + q + + q n Xét trường hợp sau a) q ≠ ⎧∞, q >1 − q n +1 , suy lim S n = ⎪⎨ n →∞ 1− q ⎪1 − q , q < ⎩ Ta có S n = b) q = Ta có S n = + + + = n Do đó: lim Sn = +∞ n →∞ c) q = -1 ⎧1, n = 2k + Ta có S n = − + − = ⎨ Do lim Sn không tồn n→∞ 0, n = k ⎩ Vậy ∞ ∑q n = n =0 Chuỗi số ∞ , hội tụ, | q |< 1− q ∑q n phân kỳ | q |≥ chuỗi phân kỳ n =0 n =1 n( n + 1) ∞ 2) Cho chuỗi số ∑ sn = 1 1 1 1 1 + + + + = (1 − ) + ( − ) + ( − ) + + ( − )= 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n n +1 2 3 = 1− n +1 ⇒ lim sn = Vậy, chuỗi số cho hội tụ có tổng n →∞ 6.1.2 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Tiêu chuẩn Cauchy ∞ Chuỗi số ∑ un hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃ N > : p > q ≥ N ⇒ s p − sq < ε n =1 Ví dụ 123 Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng tỏ chuỗi số ∞ ∑ n =1 phân kỳ n Giải : ∀N , ∃ p = N > q = N ≥ N : s p − s q = s N − s N = 1 1 1 1 N = + + + > + + + = = > =ε 2N 2N 2N 2N 2N N +1 N + ∃ε= 6.1.3 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ Định lý ∞ Nếu chuỗi số ∑ un hội tụ lim u n = n →∞ n =1 Chứng minh: ∞ Gọi s tổng chuỗi số hội tụ ∑ un n =1 Suy n →∞ ⇒ sn ⎯⎯⎯→ s n→∞ → s − s = un = sn − sn −1 ⎯⎯⎯⎯ Hệ ∞ Nếu lim un ≠ chuỗi số ∑ un phân kỳ n →∞ n =1 Ví dụ n n → ≠ n → ∞ phân kỳ un = n =1 2n + 2n + ∞ Chuỗi số ∑ Chú ý ∞ n→∞ un ⎯⎯⎯⎯ → điều kiện cần mà không đủ để chuỗi số ∑ u n hội tụ n =1 ∞ Chẳng hạn, xét chuỗi số ∑ n =1 sn = n 1 n 1 1 + + + + > + + + + = = n n n n n n n sn = + ∞ Vậy, chuỗi số ∑∞ phân kỳ Mà Lim n = + ∞ ⇒ nLim → +∞ n→∞ n =1 6.1.4 Tính chất cuả chuỗi số hội tụ 1.Tính chất 124 n ∞ ∞ n =1 n =1 Nếu chuỗi số ∑ u n hội tụ có tổng s, chuỗi số ∑ hội tụ có tổng s’ chuỗi ∞ ∑ (un ± ) hội tụ có tổng s ± s’ n =1 Chứng minh: ∞ ∞ n =1 n =1 Gọi sn s’n tổng riêng thứ n chuỗi số ∑ u n ∑ / / Khi đó, lim sn = s lim sn = s ⇒ lim ( sn + sn ) = s + s ⇒ đ.p.c.m / n→∞ / n →∞ n→∞ Ví dụ 3n + 4n n n =1 12 ∞ Tính tổng chuỗi số sau: ∑ Giải Ta có n 1 ( ) = = ∑ n=1 1− ∞ n n ∞ + 4n 1⇒ = = ( ) = n ∑ ∑ 12 = n n =1 1− ∞ ∞ n =1 ∑ ( )n + ∞ 1 ( )n = + = ∑ n =1 Tính chất ∞ ∞ n =1 n =1 Nếu chuỗi số ∑ u n hội tụ có tổng s chuỗi số ∑ ku n hội tụ có tổng ks Chứng minh: ∞ Gọi sn tổng riêng thứ n chuỗi