GIẢI TÍCH 12 I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : 2) Các quy tắc tính đạo hàm : a , , (Đạo hàm của hàm số hợp ) 3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp ( ) 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : TXĐ : Tính đạo hàm ; giải phương trình tìm Tính giới hạn :nếu ; ; nếu ; , Lập bảng biến thiên ( xét dấu ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số. Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng . Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: Nếu Nếu Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt + Hàm số có hai cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn Nếu phương trình có nghiệm kép + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn Nếu phương trình vô nghiệm + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương : TXĐ : Tính đạo hàm ; giải phương trình tìm Tính giới hạn : nếu ; ; nếu ; Lập bảng biến thiên (xét dấu ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục . Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: Nếu Nếu Nếu phương trình có 3 nghiệm phân biệt . + Hàm số có ba cực trị Nếu phương trình có 1 nghiệm + Hàm số có không có cực trị c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức : , TXĐ : , nếu Tính đạo hàm , nếu Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : ; là tiệm cận ngang Nếu thì và Nếu thì và Lập bảng biến thiên : + + Nếu Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng và không có cực trị . Nếu Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng và không có cực trị . Cho điểm đặc biệt : + Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho + Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho Vẽ đồ thị : + Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . + Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm . +Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua . Các dạng đồ thị của hàm phân thức : , 5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số : a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình cho trước Cách giải : + Đưa phương trình về dạng : , trong đó là đồ thị đã vẽ và là đường thẳng song song hoặc trùng với trục . + Số nghiệm của phương trình là số hoành độ giao điểm của đồ thị và + Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào và của hàm số để biện luận . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm có dạng : . Thế đã cho hoặc vừa tìm vào ta được tiếp tuyến cần tìm. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số có dạng : Gọi là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên , giải phương trình tìm được .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : Gọi là tọa độ tiếp điểm . + Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng thì , giải pt tìm được . Kết luận phương trình tiếp tuyến . + Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng thì . Giải phương trình này tìm được . Kết luận phương trình tiếp tuyến . e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn : Cách giải : + Tính , giải phương trình tìm nghiệm ; Tính các giá trị : ; ; + Kết luận : ; f) Tìm tham số để hàm số có cực trị (cực đại, cực tiểu ): Cách giải : + Tính đạo hàm , tính hoặc của . + Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt g) Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại : Cách giải : + Tính đạo hàm ; + Hàm số đạt cực trị tại h) Tìm tham số để hàm số đạt cực đại tại : Cách giải :+ Tính đạo hàm ; + Tính đạo hàm ; + Hàm số đạt cực đại tại i) Tìm tham số để hàm số đạt cực tiểu tại : Cách giải : + Tính đạo hàm ; + Tính đạo hàm + Hàm số đạt cực tiểu tại k) Tìm tham số để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ của nó. Cách giải : + Tìm MXĐ của hàm số . + Tính đạo hàm , tính hoặc của . + Hàm số đồng biến trên + Hàm số nghịch biến trên l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số + Viết phương trình đường thẳng Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba +Tính y’. Viết lại .Gọi lần lượt là hai điểm cực trị, ta có . + Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là . Cho hàm số hữu tỷ , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là . II . LŨY THỪA, LÔGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Tính chất của lũy thừa: Với và với các số nguyên m, n ta có: 1. ; 2. ; 3. 4. ; 5. Cho là những số nguyên: Với thì ; Với thì 2. Lôgarit: 1. Định nghĩa: 2. So sánh hai logarit cùng cơ số a. Khi thì b. Khi thì 3. Các quy tắc tính lôgarit: 4. Với số dương khác 1, số dương và số nguyên dương , ta có: ; ; ; 5. Với là số dương khác 1 và là số dương, ta có: hay 3. Gỉai phương trình mũ và lôgarit : • Daïng cô baûn: 1. = f(x) = g(x) ; 2. = b ( vôùi b > 0 ) f(x) = log b 3. log f(x) = log g(x) 4. f(x) = ; • Ñaët aån phuï : 1. +. + = 0 ; Ñaët : t = , t > 0; 2. +. + = 0 ; Ñaët : t = , t > 0 • Lôgarit hoaù hai veá : 4. Giải bất phương trình mũ và lôgarit 1. > ; 2. > b Neáu b > 0 f(x) > log b neáu a > 1; f(x) < log b neáu 0 < a < 1 4. log f(x) > log g(x) () Ñk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a 1 . a>1, () f(x) > g(x) ; 0 1 : bpt laø f(x) > . Neáu 0 < a < 1 bpt laø 0 < f(x) < 5. Đồ thị hàm số mũ lôgarit III .NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 1. Nguyên hàm Công thức nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Một số công thức mở rộng 1. ; 2. 3. ; 4. 5. ; 6. 7. 8. 9. , 10. 11. ; 12. 13. 14 15. 16. 17. 