Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa

Khi đó chúng ta buộc phải nghiên cứu các tínhchất định tính của nghiệm và mặt phẳng pha là một công cụ hữu hiệutrong nghiên cứu định tính của các phương trình vi phân cấp hai xemchương 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ THÙY DUNG

HỆ AUTONOM PHẲNG VÀ SỰ TUYẾN TÍNH HÓA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng

- Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thànhbài khóa luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy

cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoànthành tốt bài khóa luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thờigian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học chonên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kínhmong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Hoàng Thị Thùy Dung

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Khóa luận là công trình nghiên cứu củariêng tôi Trong khi nghiên cứu khóa luận này, tôi đã kế thừa thành quảcủa các nhà khoa học và của các thầy cô với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Hoàng Thị Thùy Dung

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha 6 1.1 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha 6

1.2 Ví dụ về phương trình con lắc đơn trong mặt phẳng pha 9

Chương 2 Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa 12

2.1 Mặt phẳng pha tổng quát 12

2.2 Ví dụ về mô hình dân số 15

2.3 Xấp xỉ tuyến tính tại các điểm cân bằng 19

2.4 Nghiệm tổng quát của hệ autonom tuyến tính 20

2.5 Đường cong pha của hệ autonom tuyến tính 29

2.6 Tỷ lệ trong lược đồ pha của hệ tuyến tính autonom 38

2.7 Cách xây dựng lược đồ pha 40

2.8 Hệ Hamilton 43

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

MỞ ĐẦU

Phương trình vi phân là một lý thuyết có ứng dụng quan trọng trongVật lý Tuy nhiên rất nhiều phương trình vi phân không giải được (nhất làphương trình phi tuyến) Khi đó chúng ta buộc phải nghiên cứu các tínhchất định tính của nghiệm và mặt phẳng pha là một công cụ hữu hiệutrong nghiên cứu định tính của các phương trình vi phân cấp hai (xemchương 1) Ý tưởng chính là chuyển nghiên cứu phương trình vi phâncấp hai autonom:

"Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa".

Nội dung của khóa luận gồm hai chương Chương 1 trình bày tổngquát với cách sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu phương trình vi phâncấp 2 Chương 2 nghiên cứu về hệ autonom phẳng tổng quát thông quaviệc tuyến tính hóa, nghiên cứu lược đồ pha của hệ autonom tuyến tính.

Do là lần đầu nghiên cứu, thời gian và năng lực bản thân còn hạn chếnên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài nàyhoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

Chương 1

Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha

1.1 Phương trình autonom trong mặt phẳng pha

Xét phương trình autonom cấp hai dạng:

Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng pha của phương trình (1.1).

Từ hệ (1.2) ta có mối liên hệ giữa x và y xác định bởi phương trình viphân cấp một:

Trên đường cong pha chúng ta đưa vào các mũi tên chỉ hướng biếnđổi của x theo thời gian t Có thể thấy, nếu y = ˙x> 0 thì x tăng khi y tăng,nếu y = ˙x< 0 thì x giảm khi t tăng Do đó, hướng của đường cong pha

luôn từ trái sang phải ở nửa trên mặt phẳng và từ phải sang trái ở nửa mặtphẳng dưới

Mỗi điểm P(x, y) trên mặt phẳng pha tương ứng với một trạng tháivật lý (x, ˙x) chỉ vị trí và vận tốc của hệ mà phương trình vi phân (1.1) mô

tả, do đó P - được gọi là một trạng thái của hệ vật lý đó

Trạng thái cân bằng của hệ vật lý là trạng thái không biến đổi theothời gian, tức là ta có ˙x≡ 0 Khi đó ta cũng có ¨x ≡ 0 Do đó, trong mặtphẳng pha, trạng thái cân bằng tương ứng với các điểm P(x, 0) với x lànghiệm của phương trình ¨x= ˙yhay:

Vì thế, các điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.4) được gọi là điểm cân

bằngcủa (1.1) hoặc (1.2)

Trong mặt phẳng pha, biểu diễn các đường cong pha cùng với hướng

của chúng được gọi là lược đồ pha.

