Vi tích phân a1 lý thuyết chuỗi

VI TÍCH PHÂN A1 Lý Thuyết chuỗi Giảng viên: Lê Hoài Nhân Ngày 15 tháng năm 2015 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 1/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Chương Lý thuyết chuỗi Chuỗi số Định nghĩa Một số tiêu chuẩn hội tụ Chuỗi hàm Khái niệm Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 2/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Định nghĩa Định nghĩa (Chuỗi số) Một tổng vô hạn số thực u1 + u2 + + un + chuỗi số Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 3/ 31 (1) gọi Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Định nghĩa Định nghĩa (Chuỗi số) Một tổng vô hạn số thực u1 + u2 + + un + chuỗi số (1) gọi un gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 3/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Định nghĩa Định nghĩa (Chuỗi số) Một tổng vô hạn số thực u1 + u2 + + un + chuỗi số (1) gọi un gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng thứ n Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 3/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Định nghĩa Định nghĩa (Chuỗi số) Một tổng vô hạn số thực u1 + u2 + + un + chuỗi số (1) gọi un gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng thứ n Nếu lim Sn = S hữu hạn ta nói chuỗi (1) hội tụ có tổng S n→∞ Khi đó, ta ký hiệu S = ∞ n=1 un Nếu dãy {Sn } giới hạn có giới hạn vô ta nói chuỗi (1) phân kỳ Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 3/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Định nghĩa Định nghĩa (Chuỗi số) Một tổng vô hạn số thực u1 + u2 + + un + chuỗi số (1) gọi un gọi số hạng thứ n hay số hạng tổng quát Sn = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng thứ n Nếu lim Sn = S hữu hạn ta nói chuỗi (1) hội tụ có tổng S n→∞ Khi đó, ta ký hiệu S = ∞ n=1 un Nếu dãy {Sn } giới hạn có giới hạn vô ta nói chuỗi (1) phân kỳ Nếu chuỗi (1) hội tụ S − Sn = ∞ n=1 un − Sn = rn gọi phần dư thứ n chuỗi (1) Khi đó, ta có lim rn = n→∞ Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 3/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Chuỗi hình học Chuỗi hình học chuỗi có dạng ∞ u.q n−1 u + uq + uq + u q n + = (1) n=1 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 4/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Chuỗi hình học Chuỗi hình học chuỗi có dạng ∞ u.q n−1 u + uq + uq + u q n + = (1) n=1 Chuỗi hình học (1) hội tụ |q| < có tổng u S= 1−q Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 4/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Chuỗi hình học Ví dụ Chuỗi + 1 1 + + + + n + chuỗi hội tụ có tổng 2 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 5/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 / 31 Chuỗi lũy thừa Định nghĩa ∞ Chuỗi lũy thừa tâm x0 chuỗi hàm có dạng n=0 an (x − x0 )n Chú ý ∞ Nếu đặt X = x − x0 ta thu chuỗi lũy thừa an X n có tâm n=0 x = Do đó, phát biểu tính chất, miền hội tụ chuỗi lũy thừa phát biểu chuỗi có tâm x = Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 22/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 22 / 31 Chuỗi lũy thừa Định nghĩa ∞ Chuỗi lũy thừa tâm x0 chuỗi hàm có dạng n=0 an (x − x0 )n Chú ý ∞ Nếu đặt X = x − x0 ta thu chuỗi lũy thừa an X n có tâm n=0 x = Do đó, phát biểu tính chất, miền hội tụ chuỗi lũy thừa