số: ∑ u n n =1 ⇒ Lim ksn = k Lim sn = ks ⇒ đ.p.c.m n→∞ n →∞ Tính chất Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không thay đổi ta ngắt bỏ khỏi chuỗi số số hữu hạn số hạng Chứng minh: ∞ ∞ n=1 n = m +1 Nếu bớt từ ∑ un m số hạng đầu tiên, ta chuỗi số ∑ u n 125 ∞ ∞ n =1 n = m +1 Gọi sn s’k tổng riêng thứ n thứ k chuỗi số ∑ u n ∑ un ⇒ s = sm + k − sm / k ∞ * Nếu chuỗi số ∑ u n hội tụ ∞ ⇒ n =1 m+ k → ∞ sm+ k ⎯⎯⎯⎯⎯ → s ⇒ sk/ k →∞ ⎯⎯⎯⎯ → s − sm ⇒ chuỗi số ∑ u n hội tụ n = m +1 ∞ * Nếu chuỗi số ∑ u n phân kỳ ⇒ sm + k khơng có giới hạn n =1 k → ∞ sm ∞ hữu hạn ⇒ s’k khơng có giới hạn k → ∞ ⇒ chuỗi số ∑ u n phân kỳ n = m +1 Ví dụ ∞ Xét hội tụ chuỗi số ∑ n =1 n+3 Giải Chuỗi suy từ chuỗi điều hoà cách ngắt bỏ số hạng Mà chuỗi ∞ điều hoà phân kỳ nên chuỗi ∑ phân kỳ n =1 n + Bài tập Tính tổng chuỗi sau n =1 n( n + 4) ∞ ∞ n =1 4n − 1) ∑ 3) ∑ 2) ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) n + 5n 5) ∑ n n =1 10 ∞ 2n + n =1 n ( n + 1) ∞ ∞ 4) ∑ ∞ n =1 4n − 6) ∑ 6.2 Chuỗi số dương 6.2.1 Định nghĩa ∞ Chuỗi số dương chuỗi số ∑ u n , mà u n =1 n > 0, ∀n ≥ Ví dụ ∞ ∑ n =1 chuỗi số dương n + 1.3n 6.2.2 Định lý Chuỗi số dương hội tụ dãy (sn) bị chặn Chứng minh: 126 ∞ Vì ∑ u n hội tụ nên dãy (sn) hội tụ Mà u n =1 n > 0, ∀n ≥ , suy dãy (sn) tăng, (sn) bị chặn Ngược lại (sn) bị chăn trên, tồn hạn, dãy (sn) tăng, ∞ ∑ u n hội tụ chuỗi số n =1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số dương sau: ∞ 1) ∑ n2 n =1 Ta có S n = 1 1 1 + + + ≤ + + + = − ≤2 ( n − 1) n n 12 2 n 1 Suy sn bị chặn Vậy chuỗi hội tụ ∞ 2) ∑ n =1 n Ta có S n = + + + ≥ + + + = n = n n n n n n Suy sn không bị chặn Vậy chuỗi phân kỳ 6.2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ Tiêu chuẩn so sánh a Định lý ∞ ∞ n =1 n =1 Giả sử ∑ un ∑ chuỗi dương thoả un ≤ ∀n ≥ n0 , ∞ ∞ n =1 n =1 * Nếu chuỗi ∑ hội tụ chuỗi ∑ un hội tụ ∞ * Nếu chuỗi ∑ u n phân kỳ chuỗi n =1 ∞ ∑v n =1 n h phân kỳ Chứng minh: Do tính chất chuỗi số hội tụ, giả sử n0 = , nghĩa un ≤ ∀n ∞ ∞ n =1 n =1 * Gọi sn sn tổng riêng thứ n chuỗi ∑ un ∑ ⇒ sn ≤ s’n ∀n (1) 127 ∞ Nếu chuỗi ∑ hội tụ có tổng s’, nghĩa Lim sn/ = s / n→∞ n =1 ⇒ s’n ≤ s’ ∀n (2) ∞ Từ (1) (2) ⇒ sn < s ∀n ⇒ Chuỗi ∑ un hội tụ / n =1 ∞ ⎯ * Nếu chuỗi ∑ un phân kỳ ⇒ sn ⎯n⎯ → ∞→+∞ n =1 Từ (3) (1) suy ra: sn/ (3) ∞ ∑ phân kỳ ⎯n⎯ →⎯ ∞ → +∞ , nghĩa chuỗi n =1 b Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số sau: ∞ 1) ∑ n n n =1 1 ≤ n ∀n n n Do n hội tụ ⇒ chuỗi cho hội tụ n =1 ∞ mà chuỗi ∑ ∞ 2) Chuỗi số ∑ n −1 n =2 < n 3) phân kỳ ∞ 1 phân kỳ ∀n ≥ mà chuỗi ∑ n =2 n n −1 2n ∑ n n =1 + 2n ∞ 2n Ta có: < n < ( ) n , ∀n ≥ + 2n n ⎛ 2⎞ Mà chuỗi ∑ ⎜ ⎟ hội tụ nên chuỗi n =1 ⎝ ⎠ ∞ 4) ∞ ∑ n =2 ln n n Ta có: ln n , ∀n ≥ > n +1 n +1 128 ∞ 2n ∑ 5n + n n =1 hội tụ Mà chuỗi phân kỳ nên chuỗi n +1 ∞ ∑ n=2 ∞ ∑ n=2 ln n phân kỳ n +1 Tiêu chuẩn tương đương ∞ ∞ u Giả sử ∑ un ∑ chuỗi dương thoả lim n = k n =1 n =1 n →∞ ∞ 1) Nếu < k < +∞ hai chuỗisố ∑ un và, n =1 ∞ 2) Nếu k = chuỗi số ∑ ∞ ∑ đồng thời hội tụ phân kỳ n =1 ∞ hội tụ n =1 3) Nếu k = +∞ chuỗi số ∑ un n =1 ∞ ∑ hội tụ ∞ phân kỳ n =1 ∑ u n phân kỳ n =1 Chứng minh un u = k ta có ∀ε > 0, ∃n > : ∀n ≥ n ⇒ n − k < ε n→∞ v n 1) Từ lim un < ε + k suy un < (ε + k )vn , ∀n ≥ n0 Do ∞ Nếu ∑ hội tụ nên chuỗi n =1 ∞ ∑u n =1 n Nếu ∞ ∑ (ε + k )v n hội tụ Theo định lý ta suy chuỗi n =1 hội tụ ∞ ∑v n n =1 un = k suy n →∞ v n phân kỳ ta làm tương tự, nhiên ý từ lim ∞ 1 u n hội tụ t suy = Vì < k < +∞ nên < < +∞ Do đo chuỗi n →∞ u k k n n =1 ∑ lim chuỗi ∞ ∑v n =1 n hội tụ Vậy Vậy chuỗi ∞ ∑u n =1 ∞ ∑ un , n =1 2) Giả sử k = ∞ ∑v n n =1 ∞ ∑v n =1 n n phân kỳ đồng hội tụ phân kỳ hội tụ 129 Khi từ giả thiết lim n →∞ Vì ∞ ∑v n n =1 hội tụ, nên ∞ ∑εv n =1 n u un = ta có ∀ε > 0, ∃n0 > : n < ε , ∀n ≥ n0 ⇒ un < ε , ∀n ≥ n0 vn hội tụ, ∞ ∑u n =1 n hội tụ 3) Chứng minh hoàn toàn tương tự mục (2) Giả sử k = +∞ ∞ ∑v n =1 n phân kỳ Từ un v = +∞ suy lim n = n →∞ v n →∞ u n n lim ∞ ∑ u n phân kỳ, Do n =1 ∞ ∞ ∑ u n hội tụ theo (ii) suy ∑ hội tụ mâu thuẫn n =1 n =1 Chú ý Thường ta so sánh với chuỗi số quan trọng chuỗi cấp số nhân chuỗi điều hồ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số sau: 1) 2n + n + ∑ n n =1 + 2n + ∞ 2n + n + Ta có un = n > , với n ≥ Ta so sánh với chuỗi số + 2n + hội tụ Dễ thấy lim n→∞ 2) un = , chuỗi số cho hội tụ ∞ ln n n =1 n ∑ Ta có un = Mà chuỗi ln n ≥ , với n ≥ n n ∞ ∑ n =1 3) ∞ ∑n n =1 3n + n +n+2 Ta có un = 130 phân kỳ ( ví