Luận văn sư phạm Hệ Autonom phẳng và sự tuyến tính hóa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN HOÀNG THỊ THÙY DUNG HỆ AUTONOM PHẲNG VÀ SỰ TUYẾN TÍNH HĨA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy tổ Giải tích thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khóa luận Trong khn khổ có hạn khóa luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hồng Thị Thùy Dung LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong nghiên cứu khóa luận này, tơi kế thừa thành nhà khoa học thầy cô với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Thùy Dung Mục lục Mở đầu Chương Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha 1.1 Phương trình autonom mặt phẳng pha 1.2 Ví dụ phương trình lắc đơn mặt phẳng pha Chương Hệ autonom phẳng tuyến tính hóa 12 2.1 Mặt phẳng pha tổng quát 12 2.2 Ví dụ mơ hình dân số 15 2.3 Xấp xỉ tuyến tính điểm cân 19 2.4 Nghiệm tổng quát hệ autonom tuyến tính 20 2.5 Đường cong pha hệ autonom tuyến tính 29 2.6 Tỷ lệ lược đồ pha hệ tuyến tính autonom 38 2.7 Cách xây dựng lược đồ pha 40 2.8 Hệ Hamilton 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân lý thuyết có ứng dụng quan trọng Vật lý Tuy nhiên nhiều phương trình vi phân khơng giải (nhất phương trình phi tuyến) Khi buộc phải nghiên cứu tính chất định tính nghiệm mặt phẳng pha công cụ hữu hiệu nghiên cứu định tính phương trình vi phân cấp hai (xem chương 1) Ý tưởng chuyển nghiên cu phng trỡnh vi phõn cp hai autonom: xă = f (x, x), ˙ nghiên cứu hệ phương trình vi phân cấp một:   x˙ = y y˙ = f (x, y) (I) Điều gợi ý cho ta xét hệ phương trình vi phân tổng quát hơn:   x˙ = X(x, y) (II) y˙ = Y (x, y) Hy vọng rằng, tương tự hệ (I), có kết hữu dụng hệ (II) Thực tế hệ (II) phức tạp X, Y hàm phi tuyến Do xét mơ hình tuyến tính hóa hệ (II) vai trị hệ tuyến tính hóa hệ (II) nghiên cứu tính chất định tính Với lí đó, chúng tơi chọn đề tài: "Hệ autonom phẳng tuyến tính hóa" Nội dung khóa luận gồm hai chương Chương trình bày tổng quát với cách sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu phương trình vi phân cấp Chương nghiên cứu hệ autonom phẳng tổng qt thơng qua việc tuyến tính hóa, nghiên cứu lược đồ pha hệ autonom tuyến tính Do lần đầu nghiên cứu, thời gian lực thân hạn chế nên chắn nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn đọc để đề tài hoàn chỉnh đạt kết cao Chương Phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng pha 1.1 Phương trình autonom mặt phẳng pha Xét phương trình autonom cấp hai dng: xă = f (x, x) (1.1) nghiên cứu định tính phương trình ta đặt: y = x ˙ Khi phương trình (1.1) đưa phương trình vi phân cấp một:   x˙ = y (1.2) y˙ = f (x, y) Mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng pha phương trình (1.1) Từ hệ (1.2) ta có mối liên hệ x y xác định phương trình vi phân cấp một: f (x, y) dy = dx y (1.3) Mỗi đường cong nghiệm (1.3) gọi đường cong pha (1.1) (1.2), phương trình (1.3) cịn gọi phương trình vi phân xác định đường cong pha Trên đường cong pha đưa vào mũi tên hướng biến đổi x theo thời gian t Có thể thấy, y = x˙ > x tăng y tăng, y = x˙ < x giảm t tăng Do đó, hướng đường cong pha từ trái sang phải nửa mặt phẳng từ phải sang trái nửa mặt phẳng Mỗi điểm P(x, y) mặt phẳng pha tương ứng với trạng thái vật lý (x, x) ˙ vị trí vận tốc hệ mà phương trình vi phân (1.1) mơ tả, P - gọi trạng thái hệ vật lý Trạng thái cân hệ vật lý trạng thái không biến đổi theo thời gian, tức ta có x˙ ≡ Khi ta cng cú xă Do ú, mt phng pha, trạng thái cân tương ứng với điểm P(x, 0) vi x l nghim ca phng trỡnh xă = y˙ hay: f (x, 0) = (1.4) Vì thế, điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.4) gọi điểm cân (1.1) (1.2) Trong mặt phẳng pha, biểu diễn đường cong pha với hướng chúng gọi lược đồ pha Phương pháp mặt phẳng pha phương pháp sử dụng lược đồ pha để đưa tính chất nghiệm x = x(t) phương trình vi phân cấp hai (1.1), mơ tả tính chất vật lý hệ xác định (1.1) Giả sử A, B hai điểm đường cong pha Khi thời gian để trạng thái P(x, y) biến đổi từ A tới B dọc theo đường cong gọi thời gian chuyển từ A tới B Đó đại lượng khơng phụ thuộc vào thời điểm P A xác định bởi: dx AB y TAB = (1.5) Các tính chất định tính quan sát qua lược đồ pha bao gồm: i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với nghiệm tuần hoàn (1.1) Tuy nhiên có nghiệm tuần hồn (1.1) tương ứng với đường cong pha khơng kín ii) Mỗi điểm cân tương ứng với nghiệm (1.1) iii) Quan sát quanh điểm cân lược đồ pha ta suy tính chất ổn định hay khơng ổn định trạng thái cân vật lý Chẳng hạn: +) Nếu gần điểm cân bằng, đường cong pha đường cong kín bao quanh điểm cân gọi tâm, điểm cân ổn định +) Nếu đường cong pha lân cận điểm cân có hướng điểm cân điểm cân ổn định +) Nếu dịch trạng thái cân chút thuộc vào đường cong pha có hướng xa khỏi điểm cân điểm cân khơng ổn định 1.2 Ví dụ phương trình lắc đơn mặt phẳng pha Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x Con lắc đơn Hình 1.1 bao gồm phần tử P khối lượng m treo vào điểm cố định O sợi dây hay mảnh có độ dài a, dao động mặt phẳng đứng Nếu bỏ qua ma sát sức cản phương trình chuyển động lc c vit l: xă + sinx = 0, (1.6) đó, x góc nghiêng dây so với phương thẳng đứng, g gia tốc trọng trường ω = g/a Đặt x˙ = y ta có hệ phương trình vi phân cấp một:   x˙ = y y˙ = −ω sinx Phương