2. Tích phân a. Tính chất: Giả sử các hàm số liên tục trên và là ba số bất kì thuộc . Khi đó ta có: 1. 2. 3. 4. 5. ( với ) b Phương pháp đổi biến số: Trong đó: có đạo hàm liên tục trên , hàm số liên tục và sao cho hàm hợp xác định trên ; và là hai số thuộc . c Phương pháp tích phân từng phần: Hay Trong đó các hàm số có đạo hàm liên tục trên và là hai số thuộc d Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: là + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: là e Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: quay quanh trục hoành là: + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: quay quanh trục tung là: IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC. A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ) 1 Số i: qui ước ; Tập số phức: ; 2 Số phức dạng đại số : z = ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo ) 3 Số phức bằng nhau: Cho : 4 Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức : 5 Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho a ; b ; c 6 Số phức liên hợp của là: ( Chú ý: ) 7 Môđun của số phức : ; 8 Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số: 9 Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn được gọi là một căn bậc hai của w. a w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0 + : có 2 căn bậc hai là ; + : có 2 căn bậc hai là . Chú ý: Hai căn bậc hai của 1 là i và i b w là số phức: : là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: Do nên Mỗi cặp số thực nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z = của số phức w. 10 Phương trình bậc hai: là những số phức). Xét + Nếu , (1) có 2 nghiệm phân biệt: ,(với là một căn bậc hai của ) + Nếu , (1) có nghiệm kép: Chú ý: Nếu là số thực dương, (1) có 2 nghiệm: . Nếu là số thực âm, (1) có 2 nghiệm: . B. SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG 1 Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z, một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng: 2 Dạng lượng giác của số phức: , ( trong đó ; một acgumen của z ) 3 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác: Nếu Thì ; 4 Công thức Moavrơ và ứng dụng: a Công thức Moavrơ: b Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: có 2 căn bậc 2 là: ; HÌNH HỌC 12 I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Khối chóp: Thể tích Sđ .h , với h: chiều cao, : diện tích đáy. 2. Khối lăng trụ: Thể tích Sđ . h ,với h là chiều cao, là diện tích đáy 3. Khối nón: 4. Khối trụ: Diện tích hình tròn: (với R là bk) Chu vi đường tròn: Diện tích xung quanh của hình trụ: ( với h là chiều cao và h= l là đường sinh) Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp= Sxq + 2Sđ Thể tích của khối trụ: Sđ .h 5. Khối cầu: a. Diện tích mặt cầu: ; b. Thể tích khối cầu: 6. Diện tích các đa giác cần nhớ: a. vuông ở A : ; b. đều cạnh a: diện tích ; đường cao: c. Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh; d. Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng e. Diện tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn); f. Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao g. Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao; h. Diện tích hình tròn : II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: TỌA ĐỘ VECTƠ TỌA ĐỘ ĐIỂM 3.Nếu điểm chia đoạn AB ; 4. Nếu là trung điểm theo tỉ số thì của đoạn AB thì: 5. Nếu là trọng tâm ; 6. Nếu là trọng tâm của tam giác ABC thì : tứ diện ABCD thì: BÀI 2: TÍCH VÔ HƯỚNG – TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG. Cho 1. Tích vô hướng của hai vectơ: là một số thực; 2. Độ dài vectơ: 3. ; (khoảng cách giữa hai điểm A và B) 4.Bình phương vô hướng: 5.Góc giữa hai vectơ: Gọi là góc giữa hai vectơ và thì 6.Tích có hướng của hai vectơ: +Định nghĩa: là một vectơ. +Tính chất: +. ; +. cùng phương với khi và chỉ khi +. ( là góc giữa hai vectơ và ) 7.Diện tích tam giác ABC là: 8.Ba vectơ , , đồng phẳng khi và chỉ khi: Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi: 9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’: ( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ đỉnh A) 10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là: BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là: Hay 2. Phương trình của các mặt phẳng tọa độ: + Mặt phẳng (Oxy): z = 0; + Mặt phẳng (Oyz): x = 0; + Mặt phẳng (Oxz): y = 0 Chú ý: mp . Nếu thì BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. Phương trình đường thẳng: Đường thẳng d đi qua và có vectơ chỉ phương . Khi đó: a. Phương trình tham số của đường thẳng d: b. Phương trình chính tắc của đường thẳng là: BÀI 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng: Cho 2 mp + cắt ( Hai vectơ không cùng phương ). + + 2. VTTĐ giữa hai đường thẳng: PP1: Bước 1: Giải hệ pt hai đường thẳng d1 và d2: + Hệ có 1 nghiệm d1 cắt d2; + Hệ có vô số nghiệm d1 d2; + Hệ vô nghiệm ta có bước 2: Bước 2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 +Nếu cùng phương thì d1 d2¬ ; + Nếu kh ông cùng phương thì d1 chéo d2 PP2: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 TH1: Nếu cùng phương th ì ta tìm + Nếu ; + Nếu TH2: Nếu không cùng phương thì ta tìm v à + Nếu d1 cắt d2; + Nếu d1 và d2 chéo nhau. Ghi chú: 1.Đường thẳng 2.Để chứng minh d1 và d2 chéo nhau ta chứng minh: 3. Vị trí giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ a. ; b. ; c. cắt Chú ý: BÀI 6: KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ điểm đến mp là: 2. Một số dạng toán về khoảng cách: a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng đi qua điểm có vectơ chỉ phương : b.