tich phan 12 ly thuyet- bai tap dang cap

H thng bi gii tớch 12 (Phn 1) Đạo hàm I) Định nghĩa đạo hàm: Bài1: Dựa vào định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm x0 đà ra: a) y = x2 + x x0 = x x −1 c) y = x +1 b) y = x0 = x0 = Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau (tại điểm x ∈ R) a) y = x - x b) y = x3 - x + c) y = x3 + 2x c) y = 2x − x −1 Bµi3: TÝnh f'(8) biÕt f(x) = x Bµi4: Cho đờng cong y = x3 Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết: a) Tiếp điểm A(-1; -1) b) Hoành độ tiếp điểm c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = - x +1 12 Bµi5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2) (x + 2004) Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(-1000) II) phép tính đạo hàm: Bài1: Tính đạo hàm hàm sè sau: 1) y = (x − 3x + ) (x − 2x + 5x − 3) 2) y = ( 2x + 1) ( 3x + 2)( 4x + 3) ( 5x + ) (x − 3x + 3x + 1)2 − 2( x − 1) 4) y = ( 2x + 1) + ( 3x + 2) − (x − 4x + 3)3 3) y = 5) y = ( x + 1) ( x + 2) ( x + 3) 7) y = 6) y = 2x − 5x + − 3x + x3 − x 8) y = x + x +1 4 9) y =  2x +  +  + x       x−1  11) y = ( + x ) 10) y = 1 − x 2+x 23 3+x ( x + 1) x2 − x + x + x2 + 1+x −x 12) y = + x 1−x + x2 + − x x + 1+x 13) y = x − 15 x − x − 26 x − 14) y = 15) y = sin[ sin( sin x ) ] 16) y = sin x − cos x sin x + cos x ( ) 1 − x  −x 1+x sin x − cos x e    17) y = 1 − + x  + ln + + x      2    Bµi2: TÝnh đạo hàm hàm số sau: 1) y = x ln x 3) y = 5) y = 2x 2) y = 4) y =  +x      x x +x x x sin x cos x +x x x x + x3 + x4 + x x 47 x III) đạo hàm phía điều kiện tồn đạo hàm: x Bài1: Cho f(x) = + x TÝnh f'(0) Bµi2: Cho f(x) = x x +2 TÝnh f'(0)  − cos x  Bµi3: Cho f(x) =  x  nÕu x ≠ nÕu x = 1) Xét tính liên tục f(x) x = 2) Xét tính khả vi f(x) x = Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = x − x + 3x − Chøng minh f(x) liên tục x = -3 nhng đạo hàm x = -3 ( x + 1) e − x nÕu x > Bài5: Cho f(x) = Tìm a để f'(0)  - x - ax + nÕu x ≤  a cos x − b sin x nÕu x ≤ Bµi6: Cho f(x) =  nÕu x >  ax + b + IV) đạo hàm cấp cao: Bài1: Cho f(x) = Bài2: Cho f(x) = x − 3x + 2 2x + x − − 3x + x − x − 6x + 11x − TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) Bµi3: Cho f(x) = Bµi4: Cho f(x) = 2x + x − x − x − x + 10 3x − x − 11 x − x + 18 Bµi5: Cho f(x) = cosx Bµi6: Cho f(x) = cos(ax + b) Bµi7: Cho f(x) = x.ex Bµi8: Cho f(x) = x ln x Bµi9: Cho f(x) = ln( ax + b ) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) TÝnh: f(n)(x) V) đẳng thức, phơng trình, bất phơng trình với phép toán đạo hàm: Bài1: Cho y = ln CMR: xy' + = ey 1+x Bµi2: Cho y = e −x sin x CMR: y'' + 2y' + 2y = Bµi3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: y + xy' + x2y" = Bµi4: Cho f(x) = sin32x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x Giải phơng trình: f'(x) = g(x) Bài5: Cho f(x) = x +1 ; g(x) = x + 4x ln Gi¶i bÊt phơng trình: f'(x) < g'(x) Bài6: Cho y = x + x x + + ln x + x + 2 CMR: 2y = xy' + lny' IV) dùng đạo hàm để tính giới hạn: Tìm giới hạn sau: 3 2 1) A = lim x + x + − x + x x→ 2) lim + 2x − + 2x 3) lim − 2x + + sin x 4) lim x→0 x x →0 x →0 x − cos x x2 3x + − − x Kh¶o sát hàm số ứng dụng I) Tính đơn điệu