Hệ Autonom phẳng và sự tuyến tính hóa

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I KHOA TỐN HOÀNG TH± THÙY DUNG Hf AUTONOM PHANG VÀ SU TUYEN TÍNH HĨA KHĨA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chun ngành: Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG Hà N®i - 2013 LèI CÃM ƠN Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS Tran Văn Bang - Ngưòi thay trnc tiep t¾n tình hưóng dan giúp đõ em hồn thành khóa lu¾n cúa Đong thòi em xin chân thành cám ơn thay to Giái tích thay khoa Tốn - Trưòng Đai hoc S pham H Nđi 2, Ban chỳ nhiắm khoa Tốn tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot khóa lu¾n Trong khn kho có han cúa mđt bi khúa luắn, ieu kiắn thũi gian, trình đ® có han lan đau tiên nghiên cúu khoa hoc khơng tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y, em kính mong nh¾n đưoc nhung góp ý cúa thay ban Em xin chân thành cám ơn ! Hà N®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hồng Th% Thùy Dung LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Khóa lu¾n cơng trình nghiên cúu cúa riêng tơi Trong nghiên cúu khóa lu¾n này, tơi ke thùa thành cúa nhà khoa hoc cúa thay vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hoàng Th% Thùy Dung Mnc lnc Mé đau .4 Chương Phương trình vi phân cap hai m¾t phang pha 1.1 Phương trình autonom m¾t phang pha 1.2 Ví dn ve phương trình lac đơn m¾t phang pha Chương H¾ autonom phang sN tuyen tính hóa .12 2.1 M¾t phang pha tong quát 12 2.2 Ví dn ve mơ hình dân so 15 2.3 Xap xí tuyen tính tai điem cân bang .19 2.4 Nghi¾m tong qt cúa h¾ autonom tuyen tính 20 2.5 Đưòng cong pha cúa h¾ autonom tuyen tính 29 2.6 Tý l¾ lưoc đo pha cúa h¾ tuyen tính autonom .38 2.7 Cách xây dnng lưoc đo pha 40 2.8 H¾ Hamilton 43 Ket lu¾n 48 Tài li¾u tham kháo 49 Me ĐAU Phương trình vi phân m®t lý thuyet có úng dnng quan trong V¾t lý Tuy nhiên rat nhieu phương trình vi phân khơng giái đưoc (nhat phương trình phi tuyen) Khi bu®c phái nghiên cúu tính chat đ%nh tính cúa nghi¾m mắt phang pha l mđt cụng cn huu hiắu nghiên cúu đ%nh tính cúa phương trình vi phân cap hai (xem chương 1) Ý tưóng chuyen nghiờn cỳu phng trỡnh vi phõn cap hai autonom: xă = f (x, x˙), ve nghiên cúu h¾ phương trình vi phân cap m®t:   x˙ = y (I) y˙ = f (x, y) Đieu goi ý cho ta xét h¾ phương trình vi phân tong qt hơn:  (II)  x˙ = X (x, y) y˙ = Y (x, y) Hy vong rang, tương tn h¾ (I), có ket huu dnng đoi vói h¾ (II) Thnc te h¾ (II) rat phúc tap X, Y hàm phi tuyen Do xét mơ hình tuyen tính hóa cúa h¾ (II) chí vai trò cúa h¾ tuyen tính