Lý thuyết và bài tập lý thuyết chuỗi

Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 1BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com CHƯƠNG: LÝ THUYẾT CHUỖI*Chú ý:1lim 1nnen  . Dạng tổng quát:1lim 1nnUUneU  1. Chuỗi số.Cho một dãy số vô hạn  1nnU:  1 2 31... ... 1nn nu u u u u      được gọi là một chuỗi số.- u1: được gọi là số hạng đầu.- un: số hạng tổng quát của chuỗi (1).-1 2 3... ...nn S u u u u      gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1).- Chú ý:  Nếu limnnStồn tại và hữu hạn thì ta nói chuỗi (1) hội tụ. Nếu không tồn tại limnnShoặc limnnS thì ta nói chuỗi (1) là chuỗi phân kỳ. Nếu chuỗi (1) hội tụ và limnnSS. Khi đó ta có thể viết 1nnu.- Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ: Định lý 1: Nếu chuỗi số1nnuhội tụ thì lim 0.nnu Định lý 2: (chú ý) Từ định lý (1) ta thấy nếu lim 0nnuthì chuỗi 1nnuphân kỳ.- Các tính chất của chuỗi hội tụ: Nếu chuỗi 1nnuhội tụ và có tổng là S thì chuỗi 1.nnkucũng hội tụ và có tổng là k.S. Nếu chuỗi 1nnuvà 1nnvhội tụ và có tổng lần lượt là S1 và S2thì chuỗi  1nnnuv cũng hội tụ và có tổng là 12 SS .2. Chuỗi số dương.Chuỗi số1nnuđược gọi là chuỗi số dương nếu *0nun   .*) Nhận xét:  nSlà dãy tăng, nếu  nSbị chặn trên. Suy ra  nShội tụ 1nnuhội tụ.(***) Các quy tắc xét sự hội tụ của chuỗi số dương. Định lý 1(Quy tắc so sánh): Cho hai chuỗi số dương 1nnuvà 1nnv. Nếu  *00 nn u v n n n    thì: Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 2BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com - Nếu chuỗi 1nnuhội tụ suy ra 1nnvhội tụ.- Nếu chuỗi1nnvphân kỳ suy ra 1nnuphân kỳ. Định lý 2(Quy tắc tương đương): Cho hai chuỗi số dương 1nnuvà 1nnvvà thỏa mãn lim 0nnnukv. Khi đó hai chuỗi 1nnuvà 1nnvcùng hội tụ và phân kỳ.Chú ý: Chuỗi Riman 11nnhội tụ khi α > 1và phân kỳ khi 1  . Định lý 3(Quy tắc Đalambe): Cho chuỗi số dương 1nnucó 1limnnnuru.- Nếu 1 r thì chuỗi 1nnuhội tụ.- Nếu 1 r thì chuỗi 1nnuphân kỳ.- Nếu 1 r thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi 1nnu. Quy tắc côsi: Cho chuỗi số dương 1nnuvà thỏa mãn điều kiệnlimnnnur.- Nếu 1 r thì chuỗi 1nnuhội tụ.- Nếu 1 r thì chuỗi 1nnuphân kỳ.- Nếu 1 r thì chưa có kết luận về sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi 1nnu.3. Chuỗi số bất kỳ.3.1. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ.*)Định lý 1: Nếu chuỗi 1nnuhội tụ thì chuỗi tổng 1nnuhội tụ.*) Điều kiện cần và đủ để một chuỗi số hội tụ. 1nnuhội tụ khi và chỉ khi: *0 0, : , 0 n m n      ; nm SS  . *) Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: Chuỗi số1nnuđược gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi 1nnuhội tụ. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 3BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com-Chuỗi số 1nnuđược gọi là hội tụ nếu nó hội tụ nhưng 1nnuphân kỳ.3.2. Chuỗi đan dấu. Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng:  11 2 31... ... 