trình xác định đường cong pha là: ω sinx dy =− dx y Hình 2.7: a) Xoắn ốc ổn định b) Xoắn ốc không ổn định Điều kiện đại số là: Xoắn ốc ổn định : ∆ = p2 − 4q, Xoắn ốc không ổn định : ∆ = q > 0, p < p2 − 4q,   q > 0, p >  (2.48) Ví dụ 2.5 Xác định tính chất điểm cân hệ x˙ = −x − 5y, y˙ = x + 3y Ta có a = −1, b = −5, c = 1, d = Do đó: p = a + d = > 0, q = ad − bc = > nên ∆ = p2 − 4q = −4 < Theo (2.46) điểm cân xoắn ốc không ổn định Bằng cách đặt chẳng hạn x > 0, y = vào phương trình y, ˙ ta y˙ > đường cong pha chúng cắt chiều dương trục x Đường xoắn ốc giãn theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Ngồi trường hợp thảo luận, cịn có số trường hợp suy biến Chúng xảy giá trị riêng Nếu q = detA = giá trị riêng λ1 = p, λ2 = Nếu p = 35 trường hợp (2.27) với v1 v2 vectơ riêng: x(t) = C1 v1 e pt +C2 v2 Có đường thẳng điểm cân cho bởi: ax + by = 0, (lúc ta có cx + dy = 0) Các đường cong pha họ đường song song Hình 2.8 Một trường hợp đặc biệt phát sinh q = p = : p Nếu p = 0, chứng minh điểm cân nút suy biến Nếu ∆ = 0, giá trị riêng số thực với λ = (xem hình 2.8), đường tiệm cận hội tụ gốc Hình 2.8 tổng kết hình mục phân loại điểm cân theo tham số p, q, ∆ Hình 2.8: Phân loại hệ tuyến tính mặt phẳng (p, q) x˙ = ax + by, y˙ = cx + dy với p = a + d, q = ad − bc, ∆ = p2 − 4q 36 Phân loại điểm cân hệ x˙ = ax + by, y˙ = cx + dy Điểm cân p = a+d Điểm yên ngựa q0 Nút ổn định − p0 ∆>0 Xoắn ốc ổn định p0 ∆0 q>0 ∆>0 Xoắn ốc không ổn định p>0 q>0 ∆0 ∆0 q>0 ∆=0 q = ad − bc ∆ = p2 − 4q Tâm coi trương hợp suy biến, chuyển tiếp xoắn ốc ổn định xoắn ốc không ổn định Sự tồn tâm xảy có "sự nghỉ", a + d = hệ số hệ nên tâm trường hợp dễ bị phá vỡ Do xấp xỉ tuyến tính hệ phi tuyến có tâm xác định cách chắn hệ phi tuyến ban đầu có tâm Nó có xoắn ốc ổn định, tệ xoắn ốc không ổn định Điều tương tự tất trường hợp suy biến ra, xấp xỉ tuyến tính rơi vào trường hợp suy biến thơng tin thu khơng đủ để kết luận cho hệ phi tuyến Nếu tồn lân cận điểm cân cho đường cong pha bắt đầu lân cận tiến đến điểm cân bằng, điểm gọi điểm hút (thuật ngữ dùng cho hệ tuyến tính phi tuyến) Nút ổn định xoắn ốc ổn định điểm hút Một điểm cân có tất hướng đường cong pha đảo chiều điểm đẩy (repellor) Nút không ổn định xoắn ốc không ổn định điểm đẩy, 37 điểm n ngựa khơng Nếu giá trị riêng hệ xấp xỉ tuyến tính có phần thực khác điểm cân gọi hypebolic Người ta chứng minh điểm hypebolic lược đồ pha hệ tuyến tính hệ phi tuyến địa phương Các xoắn ốc, nút yên ngựa hypebolic tâm khơng phải 2.6 Tỷ lệ lược đồ pha hệ tuyến tính autonom Xét hệ : x˙ = ax + by, y˙ = cx + dy (2.49) Trong Hình 2.9, P đoạn đường cong pha, qua A(xA , yA ) thời điểm chẳng hạn t = P(xP (t), yP (t)) điểm biểu diễn P thời điểm t Đoạn Ck (do co dãn) P, xây dựng theo cách sau Chọn số k, hai điểm B(xB , yB ) Q(xQ , yQ ) cho: (xB , yB ) = (kxA , kyA ), (xQ , yQ ) = (kxP , kyP ) (2.50) Khi P nằm bán kính OA Q nằm bán kính OP, (kéo dài cần thiết) Điểm P Q nằm phía hai phía đối diện với gốc tọa độ tùy thuộc vào k > hay k < (trong Hình 2.9, k > 1) Khi điểm đại diện P di chuyển đường cong pha P, Q vẽ lên đường cong Ck 38 Hình 2.9: P đoạn đường cong pha Ck hình ảnh vị tự P với hệ số k đường cong pha Do P điểm đại diện đường cong pha ℘, nên hệ phương trình (2.50) cho ta: kx˙P = a(kxP ) + b(kyP ), ky˙P = c(kxP ) + d(kyP ) Do theo (2.50) thì: x˙Q = axQ + byQ , y˙Q = cxQ + dyQ (2.51) Chứng tỏ hàm xQ (t), yQ (t) thỏa mãn hệ phương trình, với Q qua B thời điểm t = Do với giá trị k, Ck đường cong pha, với Q điểm đại diện Các kết sau suy dễ dàng từ kết này: (i) Mỗi đường cong pha căng góc đỉnh gốc cho ta xác định đoạn đường cong pha khác nằm góc góc đối đỉnh Một miền chứa đường cong trịn bán kính r, tâm gốc tọa độ, chứa dạng hình học đường cong pha khơng phụ thuộc vào bán kính r 39 (ii) Tất đường cong pha căng hai cạnh góc đồng dạng ( hình học) Chúng đồng dạng vị trí hướng k > 0, đối xứng qua gốc tọa độ k < (iii) Bất kì nửa chu kì xoắn ốc (có nghĩa đoạn với góc mở π) tạo cấu trúc xoắn ốc đầy đủ lược đồ pha (iv) Tất đoạn đường cong pha căng hai cạnh góc đỉnh O có thời gian chuyển Đặc biệt, tất đường cong pha kín có chu kì Tất vịng lặp xoắn ốc (nghĩa là, đoạn ứng với góc nửa 2π) có thời gian chuyển (v) Mọi hệ tuyến tính khơng có chu trình giới hạn (nghĩa là, khơng có đường lập kín) 2.7 Cách xây dựng lược đồ pha Giả sử hệ : x˙ = X(x, y), y˙ = Y (x, y) (2.52) có điểm cân (x0 , y0 ) : X(x0 , y0 ) = 0, Y (x0 , y0 ) = (2.53) Dạng đường cong pha gần (x0 , y0 ) nghiên cứu cách tuyến tính hóa hệ phương trình gần điểm Nếu tọa độ địa phương định nghĩa bởi: ξ = x − x0 , η = y − y0 40 ta có xấp xỉ:      ˙ ξ ξ a b  ,  = η˙ c d η (2.54) hệ số cho bởi:  a  c ∂X  (x0 , y0 ) ∂x =  ∂Y d (x0 , y0 ) ∂x b  ∂X (x0 , y0 )  ∂y  ∂Y (x0 , y0 ) ∂y (2.55) Khi đó, điểm cân phân loại Mục 2.4 Điều thực cho điểm cân bằng, từ ta đưa nhận định tốt lược đồ pha đầy đủ ví dụ Ví dụ 2.6 Phác họa sơ đồ pha cho hệ phi tuyến: x˙ = x − y, y˙ = − xy (i) Hệ có điểm cân (-1, -1) (1, 1) Ma trận tuyến tính hóa là: ∂X  ∂x  ∂Y ∂x  ∂X   ∂ y  =  −1 ∂Y  −y −x ∂y Tại (-1, -1), phương trình (2.55) trở thành:      ˙ ξ −1 ξ  =  , η˙ η 1 (ii) (iii) ξ = x + 1, η = y + Các giá trị riêng ma trận hệ số λ1 , λ2 = ± i, nên (-1, -1) xoắn ốc không ổn định Để thu hướng quay, ta cần sử dụng hệ tuyến