hóa đoi vói h¾ (II) nghiên cúu tính chat đ %nh tính Vói lí đó, chúng tơi chon đe tài: "H¾ autonom phang s? tuyen tớnh húa" Nđi dung cỳa khúa luắn gom hai chương Chương trình bày tong qt vói cách sú dnng m¾t phang pha nghiên cúu phương trình vi phân cap Chương nghiên cúu ve h¾ autonom phang tong qt thơng qua vi¾c tuyen tính hóa, nghiên cúu lưoc đo pha cúa h¾ autonom tuyen tính Do lan đau nghiên cúu, thòi gian lnc bán thân han che nên chac chan nghiên cúu khó tránh khói nhung thieu sót Tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cúa thay ban đoc đe đe tài hồn đat ket cao Chương Phương trình vi phân cap hai m¾t phang pha 1.1 Phương trình autonom m¾t phang pha Xét phương trình autonom cap hai dang: xă = f (x, x) (1.1) Đe nghiên cúu đ%nh tính cúa phương trình ta đ¾t: y = x˙ Khi phương trình (1.1) đưoc đưa ve phương trình vi phân cap m®t:   x˙ = y y˙ = f (x, y) (1.2) M¾t phang Oxy đưoc goi m¾t phang pha cúa phương trình (1.1) Tù h¾ (1.2) ta có moi liên h¾ giua x y xác đ%nh bói phương trình vi phân cap m®t: dy dx = f (x, y) (1.3) y Moi đưòng cong nghi¾m cúa (1.3) đưoc goi l mđt ũng cong pha cỳa (1.1) hoắc (1.2), phương trình (1.3) đưoc goi phương trình vi phân xác đ%nh đưòng cong pha Trên đưòng cong pha đưa vào mũi tên chí hưóng bien đoi cúa x theo thòi gian t Có the thay, neu y = x˙ > x tăng y tăng, neu y = x˙ < x giám t tăng Do đó, hưáng cúa đưòng cong pha ln tù trái sang phái ó núa m¾t phang tù phái sang trái ó núa m¾t phang dưói Moi điem P(x, y) m¾t phang pha tng ỳng vúi mđt trang thỏi vắt lý (x, x) chí v% trí v¾n toc cúa h¾ mà phương trình vi phân (1.1) mơ tá, P - oc goi l mđt trang thỏi cỳa hắ vắt lý Trang thái cân bang cúa h¾ v¾t lý trang thái khơng bien đoi theo thòi gian, túc ta có x˙ ≡ Khi ta có xă Do ú, mắt phang pha, trang thái cân bang tương úng vói điem P(x, 0) vúi x l nghiắm cỳa phng trỡnh xă = y hay: f (x, 0) = (1.4) Vì the, điem P(x, 0) vói x thóa mãn (1.4) đưoc goi điem cân bang cúa (1.1) ho¾c (1.2) Trong m¾t phang pha, bieu dien đưòng cong pha vói hưóng cúa chúng đưoc goi lưac đo pha Hình 2.9: P m®t đoan đưòng cong pha Ck hình ánh v% tn cúa P vói h¾ so k m®t đưòng cong pha Do P l mđt iem diắn trờn ũng cong pha ℘, nên h¾ phương trình (2.50) cho ta: kx˙P = a(kxP ) + b(kyP ), ky˙P = c(kxP ) + d(kyP ) Do theo (2.50) thì: x˙Q = axQ + byQ , y˙Q = cxQ + dyQ (2.51) Chúng tó hàm xQ(t), yQ(t) thóa mãn h¾ phương trình, vói Q qua B tai thòi điem t = Do vói bat kì giá tr% cúa k, Ck m®t đưòng cong pha, vói Q điem đai di¾n Các ket sau đưoc suy de dàng tù ket này: (i) Moi đưòng cong pha căng m®t góc đính tai goc đeu cho ta xác đ%nh moi đoan đưòng cong pha khác nam góc góc đoi đính M®t mien chúa m®t đưòng cong tròn bán kính r, tâm tai goc toa đ®, đeu chúa m®t dang hình hoc cúa đưòng cong pha khơng phn thu®c vào bán kính r (ii) Tat cá đưòng cong pha căng hai canh cúa m®t góc đeu đong dang ( hình hoc) Chúng đong dang cá ve v% trí hưóng neu k > 0, đoi xúng qua goc toa đ® neu k < (iii) Bat kì núa chu kì cúa m®t xoan oc (có nghĩa m®t đoan bat kì vói góc mó bang π) đeu tao cau trúc xoan oc đay đú cúa lưoc đo pha (iv) Tat cá đoan đưòng cong pha căng hai canh cúa m®t góc đính O đeu có thòi gian chuyen Đ¾c bi¾t, tat cá đưòng cong pha kín đeu có chu kì Tat cá vòng l¾p cúa xoan oc bat kì (nghĩa là, m®t đoan úng vói góc núa 2π) đeu có thòi gian chuyen (v) Moi h¾ tuyen tính đeu khơng có chu trình giói han (nghĩa là, khơng có đưòng l¾p kín) 2.7 Cách xây dNng lưec đo pha Giá sú h¾ : x˙ = X (x, y), y˙ = Y (x, y) (2.52) có m®t điem cân bang tai (x0, y0) : X (x0, y0) = 0, Y (x0, y0) = (2.53) Dang cúa đưòng cong pha gan (x0, y0) có the đưoc nghiên cúu bang cách tuyen tính hóa h¾ phương trình gan điem Neu toa đ® đ %a phương đưoc đ%nh nghĩa bói: ξ = x − x0 , η = y−y ta có xap xí:  ξ  ˙ a  = η˙ c η h¾ so cho bói:    a b y0 ) c ∂X ∂x d =   b ξ   , d ∂X (x0, ∂y y0 )  ∂Y (x , y ) 0 ∂x  (x0, ∂Y ∂y (2.54)  (2.55)  (x0, y0) Khi đó, điem cân bang đưoc phân loai Mnc 2.4 Đieu đưoc thnc hi¾n lan lưot cho moi điem cân bang, tù ta có the đưa nhung nh¾n đ%nh tot ve lưoc đo pha đay đú ví dn dưói Ví dn 2.6 Phác hoa sơ đo pha cho h¾ phi tuyen: x˙ = x − y, y˙ = − xy (i) H¾ có điem cân bang (-1, -1) (1, 1) Ma tr¾n tuyen tính hóa là:  ∂X ∂X 1 −  ∂x  ∂y  =   ∂Y  (ii) ∂Y  ∂x ∂y −y −x Tai (-1, -1), phương trình (2.55) tró thành:  ξ˙    = η˙ −1  ξ    , η (iii) ξ = x + 1, η = y + Các giá tr% riêng cúa ma tr¾n h¾ so λ1, λ2 = ± i, nên (-1, -1) m®t xoan oc khơng on đ%nh Đe thu đưoc hưóng quay, ta chí can sú dnng h¾ tuyen tính hóa (iii) (ho¾c phương trình ban đau) Đ¾t η = 0, ξ > 0, nên hưóng quay chieu kim đong ho Tai (1, 1), ta thay rang:  ξ˙   ˙=  η −1 −  ξ    −1 η (iv) ξ = x − 1, η = y − Các giá tr% riêng đưoc cho bói: λ1, λ2 = √ ± nên (1, 1) m®t n ngna Hưóng cúa "đưòng thang" tù điem n ngna (là đưòng phân l¾p bưóc khói điem cân bang), tù (iv): η˙ ξ˙ = dη dξ −ξ − η = (v) ξ −η Ta biet rang hai nghi¾m cúa phương trình có dang η = mξ đoi vói m Thay vào (v) ta đưoc: m2 − 2m − = 0, m = ± √2 Cuoi cùng, lưoc đo pha đưoc đ¾t ó Hình 2.10, đưòng cong pha lân c¾n cúa điem cân bang đưoc