hàm số: 1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu: 2) Bài1: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến (-1; 1) Bài2: Tìm m để hµm sè: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến (- ; -1] ∪ [2; + ∞ ) 3 Bµi3: Tìm m để hàm số: y = mx + 2( m − 1) x + ( m − 1) x + m đồng biến (- ; 0) [2; + ) Bài4: Tìm m để hµm sè: y = m−1 x + mx + ( 3m 2) x đồng biến R Bài5: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(m - 1)x2 + 3m(m - 2)x + đồng biến khoảng thoả mÃn: x 2) Phơng pháp hàm số giải toán chứa tham số: Bài1: Cho phơng trình: x2 - (m + 2)x + 5m + = 1) Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn: x > 2) Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn: x > 3) Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn: x < 4) Tìm m để phơng trình có nghiệm (-1; 1) Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x2 - (8a + 1)x + 6a = cã nghiệm (0;1) Bài3: Tìm m để phơng tr×nh: 2x − x − m 2x − x + ( 3m − ) 2x − x =0 cã nghiƯm tho¶ m·n: x Bài4: Tìm m để phơng trình: + x + − x − ( + x )( − x ) = m cã nghiÖm Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + = cã nghiÖm  π 3π  x∈  ;  2  Bài6: Tìm m để phơng trình: [ log x + log x + − 2m − = 3 ] cã Ýt nhÊt mét nghiÖm x 1;3 Bài7: Tìm m để phơng tr×nh sau cã nghiƯm: 1) ( x − 1)( x − 2) (x − 3x + m ) = 2) x − 2mx + ( m + 4) x − 2mx + = Bài8: Tìm a để: 3x = 2x − + ax cã nghiÖm nhÊt 2x − Bài9: Tìm m cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6) ≥ m nghiƯm ®óng víi x Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4 ( − x )( + x ) ≤ x2 - 2x + a - 18 nghiƯm ®óng víi ∀x ∈ [-2; 4] − x + 3x − Bài11: Tìm m để: Bài12: Tìm m để ( m − 1)      2 2x − x − cos x + 21 + sin − ( 2m + 1) 2x − x x + 2m + m4 < ∀x 2x − x ≤ nghiƯm ®óng với x thoả mÃn: x Bài13: Tìm m để bất phơng trình: mx x ≤ m + cã nghiƯm 3) Sư dơng ph¬ng pháp hàm số để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình: Bài1: Giải phơng trình bất phơng trình sau: 1) x + > − 2x + 2) ( log  x − 5x + +  + log x − 5x +     )≤2  3x + 2x < Bài2: Giải hệ bất phơng trình: x 3x + > ()  log x − log x < Bài3: Giải hệ bất phơng trình: 13 x 3x + 5x + >  x = y3 + y2 + y −   Bài4: Giải hệ phơng trình: x = z + z + z −  z= x + x + x −  4) Chøng minh bất đẳng thức: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 24 1) − x < cos x < − x + x n ∀x > n! 2) e x > + x + x + + x ∀x > 0; ∀n ∈ N* ≤ 1-x+ x 3) - x ≤ e −x 4) - x ≤ e −x ≤ +x ∀x ∈ [0; 1] 2 5) ln( + x ) > x − x 1-x+ x 2( + x ) ∀x > 6) ln x < ∀x ∈ [0; 1] x −1 x ∀x > II) cực trị ứng dụng: Bài1: Tìm điểm cực trị hàm số sau đây: 1) y = x3 + 4x2) y = x + 4x + x+2 x −x 3) y = e + e 4) y = x3(1 - x)2 Bài2: Tìm cực trị có hàm số sau (biÖn luËn theo tham sè a) 1) y = x3 - 2ax2 + a2x Bµi3: Chøng minh r»ng hµm sè: y = 2) y = x - + x + 2x + m x2 + a x có cực đại cực tiểu với m giá trị lớn giá trị nhỏ Bài1: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số: 1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 6 + sin x + cos x  π π 3) y = 5cosx - cos5x víi x ∈ − ;  4) y = 4  4 + sin x + cos x Bài2: Cho phơng trình: 12x2 - 6mx + m2 - + 12 m2 =0 