tính hóa (iii) (hoặc phương trình ban đầu) Đặt η = 0, ξ > 0, nên hướng quay chiều kim đồng hồ 41 Tại (1, 1), ta thấy rằng:      ˙ ξ −1 ξ    = η˙ −1 −1 η (iv) ξ = x − 1, η = y − Các giá trị riêng cho bởi: λ1 , λ2 = √ ± nên (1, 1) yên ngựa Hướng "đường thẳng" từ điểm yên ngựa (là đường phân lập bước khỏi điểm cân bằng), từ (iv): η˙ dη −ξ − η = = dξ ξ −η ξ˙ (v) Ta biết hai nghiệm phương trình có dạng η = mξ đối √ với m Thay vào (v) ta được: m2 − 2m − = 0, m = ± Cuối cùng, lược đồ pha đặt Hình 2.10, đường cong pha lân cận điểm cân biết Quá trình hỗ trợ cách hướng đường x = 0, x = 1, đường cong − xy = (trên đường cong có độ dốc vơ hạn) Hình 2.10: Sơ đồ pha cho x˙ = x − y, y˙ = − xy 42 2.8 Hệ Hamilton Theo dạng tắc phương trình Hamilton học, hệ Hamilton: x˙ = X(x, y), y˙ = Y (x, y) (2.56) hệ Hamilton tồn hàm H(x, y) cho: X= ∂H ∂H ,Y= ∂y ∂x (2.57) Khi H gọi hàm Hamilton hệ (2.57) Điều kiện cần đủ để (2.57) hệ Hamilton là: ∂ X ∂Y + =0 ∂x ∂y (2.58) Giả sử x(t), y(t) nghiệm theo thời gian hệ Khi đó, dọc theo đường cong pha: ∂H ∂H ∂x ∂H ∂y = + ∂t ∂ x ∂t ∂ y ∂t = −Y X + XY (từ (2.57), (2.58)) = Do H(x, y) = số, (2.59) dọc theo đường cong pha Theo (2.59), đường cong pha đường mức, chu tuyến: H(x, y) = C, mặt cong: z = H(x, y) không gian ba chiều 43 (2.60) Giả sử hệ có điểm cân (x0 , y0 ), tức là: ∂H ∂H = = (x0 , y0 ) ∂x ∂y (2.61) Khi H(x, y) có điểm dừng (x0 , y0 ) Đặt: ∂ 2H ∂ 2H ∂ 2H − q0 = ∂ x2 ∂ y2 ∂ x∂ y , (2.62) đánh giá (x0 , y0 ) Khi ta biết rằng: (a) H(x, y) có cực đại cực tiểu (x0 , y0 ) nếu: q0 > (2.63) (b) H(x, y) có yên ngựa (x0 , y0 ) nếu: q0 < (2.64) (Ta khơng xét trường hợp q0 = 0) Vì đường cong pha đường mức z = H(x, y), nên ta hi vọng trường hợp (2.63) điểm cân (x0 , y0 ) tâm trường hợp (2.64), điểm cân điểm n ngựa Khơng có trường hợp tương ứng với nút xoắn ốc: hệ Hamilton chứa tâm loại điểm yên ngựa Dự đoán tương tự thu cách tuyến tính hóa hệ điểm cân Từ (2.34), xấp xỉ tuyến tính (x0 , y0 ) là: x˙ = a(x − x0 ) + b(y − y0 ), y˙ = c(x − x0 ) + d(y − y0 ), (2.65) đó, trường hợp Hamilton, hệ số là: a= ∂ 2H ∂ 2H ∂ 2H ∂ 2H ,b = , , c = − , d = − ∂ x∂ y ∂ y2 ∂ x2 ∂ x∂ y 44 (2.66) (x0 , y0 ) Việc phân loại điểm cân xác định giá trị p q định nghĩa phương trình (2.22) để ý tham số q tham số q0 định nghĩa (2.63) Từ (2.33) (2.66) ta có: ∂ 2H p = a + d = 0, q = ad − bc = − ∂ x∂ y ∂ 2H ∂ 2H + 2, ∂x ∂y (2.67) (x0 , y0 ) (do q = q0 ) Điều kiện (2.48) cho tâm p = (tự động thỏa mãn (2.67)) q > Điều giống yêu cầu (2.64) H có giá trị cực đại cực tiểu (x0 , y0 ) Chú ý điều kiện (2.67) cho tâm, dựa đặc tính hình học đầy đủ H(x, y) kết luận xác tiêu chuẩn dựa tuyến tính hóa khơng