phát biểu chuỗi có tâm x = Tâm chuỗi lũy thừa điểm hội tụ chuỗi Do đó, miền hội tụ chuỗi lũy thừa khác rỗng Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 22/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 22 / 31 Miền hội tụ Định lý (Định lý Abel) ∞ an x n hội tụ x = x0 = hội tụ tuyệt đối Nếu chuỗi lũy thừa n=0 x thỏa |x| < |x0 | Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 23/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 23 / 31 Miền hội tụ Định lý (Định lý Abel) ∞ an x n hội tụ x = x0 = hội tụ tuyệt đối Nếu chuỗi lũy thừa n=0 x thỏa |x| < |x0 | Hệ ∞ an x n phân kỳ x = x0 phân kỳ Nếu chuỗi lũy thừa n=0 x thỏa |x| > |x0 | Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 23/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 23 / 31 Miền hội tụ Định lý (Sự tồn bán kính hội tụ) ∞ Tồn số r ≥ cho chuỗi lũy thừa an x n hội tụ tuyệt đối x n=0 thỏa |x| < r phân kỳ x thỏa |x| > r Tại x = −r x = r chuỗi hội tụ phân kỳ Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 24/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 24 / 31 Miền hội tụ Định lý (Sự tồn bán kính hội tụ) ∞ Tồn số r ≥ cho chuỗi lũy thừa an x n hội tụ tuyệt đối x n=0 thỏa |x| < r phân kỳ x thỏa |x| > r Tại x = −r x = r chuỗi hội tụ phân kỳ Định lý (Quy tắc tìm Bán kính hội tụ) Giả sử l = lim n→∞ n |an | l = lim n→∞ an+1 Khi đó, an Nếu l = r = ∞ Nếu l = ∞ r = Nếu l hữu hạn khác không r = l Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 24/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 24 / 31 Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tâm Sơ đồ giải Tìm bán kính r hội tụ chuỗi 3 Nếu r = ∞ miền hội tụ chuỗi R Nếu r = miền hội tụ chuỗi X = {0} Nếu < r < ∞ suy khoảng hội tụ chuỗi (−r ; r ) sang bước Khảo sát hội tụ chuỗi hai điểm x = −r x = r Kết luận miền hội tụ chuỗi cho Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 25/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 25 / 31 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa Ví dụ ∞ n=1 ∞ n=1 (−1)n x n 6n − x 2n n.9n Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 26/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 26 / 31 Tính tổng chuỗi lũy thừa Sơ đồ giải Tìm khoảng hội tụ chuỗi Với x thuộc miền hội tụ chuỗi, tùy tính chất số hạng chuỗi ta áp dụng phương pháp thích hợp để suy tổng chuỗi Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 27/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 27 / 31 Tính tổng chuỗi lũy thừa Sơ đồ giải Tìm khoảng hội tụ chuỗi Với x thuộc miền hội tụ chuỗi, tùy tính chất số hạng chuỗi ta áp dụng phương pháp thích hợp để suy tổng chuỗi Ví dụ (Tính tổng chuỗi sau) ∞ S(x) = n=1 ∞ nx n−1 S(x) = n=1 ∞ xn 3n−1 S(x) = n=1 x n−1 n+1 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 27/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 27 / 31 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Định nghĩa Hàm số S(x) gọi khai triển thành chuỗi lũy thừa ∞ an x n hội tụ S(x) khoảng (−r ; r ) tồn chuỗi lũy thừa n=0 khoảng (−r ; r ) Chuỗi lũy thừa gọi chuỗi Maclaurin hàm số S(x) Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 28/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 28 / 31 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Định nghĩa Hàm số S(x) gọi khai triển thành chuỗi lũy thừa ∞ an x n hội tụ S(x) khoảng (−r ; r ) tồn chuỗi lũy thừa n=0 khoảng (−r ; r ) Chuỗi lũy thừa gọi chuỗi Maclaurin hàm số S(x) Định lý Nếu S(x) khai triển thành chuỗi lũy thừa khoảng (−r ; r ) S (n) (0) S(x) khả vi vô hạn lần khoảng (−r ; r ) Hơn an = n! Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 28/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 28 / 31 Chuỗi Maclaurin số hàm số thông dụng Công thức ∞ e = x xn , chuỗi hội tụ với x ∈ R n! n=0 ∞ cos x = (−1)n n=0 ∞ sin x = (−1)n n=0 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () x 2n , chuỗi hội tụ với x ∈ R (2n)! x 2n+1 , chuỗi hội tụ với x ∈ R (2n + 1)! Lý Thuyết chuỗi 29/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 29 / 31 Chuỗi Maclaurin số hàm số thông dụng Công thức = 1+x = 1−x ∞ n=0 ∞ n=0 (−1)n−1 x n , chuỗi hội tụ với x ∈ (−1; 1) x n , chuỗi hội tụ với x ∈ (−1; 1) ∞ ln(1 + x) = (−1)n−1 n=1 ∞ arctan x = (−1)n n=0 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () xn , chuỗi hội tụ với x ∈ (−1; 1) n x 2n+1 , chuỗi hội tụ với x ∈ (−1; 1) 2n + Lý Thuyết chuỗi 30/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 30 / 31 Tính gần chuỗi Maclaurin Ví dụ Tính gần tích phân e −t dt với sai số không vượt 10−4 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 31/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 31 / 31 [...]... () Lý Thuyết chuỗi 6/ 31 1 100 n = 14 99 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 6 / 31 Chuỗi điều hòa Chuỗi điều hòa là chuỗi có dạng 1 1 1 1 + + + + + = 2 3 n Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 7/ 31 ∞ n=1 1 n Ngày 15 tháng 5 năm 2015 7 / 31 Chuỗi điều hòa Chuỗi điều hòa là chuỗi có dạng 1 1 1 1 + + + + + = 2 3 n ∞ n=1 1 n Chuỗi điều hòa là chuỗi phân kỳ Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi. .. nên chuỗi n→∞ Email: lhnhan@ctu.edu.vn () ∞ cos n phân kỳ n=1 Lý Thuyết chuỗi 8/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 8 / 31 Tiêu chuẩn tích phân Định lý Nếu f (x) là hàm số dương, liên tục và giảm trên khoảng [N, ∞), với N là số dương nào đó thì ∞ n=N Email: lhnhan@ctu.edu.vn () ∞ f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ f (n) và N Lý Thuyết chuỗi 9/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 9 / 31 Tiêu chuẩn tích phân Định lý. .. tụ của chuỗi 1 s n=1 n ∞ Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi Email: lhnhan@ctu.edu.vn () 1 2 n=2 n ln n ∞ Lý Thuyết chuỗi 9/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 9 / 31 Tiêu chuẩn So sánh 1 Định lý Xét hai chuỗi số dương ∞ n=1 1 2 Nếu chuỗi Nếu chuỗi ∞ n=1 ∞ ∞ un và n=1 vn thỏa un ≤ vn Khi đó, ∞ vn hội tụ thì chuỗi un hội tụ n=1 un phân kỳ thì n=1 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () ∞ vn phân kỳ n=1 Lý Thuyết chuỗi 10/... sánh 1 Định lý Xét hai chuỗi số dương ∞ n=1 1 2 Nếu chuỗi Nếu chuỗi ∞ n=1 ∞ ∞ un và n=1 vn thỏa un ≤ vn Khi đó, ∞ vn hội tụ thì chuỗi un hội tụ n=1 un phân kỳ thì n=1 ∞ vn phân kỳ n=1 Ví dụ Xét sự hội tụ của chuỗi Email: lhnhan@ctu.edu.vn () n+2 3 n=1 n + 1 ∞ Lý Thuyết chuỗi 10/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 10 / 31 Tiêu chuẩn So sánh 1 Định lý Xét hai chuỗi số dương ∞ n=1 1 2 Nếu chuỗi Nếu chuỗi ∞ n=1... kiện cần Định lý Nếu chuỗi ∞ un hội tụ thì lim un = 0 n=1 