Cho hệ:
˙
x=ax+by, y˙=cx+dy. (2.32) Đặc tính tổng quát của đường cong pha có thể thu được từ nghiệm theo thời gian (2.27) và (2.30), nên ta tìm đường cong pha trực tiếp bằng cách giải phương trình vi phân:
dy dx =
cx+dy ax+by.
Đây là phương trình vi phân thuần nhất, tuy nhiên nghiệm của phương trình này thường cho bởi mối liên hệ giữa ẩn x và y, rất khó mô tả hình học. Do đó ta tìm nghiệm dưới dạng tham số t từ (2.32) như trong mục 2.4.
Lược đồ pha có3loại chính, tùy thuộc vào các giá trị riêng, là nghiệm λ1,λ2 của phương trình đặc trưng (2.22):
λ2−pλ+q=0, (2.33) với p=a+d vàq=ad−bc6=0. Ba loại đó là:
(A)λ1,λ2 là số thực, phân biệt và có cùng dấu. (B)λ1,λ2 là số thực, phân biệt và trái dấu. (C)λ1,λ2 là những số phức liên hợp. Bây giờ ta xét riêng từng trường hợp:
(A) Trường hợp giá trị riêng thực, phân biệt và có cùng dấu. Giả sử
λ2 <λ1. (2.34) Nghiệm tổng quát của (2.27) trong trường hợp này là:
x(t) =C1r1eλ1t +C2r2eλ2t, y(t) =C1s1eλ1t +C2s2eλ2t, (2.35) trong đóC1,C2 là hằng số bất kì vàr1, s1 và r2,s2 là nghiệm của (2.25) vớiλ =λ1 vàλ =λ2. Từ (2.34) ta có: dy dx = ˙ y ˙ x = C1s1λ1eλ1t +C2s2λ2eλ2t C1r1λ1eλ1t +C2r2λ2eλ2t. (2.36) Trước tiên giả sử rằng:
λ2 <λ1 <0. (2.37)
Theo (2.36) và (2.34) thì dọc theo đường cong pha bất kì:
xvàytiến tới gốc tọa độ khi t→∞
xvàytiến tới vô cực khi t→ −∞
Ngoài ra có 4 đường cong pha, hai trong số đó nằm dọc theo một trong hai đường thẳng sau:
Nếu C2 =0, y x = s1 r1 Nếu C1 =0, y x = s2 r2 . (2.39)
Theo (2.35), số hạng trội khi t →+∞ là: eλ1t, khi t → −∞ là: eλ2t
nên: dy dx → s1 r1 khit →∞ dy dx → s2 r2 khit → −∞ . (2.40)
Cùng với (2.38) và (2.39), điều này cho thấy mọi đường cong pha đều tiếp xúc vớiy= (s1/r1)xtại gốc tọa độ, và tiến đến theo hướng của
y= (s2/r2)x tại vô cực. Các nghiệm (2.38) được gọi là đường tiệm cận của họ đường cong pha. Những đặc tính này có thể được nhìn thấy trong Hình 2.4(a).
Nếu λ1 > λ2 > 0 thì lược đồ pha có đặc điểm tương tự như Hình 2.4(b), nhưng tất cả đường cong pha đều hướng ra ngoài, chạy từ gốc tọa độ đến vô cực.
Các dạng lược đồ pha này gọi là các nút. Hình 2.4(a) biểu diễn một nút ổn định và Hình 2.4(b) là một nút không ổn định. Các điều kiện của các hệ số tương ứng với các trường hợp:
Nút ổn định:∆= p2−4q>0,q>0,p<0 Nút không ổn định:∆= p2−4q>0,q>0,p>0 . (2.41)
(B) Trường hợp các giá trị riêng là thực, phân biệt và trái dấu: Giả sử:λ2 <0<λ1.
Hình 2.4: (a) Nút ổn định. Hình 2.4(b) Nút không ổn định.