dụ trên), nên chuỗi cho phân kỳ n 3n + > , với n ≥ n2 n + n + ∞ ( )n v = ∑ ∑ n n =1 n =1 ∞ u > Ta có Do lim n = chuỗi Chọn = n→∞ v n n n ∞ ∑ v n hội tụ, nên ∑ n n =1 ∞ n =1 n +1 +n+2 hội tụ / Tiêu chuẩn D Alembert / a Định lý D Alembert ∞ Nếu chuỗi số dương ∑ un thoả nLim →∞ n =1 ∞ u n +1 = D chuỗi số ∑ un hội tụ D < n =1 un phân kỳ D > ∞ Khi D = Chuỗi số dương ∑ un hội tụ phân kỳ n =1 ∞ Khi D = + ∞ chuỗi số dương ∑ un phân kỳ n =1 Chứng minh: * D Chọn ε < 1− D ⇒ D + ε n0 ⇒ n+1 − D < ε n → +∞ u un n lim ⇒ u n +1 < ( D + ε )u n ∀ n > n0 n = n0 + : un0 + < ( D + ε )un0 +1 n = n0 + : un0 + < ( D + ε )un0 + < ( D + ε )2 un0 +1 n = n0 + k : un0 + k +1 < ( D + ε )k un0 +1 ∞ k Mà chuỗi số ∑ ( D + ε ) un0 +1 hội tụ < D + ε < k =0 ∞ ∞ n = n0 +1 n =1 ⇒ Chuỗi số ∑ u n hội tụ ⇒ Chuỗi số ∑ u n hội tụ * D >1 Chọn ε = D − hay D − ε = u n +1 u = D ⇒ ∃ n0 : n > n0 ⇒ n +1 − D < ε n → +∞ u un n Lim ⇒ u n +1 > D − ε = ∀n > n ⇒ un +1 > un ∀n > n0 ⇒ Lim un ≠ n →∞ un 131 s m +1 → s ⇔ ∀ε > 0, ∃ m2 : m > m2 ⇒ s m +1 − s < ε Đặt N = max ( 2m1 , 2m2 + 1) Khi đó, ∀n > N có khả * n = k > m1 ⇒ k > m1 ⇒ s k − s < ε * n = 2k + > 2m2 + ⇒ k > m2 ⇒ s 2k +1 = s < ε Vậy ∀ε > 0, ∃N : n > N ⇒ sn − s < ε (đ.p.c.m) b Ví dụ ∞ Xét hội tụ cua chuỗi đan dấu ∑ (−1) n −1 n =1 n Giải un = n→∞ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ dãy (un ) đơn điệu giảm ⇒ (u n ) hội tụ thưeo Leibnitz n tổng s ≤ u1 = c Chú ý Nếu chuỗi (1) thoả Leibnitz hội tụ s chuỗi − (u1 − u2 + u3 − u4 + ) hội tụ -s Như giả thiết định lý Leibnitz thoả chuỗi đan dấu ± (u1 − u2 + u3 − u4 + ) hội tụ tổng s thoả s ≤ u1 d Tính gần tổng chuỗi đan dấu hội tụ Nếu chuỗi đan dấu ± (u1 − u2 + u3 − u4 + ) thoả Leibnitz chuỗi phần dư thứ n u n +1 + u n + + hội tụ theo Leibnitz theo ý ta có: rn ≤ un +1 Theo định lý Leibnitz, ta biết chuỗi đan dấu hội tụ không rõ nhiêu nên nảy sinh vấn đề ước lượng tổng s Ta xem s ≈ sn vấp phải sai số tuyệt đối là: s − sn = rn ≤ un +1 Ví dụ ∞ Trở lại chuỗi ∑ ( −1) n =1 n −1 , ta xem n s ≈ s5 = − + − + ≈ 0,5 + 0.33 − 0,25 + 0,2 ≈ 0,78 Vấp phải sai số tuyệt đối r5 ≤ u6 = ≈ 0,167 Thơng thường ta gặp tốn ngược lại 138 s bao “ Phải chọn n tối thiểu để giá trị gần sn chuỗi đan