Phương pháp mặt phẳng pha là phương pháp sử dụng lược đồ pha đểđưa ra các tính chất của nghiệm x = x(t) của phương trình vi phân cấphai (1.1), cũng như mô tả các tính chất vật lý của hệ xác định bởi (1.1).Giả sử A, B là hai điểm trên một đường cong pha Khi đó thời gian đểtrạng thái P(x, y) biến đổi từ A tới B dọc theo đường cong đó được gọi là

thời gian chuyển từ A tới B Đó là một đại lượng không phụ thuộc vàothời điểm P bắt đầu từ A và xác định bởi:

TAB =

Z

c AB

dx

Các tính chất định tính có thể quan sát qua lược đồ pha bao gồm:i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với một nghiệm tuần hoàn của(1.1) Tuy nhiên có nghiệm tuần hoàn của (1.1) tương ứng với đườngcong pha không kín

ii) Mỗi điểm cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng của (1.1).iii) Quan sát quanh điểm cân bằng trong lược đồ pha ta có thể suy ratính chất ổn định hay không ổn định của trạng thái cân bằng vật lý.Chẳng hạn:

+) Nếu gần một điểm cân bằng, các đường cong pha là các đường

cong kín bao quanh nó thì điểm cân bằng đó được gọi là một tâm, đó là

điểm cân bằng ổn định

+) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằngđều có hướng về điểm cân bằng thì đó là một điểm cân bằng ổn định.+) Nếu dịch trạng thái cân bằng một chút nó có thể thuộc vào đườngcong pha có hướng đi xa khỏi điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằngkhông ổn định

1.2 Ví dụ về phương trình con lắc đơn trong

mặt phẳng pha

Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.

Con lắc đơn Hình 1.1 bao gồm một phần tử P khối lượng m được treovào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài a, daođộng trong mặt phẳng đứng Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì phươngtrình chuyển động của con lắc được viết là:

Tích phân phương trình này ta có phương trình các đường cong pha:

Từ đây ta có lược đồ pha cho bởi Hình 1.2: Chú ý rằng mỗi giá trị của

Hình 1.2: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.

tham số C cho ta một đường cong pha (nếu y thực) Các đường cong pha

đi qua hai điểm (−π, 0) và (π, 0) ứng với C = ω2, ứng với −ω2< C <

ω2, ứng với C > ω2

Các điểm cân bằng bao gồm (x, 0) với x thỏa mãn sinx = 0 Do đó ta

có các điểm cân bằng tại (nπ, 0), n ∈ Z

Quan sát lược đồ pha ta thấy:

i) Điểm (0, 0) là một tâm, do đó là điểm cân bằng ổn định

ii) Điểm (π, 0) là một điểm cân bằng không ổn định

iii) Các đường cong pha dạng sóng phía trên và phía dưới Hình 1.2

có y = ˙x không đổi dấu nên x liên tục tăng (hoặc giảm) theo t Điều đóứng với chuyển động quay tít của con lắc.

với các hàm X (x, y),Y (x, y) đủ trơn.

Hệ này được gọi là autonom vì biến thời gian t không xuất hiện ở vếphải của (2.1)

Các nghiệm x(t), y(t) của (2.1) được biểu diễn trên một mặt phẳngvới hệ tọa độ Đề-các x, y

Khi t tăng (x(t), y(t)) vạch ra một đường cong định hướng trong mặt

phẳng gọi là đường cong pha.