1nnn nu u u u u       với *0nun   . Quy tắc Lepnit: Cho chuỗi đan dấu  111nnnu . Nếu dãy (un) giảm và hội tụ về 0 khi n thì chuỗi đan dấu  111nnnu là hội tụ và có tổng 1. Su 4. Chuỗi hàm số.Phương pháp tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số:  Bước 1: Xét  12 0 , ,...nu x x x thay vào chuỗi (1) và xét sự hội tụ của nó. Bước 2: Xét   0nux . Tìm    1limnnnuxrxux.- Nếu   1 rx    ; x a b thì (1) hội tụ.- Nếu   1 rx 12 , ,... xx và thay vào chuỗi (1). Xét sự hội tụ của nó.*) Hội tụ điểm và hội tụ đều.- Hội tụ điểm:  1nnuxđược gọi là hội tụ trên tập X nếu nó hội tụ tại mọi điểm xX . Khi đótổng f(x) là một hàm số xác định trên X và ta viết    1nnS x u x x X   . - Hội tụ đều:  1nnuxđược gọi là hội tụ đều trên X đến S(x) nếu dãy hàm     nSxhội tụ đều trên X, tức là *00 n     sao cho 0nn ta đều có    n S x S x x X     .5. Chuỗi lũy thừa.Chuỗi hàm số có dạng: 0 1 20. ... . ...nn nn na x a a a a x      ( Trong đó: nalà hằng số không phụ thuộc vào x). Được gọi là chuỗi lũy thừa. Định lý 1: (Định lý Abel)- Nếu chuỗi lũy thừa 0.nnnaxhội tụ tại 00 x thì nó hội tụ tại mọi điểm sao cho 0xx .- Nếu chuỗi lũy thừa 0.nnnaxphân kỳ tại 00 x thì nó phân kỳ tại mọi x thỏa mãn 0xx . Định lý 2: (Tìm bán kính hội tụ) Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 4BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Cho chuỗi lũy thừa 0.nnnaxvà 1limnnnala(hoặc limnnnal) thì bán kính hội tụ của nó được xác định: 1000khi llkhi lkhi l     . Tính chất của chuỗi lũy thừa. Định lý 1: Chuỗi lũy thừa 1.nnnaxhội tụ đều trên     ;; a b R R   . Định lý 2: Tổng S(x) của chuỗi lũy thừa 1.nnnaxlà hàm số liên tục trên  ; RR . Định lý 3:    ''''10 0 0. . . . ;n n nn n nn n na x a x n a x x R R             . Định lý 4:  00 . dx . x ;bb nn nn nn aa a x a x d x R R           . Phương pháp tính tổng của một chuỗi:  2011 ... ... 1;1 (*)1nn nx x x x xx          . 231... ... 1;1 (**)1nn nxx x x x x xx          .   '' ''''121 1 11. 1;1 .1 1n n nn n nxn x x x xx x                    10 0 0 0 0 01x x x 1;1 .11 x x x nnn n n nxx d x d d xnx                       Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 5BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.comBÀI TẬP VÍ DỤ CÁC DẠNG 1. Chuỗi số dương.Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:211(1).2nnn- Xét chuỗi 11(2)n nnlà chuỗi số dương.- Chuỗi số (1) là chuỗi số dương.22222211 1. 1 1.1 2lim lim lim lim lim 11 22 2. 1 1nn n n n nnnnu n n n nn nvn nn n n n                     .Do chuỗi (2) hội tụ nên chuỗi (1) cũng hội tụ.2. Áp dụng quy tắc Đalambe.Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi: 1(1)3nnn- Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương.- 11 11 3 . 1 1;3 3 .3nnnn n n nnn u nn uu un     .- 113 . 1 11lim lim lim 1.3 3 3nnnn n nnn u nu n n      .Vậy chuỗi (1) là hội tụ theo tiêu chuẩn Đalambe.3. Áp dụng quy tắc Côsi.Bài 3: Xét sự hội tụ của chuỗi: 211(1)31nnnnn  - Ta có chuỗi (1) là chuỗi số dương vì 2* 1031nn nnun n      -21 1 1 1lim lim lim 1.3 1 3 3e 11nn nn n nn n nnunn          Vậy chuỗi (1) hội tụ theo tiêu chuẩn Côsi.4. Áp dụng quy tắc so sánh.Bài 4: Xét sự hội tụ của chuỗi 21sin1nnn.