dấu xác đến δ ( nghĩa sai số tuyệt đối không vượt δ)’’ Áp dụng vào ví dụ trên, ta phải chọn n cho: r5 ≤ u ≤ δ Chẳng hạn δ = 0.001 , n phải thoả 1 ≤ ⇔ n + ≤ 1000 ⇔ n ≥ 999 n + 1000 Vậy, n tối thiểu 999 6.3.2 Chuỗi có dấu Định lý ∞ ∞ Nếu chuỗi số ∑ un hội tụ ∑ u hội tụ n =1 n =1 n Chứng minh ∞ ∞ Gọi sn s’n tổng riêng thứ n chuỗi số ∑ u ∑ un , n =1 n nghĩa sn = u1 + u + u3 + u n n =1 sn/ = u1 + u2 + u3 + un ∞ Trong chuỗi ∑ u , ký hiệu n =1 n s n+ tổng tất số hạng dương n số hạng s − n tổng giá trị tuyệt đối tất số hạng âm n số hạng Ta có / + − sn = sn+ − sn− sn = sn + sn − − + / + Rõ ràng ( sn ) v ( s n ) dãy tăng sn ≤ sn , sn ≤ sn ∞ / (1) / / Theo giả thiết, chuỗi số ∑ un hội tụ ⇒ s n → s sn < s ∀n (2) / / n =1 + − Từ (1) (2) ⇒ sn < s ∀n, sn < s ∀n Suy dãy số / / ( sn+ ) (sn− ) hội tụ (vì tăng bị chặn trên.) Do ( sn ) hội tụ Định nghĩa ∞ ∞ Chuỗi số ∑ u gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi số ∑ un hội tụ n =1 n n =1 Ví dụ 139 sin nx hội tụ tuyệt đối n =1 n ∞ ∑ Giải Ta có sin nx sin nx = ≤ ∀n 3 n n n ∞ mà chuỗi số ∑ n =1 hội tụ ( Chuỗi Riemann với α = > 1) n3 Chú ý ∞ Điều kiện ∑ u n hội tụ điều kiện đủ điều kiện cần để chuỗi số n =1 ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un hội tụ Nghĩa có trường hợp chuỗi số ∑ un hội tụ chuỗi số ∑ un phân n =1 ∞ kỳ, ta nói chuỗi số ∑ un bán hội tụ n =1 Ví dụ ∞ Chuỗi số ∑ ( −1) n −1 n =1 ∞ ∞ 1 bán hội tụ chuỗi số ∑ (−1) n −1 = ∑ chuỗi điều hoà phân n =1 n n =1 n n kỳ Ví dụ Xét tính hội tụ chuỗi số sin n n =1 n ∞ 1) ∑ Ta có | 2) sin n | ≤ , chuỗi cho hội tụ n n + 1⎞ ⎟ ∑ (− 1) ⎜ ⎝ 3n + ⎠ n ⎛ 2n n Ta có n | un | = 2n +1 → < =>Chuỗi cho hội tụ 3n +1 Chú ý ∑ | u n | phân kỳ chưa kết luận chuỗi ∑ u n hội tụ hay phân kỳ Tuy nhiên, dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết ∑ | u n | phân kỳ ∑ u n phân kỳ Nếu chuỗi Thật vậy, từ 140 un +1 > ⇔ un +1 >| un |>| un |> 0, ∀n ≥ n0 > , un không dần 0, tức un un không tiến 0, suy chuỗi phân kỳ Ví dụ en − ( ) ∑ n! n u e( n +1) n ! n+1 e → +∞ Do chuỗi cho phân kỳ n = Ta có n +1 = un ( n + 1)! e n + 2 Trường hợp ∑ | u n ∑ u n gọi bán hội | phân kỳ ∑ u n hội tụ chuỗi tụ Ví dụ ∞ ∑ ( −1) n =1 n −1 bán hội tụ n Bài tập 1) Chứng