Khi đó ta vẫn có nghiệm cho bởi (2.35) và phương trình đường cong pha của (2.36). Tương tự như trường hợp(A) ta có 4đường cong pha là các đường thẳng tỏa ra từ gốc tọa độ, hai trong số đó nằm dọc theo một đường thẳng: y x = s1 r1 và y x = s2 r2. (2.42)
Chúng được phân tách bởi điểm cân bằng là gốc tọa độ.
Tuy nhiên, trong trường hợp này chỉ có hai đường tiến tới gốc tọa độ, đó là những đường thẳng nằm dọc theo y
x = s2
r2, thu được bằng cách đặt C1 =0. Cặp khác còn lại hướng đến vô cực khi t → ∞, như tất cả các đường khác. Ngoài ra, mọi đường cong pha (trừ hai đường nằm dọc
y x =
s2
r2) bắt đầu tại vô cực khit → −∞. Mô hình giống như một họ của đường hypebol cùng với đường tiệm cận của nó, như minh họa ở Hình 2.5.
Điểm cân bằng này được gọi là một điểm yên ngựa. Theo (2.33), điều kiện về các hệ số của phương trình đặc trưng là:
Hình 2.5: Điểm yên ngựa.
Điểm yên ngựa:
∆= p2−4q>0,q<0. (2.43) Điểm yên ngựa thì luôn không ổn định.
(C) Trường hợp giá trị riêng là những số phức: Giả sử các giá trị riêng là:
λ1 =α+iβ,λ2 =α−iβ (α,βthực), (2.44) Bằng cách tách riêng các thành phần của (2.31) ta được nghiệm tổng quát: x(t) =eαtRe n Crieiβt o , y(t) =eαtRe n Csieiβt o , (2.45) trong đóC,ri, si là số phức. Khi đó (2.44), vớiα =0trở thành: x(t) =|C|.|r1|cos(βt+γ+ρ) y(t) =|C|.|s1|cos(βt+γ+ρ) . (2.46)
Chuyển động của các điểm đại diện (x(t), y(t)) trên mặt phẳng pha bao gồm hai thành phần điều hòa đơn giản với cùng tần số trònβ, theo các hướng x và y, nhưng chúng có độ lệch pha và biên độ khác nhau. Do đó, các đường cong pha là một họ các ellip đồng dạng và nói chung, nghiêng một góc không đổi đối với các trục.
Trường hợp này được minh họa trong Hình 2.6. Các điều kiện đại số tương ứng với tâm tại gốc tọa độ là:
Tâmp=0,q>0. (2.47)
Hình 2.6: Tâm tương tự như trường hợp quay tít.
Bây giờ giả sử rằngα 6=0. Khi tăngt trong phương trình (2.43), các đường ellip trên được điều chỉnh bởi nhân tử eαt. Điều này phá vỡ tính đóng của chúng và mỗi ellip biến thành một xoắn ốc, một xoắn ốc co dần nếu α <0, một xoắn ốc mở rộng nếu α >0 (xem hình 2.7). Điểm cân bằng được gọi là một xoắn ốc (hay tiêu điểm) ổn định nếuα >0, không ổn định nếu α <0. Hướng có thể cùng chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ.
Hình 2.7:a) Xoắn ốc ổn định b) Xoắn ốc không ổn định.
Điều kiện đại số là:
Xoắn ốc ổn định:∆= p2−4q,q>0, p<0 Xoắn ốc không ổn định:∆= p2−4q,q>0, p>0 . (2.48)
Ví dụ 2.5. Xác định tính chất của điểm cân bằng của hệ x˙=−x−5y, ˙
y=x+3y.
Ta cóa=−1, b=−5, c=1, d=3. Do đó:
p=a+d =2>0,q=ad−bc=2>0
nên∆= p2−4q=−4<0. Theo (2.46) điểm cân bằng là xoắn ốc không ổn định. Bằng cách đặt chẳng hạnx>0,y=0 vào phương trình đối với
˙
y, ta được y˙>0 đối với đường cong pha khi chúng cắt chiều dương của trục x. Đường xoắn ốc do đó giãn theo hướng ngược chiều kim đồng hồ.
Ngoài các trường hợp đã thảo luận, còn có một số trường hợp suy biến. Chúng xảy ra khi giá trị riêng bằng0.
thì như trường hợp ở (2.27) vớiv1 vàv2 là các vectơ riêng:
x(t) =C1v1ept+C2v2. Có một đường thẳng các điểm cân bằng cho bởi:
ax+by=0,
(lúc đó ta cũng có cx+dy = 0). Các đường cong pha là một họ các đường song song như trong Hình 2.8. Một trường hợp đặc biệt phát sinh nếuq=0vàp=0 :
Nếu ∆ =0, thì giá trị riêng là số thực bằng nhau với λ = 1
2p. Nếu
p 6=0, nó có thể chứng minh rằng điểm cân bằng là một nút suy biến (xem hình 2.8), trong đó2đường tiệm cận hội tụ về gốc.
Hình 2.8 là sự tổng kết bằng hình của mục này về phân loại điểm cân bằng theo các tham số p,q,∆.
Hình 2.8:Phân loại hệ tuyến tính trong mặt phẳng(p,q) x˙=ax+by,y˙=cx+ dyvới p=a+d,q=ad−bc,∆= p2−4q.
Phân loại các điểm cân bằng của hệx˙=ax+by,y˙=cx+dy
Điểm cân bằng p=a+d q=ad−bc ∆= p2−4q
Điểm yên ngựa − q<0 ∆>0 Nút ổn định p<0 q>0 ∆>0 Xoắn ốc ổn định p<0 q>0 ∆<0 Nút không ổn định p>0 q>0 ∆>0 Xoắn ốc không ổn định p>0 q>0 ∆<0 Tâm p=0 q>0 ∆<0 Nút ổn định suy biến p<0 q>0 ∆=0 Nút không ổn định suy biến p>0 q>0 ∆=0
Tâm có thể coi là một trương hợp suy biến, là sự chuyển tiếp giữa xoắn ốc ổn định và xoắn ốc không ổn định. Sự tồn tại của tâm chỉ xảy ra khi có một "sự nghỉ", a+d =0 của các hệ số của hệ nên tâm là một trường hợp dễ bị phá vỡ. Do đó xấp xỉ tuyến tính của một hệ phi tuyến có tâm thì không thể xác định một cách chắc chắn rằng hệ phi tuyến ban đầu có tâm. Nó có thể có một xoắn ốc ổn định, hoặc tệ hơn là một xoắn ốc không ổn định. Điều tương tự cũng đúng đối với tất cả các trường hợp suy biến đã chỉ ra, nếu xấp xỉ tuyến tính rơi vào trường hợp suy biến thì thông tin thu được không đủ để kết luận cho hệ phi tuyến.
Nếu tồn tại một lân cận của điểm cân bằng sao cho mọi đường cong pha bắt đầu trong lân cận đó đều tiến đến điểm cân bằng, thì điểm này được gọi là điểm hút (thuật ngữ này được dùng cho cả hệ tuyến tính và phi tuyến). Nút ổn định và xoắn ốc ổn định là các điểm hút. Một điểm cân bằng có tất cả các hướng đường cong pha đảo chiều là một điểm đẩy (repellor). Nút không ổn định và xoắn ốc không ổn định là các điểm đẩy,
nhưng điểm yên ngựa thì không.
Nếu các giá trị riêng của hệ xấp xỉ tuyến tính có các phần thực khác0 thì điểm cân bằng được gọi là hypebolic. Người ta chứng minh được rằng tại các điểm hypebolic lược đồ pha của hệ tuyến tính và hệ phi tuyến là như nhau địa phương. Các xoắn ốc, nút và yên ngựa là hypebolic nhưng các tâm thì không phải.