Gäi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm Max, Min cña: S = x + x  a2 b2  a b − + 2+ +   b4 a4  b a  b a y x Bµi4: Cho x, y ≥ 0; x + y = T×m Max, Min cđa: S = y + + x + Bµi3: Cho a.b ≠ T×m Min cđa: y = a4 + b4 x y Bµi5: Cho x, y ≥ 0; x + y = T×m Min cđa: S = − x + y Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sè: y = sin6x + cos6x + asinx.cosx IV) tiÖp cận: Bài1: Tìm tiệm cận hàm số: 1) y = 4) y = x + 3x + 2) y = 2x + x − 2+x 3) y = x +1 x −x x ( x − 1) 6) y = x + ( x) Bài2: Tìm tiệm cận hàm số (biện luận theo tham sè m) 1) y = 9−x x2 − x − mx + 5) y = x3 + x + 2) y = x+2 x − 2mx + Bµi3: Cho (C): y = ax + ( 2a + 1) x + a + , a ≠ -1; a ≠ Chøng minh tiệm cận xiên (C) x2 qua điểm cố định Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) = 2x − 3x + x 1) Chứng minh tích khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận không đổi 2) Tìm M (C) để tổng khoảng cách từ M (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ V) Khảo sát vẽ đồ thị: Bài1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 1) y = 2x3 + 3x2 - 2) y = x3 + 3x2 + 3x + 3) y = x3 - 3x2 - 6x + 4) y = -x3 + 3x2 - 4x + 5) y = - x 3 - x2 + 3x - Bài2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 1) y = x4 - 2x2 2) y = -x4 + 2x2 - 3) y = x4 + x +1 10 4) y = − x - x2 + Bài3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 1) y = − 2x − x +1 2) y = 2x + x Bài4: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hµm sè sau: 1) y = x + 3x + 2) y = x 3) y = x + 2x 4) y = − x + 6x + 13 x+2 x −1 x +1 2x + Bài5: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: 4 1) y = x − x − x + 3) y = 5) y = 2x + x + 2) y = 4) y = x +1 x + 2x + 2x − x + 11 x − 4x + x − 9x + 14 x − 15 x + 50 6) y = x + 2x − x 2x + VI) phép biến đổi đồ thị: Vẽ đồ thị hàm số: 1) y = x − x +1 x +1 3) y = x − 3x + x −2 5) y = 7) 2) y = 4) y = x +x x −1 ( y = x −1 x + x − x2 − x + x −2 6) y = ) x − 5x + x −1 x +1 x −1 VII) tiếp tuyến: 1) Phơng trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài1: Cho hàm số: y = x3 - - k(x - 1) (1) 1) T×m k để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành; 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) giao điểm với trục tung Tìm k để tiếp tuyến chắn trục toạ độ tam giác có diện tích Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến (C): y = x + 2x + + cos x t¹i giao điểm đờng cong với trục tung Bài3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + a) Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y = điểm phân biệt C(0; 1), D, E b) Tìm m để tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với  (C) : y = f ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) Bài4: Cho đồ thị (P) : y = g( x ) = 2x + m 1) Tìm m để (C) (P) tiếp xúc với 2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tiếp điểm chung (C) với (P) Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x - 3x2 + 2 1) Gäi t lµ tiÕp tuyÕn cđa (C) t¹i M cã x M = a CMR: hoành độ giao điểm t với (C) nghiệm phơng trình: ( x a ) (x + 2ax + 3a − ) = 2) Tìm a để t cắt (C) P Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm K PQ Bài6: Tìm m để giao điểm (C): y = ( 3m + 1) x − m + m víi trơc Ox tiÕp tun cđa (C) song x+m song víi (∆): y = x - 10 Viết phơng trình tiếp tuyến Bài7: Cho (C) : y = 2x − vµ M thuộc (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận tiếp x tuyến M cắt hai tiệm cận A B 1) CMR: M trung điểm A B 2) CMR: SIAB không đổi 3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ Bài8: Cho (C): y = 2x − 3x + m (m ≠ 0, 1) x m Chứng minh tiếp tuyến giao điểm (C) với Oy cắt tiệm cận đứng điểm có tung độ Bài9: Cho (C): y = − 3x + mx + 4x + m T×m m để tiếp tuyến điểm có hoành độ x = vuông góc với tiệm cận đồ thị (C) Bài10: Cho đồ thị (C): y = x + 2x + x +1 1) §iĨm M ∈ (C) với xM = m Viết phơng trình tiếp tuyến (tm) M 2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0) CMR: có hai giá trị m thoả mÃn yêu cầu toán hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với 3) Gọi I giao điểm hai đờng tiệm cận Tiếp tuyến M với (C) cắt hai đờng tiệm cận A B CMR: M trung điểm AB diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M (C) 2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với ®å thÞ (C): y = x - 3x2 biÕt tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y = x Bµi2: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x - x3 - 3x2 + Tìm m để đồ thị (C) có hai tiÕp tun song song víi ®t: y = mx Bµi3: Cho (C): y = x + 3x + Viết phơng trình tiếp tuyến (C) vuông góc với đờng thẳng x+2 (): 3y - x + = x Bài4: Viết phơng trình tiếp tuyÕn cña (C): y = 2x − 3x − vuông góc với đờng thẳng: y = - 4x + 3 +2 Bài5: Cho đồ thị (C): y = x + 2x − x −1 ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến (C) vuông góc với tiệm cận xiên Chứng minh tiếp điểm trung điểm đoạn tiếp tuyến bị chắn hai tiệm cËn Bµi6: Cho (Cm): y = x4 + mx2 - m - Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A song song với đờng thẳng y = 2x với A điểm cố định (Cm) có hoành độ dơng Bài7: Cho đồ thị (Ca): y = x + 3x + a x +1 T×m a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác góc phần t thứ hệ toạ ®é Bµi8: Cho (C): y = 2x − x + CMR: đờng thẳng y = có điểm cho từ điểm x +1 kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với góc 450 3) Phơng trình tiếp tuyến qua điểm cho trớc đến đồ thị 19 Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến qua A ;4 đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 +    12  Bµi2: Viết phơng trình tiếp tuyến qua A(0; -1) đến (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - Bµi3: Cho hµm sè (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 23 1) Viết phơng trình tiếp tuyến qua A ;−2  ®Õn (C)     2) Tìm đờng thẳng y = -2 điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với Bài4: Cho (C): y = -x3 + 3x + T×m trục hoành điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài5: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x4 - x2 + Tìm điểm A Oy kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C) Bài6: Tìm đờng thẳng x = điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y = 2x + x +1 ViiI) øng dông đồ thị: 1) Xét số nghiệm phơng trình: Bài1: Biện luận theo m số nghiệm phơng trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3 Bài2: Tìm m để phơng trình: x3 - 3x + + m = có nghiệm phân biệt Bài3: Tìm a để phơng trình: x3 - 3x2 - a = có ba nghiệm phân biệt có nghiệm lớn Bài4: Biện luận theo b số nghiệm phơng trình: x4 -2x2 - 2b + = Bµi5: BiƯn ln theo a sè nghiƯm cđa phơng trình: x2 + (3 - a)x + - 2a = so sánh nghiệm với -3 -1 Bài6: Tìm m để 2x +10x −8 = x2 - 5x + m cã nghiÖm phân biệt 2) Sự tơng giao hai đồ thị hàm số: Bài toán số giao điểm Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + cắt đồ thị: y = x + 4x + hai điểm phân biệt x+2 Bài2: Tìm m để ®å thÞ: y = x + 3x + mx + cắt đờng thẳng y = ba điểm phân biệt Bài3: Cho (Cm): y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2) T×m m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dơng Bài4: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - (m2 - 1) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dơng Bài5: Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - (m3 + 1) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm Bài6: Tìm m để (Cm): y = x3 + m(x2 - 1) c¾t Ox điểm phân biệt Bài7: Tìm m để (Cm): y = x - x + m cắt Ox ba điểm phân biệt Bài8: Tìm m để (Cm): y = x3 + 3x2 - 9x + m cắt Ox điểm phân biệt Bài9: Tìm m để (Cm): y = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - m3 - cắt Ox điểm Bài toán khoảng cách giao điểm Bài1: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 4m3 c¾t đờng thẳng y = x ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài2: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x - (2m + 1)x2 - 9x cắt trục Ox ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x - 5x2 + t¹i A, B, C, D phân biệt mà AB = BC = CD 10 3) Các điểm đặc biệt: Bài1: Tìm điểm cố định (Cm): y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) Bµi2: CMR: (Cm): y = (m + 2)x3 - 3(m + 2)x2 - 4x + 2m - cã điểm cố định thẳng hàng Viết phơng trình đờng thẳng qua ba điểm cố định Bài3: CMR: (Cm): y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + cã điểm cố định thẳng hàng Viết phơng trình đờng thẳng qua ba điểm cố định Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y = x 2mx + m + xm Tìm điểm Oy mà đồ thị (Cm) qua Bµi5: Cho hä (Cm): y = x − 2mx + m + xm Tìm điểm Oxy mà đồ thị (Cm) qua Bài6: Cho (Cm): y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx + CMR: trªn Parabol (P): y = x + 14 có điểm mà đồ thị (Cm) qua 2 Bài7: Cho họ đồ thị (Cm): y = x + mx m xm Tìm điểm Oxy có đờng cong họ (Cm) qua Bài8: T×m M ∈ (C): y = x + x − có toạ độ số nguyên x+2 4) quỹ tích đại số: Bài1: Cho (Cm): y = x3 + 3x2 + mx + (C): y = x3 + 2x2 + CMR: (Cm) cắt (C) A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I cđa AB Bµi2: Cho (C): y = x + 4x + đờng thẳng (D): y = mx + x+2 Tìm m để (D) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I AB Bài3: Tìm m để (Cm): y = x − ( 2m + 3) x + có cực đại, cực tiểu tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu x2 Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y = 2 x − ( 2m + 1) x + m − m 2 x + m + 4m + T×m quü tÝch giao ®iĨm cđa (C m) víi c¸c trơc Ox, Oy m thay đổi Bài5: Cho (C): y = x3 - 3x2 đờng thẳng d: y = mx Tìm m để d cắt (C) ba điểm phâm biệt A, O, B Tìm quỹ tích trung điểm I AB Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu y = x + mx − m − x +1 Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng (Cm): y = mx3 - 2(m + 1)x2 + 2(m - 3)x + m - 5) tâm đối xứng, trục đối xứng: 11 Bài1: Tìm m để (C): y = - x m + 3mx2 - Nhận I(1; 0) tâm đối xứng Bài2: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + T×m m để (Cm) có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ Bài3: Tìm (C): y = x + x + cặp ®iÓm ®èi xøng qua I  0;   x Bài4: CMR: đờng thẳng y = x + trục đối xứng đồ thị: y = x x +1 Bài5: Cho hàm số: y = x x Tìm hai điểm A, B nằm đồ thị đối xứng qua đờng thẳng: y = x - 12 Tích phân I) nguyên hàm: 1) Xác định nguyên hàm công thức: x Bài1: CMR hàm số: F(x) = x ln( + x ) nguyên hàm cđa hsè: f(x) = + x Bµi2: CMR hµm sè: y = x a x + a + ln x + x + a 2 víi a nguyên hàm hàm số: f(x) = x + a Bài3: Xác định a, b, c để hàm số: F(x) = (ax + bx + c ) 2x nguyên hµm cđa hµm sè: f(x) = 20x − 30x + 2x Bài4: Tính nguyên hàm sau đây: x 3x 1  1) ∫  x + dx   2) ∫  x +  dx 3) ∫    x 4) ∫(  5) ∫( x ) 7) ∫  x +  dx   9) ∫ (ax ) 10) + b dx 11) ∫ x ( x + a )( x + b ) dx 13) 15) ∫ (2 ∫ x )2 e +e -x ∫ x4 + x−4 + x3 dx 12) ∫ x e x dx − e x dx x )3 x + 23 x dx 8) ∫ x + 4x dx x x dx  x +  dx 6) ∫    x x + ( x - x + ) dx  x4 14) − 2dx ∫ 16) ∫ x-1 dx 17) ∫ x +1 e x + e - x + 2dx e 2-5x + ex dx 18) ∫ - cos2xdx 19) ∫ 4sin x dx + cosx 2) Phơng pháp đặt ẩn phụ: Tính nguyên hàm sau đây: 13 xlnx dx 5) x x + 1dx 9) ∫ ∫ x 1+ x dx x3 x − 2x + 11) ∫ 12) ∫x 15) ∫ x 2x - 1dx ∫ cos x x + x −1 x dx )3 + dx x+4 x − 2x + x dx +1dx 16) ∫ )3 x 2dx dx 2 sin xcos x x dx (x − 4)2 18) ∫ sin x cos xdx 19) ∫ tg xdx 21) 14) ∫ 13) ∫cos xdx e tgx ∫ x − 4x + 2x x +1 ( x + 1) +1 ∫ (e dx dx 10) ∫ x −2 dx xdx 17) ∫ (2x ∫ 8) 3) ∫ 6) ∫ ( 3x + 1) dx 7) 2x − 2) 4) 1) 20) 22) dx ∫ ∫ e x x dx ln 1− x dx 24) ∫ x ln x ln( ln x ) 23) ∫ x 3 + x dx 1+ x dx 1− x 25) ∫ x x - 1dx 3) Phơng pháp nguyên hàm phần: Tính nguyên hàm sau đây: 1) ( 2x + 1) cos xdx 2) ∫ x e x dx 3) ∫ ln xdx 4) ∫ e x sin xdx 5) ∫ cos( ln x ) dx 6) ∫ xe x dx   − dx ln x   ln x 1+ x 9) ∫ x ln  dx 1 − x  8) ∫ e x sin xdx 7) 4) Nguyên hàm hàm hữu tỷ: 14 Bài1: Tính nguyên hàm sau đây: 1) ∫ 3) ∫ 5) ∫ x2 x2 + x 2) x + x+1 dx dx 15) ∫ ∫ x3 − 4x − x (x x7 +1 ) ∫ 8) ∫ dx x2 + x + dx x2 − a2 x2 + x + x − 3x + dx dx x3 − 10) ∫ 12) ∫ 14) dx ∫ 6) x − 3x + x +1 dx (a ≠ 0) 7) ∫ 2 x −a x+1 dx 9) ∫ x −1 x+1 dx 11) ∫ x ( x - 1) 13) ∫ 4) dx ∫ dx x + 4x + dx x + 2x - xdx x − 3x + dx 3x + 3x + Bµi2: 1) Cho hµm sè y = x 3x + a) Xác định số A, B, C ®Ĩ: A y= + B C + ( x − 1) x + ( x 1) b) Tìm họ nguyên hàm hàm y Bài3: a) Xác định số A, B cho 3x + ( x + 1) = A ( x + 1) + B ( x + 1) b) Dựa vào kết để tìm họ nguyên hàm hàm số : f(x) = 3x + ( x + 1) 5) Nguyªn hàm hàm lợng giác: Tính nguyên hàm sau đây: dx 1) 3) ∫ cosx 5) 2) ∫ sin xdx ∫ sin x cos x ∫ 4sinx + 2cosx + dx x 4) ∫ cos x cos dx dx 6) ∫ 15 dx 2 sin x + 2sinxcosx - cos x 7) ∫ cos xdx 8) ∫ tg xdx dx ∫ dx 10) ∫ dx cos x.sin x 13) ∫ sin2x.cos3xdx 12) ∫ 15) ∫ cos x