biet Quá trình đưoc ho tro bang cách chí hưóng đưòng x = 0, x = 1, đưòng cong − xy = (trên đưòng cong có đ® doc vơ han) Hình 2.10: Sơ đo pha cho x˙ = x − y, y˙ = − xy 2.8 H¾ Hamilton Theo dang tac cúa phương trình Hamilton hoc, h¾ Hamilton: x˙ = X (x, y), y˙ = Y (x, y) (2.56) h¾ Hamilton neu ton tai hàm H(x, y) cho: X= ∂H ∂y ,Y= ∂H ∂x (2.57) Khi H đưoc goi hàm Hamilton cúa h¾ (2.57) Đieu ki¾n can đú đe (2.57) h¾ Hamilton là: ∂X + ∂Y =0 (2.58) ∂y Giá sú x(t), y(t) nghi¾m theo thòi gian cúa h¾ Khi đó, doc ∂x theo moi đưòng cong pha: ∂H ∂t = ∂H ∂x ∂ x ∂t + ∂ H ∂y ∂ y ∂t = −Y X + XY (tù (2.57), (2.58)) = Do H(x, y) = hang so, (2.59) doc theo moi đưòng cong pha Theo (2.59), đưòng cong pha đưòng múc, ho¾c chu tuyen: H(x, y) = C, cúa m¾t cong: z = H(x, y) khơng gian ba chieu (2.60) Giỏ sỳ rang hắ cú mđt điem cân bang tai (x0, y0), túc là: ∂H = ∂H = tai (x0, y0) ∂y Khi H(x, y) cú mđt iem dựng tai (x0, y0) ắt: x ∂ 2H ∂ H q0 = ∂ x2 ∂ y2 − ∂ 2H (2.61) ∂ x∂ y , (2.62) đánh giá tai (x0, y0) Khi ta biet rang: (a) H(x, y) có cnc đai ho¾c cnc tieu tai (x0, y0) neu: q0 > (2.63) (b) H(x, y) có m®t n ngna tai (x0, y0) neu: q0 < (2.64) (Ta khơng xét trưòng hop q0 = 0) Vì đưòng cong pha đưòng múc cúa z = H(x, y), nên ta hi vong rang trưòng hop (2.63) điem cân bang tai (x0, y0) tâm rang trưòng hop (2.64), điem cân bang điem n ngna Khơng có trưòng hop tương úng vói nút ho¾c xoan oc: h¾ Hamilton chí chúa tâm loai điem yên ngna Dn đốn tương tn thu đưoc bang cách tuyen tính hóa h¾ tai điem cân bang Tù (2.34), xap xí tuyen tính tai (x0, y0) là: x˙ = a(x − x0 ) + b(y − y0 ), y˙ = c(x − x0 ) + d(y − y0 ), (2.65) đó, trưòng hop Hamilton, h¾ so là: ∂ 2H , b a= = ∂x∂y ∂ ,c= ∂ ,d= ∂ H, 2 H − H − ∂x∂y ∂ y2 ∂ x2 (2.66) tai (x0, y0) Vi¾c phân loai điem cân bang đưoc xác đ%nh bói giá tr% cúa p q đưoc đ%nh nghĩa bói phương trình (2.22) đe ý rang tham so q tham so q0 đ%nh nghĩa (2.63) Tù (2.33) (2.66) ta có: p = a + d = 0, q = ad − bc =− ∂ 2H ∂ x∂ y ∂ 2H ∂ H + , ∂ x2 ∂ y2 (2.67) tai (x0, y0) (do q = q0) Đieu ki¾n (2.48) cho m®t tâm p = (tn đ®ng thóa mãn (2.67)) q > Đieu giong yêu cau (2.64) rang H có giá tr% cnc đai ho¾c cnc tieu tai (x0, y0) Chú ý rang ieu kiắn (2.67) cho mđt tõm, dna trờn cỏc ắc tính hình hoc đay đú cúa H(x, y) ket lu¾n xác tiêu chuan dna sn tuyen tính hóa khơng phái ln ln xác Neu q = cnc đai cnc tieu cúa H van tương úng vói tâm, se phúc tap tai điem yên ngna cúa H Ví dn 2.7 Cho h¾ phương trình: x˙ = y(13 − x 2 y˙ = 12 − x(13 − x − y ) − y ), a) Chúng minh rang h¾ Hamilton tìm đưoc hàm