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () n→∞ Lý Thuyết chuỗi 8/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 8 / 31 Điều kiện cần Định lý Nếu chuỗi ∞ un hội tụ thì lim un = 0 n=1 n→∞ Hệ quả ∞ Nếu lim un khác 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi n→∞ Email: lhnhan@ctu.edu.vn () un phân kỳ n=1 Lý Thuyết chuỗi 8/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 8 / 31 Điều kiện cần Định lý Nếu chuỗi ∞ un... lhnhan@ctu.edu.vn () ∞ vn hội tụ thì chuỗi n=1 Lý Thuyết chuỗi un hội tụ n=1 11/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 11 / 31 Tiêu chuẩn So sánh 2 Định lý ∞ ∞ un và Xét hai chuỗi số dương n=1 vn và lim n=1 n→∞ un = A Khi đó, vn ∞ 1 2 Nếu 0 ≤ A < ∞ và chuỗi Nếu 0 < A ≤ ∞ và chuỗi Email: lhnhan@ctu.edu.vn () ∞ vn hội tụ thì chuỗi n=1 ∞ un hội tụ n=1 ∞ vn phân kỳ thì n=1 Lý Thuyết chuỗi un phân kỳ n=1 11/ 31 Ngày 15 tháng... hoặc không tồn tại thì chuỗi n→∞ un phân kỳ n=1 Ví dụ 1 n = nên chuỗi n→∞ 3n − 1 3 Vì lim Email: lhnhan@ctu.edu.vn () n phân kỳ n=1 3n − 1 ∞ Lý Thuyết chuỗi 8/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 8 / 31 Điều kiện cần Định lý Nếu chuỗi ∞ un hội tụ thì lim un = 0 n=1 n→∞ Hệ quả ∞ Nếu lim un khác 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi n→∞ un phân kỳ n=1 Ví dụ 1 n = nên chuỗi n→∞ 3n − 1 3 Vì lim n phân kỳ n=1 3n − 1 ∞ Vì... 2015 11 / 31 Tiêu chuẩn So sánh 2 Định lý ∞ ∞ un và Xét hai chuỗi số dương n=1 vn và lim n=1 n→∞ un = A Khi đó, vn ∞ 1 2 3 Nếu 0 ≤ A < ∞ và chuỗi Nếu 0 < A ≤ ∞ và chuỗi Nếu 0 < A < ∞ thì chuỗi ∞ vn hội tụ thì chuỗi n=1 ∞ un hội tụ n=1 ∞ vn phân kỳ thì n=1 ∞ un phân kỳ n=1 ∞ vn và chuỗi n=1 un cùng hội tụ hoặc n=1 cùng phân kỳ Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 11/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015.. .Chuỗi hình học Ví dụ 1 1 1 1 + + + + n + là chuỗi hội tụ và có tổng là 2 2 4 8 2 ∞ 2n ∞ 1 2 n Chuỗi = là chuỗi hội tụ và có tổng là n+1 3 n=0 3 n=0 3 1 1 = 1 3 1 − 32 Chuỗi 1 + Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 5/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 5 / 31 Chuỗi hình học Ví dụ Hãy vi t số thập phân vô hạn x = 0, 14141414 = 0, (14) thành phân số Giải Ta có x = ∞... Nếu c < 1 thì chuỗi hội tụ 2 Nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ 3 Nếu c = 1 thì chưa kết luận được về tính hội tụ của chuỗi Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 13/ 31 Ngày 15 tháng 5 năm 2015 13 / 31 Tiêu chuẩn Cauchy và Tiêu chuẩn D’Alambert Định lý ∞ un với c = lim Xét chuỗi số dương n→∞ n=1 √ n un+1 Khi đó, n→∞ un un hoặc c = lim 1 Nếu c < 1 thì chuỗi hội tụ 2 Nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ 3 Nếu ...Chương Lý thuyết chuỗi Chuỗi số Định nghĩa Một số tiêu chuẩn hội tụ Chuỗi hàm Khái niệm Chuỗi lũy thừa Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Email: lhnhan@ctu.edu.vn () Lý Thuyết chuỗi 2/ 31 Ngày... Định lý Xét hai chuỗi số dương ∞ n=1 Nếu chuỗi Nếu chuỗi ∞ n=1 ∞ ∞ un n=1 thỏa un ≤ Khi đó, ∞ hội tụ chuỗi un hội tụ n=1 un phân kỳ n=1 Email: lhnhan@ctu.edu.vn () ∞ phân kỳ n=1 Lý Thuyết chuỗi. .. () Lý Thuyết chuỗi 16/ 31 Ngày 15 tháng năm 2015 16 / 31 Sự hội tụ tuyệt đối Định lý ∞ ∞ Nếu chuỗi số n=1 |un | hội tụ chuỗi un hội tụ n=1 Hệ Nếu chuỗi ∞ un phân kỳ chuỗi n=1 ∞ n=1 |un | phân