autonom
Xét hệ :
˙
x=ax+by,y˙=cx+dy. (2.49) Trong Hình 2.9, Plà một đoạn của đường cong pha, đi qua A(xA,yA)
tại thời điểm chẳng hạnt =0vàP(xP(t),yP(t))là điểm biểu diễn trênP
tại thời điểmt.
ĐoạnCklà một bản sao (do co dãn) của P, được xây dựng theo cách sau. Chọn bất kì hằng sốk, và hai điểmB(xB,yB) vàQ(xQ,yQ) sao cho:
(xB,yB) = (kxA,kyA), (xQ,yQ) = (kxP,kyP). (2.50) Khi đóPnằm trên bán kínhOAvàQnằm trên bán kínhOP, (kéo dài nếu khi cần thiết). Điểm P và Q nằm trên cùng một phía hoặc hai phía đối diện với gốc tọa độ tùy thuộc vào k>0 hay k<0 (trong Hình 2.9,
k>1). Khi điểm đại diện P di chuyển trên đường cong pha P, thì Q vẽ lên đường congCk.
Hình 2.9:Plà một đoạn đường cong pha.Ck là hình ảnh vị tự củaPvới hệ số k và nó cũng là một đường cong pha.
Do P là một điểm đại diện trên đường cong pha℘, nên hệ phương trình (2.50) cho ta:
kx˙P=a(kxP) +b(kyP),ky˙P=c(kxP) +d(kyP). Do đó theo (2.50) thì:
˙
xQ =axQ+byQ, y˙Q =cxQ+dyQ. (2.51) Chứng tỏ các hàm xQ(t),yQ(t) cũng thỏa mãn hệ phương trình, với
Qđi qua B tại thời điểm t =0. Do đó với bất kì giá trị của k, Ck là một đường cong pha, vớiQlà điểm đại diện.
Các kết quả sau được suy ra dễ dàng từ kết quả này:
(i) Mỗi đường cong pha căng trên một góc đỉnh tại gốc đều cho ta xác định mọi đoạn đường cong pha khác nằm trong góc đó và trong góc đối đỉnh. Một miền chứa một đường cong tròn bán kínhr, tâm tại gốc tọa độ, đều chứa cùng một dạng hình học của đường cong pha không phụ thuộc vào bán kínhr.
(ii) Tất cả các đường cong pha căng trên hai cạnh của một góc đều đồng dạng ( hình học). Chúng đồng dạng cả về vị trí và hướng nếuk>0, và đối xứng qua gốc tọa độ nếuk<0.
(iii) Bất kì nửa chu kì của một xoắn ốc (có nghĩa là một đoạn bất kì với góc mở bằngπ) đều tạo ra cấu trúc xoắn ốc đầy đủ của lược đồ pha.
(iv) Tất cả các đoạn đường cong pha căng trên hai cạnh của một góc đỉnh O đều có cùng thời gian chuyển. Đặc biệt, tất cả các đường cong pha kín đều có cùng chu kì. Tất cả vòng lặp của xoắn ốc bất kì (nghĩa là, một đoạn ứng với góc nửa2π) đều có cùng thời gian chuyển.
(v) Mọi hệ tuyến tính đều không có chu trình giới hạn (nghĩa là, không có đường cô lập kín).