Dạng thích hợp cho điều kiện ban đầu của (2.1) là:

x= x0, y = y0 tại t = t0, (2.2)

trong đó x0, y0 là các giá trị ban đầu tại thời điểm t0

Phương trình vi phân xác định đường cong pha là ˙y/ ˙x= dy/dx vàdọc theo đường cong pha ta có:

Lược đồ mô tả những đường cong pha được gọi là lược đồ pha.Mỗi điểm (x, y) được gọi là một trạng thái của hệ, như trước đây.Lược đồ pha cho thấy sự biến đổi các trạng thái của hệ, bắt đầu từ trạngthái ban đầu tùy ý

Tại các điểm mà tại đó X 6= 0 được gọi là các điểm thường của (2.3)

Có một và chỉ một đường cong pha đi qua một điểm thường (x0, y0),không phụ thuộc vào thời điểm t0 - trạng thái đạt tới điểm (x0, y0) Do

đó, có vô hạn nghiệm của (2.1), chỉ khác nhau bởi phép dịch chuyển thờigian, cùng sinh ra một đường cong pha

Tuy nhiên, phương trình (2.3) có thể có điểm kì dị tại đó X (x, y) = 0.Các điểm mà cả X (x, y), Y (x, y) đều bằng không:

được gọi là điểm cân bằng.

Nếu (x1, y1) là một nghiệm của (2.4) thì x(t) = x1, y(t) = y1 là mộtnghiệm hằng của (2.1) và xác định đường cong pha suy biến Điểm đó

còn được gọi là điểm cố định.

Do dy/dx = Y (x, y)/X (x, y) là phương trình vi phân của đường congpha, nên các đường cong pha cắt đường cong được xác định bởi phươngtrình Y (x, y) = cX (x, y) sẽ có cùng độ dốc (hệ số góc) c Các đườngcong Y = cX được gọi là các đường đẳng tà (có hệ số góc không đổi).Hai đường đẳng tà đặc biệt Y (x, y) = 0 (đường có độ dốc bằng 0) và

X(x, y) = 0 (đường có độ dốc vô hạn) là các đường rất hữu ích trongphác họa lược đồ pha Các điểm giao của các đường đẳng tà là các điểmcân bằng Giữa các đường đẳng tà, X (x, y) và Y (x, y) phải có một dấu.Chẳng hạn, ở trong một miền của mặt phẳng (x, y) cùng với X (x, y) > 0

và Y (x, y) > 0, các đường cong pha phải có độ dốc dương Điều này cũngxảy ra nếu X (x, y) < 0 và Y (x, y) < 0 Tương tự, nếu X (x, y) và Y (x, y)trái dấu nhau trong một miền thì đường cong pha phải có độ dốc âm

Ví dụ 2.1 Xác định vị trí các điểm cân bằng và phác họa các đường

cong pha của hệ:

˙

x= y(1 − x2), ˙y= −x(1 − y2)

Điểm cân bằng xảy ra tại điểm là nghiệm của hệ:

y(1 − x2) = 0, x(1 − y2) = 0

Nghiệm của các phương trình tương ứng là: x = ±1, y = 0 và x = 0,

y = ±1, nên ta có năm cặp nghiệm (0, 0), (1, 1), (1, −1), (−1, 1) và(−1, −1) là những điểm cân bằng

Các đường cong pha thỏa mãn phương trình vi phân:

dy

dx=−x(1 − y2)y(1 − x2) .

giải phương trình này ta có:

Chú ý rằng các nghiệm đặc biệt x = ±1 và y = ±1 ứng với trường hợp

A= 0 Những nghiệm này và vị trí của các điểm cân bằng giúp chúng ta

vẽ lược đồ pha (Hình 2.1) các đường cong cắt trục x = 0 với độ dốc bằng

0 và các đường cong pha cắt trục y = 0 với độ dốc vô hạn tại các điểmcắt

Hướng của đường cong pha có thể nhận được nhờ tính liên tục: bắtđầu tại điểm (0, 1), ta có ˙x> 0 nên đường cong pha sẽ chạy từ trái sangphải

2.2 Ví dụ về mô hình dân số

Ví dụ 2.2 Bài toán về loài săn mồi-con mồi (Mô hình của Volterra)

Hình 2.1:Lược đồ pha cho ˙ x = y(1 − x2); ˙ y = −x(1 − y2); các đường nét đứt là đường đẳng tà với độ dốc bằng 0 và độ dốc vô hạn.