tỏ chuỗi số sau bán hội tụ a) ∞ ∑ (−1) n−1 n =1 d) ∞ ∑ (−1) n n =1 n+1 n +n+1 b) 2n + n3 + e) ∞ ∑ (−1) n−1 n =1 ∞ ∑ (−1) n n =1 ln n n c) ∞ ∑ (−1) n n =1 2n − f) ∞ ∑ (−1) n =1 2n + n2 + n n n +1 cos nπ n =1 n! ∞ 2) Cho chuỗi số ∑ a) Chứng tỏ chuỗi số hội tụ theo Leibnitz, cịn hội tụ tuyệt đối b) Phải chọn n tối thiểu để sn trị gần tổng chuỗi với độ xác δ = 0,001 6.4 Chuỗi luỹ thừa 6.4.1 Chuỗi hàm Định nghĩa Chuỗi hàm chuỗi ∑u (x) , u ( x) hàm x n n Khi x = xo chuỗi hàm trở thành chuỗi số ∑ u n ( x0 ) Nếu chuỗi số hội tụ điểm xo gọi điểm hội tụ, phân kỳ xo gọi điểm phân kỳ - Tập hợp tất điểm x mà chuỗi hàm hội tụ gọi miền hội tụ chuỗi hàm 141 n - sn ( x) = ∑ uk ( x) : gọi tổng riêng thứ n chuỗi hàm k =1 - Nếu lim sn ( x) = s( x) S(x) gọi tổng chuỗi hàm Trong trường hợp này, rn ( x ) = s ( x ) − sn ( x ) : gọi phần dư thứ n chuỗi hàm Do ta có rn ( x ) = u n +1 ( x) + u n + + Ví dụ ∞ 1) ∑ xn n =0 Chuỗi hội tụ với x thoả |x| < có tổng S ( x) = 1− x Vậy miền hội tụ chuỗi X = (-1; 1) 2) ∑n 3) ∑n Ta có x có miền hội tụ X = (1;+∞) (theo kết chuỗi Riemann biết) cos nx + x2 sin nx 1 , ∀x Mà chuỗi ≤ ≤ n3 + x n3 + x n3 ∞ ∑n n =1 hội tụ nên cos nx hội tụ, ∀x + x2 ∑n Vậy miền hội tụ X = R 6.4.2 Chuỗi hàm hội tụ Định nghĩa Chuỗi hàm ∑ u n ( x) goi hội tụ tới hàm S(x) X, ∀ε > 0, ∃n0 > : n > n0 ⇒ S ( x ) − S n ( x ) = rn ( x ) < ε , ∀x ∈ X Ví dụ Chuỗi ∑ (− 1)n x2 + n hội tụ với x (theo đlý Leibnitz) Ta có rn ( x) ≤ un +1 ( x ) = Như rn ( x ) < 1 < ε ,∀ n > −1 n +1 ε Do ∀ε > 0, lấy n0 > Vậy chuỗi ∑ (− 1)n x +n 1 , ∀x ∈ R < x + n +1 n +1 ε − Khi ∀n ≥ n0 , rn ( x ) < ε , ∀x ∈ R hội tụ R Tiêu chuẩn hội tụ 142 a Định lý (tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm ∑ u n (x ) hội tụ X ∀ε > 0, ∃n : ∀n, p ∈ N * , n ≥ n0 ⇒ un+1 ( x) + + un+ p ( x) < ε , ∀x ∈ X b Định lý (tiêu chuẩn Weierstrass) Nếu có chuỗi số dương ∑an hội tụ cho u n ( x) ≤ a n , ∀n ≥ 1, ∀x ∈ X chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối X Cho chuỗi hàm ∑ u n (x) Chứng minh Rõ ràng chuỗi ∑ u n (x) , ∀x ∈ X hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh) Do chuỗi ∑ u n (x ) hội tụ tuyệt đối Vì chuỗi số ∑ an hội tụ nên ta có u n +1 ( x ) + + u n + p ( x)