- Ta có: *2 2 2sin 1111 nnun n n n    mà chuỗi 211nnhội tụ. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 6BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Theo quy tắc so sánh 1nnu hội tụ. Suy ra 21sin1nnnhội tụ.5. Áp dụng quy tắc Lepnit (Chuỗi đan dấu)Bài 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số sau:  111nnn.- Ta có:  111 1 1 11 ...2 3 4nn n     Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu.-11 11 ;1n n n na a a ann     suy ra dãy  nalà dãy giảm.Mà 1lim lim 0nnn an Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theoc tiêu chuẩn Lepnit.6. Áp dụng phương pháp của chuỗi hàm.Bài 6: Xét sự hộ tụ của chuỗi :  11.21nnnxn(1) Trường hợp 1: Nếu0 x .Ta có:    2... 1 .3 5 2 1nnnx x xSxn     . Suy ra     0 0 lim 0 0nn nSS   Với 0 x thì chuỗi (1) hội tụ. Trường hợp 2: Nếu 0 x , ta có:          1 11 1 . 2 1 2 1 2 1lim lim . lim 1 . lim .2 3 2 3 2 3 1n nnn n n n n nnux x n n nx x xn n n ux x              -  1 1 1 1;1 xx      là khoảng hội tụ của chuỗi (1).- Với 1 x suy ra chuỗi (1)    11 11 12 1 2 1nnnn nn  là chuỗi số phân kỳ vì nó tương đương với 11nn.- Với 1 x suy ra chuỗi (1)    111 1 12 1 2 1nn nnn nn  là chuỗi số đan dấu vì 111 2 1 2 3nn aa nn   và 1lim lim 021nnn an  suy ra chuỗi  1121nnnhội tụ theo quy tắc Lepnit.Vậy miền hội tụ chuỗi (1) là:   1;1 .Bài 7: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi: 431(2)43nnxn Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 7BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com  Miền hội tụ: Giải tương tự cách trên ta thấy miền hội tụ của chuỗi (2) là (-1;1). Tính tổng:   1;1 x   ta có:   4341 4441 1 1 0 0 01x x x4 3 1x x x nn nxn n nxS x d x d dnx                                    222 2 2 20 0 0011 1 1 x 1 xx =2 2 2 1 1 1 11 1 1arctan arctan ln 1;12 4 1x x xxxx dd dx x x xxx x xx             Vậy   11arctan ln 1;141xxS x xx    .Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 8BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số: a.11( 1)n nn b.11(1 cos )nn c.111sinnn nd.12342nnnnne.213 ( !)(2 )!nnnnf.112 sin!nnng.2111(1 )5nnnn h.( 1)111nnnnn  i.2217 ( !)nnnnnj.2111(1 )2nnnn k. l. Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số có dấu bất kỳ sau:a.21( 1)2nnnn b.134( 1)21nnnnn   c.211( 1)25nnnnd.21cosnnne.21cos2nnnf.21cos1 nnnn Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:a.21( 2)nnxnb.123nnnnxc.1( 4)nnxnd.11( 1).2nnnnxn  e.211( 2)21nnnnxn   f.221( 5).4nnnxnHƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG PHẦN CHUỖI SỐBài 1: a.1~nn uvnnên chuỗi phân kỳ.b.21~2nn uvnnên chuỗi hội tụ. c.321 1 1~nn uvn n n  nên chuỗi hội tụ.d.33~44nnnn nuvnên chuỗi hội tụ.e. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert134nnuunên chuỗi hội tụ. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.comPage 9BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com f.1~nn uvnmà 10nnvvnên chuỗi 1nnvhội tụ. Vậy 1nnuhội tụ.g. Dùng tiêu chuẩn Cauchy1 1 1(1 )5 5 5nnnue   nên chuỗi hội tụ.h.12111nnnnune   nên chuỗi hội tụ.i.127nnuuenên chuỗi hội tụ.j.11122nnneun   nên chuỗi phân kỳ. Bài 2:a. Xét chuỗi trị tuyệt đối2112n nnnnu Đặt: 21,22 nnn nnvv nên 1nnuhội tụ.21( 1) .2nnnn hội tụ tuyệt đối b. Xét chuỗi 113421nnnnnun     ; 32nnu nên 1nnuphân k.1nnu phân kỳc. Dùng tiêu chuẩn Leibnitz211( 1)25nnnnhội tụd.21nnuv n, mà 211nnhội tụ. Vậy 1nnuhội tụ1nnuhội tụ tuyệt đối.e.1122nn numà 112nnhội tụ. Mà 1nnuhội tụ1nnuhội tụ tuyệt đối.f. Ta có: cos ( 1)nn  dùng tiêu chuẩn Leibnitz21cos1 nnnn hội tụ.Bài 3:a. Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 1 ≤ x ≤ 3.b. Bán kính hội tụ là: R = 3; Miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 n n n           Suy ra chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu. - 11 11 ; 1 n n n n a a a a nn       suy ra dãy   n a là dãy giảm. Mà 1 lim lim 0 n nn a n    Suy ra chuỗi đã cho hội tụ theoc tiêu chuẩn Lepnit. 6. Áp dụng phương pháp của chuỗi hàm. Bài 6: Xét sự hộ tụ của chuỗi :   1 1. 21 n n n x n      (1)  Trường hợp 1: Nếu 0x  . Ta có:     2 1 . 3 5 2 1 n n n x x x Sx n        . Suy ra     0 0 lim 0 0 nn n SS     Với 0x  thì chuỗi (1) hội tụ.  Trường hợp 2: Nếu 0x  , ta có:                 1 1 1 1 . 2 1 2 1 2 1 lim lim . lim 1 . lim . 2 3 2 3 2 3 1 n n n n n n n n n n ux x n n n x x x n n n ux x                     -   1 1 1 1;1xx       là khoảng hội tụ của chuỗi (1). - Với 1x suy ra chuỗi (1)     11 11 1 2 1 2 1 nn nn nn       là chuỗi số phân kỳ vì nó tương đương với 1 1 n n    . - Với 1x  suy ra chuỗi (1)     11 1 1 1 2 1 2 1 nn n nn nn       là chuỗi số đan dấu vì 1 11 2 1 2 3 nn aa nn      và 1 lim lim 0 21 n nn a n     suy ra chuỗi   1 1 21 n n n      hội tụ theo quy tắc Lepnit. Vậy miền hội tụ chuỗi (1) là:   1;1 . Bài 7: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi: 43 1 (2) 43 n n x n      Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Page 7 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com  Miền hội tụ: Giải tương tự cách trên ta thấy miền hội tụ của chuỗi (2) là (-1;1).  Tính tổng:   1;1x   ta có:     43 41 44 4 1 1 1 0 0 0 1 x x x 4 3 1 x x x n n n x n n n x S x d x d d nx                                          22 2 2 2 2 0 0 0 0 11 1 1 x 1 x x = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 arctan arctan ln 1;1 2 4 1 x x x x xx dd d x x x x x x x x x                    Vậy     11 arctan ln 1;1 41 x x S x x x        . Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Page 8 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xét sự hội tụ của các chuỗi số: a. 1 1 ( 1) n nn     b. 1 1 (1 cos ) n n     c. 1 11 sin n n n    d. 1 23 42 nn n n n      e. 2 1 3 ( !) (2 )! n n n n    f. 1 1 2 sin ! n n n       g. 2 1 11 (1 ) 5 n n n n     h. ( 1) 1 1 1 nn n n n          i. 2 2 1 7 ( !) n n n n n    j. 2 1 11 (1 ) 2 n n n n     k. l. Bài 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số có dấu bất kỳ sau: a. 2 1 ( 1) 2 n n n n     b. 1 34 ( 1) 21 n n n n n          c. 2 1 1 ( 1) 25 n n n n       d. 2 1 cos n n n     e. 2 1 cos 2 n n n    f. 2 1 cos 1 n n nn      Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau: a. 2 1 ( 2) n n x n     b. 1 23 n nn n x     c. 1 ( 4) n n x n     d. 1 1 ( 1) .2 n n n n x n       e. 2 1 1 ( 2) 21 n n n n x n          f. 2 2 1 ( 5) .4 n n n x n     HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG PHẦN CHUỖI SỐ Bài 1: a. 1 ~ nn uv n  nên chuỗi phân kỳ. b. 2 1 ~ 2 nn uv n  nên chuỗi hội tụ. c. 3 2 1 1 1 ~ nn uv n n n    nên chuỗi hội tụ. d. 33 ~ 44 n n nn n uv     nên chuỗi hội tụ. e. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert 1 3 4 n n u u   nên chuỗi hội tụ. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Page 9 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com f. 1 ~ nn uv n  mà 1 0 n n v v   nên chuỗi 1 n n v    hội tụ. Vậy 1 n n u    hội tụ. g. Dùng tiêu chuẩn Cauchy 1 1 1 (1 ) 5 5 5 n n n u e     nên chuỗi hội tụ. h. 1 2 11 1 n n n n u ne        nên chuỗi hội tụ. i. 1 2 7 n n u ue   nên chuỗi hội tụ. j. 11 1 22 n n n e u n       nên chuỗi phân kỳ. Bài 2: a. Xét chuỗi trị tuyệt đối 2 11 2 n n nn n u     Đặt: 2 1 , 22 n nn n n vv nên 1 n n u    hội tụ. 2 1 ( 1) . 2 n n n n     hội tụ tuyệt đối b. Xét chuỗi 11 34 21 n n nn n u n          ; 3 2 n n u  nên 1 n n u    phân k. 1 n n u     phân kỳ c. Dùng tiêu chuẩn Leibnitz 2 1 1 ( 1) 25 n n n n       hội tụ d. 2 1 n n uv n  , mà 2 1 1 n n    hội tụ. Vậy 1 n n u    hội tụ 1 n n u     hội tụ tuyệt đối. e. 11 22 n n n u     mà 1 1 2 n n       hội tụ. Mà 1 n n u    hội tụ 1 n n u     hội tụ tuyệt đối. f. Ta có: cos ( 1) n n   dùng tiêu chuẩn Leibnitz 2 1 cos 1 n n nn      hội tụ. Bài 3: a. Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 1 ≤ x ≤ 3. b. Bán kính hội tụ là: R = 3; Miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x <3. c. Bán kính hội tụ là: R = 1; Miền hội tụ của chuỗi là: 3 ≤ x <5. d. Bán kính hội tụ là: R = 2; Miền hội tụ của chuỗi là: -2 < x ≤2. e. Đặt: 2 ( 2)Xx chuỗi đã cho trở thành chuỗi 1 1 . 21 n n n n X n         Bán kính hội tụ là R = 2 Miền hội tụ của chuỗi là: 2 2 2 2x    f. Đặt 2 ( 5)Xx , chuỗi đã cho trở thành chuỗi 2 1 1 4 n n n X n     Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Page 10 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com Bán kính hội tụ là R = 2 Miền hội tụ của chuỗi là: -7≤ x ≤ -3 Hết . tụ và có tổng là k.S.  Nếu chuỗi 1 n n u    và 1 n n v    hội tụ và có tổng lần lượt là S 1 và S 2 thì chuỗi   1 nn n uv     cũng hội tụ và có tổng là 12 SS . 2. Chuỗi. Lý thuyết chuỗi Blog: www.caotu28.blogspot.com Page 5 BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com BÀI TẬP VÍ DỤ CÁC DẠNG 1. Chuỗi số dương. Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số. thì ta nói chuỗi (1) là chuỗi phân kỳ.  Nếu chuỗi (1) hội tụ và lim n n SS   . Khi đó ta có thể viết 1 n n u    . - Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ:  Định lý 1: Nếu chuỗi số 1 n n u   