Hình 2.2:Lược đồ pha cho (a): ˙ x = y , ˙ y = −x (b): ˙ x = xy , ˙ y = −x2.

Trong một hồ cá có 2 loài cá: A (con mồi) ăn thực vật và giả thiết là

có nguồn cung dồi dào và B (loài săn mồi) ăn A Chúng ta sẽ xây dựngmột mô hình thô cho sự tương tác của A và B

Gọi x(t) là số lượng của loài A và y(t) là số lượng của loài B Chúng

ta giả sử rằng A tương đối sống lâu và sinh sản rất nhanh nếu còn lại mộtmình.

Khi đó, trong thời gian δ t, có một sự gia tăng số lượng được cho bởi:

axδ t, a > 0

Tỉ lệ sinh tử tự nhiên (a > 0) và ”gia tăng âm”

−cxδt, c > 0,

do A bị ăn thịt bởi B (số lượng được ăn trong thời gian này được giả định

là tỉ lệ thuận với số lượng gặp gỡ giữa A và B) Sự gia tăng số lượng của

đó là tại (0, 0) và (b/d, a/c) Đường cong pha được cho bởi:

Hình 2.3 biểu diễn các đường cong trong một trường hợp cụ thể.Hướng trên đường cong pha nhận được từ dấu của ˙x tại một điểm bất

kì thậm chí là trên đường y = 0 nhờ tính liên tục Từ (2.6) và (2.5), cácđường đẳng tà với độ dốc 0 xuất hiện khi ˙y = 0, đó là đường y = 0 và

x= b/d và đường đẳng tà với độ dốc vô hạn xuất hiện khi ˙x= 0, là cácđường x = 0 và y = a/c

Do các đường cong pha đóng, nên sự biến thiên của x(t) và y(t) bắtđầu từ số lượng ban đầu bất kì đều tuần hoàn, số lượng lớn nhất của Athu được vào khoảng 1/4 chu kì sau thời điểm số lượng của B đạt lớnnhất Khi A bị ăn khiến B phát triển mạnh và dân số x của A giảm, cuốicùng lại gây ra sự sụt giảm của B Khi đó, sự thiếu hụt của loài săn mồidẫn đến sự hồi sinh của A và chu kì bắt đầu lại một lần nữa

Một sự thay đổi đột ngột trong trạng thái do các nguyên nhân bênngoài, chẳng hạn như một mùa xấu cho các loại thực vật thì ta hi vọng

Hình 2.3:Lược đồ pha điển hình cho mô hình săn mồi-con mồi.

sẽ chuyển trạng thái sang một đường cong kín khác, nhưng không có xuhướng cân bằng số lượng và cũng không khiến cho loài nào tuyệt chủng

2.3 Xấp xỉ tuyến tính tại các điểm cân bằng

Xấp xỉ của một hệ phi tuyến bằng cách tuyến tính hóa hệ đó tại cácđiểm cân bằng, như trong ví dụ vừa nêu, là một kĩ thuật rất quan trọng vàhữu ích Nếu bản chất hình học của các điểm cân bằng có thể được thiếtlập theo cách này thì các đặc trưng của lược đồ pha sẽ trở nên rõ ràng.Xét hệ:

˙

x= X (x, y), ˙y= Y (x, y) (2.8)

Giả sử, điểm cân bằng cần nghiên cứu đã được chuyển đến gốc tọa

độ (nhờ một phép tịnh tiến, nếu cần thiết) Khi đó:

X(0, 0) = Y (0, 0) = 0

và theo khai triển Taylor ta có:

X(x, y) = ax + by + P(x, y), Y (x, y) = cx + dy + Q(x, y),

trong đó r, s, λ là hằng số nào đó Giả sử hai nghiệm đó là (x1(t), y1(t))

và (x2(t), y2(t)) Khi đó nghiệm tổng quát được cho bởi:

Với mỗi giá trị lần lượt ta đi giải (iii) cho r và s:

Trường hợp: λ = λ1 = 4 Phương trình (iii) trở thành:

và ta tìm được nghiệm có dạng (i):

Trong ví dụ dưới đây, các số λ1 và λ2 là số phức:

Ví dụ 2.4 Tìm nghiệm tổng quát của hệ:

Để tồn tại nghiệm (r, s) khác không thì:

x1(t) = e(−1+i)t, y1(t) = (−2 + i)e(−1+i)t (v)

Trường hợp λ = λ2 = ¯λ1 thì từ phương trình (i) ta thấy ngay:

r2 = ¯r1 = 1, s2 = ¯s1= −2 − i

và nghiệm tương ứng của hệ phương trình vi phân là:

x2(t) = e(−1−i)t, y2(t) = (−2 − i)e(−1−i)t

(đó là hàm phức liên hợp của x1(t), y1(t)) Vì vậy, nghiệm tổng quát của

hệ là:

x(t) = C1e(−1+i)t+C2e(−1−i)t,

y(t) = C1(−2 + i)e(−1+i)t+C2(−2 − i)e(−1−i)t (vi)

Nếu ta cho C1, C2 là những số phức tùy ý, thì (vi) cho ta mọi nghiệmthực và nghiệm phức của hệ phương trình Nhưng ta chỉ quan tâm đếnnghiệm thực nên ta lọc ra từ (vi) Điều này được thực hiện bằng cách cho

˙y(t)





Hệ phương trình vi phân: ˙x= ax + by, y˙= cx + dy

Ta chỉ xét trường hợp hệ có một điểm cân bằng duy nhất, tại gốc tọa

độ, điều kiện để có điều này là:

(Nếu det A=0 thì các dòng là một bội số của dòng khác, nên ax +by =

0 (hoặc cx + dy = 0 ) là đường các điểm cân bằng)

Ta tìm nghiệm cơ bản của hệ phương trình vi phân gồm hai nghiệmđộc lập tuyến tính của (2.12) có dạng:

x1(t) = v1eλ1t, x2(t) = v2eλ2t, (2.14)

trong đó λ1, λ2 là hằng số và v1, v2 là vectơ không đổi Khi đó nghiệmtổng quát của (2.12) được cho bởi:

x(t) = C1x1(t) +C2x2(t), (2.15)trong đó C1, C2 là hằng số tùy ý

Để xác định λ1, v1, λ2, v2 trong (2.14), thay:

vào hệ các phương trình (2.12), giản ước eλ t, ta được:

λ v = Av

Các giá trị riêng λ = λ1 và λ = λ2 được cho bởi:

Trong trường hợp này λ1 và λ2 là số thực và phân biệt khi λ = λ1phương trình (2.19) đối với r và s trở thành:

(a − λ )r + bs = 0, cr + (d − λ )s = 0 (2.25)

Do định thức (2.20) bằng 0, nên hàng của nó là phụ thuộc tuyến tính,

do đó tương đương với một phương trình trong đó Lấy r = r1, s = s1 lànghiệm (khác 0) bất kì của (2.25), và đặt (phù hợp với (2.18)):

v1 được gọi là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ1 Khi

đó ta thu được một trong hai nghiệm cơ bản có dạng (2.14) Lặp lại quátrình này với λ2, ta có vectơ riêng thứ hai:

Nghiệm tổng quát được cho bởi (2.15):

x(t) = C1v1eλ1 t +C2v2eλ2 t

(2.27)

ở dạng vectơ, C1 và C2 là hằng số bất kì

Nghiệm theo thời gian khi ∆ < 0, q 6= 0:

Trường hợp này λ1 và λ2, thu được từ (2.24) là số phức:

2p và β = 1

2

√

−∆ là số thực Vì vậy λ1 và λ2 là số phứcliên hợp

Ta được một vectơ riêng tương ứng với λ1 từ (2.19):