Hamilton H(x, y) b) Tìm điem cân bang phân loai chúng c) Phác hoa lưoc đo pha a) Ta có: ∂X ∂x ∂ Y + ∂y −x ∂ = ∂x (y(13 ∂ − y )) + −x = −2xy + 2xy = ∂y 12 − x(13 −y ) Do ú, theo (2.59) õy l mđt hắ Hamilton Tự (2.58): ∂H ∂x −x −y = −Y = −12 + x(13 2 ∂H ∂y −x ), −y = X = y(13 ) Lay tích phân (i) theo bien x (giu y co đ%nh ), tích phân theo bien y (giu x co đ%nh) ta đưoc: H = −12x 13 + − x22 4 x− 2 x y (iii) + u(y), 13 x2y2 y + v(x) − − y Tù (iii) (iv) ta suy ra: H= (iv) u(y) = 13 y C, − − y v(x) = 13 x C − − x C hang so bat kì Do đưòng cong pha đưoc cho bói: H(x, y) = −12x 13 + − = C, x22 x +y y 1 − + − y C m®t tham so (b) Điem cân bang nghi¾m cúa h¾: − 2 x x +y (v) 2 2 y(13 − x − y ) = 0, 12 − x(13 − x − y ) Do đó, toa đ® cúa điem cân bang là: (1, 0), (3, 0), (−4, 0) Các đao hàm cap hai cúa H(x, y) là: ∂ 2H ∂ x2 3x = 13 − −y , ∂ 2H ∂ y2 2− ∂ 2H = −2xy = 13 −x 3y2 , ∂x∂y Ta chí can tính tốn q (xem (2.63)) tai điem cân bang Ket là: Điem cân bang Giá tr% cúa q Phân loai (1, 0) 120 > Tâm (3, 0) (−4, 0) −56 < 105 > Yên ngna Tâm (c) Lưoc đo pha đưoc the hi¾n Hình 2.11 Hình 2.11: Lưoc đo pha đoi vói h¾ Hamilton x˙ = y(13 − x2 − y2 ), y˙ = 12 − x(13 − x2 − y2 ) KET LU¾N Tính chat đ%a phương (quanh điem cân bang) cúa lưoc đo pha cúa h¾ autonom phang tong quát:   x˙ = X (x, y) y˙ = Y (x, y) đưoc xap xí qua lưoc đo pha cúa h¾ tuyen tính hóa Do khóa lu¾n yeu t¾p trung mơ tá lưoc đo pha cúa h¾ autonom tuyen tính phân loai điem cân bang cúa h¾ Em xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Hồng Huu Đưòng, Võ Đúc Tơn, Nguyen The Hồn (1970), Phương trình vi phân, NXB hoc v trung hoc chuyờn nghiắp, H Nđi [2] Hồng Huu Đưòng (1975), Lý thuyet phương trình vi phân, NXB Đai hoc trung hoc chuyên nghi¾p, Hà N®i [3] Nguyen The Hồn, Pham Phu (2007), Có só phương trình vi phân lí thuyet on đ%nh, NXB Giáo dnc [B] Tài li¾u tieng Anh [4] D W Jordan and P Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University Press ... xí tuyen tính tai điem cân bang .19 2.4 Nghi¾m tong quát cúa h¾ autonom tuyen tính 20 2.5 Đưòng cong pha cúa h¾ autonom tuyen tính 29 2.6 Tý l¾ lưoc đo pha cúa h¾ tuyen tính autonom .38... tuyen Do xét mơ hình tuyen tính hóa cúa h¾ (II) chí vai trò cúa h¾ tuyen tính hóa đoi vói h¾ (II) nghiên cúu tính chat đ %nh tính Vói lí đó, chúng tơi chon đe tài: "Hắ autonom phang v s? tuyen... Chương H¾ autonom phang sN tuyen tính hóa 2.1 M¾t phang pha tong quát Xét h¾ autonom cap m®t tong quát: x˙ = X (x, y), y˙ = Y (x, y), (2.1) vói hàm X (x, y),Y (x, y) đú trơn H¾ đưoc goi autonom