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và . đi qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương ; đi qua điểm M2 và có vectơ chỉ phương là: c.Cho đường thẳng thì , với d.Cho mp thì , với e.Chiều cao h của hình chóp S. ABCD: BÀI 7: GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng và lần lượt có các vectơ chỉ phương là . Gọi . Chú ý: 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đhẳng có VTCP và mp có VTPT ( l à góc giữa đường thẳng và mp ( )) 3. Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mp có VTPT và có vectơ pháp tuyến là: BÀI 8: MẶT CẦU a. Phương trình mặt cầu (S): 1. Dạng 1: Mặt cầu (S) tâm ; bán kính R có pt là: 2. Dạng 2: Pt , tâm , bán kính b. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S): và mp • Nếu thì mp không cắt mặt cầu (S). • Nếu thì mp tiếp xúc mặt cầu (S) tại H ( tại H). Mặt phẳng được gọi là tiếp diện của (S) tại H. • Nếu thì mp cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình là Đường tròn (C) được gọi là đường tròn giao tuyến. • Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I trên mp . LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH 11 I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ: 1. Các hệ thức cơ bản: 2. Công thức biểu diễn theo tanx: 3. Các cung liên kết: a. Cung đối: và b. Cung bù: và c. Cung phụ: và d. Cung sai kém nhau : và e. Cung hơn kém nhau : và 4. Bảng giá trị lượng giác của cung và góc đặc biệt: 1 0 0 PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC 1. Phöông trình löôïng giaùc cô baûn: 2. Phương trình lượng giác đặc biệt: sin u = sin v ( k Z ) 1. sin u = 1 ; 2. sin u = 1 ; 3. ( k Z ) cos u = cos v ( k Z ) 4. cosu = 1 ; 5. cos u = 1 ; 6. ( k Z ) tanu = tanv u = v + k ( k Z ) 7. tan u = 1 ; 8. tan u = 1 ; 9. ( k Z ) cotu = cotv u = v + k ( k Z ) 10. cot u = 1 ; 11. cot u = 1 ; 12. ( k Z ) 3. Phöông trình baäc hai , bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Đặt ẩn phụ: , điều kiện: ; Đặt ẩn phụ: , điều kiện: ; 4. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx: acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2 0. Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: . Caùch giải : chia hai vế phương trình cho , đưa pt về dạng :sin u = sin v hoặc cos u = cos v 5. Phöông trình ñaúng caáp bậc hai đối với sinx vaø cosx : asin2x + bsinx cosx + c.cos2x = 0 . + Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . +Xeùt chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx, pt trở thành pt 6. Phöông trình đối xứng : a( sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0 . a) Ñaët t = sinx + cosx = , ñieàu kieän khi ñoù sinx.cosx = Ta ñöa phöơng trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai hoặc bậc 3 theo t . Gỉai chọn t, suy ra nghiệm x. b) Phöông trình coù daïng :a( sinx cosx ) + bsinxcosx + c = 0 . Ñaët t = sinx – cosx = , ñieàu kieän khi ñoù sinx.cosx = . Ta giải tương tự 6a). 7. Phương trình tích: A.B.C = 0 ; 8. Tổng các bình phương: HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP NHỊ THỨC NIUTƠN. XÁC SUẤT 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n = 1.2.3…n; 0=1 = 1. 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: + ; + 4. Khai triển nhị thức Niutơn: Nhận xét: + Trong khai triển nhị thức Niuton ( a+b)n có n + 1 số hạng. + Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. + Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. + Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: + ; + . 5. XAÙC SUAÁT 1. Bieán coá Khoâng gian maãu : laø taäp caùc keát quaû coù theå xaûy ra cuûa moät pheùp thöû. Bieán coá A: laø taäp caùc keát quaû cuûa pheùp thöû laøm xaûy ra A. A . Bieán coá khoâng: ; Bieán coá chaéc chaén: ; Bieán coá ñoái cuûa A: ; Hôïp hai bieán coá: A B .Giao hai bieán coá: A B (hoaëc A.B); Hai bieán coá xung khaéc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.A B = Hai bieán coá ñoäc laäp: neáu xác suất xaûy ra bieán coá naøy khoâng aûnh höôûng ñeán xác suất xaûy ra của bieán coá kia. 2. Xaùc suaát Xaùc suaát cuûa bieán coá: P(A) = = ; 0 P(A) 1; P() = 1; P() = 0 (Với n(A): là số trường hợp thuận lợi để biến cố A xảy ra; n( ) là số trường hợp đồng khả năng của không gian mẫu) Xác suất của biến cố đối: P( ) = 1 – P(A); Qui taéc coäng: nếu A B = thì P(A B) = P(A) + P(B). Vôùi A, B baát kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B); Qui taéc nhaân: Neáu A, B ñoäc laäp thì P(A.B) = P(A). P(B) (Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng: . Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân: ) ĐẠI SỐ 10 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC, CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0) (1) , ta có: = b2 – 4ac > 0 , = 0 Nghiệm kép < 0 Vô nghiệm Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 () có 2 nghiệm x1 , x2 (a 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó thỏa: Hệ thức Viét: Chú ý: + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình () có nhiệm x1 = 1 và x2 = + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình () có nhiệm x1 = 1 và x2 = Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x2 – S.x + P = 0 2 .PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN a ; b 3 .BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN a ; b ; c 4 .PHÖÔNG TRÌNH COÙ DAÁU GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI a ; b ; 5.BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA GIAÙ TRÒ TUYEÄT ÑOÁI a ; b ; c 6. a. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) Cho hai số không âm . Ta có: . Dấu “=” xảy ra khi a = b. b. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .Từ định nghĩa suy ra: với mọi ta có: |x| 0; |x|2 = x2; x |x| và x |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta có: |a + b| |a| + |b| (1); |a – b| |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b 0 HÌNH HỌC 10 I. PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG MAËT PHAÚNG Baøi 1. VECTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ 1. Điểm . 2. Cho A( xA, yA ), B( xB, yB ); a. ; b. ; c. Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa AB : d. Toïa ñoä ñieåm M chia AB theo tæ soá k 1 : 3.Pheùp toaùn : Cho , a. ; b. ; c. ; d. e. ; f. ; g. Baøi 2 . ÑÖÔØNG THAÚNG 1. Phöông trình tham soá : , vectô chæ phöông laø: 2. Phöông trình toång quaùt : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 0) a. Vectô phaùp tuyeán: ; b. Vectô chæ phöông laø: ( hay ) c.Heä soá goùc cuûa ñöôøng thaúng laø 3. Phöông trình ñöôøng thaúng qua M( x0, y0) coù heä soá goùc k : 4. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A(xA, yA) vaø B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) hay 5. Phöông trình ñöôøng thaúng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( ñoïan chaén): 6. Phöông trình chính taéc : 7. Khoaûng caùch töø moät ñieåm M(x0, y0) ñeán ñöôøng thaúng Ax + By + C = 0 laø 8. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng : d1: A1x + B1y + C1 = 0, d2: A2x + B2y + C2 = 0 + d1 caét d2 ; + ; + 9. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2 : Xaùc ñònh bôûi coâng thöùc : 10. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc taïo bôûi d1 vaø d2 : : Daáu cuûa Phöông trình ñöôøng phaân giaùc goùc nhoïn taïo bôûi d1, d2 Phöông trình ñöôøng phaân giaùc goùc tuø taïo bôûi d1, d2 – t1 = t2 t1 = – t2 + t1 = – t2 t1 = t2 Baøi 3. ÑÖÔØNG TROØN 1. Ñònh nghóa : M ( C ) OM = R 2. Phöông trình ñöôøng troøn taâm I( a, b) baùn kính R : Daïng 1 : (C) Daïng 2 : , coù taâm I(a;b), baùn kính 3. Phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi M( x0, y0) (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Daïng 1) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Daïng 2) 4 Điều kiện để đường thẳng (D): ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn( C) là : khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến đường thẳng (D) chính bằng bán kính đường tròn: Baøi 4. ELIP PT chính taéc Lyù thuyeát Truïc lôùn, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b Truïc nhoû, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a Lieân heä a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2 Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Ñænh A1,2( ± a, 0); B1,2(0, ± b) A1,2( ± a, 0); B1,2(0, ± b) Taâm sai Ñöôøng chuaån Baùn kính qua tieâu MF1 = a + ex; MF2 = a – ex MF1 = b + ey; MF2 = b – ey Pt tieáp tuyeán taïi M(x0 , y0) Pt hình chöõ nhaät cô sôû Ñieàu kieän tieáp xuùc vôùi Ax + By + C = 0 A2a2 + B2b2 = C2 A2a2 + B2b2 = C2 Baøi 5. HYPEBOL PT chính taéc Lyù thuyeát Truïc thöïc, ñoä daøi Ox, 2a Oy, 2b Truïc aûo, ñoä daøi Oy, 2b Ox, 2a Lieân heä a, b, c c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 Tieâu ñieåm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Ñænh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) Taâm sai Ñöôøng chuaån Tieäm caän Baùn kính qua tieâu M nhaùnh phaûi: MF1 = ex + a; MF2 = ex – a M nhaùnh traùi:MF1 = – ex a; MF2 = – ex + a M nhaùnh phaûi: MF1 = ey +b; MF2 = ey – b M nhaùnh traùi:MF1 = – ey – b; MF2 = – ey+b Pt tieáp tuyeán taïi M(x0 , y0) Ñkieän tieáp xuùc vôùi Ax + By + C = 0 A2a2 – B2b2 = C2 B2b2 – A2a2 = C2 Baøi 6. PARAPOL Pt chính taéc Lyù thuyeát y2 = 2px y2 = – 2px y2 = 2py y2 = – 2py Tieâu ñieåm Ñöôøng chuaån Ñieàu kieän tieáp xuùc vôùi Ax + By + C = 0 B2p = 2AC B2p = – 2AC A2p = 2BC A2p = – 2BC II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. Tam giaùc thöôøng ( caùc ñònh lyù) Ñònh lí haøm soá Cosin Ñònh lí haøm soá Sin Ñònh lí haøm soá Tan Caùc chieáu Ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán Ñoä daøi ñöôøng phaân giaùc Dieän tích tam giaùc thường 1. ; 2. 2. ; 4. 5. 1. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = ; b) S = c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 2. Tam giác vuông: S = ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 3. Tam giác vuông cân a) S = a2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) ; b) Cạnh huyền bằng a 4. Tam giác cân: S = (h: đường cao; a: cạnh đáy) 5. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) 6. Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo) 7. Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 8. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 9. Đường tròn: a) C = 2 R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn) Chuù yù: 1. với rlà bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác. 2. Vôùi a, b, c :caïnh tam giaùc; A, B, C: goùc tam giaùc; ha: Ñöôøng cao töông öùng vôùi caïnh a; ma:Ñöôøng trung tuyeán veõ töø A 3.R, r :Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi, noäi tieáp tam giaùc, là nửa chu vi tam giaùc. B. Heä thöùc löôïng tam giaùc vuoâng: 1. ; 2. ; 3. ; 4. hay ; 5. ; 6. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi sắp tới
Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT GIẢI TÍCH 12 I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : ( ) 0 / = C ( ) 1 / = x ( ) x x 2 1 / = ( ) 1 / − = nn nxx 2) Các quy tắc tính đạo hàm : ( ) // / vuvu +=+ a ( ) // / . uvvuvu += 2 // / v uvvu v u − = // ukuk = , Rk ∈ 2 / / 1 v v v −= 2 / / . v v k v k −= ( ) /// / uvwwuvvwuwvu ++= 2 / 11 x x −= ( ) 2 / dcx bcad dcx bax + − = + + k u k u / / = , Rk ∈ xux uyy /// .= (Đạo hàm của hàm số hợp ) 3)Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp ( ( ) xuu = ) ( ) 1 / . − = αα α xx ( ) /1 / uuu − αα α 2 / 11 x x −= 2 / / 1 v v v −= ( ) x x 2 1 / = ( ) u u u 2 / / = ( ) xx cossin / = ( ) uuu cos.sin / / = ( ) xx sincos / −= ( ) uuu sin.cos / / −= ( ) x x x 2 2 / tan1 cos 1 tan +== ( ) ( ) uu u u u 2/ 2 / / tan1 cos tan +== ( ) ( ) x x x 2 2 / cot1 sin 1 cot +−=−= ( ) ( ) uu u u u 2/ 2 / / cot1. sin cot +−=−= ( ) / x x e e = ( ) / / . u u e u e = ( ) aaa xx ln. / = ( ) auaa uu ln / / = ( ) x x 1 ln / = ( ) u u u / / ln = ( ) ax x a ln. 1 log / = ( ) au u u a ln. log / / = 4) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số : a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba : dcxaxaxy +++= 23 ( ) 0 ≠ a - TXĐ : RD = - Tính đạo hàm / y ; giải phương trình 0 / = y tìm yx ⇒ - Tính giới hạn :nếu 0 > a lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y → −∞ = −∞ ; nếu 0 < a lim x y → +∞ = −∞ ; lim x y → −∞ = +∞ , 1 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT - Lập bảng biến thiên ( xét dấu / y ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến ,điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số. - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng . Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: dcxaxaxy +++= 23 ( ) 0 ≠ a Nếu 0 > a Nếu 0 < a Nếu phương trình 0 / = y có 2 nghiệm phân biệt 21 ; xx + Hàm số có hai cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn y 2 x 1 x x y 2 x 1 x x Nếu phương trình 0 / = y có nghiệm kép 21 xxx == + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn y x y x Nếu phương trình 0 / = y vô nghiệm + Hàm số có không có cực trị + Hàm số có 1 điểm uốn y x y x b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương : cbxaxy ++= 24 ( ) 0 ≠ a - TXĐ : RD = - Tính đạo hàm / y ; giải phương trình 0 / = y tìm yx ⇒ - Tính giới hạn : nếu 0 > a lim x y →+∞ = +∞ ; lim x y →−∞ = +∞ ; nếu 0 < a lim x y →+∞ = −∞ ; lim x y →−∞ = −∞ - Lập bảng biến thiên (xét dấu / y ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại ,cực tiểu của hàm số - Đồ thị : + Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu . + Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục Oy . 2 O O O O O O Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn: cbxaxy ++= 24 ( ) 0 ≠ a Nếu 0 > a Nếu 0 < a Nếu phương trình 0 / = y có 3 nghiệm phân biệt 1 2 3 ; ;x x x . + Hàm số có ba cực trị y 1 x 3 x x y 1 x 3 x x Nếu phương trình 0 / = y có 1 nghiệm 0 = x + Hàm số có không có cực trị y x y x c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm phân thức : dcx bax y + + = , ( ) 0,0 ≠−≠ bcada - TXĐ : −= c d RD \ c d xy −≠∀> ;0 / , nếu 0 >− bcad - Tính đạo hàm ( ) 2 / dcx bcad y + − = c d xy −≠∀< ;0 / , nếu 0 <− bcad - Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận : lim x a y c →+∞ = ; lim x a y c →−∞ = c a y =⇒ là tiệm cận ngang Nếu c d xy −≠∀> ;0 / thì +∞= − −→ c d x ylim và −∞= + −→ c d x ylim Nếu c d xy −≠∀< ;0 / thì và −∞= − −→ c d x ylim +∞= + −→ c d x ylim - Lập bảng biến thiên : Nếu c d xy −≠∀> ;0 / 3 x ∞− c d − ∞+ / y + + y c a ∞+ c a ∞− O O O là tiệm cận đứng O Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng ; à ; d d v c c −∞ − − +∞ ÷ ÷ và không có cực trị . Nếu c d xy −≠∀< ;0 / Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ; à ; d d v c c −∞ − − +∞ ÷ ÷ và không có cực trị . - Cho điểm đặc biệt : + Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho d b yx =⇒= 0 + Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho a b xbaxy −=⇔=+⇔= 00 - Vẽ đồ thị : + Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . + Đồ thị gồm hai nhánh đối xứng nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm − c a c d I ; . +Ta vẽ hai đường tiệm cận trước , rồi vẽ 2 nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua I . Các dạng đồ thị của hàm phân thức : dcx bax y + + = , ( ) 0,0 ≠−≠ bcada 4 x ∞− c d − ∞+ / y y c a ∞− +∞ c a Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT 5) Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số : a) Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước ( ) 0, = mxg ( ) 1 Cách giải : + Đưa phương trình ( ) 1 về dạng : ( ) BAmxf += , trong đó ( ) xfy = là đồ thị ( ) C đã vẽ và BAmy += ( ) d là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox . + Số nghiệm của phương trình ( ) 1 là số hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C và ( ) d + Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào CĐ y và CT y của hàm số để biện luận . b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) xfy = tại điểm ( ) ( ) CyxM ∈ 00 ; Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C của hàm số ( ) xfy = tại điểm ( ) ( ) CyxM ∈ 00 ; có dạng : 5 / 0y < / 0y > y x c d x −= y O x c a y = c a y = Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT ( ) ( ) / 0 0 0 y f x x x y = − + ( ) 2 . Thế ( ) 0 / 00 ;; xfyx đã cho hoặc vừa tìm vào ( ) 2 ta được tiếp tuyến cần tìm. c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( ) xfy = biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước: Cách giải : Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C của hàm số ( ) xfy = có dạng : ( ) 0 0 y k x x y = − + ( ) 3 Gọi ( ) 0 0 ;M x y là tọa độ tiếp điểm . Do tiếp tuyến có hệ số góc k nên ( ) / 0 f x k = , giải phương trình tìm được ( ) 000 xfyx =⇒ .Suy ra phương trình tiếp tuyến (3) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) C của hàm số ( ) xfy = biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước. Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng : ( ) 0 0 y k x x y = − + ( ) 4 Gọi ( ) 0 0 ;M x y là tọa độ tiếp điểm . + Nếu tiếp tuyến song song với đthẳng baxyd += : thì ( ) axf = 0 / , giải pt tìm được ( ) 000 xfyx =⇒ . Kết luận phương trình tiếp tuyến . + Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng baxyd += : thì ( ) ( ) a xfaxf 1 1. 0 / 0 / −=⇔−= . Giải phương trình này tìm được ( ) 000 xfyx =⇒ . Kết luận phương trình tiếp tuyến . e) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) xfy = trên đoạn [ ] ba; : Cách giải : + Tính ( ) xf / , giải phương trình ( ) 0 0 / = xf tìm nghiệm [ ] bax ; 0 ∈ ; Tính các giá trị : ( ) af ; ( ) 0 xf ; ( ) bf + Kết luận : [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 ; (f ) ; ; ax a b x max f a f x f b m = ; [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 ; f ; ; a b M in x Min f a f x f b = f) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = có cực trị (cực đại, cực tiểu ): Cách giải : + Tính đạo hàm / y , tính ∆ hoặc / ∆ của / y . + Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình 0 / = y có hai nghiệm phân biệt { m a ⇒⇔ ≠ >∆ 0 0 g) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = đạt cực trị tại 0 xx = : Cách giải : + Tính đạo hàm ( ) xfy // = ; + Hàm số đạt cực trị tại 0 xx = ( ) mxf ⇒⇔ 0 / h) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = đạt cực đại tại 0 xx = : Cách giải :+ Tính đạo hàm ( ) xfy // = ; + Tính đạo hàm ( ) xfy //// = ; + Hàm số đạt cực đại tại 0 xx = ( ) ( ) { m xf xf ⇒⇔ = < 0 0 0 / 0 // i) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = đạt cực tiểu tại 0 xx = : Cách giải : + Tính đạo hàm ( ) xfy // = ; + Tính đạo hàm ( ) xfy //// = + Hàm số đạt cực tiểu tại 0 xx = ( ) ( ) { m xf xf ⇒⇔ = > 0 0 0 / 0 // 6 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT k) Tìm tham số m để hàm số ( ) xfy = ln đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nó. Cách giải : + Tìm MXĐ D của hàm số ( ) xfy = . + Tính đạo hàm ( ) xfy // = , tính ∆ hoặc / ∆ của / y . + Hàm số ( ) xfy = đồng biến trên D { mDxy a ⇒⇔∈∀≥⇔ > ≤∆ 0 0 / 0 + Hàm số ( ) xfy = nghịch biến trên D { mDxy a ⇒⇔∈∀≤⇔ < ≤∆ 0 0 / 0 l) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số ( ) xfy = Cách giải 1 : + Tìm điểm cực đại ( ) AA yxA ; và điểm cực tiểu ( ) BB yxB ; của hàm số ( ) xfy = + Viết phương trình đường thẳng AB A AB A yy yy xx xx AB − − = − − : Cách giải 2 : Cho hàm số bậc ba ( ) xfy = +Tính y’. Viết lại ( ) ( ) '. xy y g h x= + .Gọi 1 2 ,x x lần lượt là hai điểm cực trị, ta có ( ) ( ) 1 2 ' 0; ' 0y x y x= = . + Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) y h x= . Cho hàm số hữu tỷ ( ) ( ) f x y g x = , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là ( ) ( ) ' ' f x y g x = . II . LŨY THỪA, LƠGARIT, PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 1. Tính chất của lũy thừa: Với 0; 0a b≠ ≠ và với các số ngun m, n ta có: 1. . m n m n a a a + = ; 2. m m n n a a a − = ; 3. ( ) n m mn a a= 4. ( ) . n n n ab a b= ; 5. n n n a a b b = ÷ Cho ,m n là những số ngun: Với 0a > thì m n a a m n > ⇔ > ; Với 0 1a< < thì m n a a m n > ⇔ < 2. Lơgarit: 1. Định nghĩa: log log 1 0;log 1 log , , , 0 a a a b a b a a b b a b b b = = = ∀ ∈ ∀ ∈ > ¡ ¡ 2. So sánh hai logarit cùng cơ số a. Khi 1 α > thì log logb c b c α α > ⇔ > b. Khi 0 1 α < < thì log logb c b c α α > ⇔ < 3. Các quy tắc tính lơgarit: ( ) log log log a a a bc b c= + log log log a a a b b c c = − ÷ log log a a b b α α = 4. Với số a dương khác 1, số dương b và số ngun dương n , ta có: 1 log log a a b b = − ; 1 log log n a a b b n = ; 1 log log a b b a = ; log .log 1 a b b a = 5. Với ,a b là số dương khác 1 và c là số dương, ta có: log log log a b a c c b = hay log .log log a b a b c c= 3. Gỉai phương trình mũ và lơgarit : • Dạng cơ bản: 1. f (x) a = g(x) a ⇔ f(x) = g(x) ; 2. f (x) a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b 3. log a f(x) = log a g(x) ⇔ f (x) 0 f (x) g(x) > = 4. log f (x) b a 0 a 1 = < ≠ ⇔ f(x) = b a ; • Đặt ẩn phụ : 7 Lý thuyt ễn Thi Mụn Toỏn THPT 1. 2f (x) a +. f (x) a + = 0 ; ẹaởt : t = f (x) a , t > 0; 2. b f(x) a + +. b f (x) a + = 0 ; ẹaởt : t = f (x) a , t > 0 Lụgarit hoaự hai veỏ : 4. Gii bt phng trỡnh m v lụgarit 1. f (x) a > g(x) a f (x) g(x) khi a 1 f (x) g(x) khi 0 a 1 > > < < < ; 2. f (x) a > b Neỏu b > 0 f(x) > log a b neỏu a > 1; f(x) < log a b neỏu 0 < a < 1 4. log a f(x) > log a g(x) (*) ẹk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a 1 . a>1, (*) f(x) > g(x) ; 0<a<1, (*) f(x) < g(x) 5. log a f(x) > b . Neỏu a > 1 : bpt laứ f(x) > b a . Neỏu 0 < a < 1 bpt laứ 0 < f(x) < b a 5. th hm s m- lụgarit III .NGUYấN HM, TCH PHN 1. Nguyờn hm Cụng thc nguyờn hm ca cỏc hm s s cp Mt s cụng thc m rng 1. 