phải ln ln xác Nếu q = cực đại cực tiểu H tương ứng với tâm, phức tạp điểm yên ngựa H Ví dụ 2.7 Cho hệ phương trình: x˙ = y(13 − x2 − y2 ), y˙ = 12 − x(13 − x2 − y2 ) a) Chứng minh hệ Hamilton tìm hàm Hamilton H(x, y) b) Tìm điểm cân phân loại chúng c) Phác họa lược đồ pha a) Ta có: ∂ X ∂Y ∂ ∂ 12 − x(13 − x2 − y2 ) + = (y(13 − x2 − y2 )) + ∂x ∂y ∂x ∂y = −2xy + 2xy = 45 Do đó, theo (2.59) hệ Hamilton Từ (2.58): ∂H = −Y = −12 + x(13 − x2 − y2 ), ∂x ∂H = X = y(13 − x2 − y2 ) ∂y Lấy tích phân (i) theo biến x (giữ y cố định ), tích phân theo biến y (giữ x cố định) ta được: H = −12x + H= 13 2 x − x − x y + u(y), 13 2 y − x y − y + v(x) 2 (iii) (iv) Từ (iii) (iv) ta suy ra: u(y) = 13 y − y −C, v(x) = 13 x − x −C C số Do đường cong pha cho bởi: 13 x + y2 − x4 + y4 1 − x4 + y4 − − x2 y2 4 H(x, y) = −12x + = C, C tham số (b) Điểm cân nghiệm hệ: y(13 − x2 − y2 ) = 0, 12 − x(13 − x2 − y2 ) Do đó, tọa độ điểm cân là: (1, 0), (3, 0), (−4, 0) 46 (v) Các đạo hàm cấp hai H(x, y) là: 2 ∂ 2H 2 ∂ H 2 ∂ H = 13 − 3x − y , = 13 − x − 3y , = −2xy ∂ x2 ∂y ∂ x∂ y Ta cần tính tốn q (xem (2.63)) điểm cân Kết là: Điểm cân Giá trị q Phân loại (1, 0) (3, 0) (−4, 0) 120 > −56 < 105 > Tâm Yên ngựa Tâm (c) Lược đồ pha thể Hình 2.11 Hình 2.11: Lược đồ pha hệ Hamilton x˙ = y(13 − x2 − y2 ), y˙ = 12 − x(13 − x2 − y2 ) 47 KẾT LUẬN Tính chất địa phương (quanh điểm cân bằng) lược đồ pha hệ autonom phẳng tổng quát:   x˙ = X(x, y) y˙ = Y (x, y) xấp xỉ qua lược đồ pha hệ tuyến tính hóa Do khóa luận chủ yếu tập trung mô tả lược đồ pha hệ autonom tuyến tính phân loại điểm cân hệ Em xin chân thành cảm ơn! 48 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Đường, Võ Đức Tơn, Nguyễn Thế Hồn (1970), Phương trình vi phân, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Hoàng Hữu Đường (1975), Lý thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cở sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục [B] Tài liệu tiếng Anh [4] D W Jordan and P Smith (2007), Nonlinear Ordinary Differential Equations, Oxford University Press 49 ... tương tự hệ (I), có kết hữu dụng hệ (II) Thực tế hệ (II) phức tạp X, Y hàm phi tuyến Do xét mơ hình tuyến tính hóa hệ (II) vai trị hệ tuyến tính hóa hệ (II) nghiên cứu tính chất định tính Với... xỉ tuyến tính điểm cân 19 2.4 Nghiệm tổng quát hệ autonom tuyến tính 20 2.5 Đường cong pha hệ autonom tuyến tính 29 2.6 Tỷ lệ lược đồ pha hệ tuyến tính autonom. .. "Hệ autonom phẳng tuyến tính hóa" Nội dung khóa luận gồm hai chương Chương trình bày tổng quát với cách sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu phương trình vi phân cấp Chương nghiên cứu hệ autonom phẳng