sin xdx 16) ∫ cos xdx 17) ∫ sin xdx 18) ∫ tg xdx 9) 11) cos x cos2x ∫ 19) ∫ sin x.cosxdx sin x dx sin x cos x 14) ∫ cosx.cos2x.sin4xdx 20) ∫ tgx cos x dx 21) ∫ cos x + sin x + cos x 6) Nguyên hàm hàm vô tỷ: Tính nguyên hàm sau đây: dx 1) 3) x dx 2) ∫ x +1 x −1 dx x ( x + 2) ∫ 4) 6) x + dx 5) ∫ x-1 x +1 ∫x ∫ ∫ 7) ∫ dx x+1+3 x+1 8) 9) ∫ − x dx 10) 11) ∫ dx 1- x x+1+2 ( x + 1) − x + dx dx x +1+ x +1 ∫ − 4x − x dx dx − 3x + x − II) tích phân : 1) Dùng phơng pháp tính tích phân: Bài1: Tính tích phân sau: π 2) cos 2x (cos x + sin x )dx ∫ 1) ∫ cos xdx 0 16 π π 4) ∫ x cos x cos 5xdx 3) sin x + cos x + dx ∫ sin x + cos x + 0 π π 5) cos x sin xdx ∫ 6) sin xdx ∫ Bµi2: Cho f(x) = sin x sin x + cos x cos x − sin x  1) T×m A, B cho f(x) = A + B     cos x + sin x  2) TÝnh: I = π ∫ f ( x ) dx Bµi3: Cho hµm sè: h(x) = sin 2x ( + sin x ) 1) Tìm A, B để h(x) = A cos x ( + sin x ) + B + sin x ∫ h( x ) dx 2) TÝnh: I = π Bµi4: Cho hµm sè: f(x) = 4cosx + 3sinx 1) Tìm A, B để g(x) = A.f(x) + B.f'(x) 2) TÝnh: I = ; g(x) = cosx + 2sinx π g( x ) ∫ f ( x ) dx Bài5: Tính tích ph©n sau: 1) ∫ x +1 e 5) ∫ x e x −1 4) ∫ x e x dx e )5 2) ∫ x x − dx 3) ∫ x − x dx ( xdx e 6) ∫ dx 1 + ln x dx x Bài6: Tính tích phân sau: 1) ∫ cos x ( + sin x ) π 3) cos xdx ∫ 5) π ∫ dx π 2) sin x cos xdx ∫ 4) π ∫ tg + sin xdx dx 6) x π 17 dx ∫ + sin x 7) π ∫ 0a dx cos x + b sin x − x2 9) ∫2 x2 8) ∫ − x dx dx π 10) cos xdx + cos 2x Bài7: Tính tích phân sau: π π 1) x (2 cos x − 1)dx ∫ 2) e 2x sin 3xdx ∫ 0 e 2x 3) ∫ ( x + 1) e dx 4) ∫ ( x ln x ) dx π 5) ∫ x ln(x + 1)dx 6) cos x ln( + cos x ) dx ∫ e 9 ln x dx ∫ 7) ( x + 1) 8)  3x + ∫ 0 e x sin ( 2x + 1) +5  dx 4x 2) Tính phân đẳng thức: a Bài1: CMR: Nếu f(x) hàm lẻ liên tục [-a; a] thì: I = f ( x ) dx = −a  VD: TÝnh: I = ∫  ln x + x +   dx      −1 a a Bµi2: CMR: NÕu f(x) lµ hµm chẵn liên tục [-a; a] thì: I = f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx −a a Bµi3: CMR: NÕu f(x) lµ hµm chẵn liên tục R thì: I = a VD: TÝnh: I = ∫ −2 f ( x ) dx b x +1 a = ∫ f ( x ) dx x + 2x + 2x + dx π π π Bµi4: Cho f(x) hàm số liên tục [0; 1] CMR: ∫ xf ( sin x ) dx = ∫ f ( sin x ) dx π VD: TÝnh: I = ∫ x sin x + cos x dx Bài5: (Tổng quát hoá bài4) b a +b b Nếu f(x) liên tục f(a + b - x) = f(x) th× I = ∫ xf ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx a a b Bµi6: NÕu f(x) liên tục f(a + b - x) = -f(x) th×: I = ∫ f ( x ) dx = a 18 π π VD: TÝnh: I = ∫ ln + sin x dx    + cos x  J = ∫ ln( + tgx ) dx π π 0 Bài7: Nếu f(x) liên tục 0;  th×: f ( sin x ) dx = f ( cos x ) dx  2 ∫ ∫   π π n cos xdx VD: TÝnh: I = ∫ cos n sin n xdx J= ∫ x + sin n x cos n x + sin n x a +T T a Bài8: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn víi chu kú T th×: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx VD: TÝnh: I = 2004 π ∫ − cos 2xdx 3) Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Bài1: Cho hàm số: f(x) = 3x3 - x2 - 4x + ; 1) Giải bất phơng trình: f(x) ≥ g(x) g(x) = 2x3 + x2 - 3x - 2) TÝnh: I = ∫ f ( x ) − g( x ) dx −1 Bµi2: TÝnh tích phân sau: 1) x − 2x + xdx 2) ∫ + sin xdx 0 x Bµi3: Cho I(t) = ∫ e − t dx víi t ∈ R 1) Tính: I(t) 2) Tìm minI(t) Bài4: Tính tích phân sau: 1) ∫ x + 2x − dx ( ) 2 2) ∫ x − 4x + + x − 4x dx 0 Bài5: Tính tích phân sau: 1) I = ∫ x − x + 4m dx 2) ∫ x − ( m + 2) x + 2m dx 4) Bất đẳng thức tích phân: Bài1: Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau: π < 1) ∫ 02+x+x 2) dx 2) π < ∫ π π dx 2π In + 2) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hệ In In - 3) Tính In theo n π Bµi2: Cho In = sin n xdx ∫ 1) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hƯ In In - 2) Tính In ¸p dơng tÝnh I11 = ∫ sin 11 xdx ( )n Bµi3: Cho In = ∫ − x dx 1) ThiÕt lËp hÖ thøc liên hệ In In - 2) Tính In n Bµi4: Cho In = ∫ x − xdx 1) ThiÕt lËp hƯ thøc liªn hƯ In In - 2) Tính In Bài5: Tính tích phân sau: 1) In = tg 2n xdx ∫ 2) In = x n cos xdx ∫ 0 III) øng dơng cđa tích phân: 1) Tính diện tích hình phẳng: Bài1: Tính diện tích hình giới hạn đờng sau đây: 1) x = -1; x = 2; y = 0; y = x2 - 2x  y = sin x cos x; y =  2)  π x = 0; x =   20  y = x 3)   x = − y 2  x y = x ; y =  4)  y =  x  x+ y= 5)   x − 2x + y =  y = x − 6)   y = x + Bài2: Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x3 - 3x + (C) 1) ViÕt phơng trình tiếp tuyến (d1) với (C) A có xA = Viết phơng trình tiếp tuyến (d2) với (C) điểm uốn (C) (C), (d1 ) 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: x= (C) 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (d1 )và(d ) Bài3: Cho hµm sè: y = x2 x2 +1 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm b cho diện tích hình phẳng giới hạn (C) đờng thẳng y = 1, x = 0, x = b b»ng π Bài4: Tính diện tích hình phẳng giíi h¹n bëi: 1) ElÝp (E): ElÝp (E1): x2 + a2 x2 a2 + y2 b2 y2 b2 2) Hypebol (H): =1 =1 vµ ElÝp (E2): x2 + b2 y2 c2 =1 Bài5: Tính diện tích phần chung hai ElÝp: (E1): x2 a2 + y2 b2 =1 vµ (E2): x2 b2 + y2 a2 =1 2) TÝnh thÓ tÝch vËt thĨ: 21 x2 a2 − y2 b2 =1 Bµi1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên ta quay quanh Ox hình phẳng giới hạn y = x e x ; y = bëi đờng: x = 0; x = y= Bài2: Gọi (D) miền giới hạn đờng: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo y = 2x x thµnh ta quay D 1) Quanh Ox b) Quanh Oy  y = − 3x + 10 Bµi3: Gäi (D) miền giới hạn đờng: Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc y = 1; y = x tạo thành ta quay D quanh Ox Bài4: Cho miền D giới hạn đờng tròn (C): x2 + y2 = vµ Parabol (P): y2 =2x 1) TÝnh diƯn tÝch S cđa miỊn D 2) TÝnh thĨ tÝch V sinh bëi A quay quanh Ox Bµi5: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh ta quay ElÝp (E): 22 x2 a + y2 b =1 quanh Ox  ... y = 5cosx - cos5x víi x ∈ − ;  4) y = 4  4 + sin x + cos x Bài2: Cho phơng trình: 12x2 - 6mx + m2 - + 12 m2 =0 Gäi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình Tìm Max, Min của: S = x + x  a2 b2  a b −... trình: -4 ( x )( + x ) ≤ x2 - 2x + a - 18 nghiƯm ®óng víi ∀x ∈ [-2; 4] x + 3x Bài11: Tìm m để: Bài12: Tìm m để ( m 1)      2 2x − x − cos x + 21 + sin − ( 2m + 1) 2x − x x + 2m + m4 < ∀x... y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghÞch biÕn (-1; 1) Bài2: Tìm m để hàm số: y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến (- ; -1] [2; + ) 3 Bài3: Tìm m để hµm sè: y = mx + 2( m − 1) x + ( m −