0dx C= ; 2. 1dx dx x C= = + 3. 1 1 x x dx C + = + + ( ) 1 ; 4. 1 lndx x C x = + 5. sin cosxdx x C= + ; 6. cos sin ;xdx x C= + 7. 2 1 tan ; cos dx x C x = + 8. 2 1 cot . sin dx x C x = + 9. ln x x a a dx C a = + , ( ) 0 1 ;a< 10. ; x x e dx e C= + 11. ( ) ( ) ( ) 1 1 ax b ax b dx C a + + + = + + ( ) 1 ; 12. ln 1 ax b dx C ax b a + = + + 13. ( ) ( ) cos sin ax b ax b dx C a + + = + 14 ( ) ( ) sin cos ax b ax b dx C a + + = + 15. ( ) ( ) 2 tan 1 ; cos ax b dx C ax b a + = + + 16. ( ) ( ) 2 cot 1 . sin ax b dx C ax b a + = + + 17. ( ) ; ax b ax b e e dx C a + + = + 2. Tớch phõn a/. Tớnh cht: Gi s cỏc hm s ,f g liờn tc trờn K v , ,a b c l ba s bt kỡ thuc K . Khi ú ta cú: 8 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT 1. ( ) 0 a a f x dx = ∫ 2. ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ 3. ( ) ( ) ( ) b c c a b a f x dx f x dx f x dx+ = ∫ ∫ ∫ 4. ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx + = + ∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx= ∫ ∫ ( với .k ∈¡ ) b/ Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' b u b a u a f u x u x dx f u du = ∫ ∫ Trong đó: ( ) u u x= có đạo hàm liên tục trên K , hàm số ( ) y f u= liên tục và sao cho hàm hợp ( ) f u x xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K . c/ Phương pháp tích phân từng phần: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' | ' b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx = − ∫ ∫ Hay | b b b a a a udv uv vdu= − ∫ ∫ Trong đó các hàm số ,u v có đạo hàm liên tục trên K và ,a b là hai số thuộc K d/ Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng. + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) : : 0 2 : ; C y f x Ox y dt x a x b = = = = là ( ) b a S f x dx= ∫ + Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 : : 2 : ; C y f x C y g x dt x a x b = = = = là ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ e/ Ứng dụng của tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) : : 0 2 : ; C y f x Ox y dt x a x b = = = = quay quanh trục hoành là: ( ) 2 b a V f x dx π = ∫ + Thể tích khối tròn xoay được tạo nên do hình phẳng được giới hạn bởi: ( ) ( ) : : 0 2 : ; C x g y Oy x dt y a y b = = = = quay quanh trục tung là: ( ) 2 b a V g y dy π = ∫ IV. SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC. A. SỐ PHỨC (DẠNG ĐẠI SỐ) 1/ Số i: qui ước 2 1i = − ; Tập số phức: £ ; 2/ Số phức dạng đại số : z = a bi+ ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo a, b là các số thực, i là đơn vị ảo ) 3/ Số phức bằng nhau: Cho 1 1 1 2 2 2 , zz a b i a b i= + = + : 1 2 1 2 1 2 = z a a z b b = ⇔ = 4/ Biểu diễn hình học số phức: Điểm M biểu diễn cho số phức z a bi = + : ( ) ( ) ( ) ; M a b hay M a bi hay M z+ 5/ Cộng, trừ, nhân hai số phức: Cho 1 1 1 2 2 2 , zz a b i a b i= + = + a/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i+ = + + + ; b/ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i− = − + − ; c/ ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 .z z a a b b a b a b i= − + + 6/ Số phức liên hợp của z a bi = + là: z a bi a bi= + = − ( Chú ý: z z= ) 9 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT 7/ Môđun của số phức z a bi = + : 2 2 z a b= + ; 8/ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số: 1 2 1 z z z − = 9/ Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2 z w= được gọi là một căn bậc hai của w. a/ w là số thực: + Căn bậc hai của 0 là 0 + 0a > : có 2 căn bậc hai là à -a v a ; + 0a < : có 2 căn bậc hai là à - a i v a i− − . Chú ý: Hai căn bậc hai của -1 là i và -i b/ w là số phức: ( ) , ; 0w a bi a b b= + ∈ ≠¡ : ( ) ,z x yi x y= + ∈¡ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi: ( ) 2 2 z w x yi a bi= ⇔ + = + Do ( ) 2 2 2 2x yi x y xyi+ = − + nên 2 2 2 2 x y a z w xy b − = = ⇔ = Mỗi cặp số thực ( ) ;x y nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai z = x yi+ của số phức w. 10/ Phương trình bậc hai: ( ) 2 0 1 ,( 0; , ,Az Bz C A A B C+ + = ≠ là những số phức). Xét 2 4B AC∆ = − + Nếu 0 ∆ ≠ , (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2 , 2 2 B B z z A A δ δ − + − − = = ,(với δ là một căn bậc hai của ∆ ) + Nếu 0∆ = , (1) có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A = = − Chú ý: Nếu ∆ là số thực dương, (1) có 2 nghiệm: 1 2 , 2 2 B B z z A A − + ∆ − − ∆ = = . Nếu ∆ là số thực âm, (1) có 2 nghiệm: 1 2 , 2 2 B i B i z z A A − + −∆ − − −∆ = = . B. SỐ PHỨC DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG ϕ 1/ Acgumen của số phức z: Số đo ( radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z, ϕ một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng: 2k ϕ π + 2/ Dạng lượng giác của số phức: ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + , ( trong đó r z= ; ϕ một acgumen của z ) 3/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác: Nếu ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 cos sin ; cos sin , ( 0, 0)z r i z r i r r ϕ ϕ ϕ ϕ = + = + ≥ ≥ Thì ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 cos sinz z r r i ϕ ϕ ϕ ϕ = + + + ; ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 2 2 cos sin ( 0) z r i khi r z r ϕ ϕ ϕ ϕ = − + − > 4/ Công thức Moa-vrơ và ứng dụng: a/ Công thức Moa-vrơ: ( ) ( ) cos sin cos sin n n r i r n i n ϕ ϕ ϕ ϕ + = + b/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + có 2 căn bậc 2 là: 1 cos sin 2 2 z r i ϕ ϕ = + ÷ ; 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 z r i r i ϕ ϕ ϕ ϕ π π = − + = + + + ÷ ÷ ÷ HÌNH HỌC 12 I. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Khối chóp: Thể tích 1 3 V = S đ .h , với h: chiều cao, S ñ : diện tích đáy. 10 O b a M x y Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy. h Khối tứ diện đều h Khối chóp có một cạnh bên vuông với đáy là hình bình hành h Khối chóp đều. h h Khối chóp có đáy là một tam giác bất kì h Khối chóp có đáy là một tứ giác Trường hợp đáy là một hình thang h Khối chóp đáy là hình thang có cạnh bên vuông góc với đáy. h h Khối chóp có đáy là một hình thang cân h Khối chóp có đáy là một hình thang vuông [...]... phép chỉnh hợp chập k của n phần tử 17 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT b Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu 3 Tổ hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử k∈¥ b Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ck n mà Ak n là: A k = n ( n − 1) ( n − k + 1) = n 1≤ k ≤ n k là: C n = Một tập hợp con của A có k phần n ( n − 1)... A ≠ B ; + d1 // d 2 ⇔ A = B ≠ C ; + d1 ≡ d 2 ⇔ A = B = C 2 2 2 2 2 2 2 2 21 9/ Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : Xác đònh bởi công thức : Cosϕ = A1 A2 + B1 B2 2 2 A12 + B12 A2 + B2 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A Tam giác thường ( các đònh lý) b2 + c2 − a 2 Đònh lí hàm số Cosin 2 2 2 ⇒ cosA = a = b + c − 2bc.cosA 2bc Đònh lí hàm số Sin a b c a = = = 2 R ⇒ a = 2 R.sinA;sin... cố Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A A ⊂ Ω Biến cố không: ∅; Biến cố chắc chắn: Ω; Biến cố đối của A: A = Ω \ A ; Hợp hai biến cố: A ∪ B Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B); Hai biến cố xung khắc: biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.A ∩ B = ∅ Hai biến cố độc lập: nếu xác suất xảy ra biến cố này không... VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN XÁC SUẤT 1 Hốn vị: a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hốn vị các phần tử của tập A b Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n; 0!=1! = 1 2 Chỉnh hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k ∈ ¥ mà 1 ≤ k ≤ n Khi lấy ra k phần tử trong... suy ra: với mọi x ∈ R ta có: |x| ≥ 0; |x|2 = x2; x ≤ |x| và -x ≤ |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta có: 19 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT |a + b| ≤ |a| + |b| (1); |a – b| ≤ |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0; |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0 HÌNH HỌC 10 20 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1 VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ → → → 1 Điểm M... M C Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT ha: Đường cao tương ứng với cạnh a; ma:Đường trung tuyến vẽ từ A 3.R, r :Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác, p = 1 3 4 5 2 6 B Hệ thức lượng tam giác vuông: 1 AH 2 = BH CH ; 2 AH BC = AB AC ; 3 AB 2 = BH BC ; a+b+c là nửa chu vi tam giác 2 A 1 1 1 1 1 1 = + hay 2 = 2 + 2 ; 2 2 2 AH AB AC h a c 2 5 AC = CH CB ; 6 BC 2 = AB 2 + AC 2 4 B H Chúc các em ơn tập. .. uuu r r AB, AC rr r 8.Ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi: a, b c = 0 uuu uuu uuu r r r Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng khi và chỉ khi: AB, AC AD ≠ 0 12 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT uuu uuu uuur r r 9.Thể tích của khối hộp ABCD A’B’C’D’: V = AB, AD AA ' ( AB,AD, AA’ là 3 cạnh xuất phát từ đỉnh A) 10.Thể tích của khối tứ diện ABCD là: V = r r... hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 lần lượt có các vectơ chỉ phương là ur uu r u1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) , u2 = ( a2 ; b2 ; c2 ) Gọi ϕ = (¼, ∆ 2 ) ∆1 ur uu r cosϕ = cos u1 , u2 = ( ) a1a2 + b1b2 + c1c2 2 2 a12 + b12 + c12 a2 + b22 + c2 ur uu r Chú ý: ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ u1.u2 = 0 uu r 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đhẳng ∆ có VTCP u = ( a; b; c ) và mp ( α ) có VTPT r n = ( A; B; C ) rr sin ϕ = cos u, n = (... sin + α ÷ = cos α ; cos + α ÷ = − sin α 2 2 π π tan + α ÷ = − cot α ; cot + α ÷ = − tan α 2 2 15 π −α 2 Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT 4 Bảng giá trị lượng giác của cung và góc đặc biệt: α 00 300 450 600 900 0 π π π π sin α 0 cos α 1 tan α 0 cot α P 120 0 2π 3 3 2 1 − 2 6 1 2 4 2 2 3 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 1 3 P − 3 1 1 3 0 − 3 5.Cơng thức cộng 1 cos(a + b) = cos a cos b − sin a... = -1 ⇔ u=− 4 cosu = 1⇔ u = k 2π ; u = π + k 2π ; 16 (k∈Z) 5 cos u = -1 ⇔ Lý thuyết Ơn Thi Mơn Tốn THPT Z) 6 cosu = 0 ⇔ u = π + kπ 2 (k∈Z) π 7 tan u = 1⇔ u = 4 + kπ ; tanu = tanv ⇔ u = v + kπ (k∈Z) π + kπ ; 4 9 tan u = 0 ⇔ u = kπ 8 tan u = -1 ⇔ u=− cotu = cotv ⇔ u = v + kπ (k∈Z) 10 cot u = 1⇔ u=− π + kπ ; 4 (k∈Z) π u = + kπ 4 12 cot u = 0 ⇔ u = ; 11 cot u = -1 ⇔ π + kπ ( k ∈ Z ) 2 3 Phương trình bậc . đứng O Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng ; à ; d d v c c −∞ − − +∞ ÷ ÷ và không có cực trị . Nếu c d xy −≠∀< ;0 / Hàm số luôn nghịch. Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT GIẢI TÍCH 12 I.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1) Đạo hàm của các hàm số đơn giản : ( ) 0 / = C (. c = r r r Hệ quả: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi: , . 0AB AC AD ≠ uuur uuur uuur 12 Lý thuyết Ôn Thi Môn Toán THPT 9.Thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’: